2024年中考数学复习：二次函数压轴题考点专项练习

二次函数压轴题考点专项练习

考点①存在问题

三角形全等三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、等边三角形、相似三角形

四边形平行四边形、菱形、矩形、正方形

面积三角形、四边形

【例题】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+c经过点P(4,-3),与y轴交于点A(0,l),直

线.y=kx(k中0)与抛物线交于B,C两点.

⑴求抛物线的函数表达式；

(2)若△A8P是以AB为腰的等腰三角形,求点B的坐标.

方法点析

中考变式练

1.如图，抛物线y=x2+bx+c经过点((-2,5)和点(2,-3),,与两坐标轴的交点分别为A,B,C,它的对称

轴为直线L

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)P是该抛物线上的点，过点P作1的垂线，垂足为D,E是1上的点，要使以P,D,E为顶点的三角形与

ABOC全等,求满足条件的点P,E的坐标.

2.如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=收+6%+4的图象与x轴交于点A(-2,0),B(4,0),与y轴

交于点C.

⑴求抛物线的函数表达式；

(2)已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴1上一点，以B,E,F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且.

乙BFE=90°,,求出点F的坐标.

3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=af++c与x轴交于B(4,0),C(-2-0)两点，与y轴交于点A

(0--2).

⑴求该抛物线的函数表达式

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△是以AB为一条直角边的直角三角形?若存在，请求出

点M的坐标；若不存在，请说明理由.

4.如图，已知二次函数图象的顶点在原点，且点(2,1)在二次函数的图象上，过点F(O,1)作x轴的平行线交

二次函数的图象于M,N两点.

(1)求二次函数的表达式；

(2)P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标.

5.如图，抛物线yax2+bx+3(a丰0)与x轴交于点A(l,0)和点8(-3,0),与y轴交于点C,连接BC,与抛

物线的对称轴交于点E,顶点为D,抛物线的对称轴交x轴于点N.

⑴求抛物线的函数表达式；

(2)P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以P,Q,E为顶点的三角形与△BOC相似,

请求出点P的坐标.

6如图，已知抛物线y=—/+〃+c与直线AB交于点.4(-3,0),8(1，4).

⑴求抛物线的函数表达式；

⑵M是x轴上方抛物线上一点，N是直线AB上一点，若以A,O,M,N为顶点的四边形是以OA为边的平

行四边形，求点M的坐标.

7.如图直线AB与坐标轴交于点A(4,0),B(0,-2),二次函数y=^x2+bx+c的图象过A,B两点

(1)求二次函数的表达式.

(2)点B关于抛物线对称轴的对称点为点C,N是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B,C,

N,Q为顶点的四边形为菱形?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

8.如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,O),B(O,3),C(3,O).

⑴求抛物线的函数表达式.

(2)已知M是抛物线对称轴上一点,在平面内是否存在点N,使得以B,C,M,N为顶点的四边形是矩形?若

9.如图，已知抛物线y=-必+2x+c与x轴交于A(3,0),B两点，与y轴交于点C.

⑴求c的值及该抛物线的对称轴.

⑵若点D在直线AC上,E是平面内一点，是否存在点E,使得以A,B,D,E为顶点的四边形为正方形?若

存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

考点②面积问题

【例题】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线.y=kx-3(k^0)与抛物线y=-好相交于A,B两点(点A在点

B的左侧),点B关于y轴的对称点为B'.

⑴当k=2时，求A,B两点的坐标；

(2)连接OAQB,.AB',BB'若△的面积与△0AB的面积相等，求k的值

方法点析)

中考变式练

1.如图，已知抛物线y=-2x+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C(0,3).

⑴求抛物线的函数表达式及A,B两点的坐标；

(2)P为抛物线上一点，且直线BP把四边形ABCP分成面积相等的两部分，求点P的坐标.

2如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点C(0,3),与x轴交于点.4(-1，0)和点B(点B在点A的右边)，且(OB=

OC.

(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标；

(2)P为抛物线上一点，连接CP,直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5的两部分，求点P的坐标.

