数学（九省新高考新结构卷2）-2024年高考押题预测卷

2024年高考押题预测卷02【新九省卷】

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一'选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合/=卜卜=3〃-1,〃€2},8=卜［0＜丫＜6},则/门8=（）

A.{1,4}B.{1,5}C.{2,4}D.{2,5}

2.若tan（a-：）=2,则sin2a=

（）

33-44

A.-B.—C.一D.——

5555

3.已知〃=（私1）,5=（3加一1,2）,若://力，则》=（）

2

A.1B.-1C1D.—

3

5

4.（1一2%）’—UQ+ctyX+a2%2+•••-\-a5x,则4+%=（）

A.100B.110C.120D.130

5.已知等差数列{g}的前〃项和为且$2=2,$6=9,则%=（）

A.14B.16C.18D.20

6.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善

行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图

2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧NC所在圆的半径分别是3和6,且

48c=120。，则该圆台的体积为（）

图1图2

A.竺也兀B.9兀C.7兀D.曳2兀

33

7.己知直线＞+1=MX-2)与圆(x-»+(y-l)2=9相交于"，N两点.则|ACV|的最小值为()

A.7?B.2石C.4D.6

8.己知可导函数/(X)的定义域为R，为奇函数，设g(x)是/卜)的导函数，若g(2x+l)为奇函数,

1io

且g(O)=彳，则£羯(2k)=()

2k=i

11

C.—D.4

2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数2,下列说法正确的是()

A.若z-彳=0,则二为实数B.若/+亍2=0,则2=亍=。

C.若|z-i|=l,则|z|的最大值为2D.若|二-iR二|+1,则z为纯虚数

10.己知函数/(》)=««(0田+。)［。＞0.0＜。＜|^的图象在)，轴上的截距为3，2是该函数的最小正零点,

贝|JC)

兀

A.＜p=-

B./(x)+/'(x)＜2恒成立

C.在(0,"上单调递减

D.将y=/(x)的图象向右平移1个单位，得到的图象关于y轴对称

11.如图，已知抛物线。/=2"脑＞0)的焦点为F,抛物线C的准线与x轴交于点D,过点尸的

直线/(直线/的倾斜角为锐角)与抛物线C相交于A,3两点(4在x轴的上方，B在x轴的下

方)，过点4作抛物线C的准线的垂线，垂足为M,直线/与抛物线C的准线相交于点N,则

()

A.当直线/的斜率为1时，|4B|=4pB.若|NR|=|FM|,则直线/的斜率为2

C.存在直线/使得ZAOB=90°D.若万:=3丽，则直线/的倾斜角为60°

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6

分，满分18分②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得。分

③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三

个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）.已知在某次新结构数学试题的考试中，小

明同学三个多选题中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个

选项，则小明同学多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）的中位数为.

13.在直三棱柱48C-44G中，AB=AC=AA.=4,4CJ.45,过作该直三棱柱外接球的截面，所得

截面的面积的最小值为.

14.在“BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,己知c=2asinC-2ccosN,则sin24=；

若。=2,则面积的最大值为_.

四'解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（本小题满分13分）己如曲线/（x）=ar!+x-21nY+。（a,beR）在x=2处的切线与直线x+2y+l=0垂直.

（1）求。的值；

（2）若f（x）20恒成立，求6的取值范围.

16.（本小题满分15分）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、

好读书”的号召，并开展阅读活动.开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间

（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075,0.0125,

后三个小矩形的高度比为3：2：1.

卜频率/组距

20406080100120时间/分钟

（1）根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该

组区间的中点值为代表）：

（2）开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作

为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于［80,100）的人数记为

3求随机变量4的分布列与数学期望.

17.（本小题满分15分）如图，在四棱锥尸-WCD中，底面/BCD是边长为2的正方形，PA=PB=«,

点”在尸。上，点N为8c的中点，且尸8//平面跖1C.

pt

M

於一一»

BNC

(1)证明：CW〃平面P/N；

(2)若尸C=3,求平面PNN与平面M4c夹角的余弦值.

22

18.(本小题满分17分)已知椭圆£:二+匕=1,直线/与椭圆E交于48两点，。为坐标原点，且

84

OA±OB,0P1AB,垂足为点P.

