导数（30题）-2024年考前15天高考数学冲刺大题训练（新高考）含答案

冲刺大题05导数(精选30题)

1.(2024•安徽•二模)已知函数/(x)=x2_10x+3/'⑴Inx.

⑴求函数/(x)在点处的切线方程；

(2)求/(x)的单调区间和极值.

2

2.(2024•江苏南京•二模)已知函数/(x)二厂一"+q,其中

eA

⑴当。=0时，求曲线歹=/(x)在(1,7(1))处的切线方程；

⑵当。＞0时，若/(X)在区间[0,。]上的最小值为』，求a的值.

e

3.(2024・浙江绍兴•模拟预测)已知/(x)=ae*-x,g(x)=cosx.

⑴讨论的单调性.

(2)若使得/(%)=8(%),求参数"的取值范围.

4.(2024•福建漳州•一模)已知函数/(x)=alnx-x+a,aeR且a#0.

⑴证明：曲线y=/(x)在点(1,7(1))处的切线方程过坐标原点.

(2)讨论函数/(x)的单调性.

5.(2024•山东•二模)已知函数/(》)=。2犹,-_¥-11«.

(1)当。=卡时，求/'(x)的单调区间；

⑵当。＞0时，/(x)＞2-a,求。的取值范围.

6.(2024•山东•一模)已知函数〃无)=lnx+；aQ-l)2.

(1)当。=-；时，求函数/(X)的单调区间；

八3

⑵若函数g(x)=/(x)-2x+l有两个极值点须,%2，且8(再)+8(%2)之一1一丁,求Q的取值范围.

2a

7.(2024•湖北•二模)求解下列问题，

⑴若fcr-121nx恒成立，求实数k的最小值;

(2)已知a,6为正实数，xe[o,l],求函数g(x)=ax+(l-x)b-罐的极值.

8.(2024•湖北武汉•模拟预测)函数

H

/(x)=tanx+sinx--<x<],g(x)=sinx-x"cosx,xe(0,^),MeN+.

⑴求函数/(x)的极值；

(2)若g(x)>0恒成立，求”的最大值.

9.(2024•湖北•模拟预测)已知函数/(无)=ax2-x+ln(x+l),aeR,

(1)若对定义域内任意非零实数M，花，均有/(*)"“)>意求。；

x{x2

(2)1己乙=1+：+•••+，，证明：乙一+

2no

10.(2024•湖南•一模)已知函数/(x)=sinx-ox-cosx,aeR.

(1)当。=1时，求函数/(x)在x=5处的切线方程；

(2)xe(0,3时；

(i)若〃x)+sin2x>0,求。的取值范围；

(ii)证明：sin2x-tanx>x3.

11.(2024・全国•模拟预测)已知函数/(x)=ln(l+x)--二.

(1)求曲线>=在(0,7(0))处的切线方程；

⑵若xe(T/),讨论曲线y=/(x)与曲线y=-2cosx的交点个数.

12.(2024•广东佛山•二模)已知〃x)=-Je2，+4e，-ax-5.

⑴当a=3时，求〃x)的单调区间；

(2)若/(x)有两个极值点％,,x2,证明：/(x1)+/(x2)+x1+x2<0.

13.(2024•广东广州•模拟预测)已知函数/(x)=x(e“-履)，后eR.

(1)当后=0时,求函数/(x)的极值；

⑵若函数/(x)在(0,+8)上仅有两个零点，求实数上的取值范围.

2

14.(2024•江苏南通•二模)已知函数/(x)=lnx-ax,g(x)=一，a40.

ax

⑴求函数/(X)的单调区间；

(2)若a>0且4g(x)恒成立，求a的最小值.

15.(2024•山东济南•二模)已知函数/(》)="2-111%-16(元)=泥*-办2(0€11)，

⑴讨论〃龙)的单调性；

⑵证明：/(x)+g(x)>x.

16.(2024・福建•模拟预测)已知函数/(无)="lnx-法在处的切线在y轴上的截距为-2.