3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-久2+bx-c的图象与x轴交于点A(-3,O),B(1,O),与y轴交于点

⑴求这个二次函数的表达式；

(2)如图，二次函数图象的对称轴与直线AC：y=%+3交于点D,若M是直线AC上方抛物线上的一个动

4.已知抛物线y=+.+c与x轴交于A(-1,O),B(3,O)两点

(1)求出抛物线的函数表达式；

(2)如图，N是第一象限内抛物线上一动点，连接NA分别交BC、y轴于D,E两点，若△NBD和△CDE的面

积分别为Si,S2,求S1-S2的最大值.

5.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx经过A(4,0),B(l,4)两点，P是抛物线上一点，且在直线

AB的上方.

⑴求抛物线的函数表达式.

⑵如图,0P交AB于点C„PD||B。交AB于点D.记△CDP,KCPB,△C8。的面积分别为SiSS判断?+令是

否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

6.如图，抛物线、=62+"+。与*轴交于点.4(—1，0),8(3,0),交丫轴于点(2(0,3).

⑴求抛物线的函数表达式；

(2)P是直线BC上方的抛物线上的一个动点，当四边形OBPC的面积S最大时，求出面积的最大值及点P的

坐标.

考点③最(定)值问题

【例题】如图,抛物线y=af+6%+3(a丰0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C.已知点A的坐标是(

(-1-0),,抛物线的对称轴是直线.x-1.

(1)直接写出点B的坐标.

(2)在对称轴上找一点P,使PA+PC的值最小，求出点P的坐标和PA+PC的最小值.

(3)第一象限内的抛物线上有一动点M,过点M作MN1x轴，垂足为N,连接BC交MN于点Q.依题意补全

图形，当MQ+夜CQ的值最大时，求点M的坐标.

方法点析

备用图

中考变式练

1.在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c(a#=0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴

交于点C.其中点4(-2遍，0),点C(0,-4b)，且抛物线的对称轴为直线x=遮，连接AC,BC.

⑴求抛物线的函数表达式；

⑵如图，在直线BC的下方抛物线上有一点P,过点P作.PH||y轴交BC于点H,求2PH-f的最大值以及

此时点P的坐标.

2.已知抛物线y=。产+版+c与x轴相交于4(—1，0),B(3,0)两点与y轴交于点C(0,3).

⑴求抛物线的函数表达式；

⑵如图，连接BC,M为BC上方抛物线上一动点，作MNIMC交BC于点N,求答MN+的最大值及点

M的坐标.

3.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ad+取+©与x轴交于2(-3,O),B(1,O)两点与y轴交于点C

(0,3),P是抛物线上的一个动点.

⑴求抛物线的函数表达式；

(2)当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D,当黑的值最大时，求点P的坐标及黑的最

UDUD

大值.

4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=~lx2+bx+c的图象与坐标轴分别交于A,B,C三点，其中

点A的坐标为((-4,0),点B的坐标为(8,0).

⑴求抛物线的函数表达式.

(2)点P(10--7)在抛物线上，Q为y轴上一个动点，则V5PQ+CQ是否存在最小值?若存在，求出这个最小

值；若不存在，请说明理由.

5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=+匕久+c交x轴于点A和点C(1,0),交y轴于点B(0,3),

抛物线的对称轴交x轴于点E,交抛物线于点F.

⑴求抛物线的函数表达式；

⑵将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段(OE,,,旋转角为a(0°<a<90。),连接AE',BE，,求BE'+|

的最小值.

6.如图,在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点A(-2,0),B(4,0),与y轴交于

点C.

⑴求抛物线的函数表达式.

(2)P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M,连接BP并延长交y轴于点N,在点P运动过程

中，0M+(ON是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

7如图,抛物线y=y2+.+。与x轴分别交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,若点A

(一1，0)且。。=3。4

⑴求该抛物线的函数表达式；

⑵点P(2,-3)在抛物线上，AP交y轴于点M,过点M的直线1与线段AB,AC分别交于点E,F,当直线1

绕点M旋转时,三+三为定值3,请求出m和n的值.

C

8.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx-6(a丰0)与x轴交于点A(-2,0),B(6,0),与y轴

交于点C,连接BC.

⑴求抛物线的函数表达式.

⑵若动直线1与抛物线交于M,N两点，连接CN,BM,直线CN与BM交于点P.当MN||8C(直线1与BC不重合)

9.已知抛物线G：y=久乂-1产+3,将抛物线(加向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物

线(C2.

(1)直接写出抛物线(C2的函数表达式.