(1)求点尸的轨迹方程；

(2)求面积的取值范围.

19.(本小题满分17分)置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合/={1,2,…,〃},〃eN+的函数称为〃

次置换.满足对任意屹4/(。=i的置换称作恒等置换.所有n次置换组成的集合记作S“.对于/⑺eSn,

/、(12•••n}

我们可用列表法表示此置换：/(，)=]/⑴/⑵…八〃”，记

⑴若/⑺eS,J⑺=]；213^计算厅⑺；

(2)证明：对任意〃。€其，存在左€味，使得广⑺为恒等置换；

(3)对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第

27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，……，依次类推.这样操作最少重复几次就

能恢复原来的牌型？请说明理由.

2024年高考押题预测卷02【新九省卷】

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合/={小=3〃-1,“€2},8={司0<》<6},则/门8=()

A.{1,4}B.{1,5}C.{2,4}D.{2,5}

【答案】D

【解析】^={x|x=3w-l,7?eZ},5=1x|0<x<6},则4口8={2,5},故选D

若；

2.tan[a—=2,则sin2a=()

344

A.-B.——C.-D.——

5555

【答案】B

.y,|7t]tana-1、.Q

【解析】由tan|a-7|="|---------=2,得tan(z=-3,

(4)1+tana

.,—.2sinacosa2tana3

sm2«=2sm«cosa=——；------—=-----；—=——,故选B.

sina+cos-a1+tana5

3.己知a=(拉,1),5=(3机-1,2),若'a/b，则加=()

「22

A.1B.—1C.-D.——

【答案】A

【解析】因为。=（加,1）,=（3m-1,2）,a'//'b,所以2%-（3机-1）=0,解得机=1,故选A.

4.若(l-2x)’=a()H--F%/,则%+&=()

A.100B.110C.120D.130

【答案】C

24

【解析】在（l-2x）5=〃0+41*+42/+…+中，a2=Cjx2=40,t74=C5x2=80,

所以出+%=120,故选C

5.已知等差数列｛为｝的前〃项和为S“，且S?=2,S19,则”=（）

A.14B.16C.18D.20

t答案】D

【解析】设数列｛〃“｝的公差为由Sz=2,S6=9,

7

2。［+d=2

8

得《61+等d=9'解得

]_，

4

所以品）=10。]+寸10x9d=?35+4?5=20,故选D.

6.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇‘'与"善”谐音，折扇也寓意“善良'’”善

行''.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图

2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE,4c所在圆的半径分别是3和6,且

45c=120。，则该圆台的体积为（）

【答案】D

【解析】设圆台上下底面的半径分别为不大由题意可知（x2兀X3=2Q,解得弓=1,

：x2兀x6=2%，解得：4=2,作出圆台的轴截面，如图所示:

DOQ

图中OD=7]=1,O'A=r2=2,AD-6-3=3,

过点。向4P作垂线，垂足为T,则/7=4-勺=1,

所以圆台的高b=JAZP-Z4=532-1=2五,

则上底面面积每二兀*^^,$2=兀乂22=4兀，由圆台的体积计算公式可得：

r=1x(S1+S2+5/S1-S2)x//=1x7jix2>/2=^^,故选D.

7.已知直线"l=Mx-2)与圆(x-iy+(y-l)2=9相交于M,N两点.则1必叫的最小值为()

A.V5B.2V5C.4D.6

【答案】C

【解析】由圆的方程(x-l)2+(y-l)2=9,可知圆心4(1,1),半径五=3,

直线y+l=m(x-2)过定点8(2,-1),

因为(2-1)2+(->1)2=5<9,则定点5(2,-1)在圆内，

则点8(2,-1)和圆心4L1)连线的长度为d=+(-1-1)2=V5,

当圆心到直线MN距离最大时，弦长MN最小，此时

由圆的弦长公式可得|MN|=2/一〃2=2出-诉2=4,

故选：C

8.己知可导函数/(*)的定义域为R，/6T)为奇函数，设g")是/(x)的导函数，若g(2x+l)为奇函数,

110

且g(o)=;，则2?g(2左)=()