⑴求。的值；

(2)若/(x)有且仅有两个零点，求6的取值范围.

17.(2024•浙江杭州•二模)已知函数〃无)="ln(x+2)-;x2(aeR).

⑴讨论函数/(x)的单调性；

(2)若函数/(x)有两个极值点,

(i)求实数。的取值范围；

(ii)证明：函数“X)有且只有一个零点.

18.(2024•河北沧州•模拟预测)已知函数〃x)=lnx-Q+l,aeR.

(1)讨论/'(x)的单调性；

(2)若Vx>0,/(X)4xe2工-2ax恒成立，求实数a的取值范围.

19.(2024•广东•二模)已知=+(l-2a)x-21nx,a>0.

⑴求〃x)的单调区间；

⑵函数〃x)的图象上是否存在两点么(再,%),8(%,%)(其中x尸X2),使得直线43与函数/(x)的图象在

%=土十处的切线平行？若存在，请求出直线43;若不存在，请说明理由.

20.(2024•广东深圳•二模))知函数f(x)=("+l)e*,/'(x)是〃x)的导函数，且/(x)-/(x)=2e1

⑴若曲线>=/(x)在x=0处的切线为>求公6的值；

⑵在(1)的条件下，证明：f(x)>kx+b.

21.(2024•辽宁•二模)已知函数/(叼=⑪？一ax-lnx.

(1)若曲线〉=/(x)在x=1处的切线方程为y^mx+2,求实数a,m的值；

(2)若对于任意x21,+恒成立，求实数。的取值范围.

22.(2024•黑龙江哈尔滨•一模)已知函数〃x)=^-ae',aeR.

⑴当。=0时，求〃x)在x=l处的切线方程；

(2)当a=1时，求/(x)的单调区间和极值；

⑶若对任意xeR,有/(x)Ve1恒成立，求。的取值范围.

23.(2024・安徽合肥・二模)已知曲线C：/(x)=e=xe'在点处的切线为/.

(1)求直线/的方程；

(2)证明：除点A外，曲线C在直线/的下方；

(3)设/(占)=/(工2)=/,尤1,求证：x,+x2.

e

24.(2024•江苏扬州•模拟预测)已知函数〃x)=21»-a/+l(aeR).

⑴讨论函数的单调性；

(2)若存在正数x,使/⑺川成立，求。的取值范围；

(3)若0＜网＜七，证明：对任意ae(0,+oo),存在唯一的实数/e(网,)，使得/(%)=.(：)：；(*)成立.

25.(2024•重庆•模拟预测)已知函数/(x)=(x-3)e，+at+hu}aeR),

⑴若过点(2,0)的直线与曲线＞=/(x)切于点(1,7(1)),求a的值；

⑵若/(x)有唯一零点，求。的取值范围.

26.(2024•江苏南通•模拟预测)设函数/(x)=(x-a)lnx-x+a,aeR.

⑴若。=0,求函数〃x)的单调区间；

(2)若-擀＜。＜0,试判断函数/(x)在区间(e3e2)内的极值点的个数，并说明理由；

⑶求证：对任意的正数”，都存在实数乙满足：对任意的xe",/+a),/(x)＜a-l.

27.(2024•河北保定•二模)已知函数/(x)=asinx+xcosx.

⑴若a=0,求曲线了=〃x)在点(0,〃0))处的切线方程;

⑵若xe(-兀,兀)，试讨论/(x)的零点个数.

28.(2024・河北•二模)已知函数/(x)=e\

(1)求曲线V=/(x)在x=0处的切线/与坐标轴围成的三角形的周长；

(2)若函数/(x)的图象上任意一点尸关于直线x=l的对称点0都在函数g(x)的图象上，且存在xw[0,l),使

〃x)-2exN加+g(x)成立，求实数加的取值范围.

29.(2024•河北邯郸•二模)已知函数/(无)=6'-加工8卜)=%-〃”!《:.

⑴是否存在实数加，使得/(X)和g(x)在(0,+8)上的单调区间相同？若存在，求出加的取值范围；若不存

在，请说明理由.