⑵已知点F(0,2),过点F的任意直线与抛物线(C2交于A,B两点，求*+。勺值.

AFBF

(3)P是直线.y=-2上一动点，过点P作抛物线(C2的两条切线，切点分别为M,N,问：直线MN是否恒过

某一定点?若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由.

考点④角度问题

【例题】如图，二次函数的图象与X轴交于A(-1,O),B(5,O)两点，与y轴交于点C,顶点为D.0为坐标原点，

tanZ/lCO=|.

(1)求二次函数的表达式；

(2)P是抛物线上一点，且在第一象限内，若乙4C。=NPBC,求点P的坐标.

方法点析

中考变式练

1.如图，抛物线y=收+版+3与x轴相交于A,B两点，与y轴相交于点C,已知点B的坐标为(6,0),

抛物线的对称轴为直线.x=2,D是BC上方抛物线上的一个动点.

⑴求这个抛物线的函数表达式.

⑵是否存在点D，使得Z.DCB=2N2BC?若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

2.如图，已知抛物线y=|/+6x+c经过点2(-6,0),8(2,0),,与y轴交于点C.

⑴求抛物线的函数表达式；

⑵若P为该抛物线上一动点，且Z-PCB=3Z0CB,,求点P的横坐标.

3.如图，二次函数y=-x2+bx+c的图象交x轴于点.4(一3,0)和点B,交y轴于点C(O,3).

⑴求抛物线的函数表达式；

⑵点P在抛物线上，当KCBP=45。时，求点P的坐标.

考点⑤新定义

【例题】定义：对于给定函数y=ax2+bx+c(其中a,b,c为常数目a7。)，则称函数y=

严:+?+'为函数y=ax2+bx+c(其中a,b,c为常数，且a知)的“相依函数”，止匕“相依函数”的图象记为

(,axz—bx-c(x<0)

G.

⑴已知函数y=—/+2x-1.

①这个函数的“相依函数”是_____；

②当一1WxW11时，此“相依函数的最大值为一.

(2)若直线y=机与函数y=-x2+2x-1的“相依函数”的图象G恰好有两个公共点，求出m的取值范围.

方法点析

考点⑥几何变换

【例题】如图，顶点M在y轴负半轴上的抛物线与直线.y=x+2相交于点A(-2.0),B(4,6),连接AM,BM.

⑴求该抛物线的函数表达式.

⑵若将抛物线向下平移3个单位长度，则在平移后的抛物线上，且在直线AB的下方，是否存在点P,使得

S=4sMM?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

ABPO

方法点析

中考变式练

1.如图，已知抛物线Ly=%2+6%+c过点4(—1，0)和点C(0,5).

(1)求抛物线L的函数表达式.

⑵将抛物线L沿y轴翻折得到抛物线.L',匚与x轴交于点B和点D(点B在点D的右侧)，抛物线U上是否存在

点Q，使得15SBDQ=4SABC?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

2.如图，已知抛物线y=-\x2+bx+c经过点A(0,2),C(4,0),且交x轴于另一点B.

4

⑴求抛物线的函数表达式；

(2)将线段OA绕x轴上的动点P(m,0)顺时针旋转90。得到线段(04,若线段04与抛物线只有一个公共点，

请结合函数图象，求m的取值范围.

考点⑦综合

【例题】如图，已知抛物线y=收+法+c交x轴于A(-1,O),B(3,O)两点，交y轴于点C,(OB=OC.

⑴求抛物线的函数表达式；

⑵若D为抛物线对称轴右侧一点用DAB=乙4C。,，求点D的坐标；

(3)若G为y轴上一动点，作直线GA,GB,分别交抛物线于点M,N,设M,N两点的横坐标分别为m,

n,试探究m,n之间的数量关系.

方法点析

中考冲刺练

1.如图1,已知一次函数.y=-x+3的图象与y轴、x轴分别相交于A,B两点，抛物线y=-x2+以+c与

y轴交于点C，顶点M在直线AB上，设点M的横坐标为m.

⑴如图2,当m=3时，求此时抛物线的函数表达式.

(2)求当m为何值时，点C的纵坐标最大.

(3)如图3,当爪=0时，此时的抛物线与直线.y=kx+2相交于D,E两点，连接AD,AE并延长，分别与x轴交于

P,Q两点.试探究O