2k=i

13131111

A.—B.一—C.—D.--

2222

【答案】D

【解析】因为为奇函数，则个

即/(xT)=-/(-xT),两边求导得了'(XT)=/'(T-1),

则g(x-l)=g(-x-l),可知g(x)关于直线X=-l对称,

又因为g(2x+l)为奇函数，则g(2x+l)+g(-2x+l)=0,

即g(x+l)+g(-x+l)=O,可知g(x)关于点(1,0)对称,

令X=l,可得g(2)+g⑼=0,即g(2)=_g⑼=[,

由8—1)=8(-工_1)可得83=8(-工_2),

由g(x+l)+g(-x+l)=0,可得g(x)+g(-x+2)=0,即g(x)=-g(-x+2),

可得g(-x-2)=-g(-x+2),即g(x+4)=-g(x),

令x=0,可得g(4)=-g(0)=-；；

令x=2,可得g(6)=-g⑵=g；

且g(x+8)=-g(x+4)=—[-g(x)]=g(x)，可知8为g(x)的周期，

可知g(8左+2)=g(8左+4)=-g,g(8左+6)=g(8左+8)=g,KeZ,

101111

所以£修(2左)=--(1+2+5+6+9+10)+-(3+4+7+8)=一一.

k=i222

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数2,下列说法正确的是()

A.若2-7=0,则z为实数B.z2+z2=0,贝!|z=^=0

C.若|z-i|=l,则|z|的最大值为2D.若|z-iHz|+l,则z为纯虚数

【答案】AC

【解析】设z="+bi(a/eR),则胃=“_历，

若z-7=0,即(a+6i)-(a-6i)=26i=0,即6=0,则z为实数，故A正确；

z2+z2=0,即(a+6i)~+(a-6i)~=0,

a1-b2+2abi+a2-b2-2abi=0,即/=/,即°=±6,

当a=b时，2=a+ai,z-a-ai＞此时不一定满足z=彳=0,

当Q=-6时，z=a-ai,z=a+ai,此时不一定满足z=^=0,故B错误；

若匕-i|=l,即|"i|=]=卜+e—1川=J/+(Z>_1)2=1,

所以〃+e-1)2=1,即z表示以(0,1)为圆心，以1为半径的圆上的点，

且同表示圆上的点到原点的距离，所以|Z|的最大值为2,故C正确；

若I二一iHz|+l，BP|z-i|=|a+(Z>-l)i|=^a2+(Z>-1)2,

\z\+l=yja2+b2+1,即也2+仅-1)2=，/+廿+i,

化简可得b=—五+〃,贝!|q=0且丘0,

此时Z可能为实数也可能为纯虚数，故D错误；

故选：AC

10.己知函数/(x)=cos(0X+0)(0>O.O<Q<|J的图象在y轴上的截距为崇是该函数的最小正零点,

贝IJ()

兀

A.<P=—

B.〃x)+，(x)M2恒成立

C./(x)在值)上单调递减

D.将y=/(x)的图象向右平移弓个单位，得到的图象关于y轴对称

【答案】AC

【解析】函数/5)=85回+0)(0>0,0<。<|")的图象在),轴上的截距为9

所以cosp=L因为0<»<£,所以夕=工.故A正确：

223

又因为三是该函数的最小正零点，

12

UL1、I(兀兀、zxULI、I兀兀兀

所以cos0不+1=0,所以O不+、=不，

解得0=2,所以f(x)=cos(2x+g),/'(x)=—2sin(2x+；),

所以/(x)+/'(x)=cos(2x+g)-2sin(2K+：j=4cos(2x+?+<9)4不，故B错误；

当xe(()qj时，2x+?e(:兀k(0,兀)，故C正确；

将y=/(x)的图象向右平移;个单位，得到y=cos[2(x-g)+(=cos^2.r-y

是非奇非偶函数，图象不关于V轴对称，故D错误.

故选：AC.