(2)已知小马是“X)的零点，物七是g(x)的零点.

①证明：m>e,

②证明：

,zl2-

30,(2024•浙江杭州・模拟预测)已知函数/(%)=加—+――--m,g(x)=ex+ex.

(1)当机=0时，证明：/(x)<e-%；

(2)当x<0时，gW>G求/的最大值；

⑶若“X)在区间(0,+8)存在零点，求加的取值范围.

冲刺大题05导数(精选30题)

1.(2024•安徽•二模)已知函数〃x)=x2-10x+3-l)lnx.

⑴求函数/(x)在点(1/(1))处的切线方程；

(2)求/(x)的单调区间和极值.

【答案】⑴了=4X-13；

⑵递增区间为(0,2),(3,+8),递减区间为(2,3),极大值-16+12E2,极小值-21+12M3.

【分析】(1)求出函数/(x)的导数，赋值求得了'⑴，再利用导数的几何意义求出切线方程.

(2)由(1)的信息，求出函数/(x)的导数，利用导数求出单调区间及极值.

【详解】(1)函数/(X)=--10X+3/⑴Inx,求导得/'(x)=2x-10+宜的，

则/'(1)=-8+3/'⑴，解得了⑴=4,于是〃x)=x2T0x+121nx,川)=一9,

所以所求切线方程为：y+9=4(x-l),即y=4x-13.

(2)由(1)知，函数〃x)=x2_10x+121nx,定义域为(0,+q),

P,、s122(x-2)(x-3)

求导B得A了'(x)=2x-10+—=—--------------,

XX

当0<x<2或x>3时，f'(x)>0,当2<x<3时，/f(x)<0,

因此函数f(x)在(0,2),(3,+8)上单调递增，在(2,3)上单调递减，

当x=2时，/(%)取得极大值〃2)=-16+121n2,

当x=3时，f(x)取得极小值/(3)=-21+121n3,

所以函数小)的递增区间为(0,2),(3,+8),递减区间为(2,3),

极大值-16+12M2,极小值-21+121n3.

2

2.(2024•江苏南京•二模)已知函数/(x)="一"+",其中aeR.

ex

(1)当。=0时，求曲线>=/(x)在(1J⑴)处的切线方程；

⑵当a>0时，若/(X)在区间［0,。］上的最小值为1,求a的值.

e

【答案】⑴…尸。

(2”=1

【分析】(1)由〃=0,分别求出/XI)及尸⑴，即可写出切线方程；

(2)计算出/(X),令/''(x)=0,解得x=2或x=。，分类讨论。的范围，得出/(x)的单调性，由/(x)在区

间［0，«1上的最小值为工，列出方程求解即可.

e

丫2

【详解】(1)当。=0时,〃x)=上，则”1)=—1,/'(城="',所以/(1)=—1,

eeee

所以曲线y=〃x)在(1J(D)处的切线方程为：y--=-(x-l),即x-ey=O.

ee

(2)/(x)=一工2+m+2)x2j_(x-2)(x-a),令/，(刈=0,解得》=2或"明

exex

当0<a<2时，X£［O,a］时，/(x)<0,则/(x)在［0,幻上单调递减，

所以贝必=1,符合题意；

ee

当a>2时，xe［0,2］时，/(x)<0,则“%)在［。,2］上单调递减，

xe(29a］时，f\x)>0,则/(x)在(2,Q］上单调递增，

4—a1

所以/Xx)血n=/(2)=r=—,则a=4-e<2,不合题意；

e~e

当。=2时，xe［0,2］时，/(x)<0,则/(x)在［0,2］上单调递减，

21

所以〃幻m=/(2)==r~,不合题意；

1ne~e

综上，a=1.

3,(2024浙江绍兴•模拟预测)已知/(x)=ae=x,g(x)=cosx.

(1)讨论〃x)的单调性.

⑵若入。使得/(X。)=g(%),求参数。的取值范围.

【答案】⑴当aWO时，〃”在(-明+8)上单调递减；当。>0时,/(尤)在(-8,-Ina)上单调递减,在

(-Ina,+oo)上单调递增.