11.如图，已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C的准线与X轴交于点D,过点尸的

直线/(直线/的倾斜角为锐角)与抛物线C相交于A,B两点(4在x轴的上方，8在x轴的下

方)，过点4作抛物线C的准线的垂线，垂足为M,直线/与抛物线C的准线相交于点N,则

()

A.当直线/的斜率为1时，|03|=4pB.若|NF|=|EM，则直线/的斜率为2

C.存在直线/使得ZAOB=90°D.若赤=3而，则直线/的倾斜角为60°

【答案】AD

【解析】易知尸信。)，可设©尸+-禺(左>0),设/(”1).巩*2，%),

y=k[X-—I22/2\上2P2

222

与抛物线方程联立得fI2kx-(kP+2p)x+-^--=0,

y2=2px

贝I]玉+X2=卜22々密森,

对于A项，当直线/的斜率为1时，此时玉+々=3°,

由抛物线定义可知|叫+网*+微+々+卷=|羽=4p,故A正确；

易知是直角三角形，若|N/|=

则ZANM=AFMN=>ZAMF=AFAM,

y\AF\=\AM\,所以AW为等边三角形，即乙4网=60°，此时a=6，故B错误:

由上可知再超+必力=(/+1)k2一与一(天+*2)+

4

=俨+1）①上如曰鸥=一"<0，

''42k244

rUUULU,,3r

即。46v0，故C错1天；

若AF=3用=>言_玉=312_?二演=2p_3/,

又知xxx2=—=>x2=—,Xj=—,所以弘=6P,

462

k=」一=6

则PV,即直线/的倾斜角为60。，故D正确.

M1--2-

故选：AD

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6

分，满分18分②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得。分

③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三

个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）.己知在某次新结构数学试题的考试中，小

明同学三个多选题中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个

选项，则小明同学多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）的中位数为.

【答案】11

【解析】由题意得小明同学第一题得6分：

第二题选了2个选项，可能得分情况有3种，分别是得。分、4分和6分；

第二题选了1个选项，可能得分情况有3种，分别是得。分、2分和3分；

由于相同总分只记录一次，因此小明的总分情况有：6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、

15分共8种情况，

所以中位数为小竺=11,

2

13.在直三棱柱44G中，AB=AC=AA1=4,过ZG作该直三棱柱外接球的截面，所得

截面的面积的最小值为.

【答案】8n

【解析】由直三棱柱4BC-44G可知，平面Z3C,

又ZC_L4B,所以48.4C,44两两垂直,

设直三棱柱里C-451cl外接球的半径为R

通过构造长方体可知该三棱柱的外接球与以AB,AC,AA.为边长的长方体外接球相同;

过ZG作该直三棱柱外接球的截面，当/G为所截圆的直径时截面面积最小，

因为ACt="2+甲=4>/2，

则所求截面面积最小值为兀=8兀.

14.在AZBC中，内角A,B,。所对的边分别为4,b,c9已知c=2osinC-2ccosZ,则sin2N=；

若。=2,则"BC面积的最大值为.

…a.32+J7

【答案】-T——

43

【解析】因为c=2asinC-2ccos4,由正弦定理得$111。=2$1114$111。-25111。8$4,

因为CsinCw0,则有sin4—cos4=工,

ii33

所以(sin2—cosa)?=—,得l—2sinZcos/=—,即2sin/cos/=—,故sin2Z=—；

4444

3

IM2sinZcosZ=a,可得sinZ>0,cos/>0,

..1+V7

//1sinZ=--------

sinZ-cosZ=一3得s皿』csin/」x匕女从

由，2,解得<

22224

sinA+cosA=1cosA=-----

4

由余弦定理得，所以叱…空庆,

由〃+,2=4+与1加22加，当且仅当6=c时等号成立，可得加?方=怖(5+"),

S皿力苧〈(5+万=苧，即“5c面积的最大值为彳・

四'解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(本小题满分13分)己如曲线/(x)=ax2+x-21nx+6(a,6eR)在x=2处的切线与直线x+2y+l=0垂直.

⑴求。的值；

⑵若〃x)20恒成立，求6的取值范围.

【解】(1)由于x+2y+l=0的斜率为一；，所以/(2)=2,

2?1

又/'(x)=2办+1-：故/'⑵=4“+1-/=2,解得4=5，

(2)由(1)知。=〈，所以/，(X)=X+1-Z=X2+~2=(X+2)(X-1),

2xxx

故当x>l时，/'(x)>O,/(x)单调递增，

当0<x<l时，f'(x)<O,/(x)单调递减,

故当x=l时，/(X)取最小值/(1)=；+1+6,

13

要使/(x)20恒成立，^/(1)=-+1+^>0,解得62一］,

3

故b的取值范围为6N-］

16.(本小题满分15分)为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、

好读书”的号召，并开展阅读活动.开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间

(单位：分钟)，得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075,0.0125,

后三个小矩形的高度比为3：

(1)根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值(同一组中的数据用该

组区间的中点值为代表)；

(2)开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作

为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于［80,100)的人数记为

求随机变量4的分布列与数学期望.

【解】(1)由题知：各组频率分别为：0.15,0.25,0.3,0,2,0.1,

日均阅读时间的平均数为：

30x0.15+50x0.25+70x0.3+90x0.2+110x0.1=67（分钟）

（2）由题意，在[60,80）,[80,100）,[100,120]三组分别抽取3,2,1人

4的可能取值为：0,1,2

c3c°C2cl3

则PC=0)=造2=产它=1)=,=

55

=1

尸©=2)=

Cl5

所以自的分布列为:

c113.11

E1)=Ox—4-lx—+2x—=1

555

17.（本小题满分15分）如图，在四棱锥尸-48。）中，底面4BCD是边长为2的正方形，PA=PB=下,

点河在尸£>上，点N为8C的中点，且尸3〃平面跖1C.

（1）证明：GW//平面HW：

（2）若尸C=3,求平面尸4N与平面MZC夹角的余弦值.

【解】（1）连接交4C与点。，连接OM,可得平面的与平面M4c的交线为,

因为尸8〃平面M4C,P3u平面P3Q,所以PBUOM,

又因为O为助的中点，所以点M为产口的中点,

取力的中点E,连接EM,EN,可得EM〃/D且EM="D,

又因为N为的中点，可得3〃⑷）[[CN=；4D,

所以EMUCN且EM=CN,所以四边形£MCR为平行四边形，所以CM“EN,

又因为CW<Z平面尸3,且ENu平面H4N,所以CM〃平面尸4V.

（2）取43的中点S,连结PSCS,

因为P4=PB=#,可得PS14B.S.PS=>JPB2-BS2=2.

又因为sc=JBC^+BS?=邪，且尸C=3,

所以PC?=尸$2+$。2,所以尸S_LSC,

又因为zsnsc=s,且ZBSCu平面4BCD,所以尸S_L平面4BCD,

以S为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系S-盯二，

可得4(-1,0,0),8(1,0,0卜。(1,2,0),£>(-1,2,0),尸(0,0,2),

ni-PN=x1+yl-2zl=0

取x=2,可得y=-4,z=-l,所以方=（2,-4,-1）,

_——►3

n-AM=—x2+y2-z2=0

设为=@2，%，22）是平面M4c的法向量，贝”:，

n-MC=-x+%+工2=0

.22

取x=2,可得y=-2,z=l,所以方=（2,-2.1）；

l/n-nl1111721

设平面尸3与平面跖tc的夹角为e,则cose=匕哥=7宝=工一,

|m||n|3。2163

18.(本小题满分17分)已知椭圆E:二+上=1,直线/与椭圆E交于4、B两点,。为坐标原点，且

84

OALOB,。尸工48,垂足为点尸.

(1)求点尸的轨迹方程；

（2）求AQ4B面积的取值范围.

【解】（1）①当直线/斜率不存在时，由椭圆的对称性，不妨设直线/在y轴右侧,

直线at的方程为y=，,

「解得A平'"平'所以'”2娓

由，84

~T

y=x

巫,此时尸（千2店,0.