⑵(-训

【分析】(1)对〃》)=敏一求导数，然后分类讨论即可；

(2)直接对a>1和aW1分类讨论，即可得到结果.

【详解】⑴由〃x)=ae=x,知/'(x)=ae「l.

当aWO时，<r(x)=aex-l<0-l=-l<0,所以/(x)在(一8,+。)上单调递减；

当a>0时，对x<-ln“有/''(x)=aer-1<ae-lnu-l=l-l=0,

对x>-lna有/'(x)=ae1-1>ae-lnu-l=l-l=0,

所以〃x)在(-应Tna)上单调递减，在(-Ina,+s)上单调递增.

综上，当“W0时，”X)在(-8,+8)上单调递减；

当a>0时，/(无)在(-叫-Ina)上单调递减，在(-Ina,+s)上单调递增.

(2)当“>1时，由(1)的结论，知/'(x)在(---In°)上单调递减，在(-Ina,+。)上单调递增,

所以对任意的x都有/(x)>/(-Ina)=ae-lna+lna=1+lna>1+lnl=1>cosx=g(x),

故/(x)>g(x)恒成立，这表明此时条件不满足；

当aVl时，设〃(x)=ae*-x-cosx,由于

〃(-同-1)=ae-同t+|a|+l-cos(-|a|-1)>ae^'+同>+|a|=同(1-丁"口)2国(l-e。)=0,

//(0)=cze°-0-cos0=cz-l<0,

故由零点存在定理，知一定存在x°e[-同使得力优)=0,

故/(xoAgGohae*。-毛-cosXo=〃(%0)=0,从而/伉)=g^),这表明此时条件满足.

综上，。的取值范围是

4.(2024•福建漳州•一模)已知函数/(x)=alnx-x+a,aeR且awO.

⑴证明：曲线了=/⑺在点(1,7(1))处的切线方程过坐标原点.

(2)讨论函数的单调性.

【答案】(1)证明见解析

(2)答案见解析

【分析】(1)先利用导数的几何意义求得/(X)在(1,7。))处的切线方程，从而得证;

(2)分类讨论a<0与a>0,利用导数与函数的单调性即可得解.

【详解】⑴因为/(x)=alnx-x+a(x>0),所以八》)，_1=纥

XX

贝|/(l)=qlnl_l+Q=Q_l,/'(I)=a-1,

所以〃X)在(1J⑴)处的切线方程为:了-("1)=(a-1)(X-1),

当x=0时，y-{a-\)={a-1)(0-1)=-(a-1),故y=0,

所以曲线>=〃x)在点(L/。))处切线的方程过坐标原点.

(2)由(1)得/(无)=3-1=匕，

XX

当〃<0时，a-x<Q,则/'(x)<0,故/(%)单调递减；

当〃>0时，令/'(')=0贝!Jx=Q,

当0<x<〃时，f\x)>0,/(%)单调递增；

当时，/'(%)<0,/(%)单调递减;

综上：当。<0时，/(X)在(0,+8)上单调递减；

当〃〉0时，/(X)在®〃)上单调递增，在3+8)上单调递减.

5.(2024•山东•二模)已知函数〃%)=。2氏"-1-血.

⑴当。=%时，求〃x)的单调区间；

⑵当。>0时，f(x)>2-a,求。的取值范围.

【答案】(l)f(x)的减区间为(0,1),增区间为(1,+8)

⑵a21

【分析】(1)当。=小时，/(x)=xei-x-lnx,x>0,求导得/'(x)=咛(疣--1),令g(x)=在工--1,

求g'(x)确定g3的单调性与取值,从而确定/'(x)的零点，得函数的单调区间;

(2)求/(x),确定函数的单调性，从而确定函数〃x)的最值，即可得。的取值范围.

【详解】(1)当时，/(x)=xe，T-x-lnx,x>0,

则/3=@+1)——14=咛(疣1-1)，

设g(x)=xei-l,则g'(x)=(x+l)e*-i>0恒成立,又g(l)=e。-1=0,

所以当xe(0,1)时，r(x)<0,/(x)单调递减，当xe(l,+⑹时，/«(x)>0,〃x)单调递增,

所以/(x)的减区间为(0,1),增区间为(1,+8);

(2)f\x)=a2(x+l)ex-1--=—(aW-1),

设/z(x)=/xe，-1,则/!(x)=/(x+l)e，>0,所以力(x)在(0,+动上单调递增，

又人(0)=-1<0,

2

所以存在使得〃伉)=0,GPaxoe^-l=O,

当xe(O,x°)时，r(x)<0,/(x)单调递减,

当xe(xo，+oo)时，/4x)>0,〃龙)单调递增，

当x=x(,时，/(X)取得极小值，也是最小值，

2xx

所以/(x)2/(X。)=ax0e°-x0-Inx0=1-In(xoe°)=1+2Ina,

所以l+21na22-〃，即。+2Ina-120,

设/⑷=a+21na-1,易知尸(a)单调递增,且/(1)=0,

所以网a"尸⑴,解得"1,

综上，a>l.

6.(2024•山东•一模)已知函数/'(x)=lnx+ga(x-l)2.

(1)当。=-g时，求函数/(x)的单调区间；

3

⑵若函数g(x)=/(x)-2x+l有两个极值点X”三，且g(xJ+g(x,)2T-丁，求a的取值范围.

2a

【答案】⑴增区间(0,2),减区间(2,+co)

⑵工+功

【分析】(1)将。=-；代入求导，然后确定单调性即可；

3

(2)求导，根据导函数有两个根写出韦达定理，代入g(xJ+g(X2)N-l-3,构造函数，求导，研究函数

性质进而求出a的取值范围.

11

【详解】(1)当。=—5时，f(^)=Inx——(x—1)9,x>0,

则/'(X)」一4(xT)=一(x—2)(x+l)

x22x

当尤£(0,2),/(x)>0,/(%)单调递增,当%£(2,+8),f\x)<0f/(%)单调递减,

所以/(%)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+8)；

1

⑵时)=小)口+1-5"-1)9-2x+l,

cix^—(a+2)x+1

所以g(x)=—1~“(%—1)—2=

xx

设°0)="2一伍+2)工+1,令°(x)=0,由于g(x)有两个极值点演,马，

△=(。+2)2-4"。2+4〉0

%+无，="三>0

所以，解得Q〉0.

a

xx=—>0

y2a

,Q+21

由西+工2=-----------XX=一

ax2a

1212

g(xj)+g(x2)=Inx1+—tz-1)-2xj+1+Inx2+—«(x2-1)-2x2+1

=In(/工2)+；Q[(/+々y_2芯12―2(X]+々)+21—2($+々)+2

2

。+22_a+2._a+2.

=1/+L——2-------+2-2-------+2

a2aaaa

a22a

即lnq一<<0,令机(q)=lna-；

11_("I)?

则m\a)=—<0,

a22a22a2

所以加(。)在(0,+s)上单调递减，且加(1)=0,

所以故〃的取值范围是工+8).

7.(2024・湖北•二模)求解下列问题,

(1)若Ax-lNlnx恒成立，求实数左的最小值;

⑵已知a,b为正实数，xe[0,l],求函数g(x)=«%+(l-x)b-a，•旷'的极值.

【答案】(1)1

(2)答案见解析

【分析】（I）求导，然后分发W0和左＞0讨论，确定单调性，进而得最值;

(2)先发现g(O)=g⑴=0,当a=6时，g(x)=0,当0cx<1,a16时，取f=L{x)=tx+\-x-tx,

b

求导，研究单调性，进而求出最值得答案.