所以,直线48的方程为戈

33

同理,当直线/在y轴左侧时，P

②当直线/斜率存在时，设直线/的方程为y=H+m,/（石，乂），3（巧，力），

y=kx+tn

由1x2y2消去y整理得，(1+2/户2+4加田+2"?2-8=0,

184

-4km2〃，一8

•,A=6442—8"，+32>0»IL石+X2=

又•••O4J_O8,.•.豆.丽=0即：玉*2+%%=°，

所以，xxx2+(AXi+7??)(Ax2+77/)=0,

则（1+左2）玉马+力〃（玉+工2）+〃户=0,

故(1+犬)(2"/一8)4kM(1+2/)

十一=0,

1+2―1+2421+2左2

所以3加2=8俨+1）满足△＞（）,

所以，囱二悬二居T昭P半

综匕QR=半，所以，点尸的轨迹方程为？+产=：

Q

（2）①由（1）可知，当直线/斜率不存在或斜率为。时，S^MC=-

②当直线1斜率存在且不为0时，

⑷=J1+F忖一止J1+F+%

4娓|(1+*)。+4*)

次＞。一..止+身4,当且仅当T，即』孝等号成立•

••・$皿=轲•⑷呜2冏,

19.(本小题满分17分)置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合4={L2,…,"},〃eN+的函数称为〃

次置换.满足对任意ie4/(i)=i的置换称作恒等置换.所有〃次置换组成的集合记作S”.对于/(i)eS,,

.f12…n]

我们可用列表法表示此置换：/«z)=(/⑴/(2)/(〃)上记

/(i)=r(i)，/(/(i))=r(i)J(r(i))=r(j),…,/(/-«))=「()於4斤eN+.

234、

⑴若/。)小4，/(，)=(4213J'计算,即)；

(2)证明：对任意/(i)eS4,存在才eN+，使得/*(，)为恒等置换；

(3)对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第

27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，……，依次类推.这样操作最少重复几次就

能恢复原来的牌型？请说明理由.

【解】⑴M/\)=n〕423143、}

由题思可知/⑺\+n2344J、-R'//\1n234、}

―/、n234、一\

(2)解法一：①若/(。=J234'则/⑺为恒等置换;

②若存在两个不同的i,使得/（，）=，，不妨设好1,2,则〃。=

A234、

所以/⑺=I__4，即尸⑺为恒等置换;

I1乙3*）

<12341

③若存在唯一的i,使得/（，）=，，不妨设i=2,则/⑺=1241或/（'）=

/、n234、…

当/（'）=4213时’由（D可知/（（为恒等置换;

同理可知，当［«）=J241时，/1）也是恒等置换；

④若对任意的，,〃，）工，

234)或、/("=fl234或/"八卜、(1234、

则情形一：/（0=[43][34]2J132

情形二：/（/g、Q（13234公J或，/、⑺口24314、⑺，、=口1234)

142)

或〃，)=(;23J4)或“/'、An1213243、]或〃，>、[/41323]4

42

对于情形一：尸⑺为恒等置换;

对于情形二：/Mi）为恒等置换;

综上，对任意/⑺仁邑，存在左eN+，使得/（，）为恒等置换;

解法二:对于任意ie{1,2,3,4},都有/'(0，/2(0)/3(0>/4(06{1,2,3,4},

所以⑺中，至少有一个满足/"（，）=，，

即使得m=7'的左的取值可能为1,2,3,4.

当i分别取1,2,3,4时，记使得/⑺=7•的左值分别为左后他危，

只需取先为左,&/，勺的最小公倍数即可.

所以对任意〃，）eS4,存在左eN+，使得了"（，）为恒等置换；

（3）不妨设原始牌型从上到下依次编号为1到52,则洗牌一次相当于对｛12…,52｝作一次如下置换:

2345-52]作,”2人-1,

，（“一[1272283527'^^~\16+k,i=2k,

其中无=1,2,...,26.

注意到各编号在置换中的如下变化：

fffffffff

1—1，2—27—14—33—17—9—5—3—2，

ffffffff

4-28—40—46—49—25—13—7-4，

ffffffff

6-29—15—8-30—41—21-11-6,

ffffffff

10-31—16—34—43—22—37—19—10，

ffffffff

12-32—42—47—24—38—45—23—12，

18,35，18，

ffffffff

20-36—44—48—50—51—26—39—20，

52,52，

所有编号在连续置换中只有三种循环：一阶循环2个，二阶循环2个，八阶循环48个，

注意到L2,8的最小公倍数为8,由此可见，最少8次这样的置换即为恒等置换，

故这样洗牌最少8次就能恢复原来的牌型.