【详解】⑴记〃x)=Ax-l-lnx(x>0),则需使/(x)NO恒成立,

f\x)=A--(x>0),

当晚40时,/'(尤)<0恒成立,则/⑴在(0,+功上单调递减，

且在x>l时，/(x)<0,不符合题意，舍去；

当后>0时.令/。)=0,解得x=；,

k

则〃X)在上单调递减，在上单调递增，

所以/(x)min=/[；]=Tn：=In左，

yA-yA-

要使b-l2In%恒成立,只要InkNO即可,

解得左之1,所以左的最小值为1；

xlx

(2)g(x)^ax+(1-x)b-a-b~,xG[0,1],a>09b>0,易知g(0)=g⑴=0,

当Q=6时，g(x)=ax+a-ax-a=0f此时函数无极值；

当0<%<l,a1b时，^(x)=ax+(1-x)b—b,(—)v—b—x+1—x—|—|,

bb\b)

取q=%,Z>0,取1,L(x\=tx+\-x-tx,t>0,取1,XG(0,1),

b

I/一1

则=当f>l时，由7/(x)N0得.J后,由(1)知f-lNlnf,

Int

/_i

当/>1时，—>1,

Inf

因为x—Inx,所以12In—,所以InxZl—,即x>0,当£>1时，ln^>1—,

xx%t

t-\t-\一]口"1

所以"—，则也/>1n—>。，所以InJ[,

In/In/1,<1

In/

mg

In—

InIIn/

即〃x)在0,上单调递增,在,1单调递减.

In/In/

77

(I、

In—

Inia

所以函数g(x)极大g/b,

InZ~b1

7

,t-1

n--------

当0<f<l时，同理有Infe(O,l),

In/、

I%—1In—

ln£In/

由£,(x)N0得xv—,即(x)在0,上单调递增，在,1上单调递减.

InZ

In,InZ

77

(I、

In—

In/_a

所以函数g(x)极大g/b,

In/~~b,

7

(/-n

In—

In/

综上可知，当4=6时,函数g(x)没有极值；当加6时，函数g(x)有唯一的极大值g,其中

In/

7

t=j没有极小值.

b

【点睛】关键点点睛：取£=人将两个参数的问题转化为一个参数的问题，进而求导解答问题.

b

8.(2024•湖北武汉•模拟预测)函数

971兀

/(x)=tanx+sinx--%,--<x<—,g(x)=sin〃x-x〃cosx,xw〃wN+.

(1)求函数/(%)的极值;

(2)若g(x)〉0恒成立，求〃的最大值.

=3(>/3-7i)3(兀-G)

【答案】⑴极小值为/(1),极大值为=

22

(2)3.

7E

【分析】(1)判断函数/(X)为奇函数，利用导数求出/(X)在区间(0,5)上的极值，利用奇偶性即可求得定义

域上的极值.

(2)利用导数证明当〃=1时，g(x)>0恒成立，当时，等价变形不等式并构造函数

sinx7i

b(x)=x—,0<x<->利用导数并按导数为负为正确定〃的取值范围，进而确定不等式恒成立与否得

cos〃X"

解.

9717c9

【详解】(1)函数=+f(-x)=tan(-x)+sin(-x)-—(-x)=-f(x),

即函数/(x)为奇函数，其图象关于原点对称,

当0<x<g时，/(x)=—+sinx--x,求导得：

2cosX2

,_19_2cos3x-9cos2x+2_(2cosx-l)(cosx-2-V6)(cosx-2+V6)

J(x)=------FCOSX--=----------2-------=-------------------2----------------

cosx22cosx2cosx

由于cos%w(0,1),由/'(x)>0,得0<cosx<；,解得5Vx<]，

由/'(x)<0,得:<cosx<l,解得0<x<g,即在(0,9上单调递减，在号与上单调递增,

因此函数/(X)在屹)上有极小值吗)=3*一无),

3(V3-7i)3(7i-V3)

从而/(X)在，极大值为/(-?=

22

(2)当〃=1时，g(x)〉0恒成立，即sinx-xcosx〉0恒成立，亦即tanx>x恒成立,

2

令〃(%)=tanx-e(0,g),求导得h\x)=-\——1=>**=tanx>0,

2cosxcosx

TT

则函数〃(X)在(0,5)上为增函数，有人(x)>〃(0)=0,因此tanx-x>0恒成立;

sinx

当m时'g(x)>°恒成立’即不等式诟『X恒成立,

sinx八兀

令尸㈤=0<x<一

2，求导得:

cos"x

1[1,1+n[1-n

-1—1.-----1.n--

cosx-coswx---cos〃x-(-sinx)-sinxcosnx+—•sinx-cosnx

"x)=1-------------旦~5----------------=1----------%----------

cos"Xcos"X

in+11n+111

21.?-----21/12、--1n~L2

COSx+—•sinXcosnx-cosX——(1-cosX)cos〃x--------COSX

n_n_________________nn

n+ln+1n+1

COS〃XCOSnXCOSnX

———1M_1M1_W_1

令G(x)=cosnx--------cos2x,求导得贝(1G\x)=----cos"x-(-sinx)------2cosx-(-sinx)

nnnn

sinx__、/2n-2./n+l-

=----[r(z2n-2)cosx-(w+1)cosnx\n=------sinx(cosx-------cosnx)x

nn2n—2

2n-2.1—n+l

------smx-cosnx(zcos〃x-------)A,

n2n—2

兀-?-

由〃>l,xe(0,—),得-----sinx-cosnx>0,

2n

-4-1jr

当;;一时，即〃(3时，G(x)<0,则函数G(x)在(0二)上单调递减，

2n-22

则有G(x)<G(0)=0,即/(x)<0,因此函数/(尤)在(0中冗上单调递减，有丑)<尸(0)=0,即g(x)>0,

当广g<l时，即">3时，存在一个x°e(0,g),使得cos-x0=上±L,

2〃-222n-2

且当xe(0,x0)时,G(x)>0,即G(x)在(0,%)上单调递增，且G(x)>G(0)=0,

sinx

则尸'(x)>0,于是尸(x)在(0,%)上单调递增，因此尸(x)>"0)=0,即^=<x,与g(x)>0矛盾,

y/COSX

所以”的最大值为3.

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的

新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩

法，注意恒成立与存在性问题的区别.

9.(2024•湖北•模拟预测)已知函数/(x)=o?_x+ln(x+l),aeR,

(1)若对定义域内任意非零实数3，4，均有,(再)，(/)>0,求°；

x{x2

(2)记=1+]+…+，，证明：?„-|-<111(«+1)<^.

2n6

【答案】(1)。=；

(2)证明见解析

【分析】(1)求导可得/'(0)=0,再分aWO与。>0两种情况分析原函数的单调性，当。>0时分析极值点

的正负与原函数的正负区间，从而确定。的值；

(2)由(1)问的结论可知，---^<lnfl+lL-,再累加结合放缩方法证明即可.

n2nvn)n

【详解】(1)f(x)的定义域为(T,+8),且f(o)=o；

(x)=2QX—1H-------=2ax--------=x12Q1

,因此此(0)=0；

X+1

i.aWO时，2a--^-<0,则此时令/,x)>0有xe(-1,0),令/'(x)<0有xe(0,+oo),

则〃无)在(TO)上单调递增，(0,+功上单调递减,又〃0)=0,

于是/(x)40,此时令再/<0,有“*)"")<0,不符合题意；

XxX2

ii.〃>0时，/'(%)有零点。和/=--1,

2a

若与<0,即此时令广(“<0有X£(/,0),“X)在(须。上单调递减，

又/(0)=0,则/(%)>0,令为>0,有〃?［伍)<0,不符合题意；

若为>0,即0<。<；,此时令/'(x)<0有xe(O,x。)，〃x)在(0,无。)上单调递减，

又/(o)=o,则〃/)<0,令一1<%<0户2=%,有"？*)<0,不符合题意；

12

若%=0,即。=5,此时r(x)=；］>0,/(X)在(-1,+⑹上单调递增，又/⑼=0,

贝!Jx>0时/(x)〉0,X<0时/(x)<0；贝iJxwO时,也即对再%2。0，>0,

X再马

综上，

(2)证：由(1)问的结论可知，a=0时，/(x)=-x+ln(x+l)<0；

a=5时％>0,/(x)=—%+］口(％+1)>0；

贝!］x>0时，x—x2<lnfx+l)<x,令x=—,有-----^-<ln|—F1|<一,

2nn2n\nJn

gp———<ln(H+l)-lnn<—,

n2nn

11।।1

干早-----------z-<mn-InH-1)<-------

J〜_12(1)2I)n-\

l--<ln2<l

2

将上述n个式子相加，/〃—；(l+*+…++；

欲证乙一'|<ln(〃+l)<4，只需证0_\<tn一;(l+：+…+』］，只需证1+4+••,+!<|■；

66212nJ2n3

因为-7----2-<---2----=2------------------,

n24141-12H+1J

印、「111J111111^525,曰、十

22n2(3557212w+lJ32n+13

于是得证5，<皿〃+1)</”.

【点睛】方法点睛：

(1)此题考导数与函数的综合应用，找到合适的分类标准，设极值点，并确定函数正负区间是解此题的关

键；

(2)对累加结构的不等式证明，一般需要应用前问的结论，取特定参数值，得出不等式累加证明，遇到不

能累加的数列结构，需要进行放缩证明.

10.(2024•湖南•一模)已知函数/(切=5山》一如40跖°€1<.

(1)当。=1时，求函数/(X)在x=］处的切线方程；

⑵时；

(i)若〃x)+sin2x>0,求。的取值范围；

(ii)证明：sin2x-tanx>x3■

【答案】⑴-2y+2"=0.

(2)

(i)a<3(ii)证明见解析

【分析】(1)令。=1时，利用导数的几何意义求出斜率，进行计算求出切线方程即可.

(2)(i)设g(x)=2sinx+tanx-ox,无e(0g)，由g'(x)>0得0V3,再证明此时满足g(x)>0.

(ii)根据⑴结论判断出尸(耳=5出2%如》-/在*)上单调递增，...尸3)>尸(0)=0,即

sin2xtanx>x3.

【详解】(1)当。=1时，/(x)=sinx-x-cosx,f\x)=cosx-(cosx-x-sinx)=x-sinx,==

所以切线方程为：歹-1=；(X-女,即⑪-2夕+2-5=。.

(2)(i)f(x)+sin2x=sinx--cosx+sin2x>0,

Tl

即tanx-Qx+2sinx>0,xG(0,—),

、兀

设g(x)=2sinx+tanx-ax,xG(0,—),

gr(x)=2cosx+-\----a=~\—(2cos3x-acos2x+1).

cosxcosx

又•・•g(0)=0,g'(0)=3-a,g'(0)=3-aN0是g(x)>0的一个必要条件,即aK3.

下证a«3时，满足g(x)=2sinx+tanx-ax>0,xe(0,-^-),

又g<x)>—\—(2cos3x-3cos2x+1),

cosx

设(0=2/L3—+1/£(0,1),h'(t)=6t2-6t=6(—1)<0,h⑴在(0,1)上单调递减,

所以〃⑺>〃(1)=0,

又X£(0,^),COSXG(0,1),gf(x)>0,即g(x)在(0《)单调递增.

.,.X£(o,|o时，g(x)>g(0)=0；

下面证明〃>3时不满足8(%)=25由工+1@11%一办〉0,工£(0,3),，

g'a)=2COSXH----------a，

cosX

令〃(x)=g<x)=2cosxH----\-----a,

COSX

Lt7,/、c.2sinx仁.「1八

贝IJ/(x)=-2sinxH-----7—=2sinx-----r----1,

cosx(cosX)

xG।0,—|,.\sinx>0,-\----1>0,

I27cos3x

•••h\x)>0,.-.h(x)=g\x)在(。高为增函数，

令不满足万),cosx0=,

贝1Jg'Go)=2cos/+——\------a=2COSX。+Q-Q>0,

、cosxQ

又月(0)=3-。<0,.•.切£(0,x0),使得g《J=0,

当X£(o,xj时,g'a)<g'(Xi)=0,

・・・此时g(x)在(0,再)为减