《工程力学》课件-第五章

第五章第一节梁的内力计算1、弯曲内力一、弯曲内力梁会因为承受荷载而发生弯曲竖直向下的荷载下凹向下弯曲一、弯曲内力在梁体发生弯曲时，平行于纵向对称面的每一个面的变形都是等效的。上部为压区，下部为拉区，而轴线既不受拉，也不受压。简化的原则在不影响梁体的受力效应和变形规律的同时尽可能简化研究对象的结构形式，以便计算和分析。一、弯曲内力a点发生了纵向位移a点所在横截面和左端截面发生了相对错动梁体内部存在剪力a点移动到了a’的位置a点的法线与a’的法线存在夹角a点在弯曲时发生了转动梁体内部存在弯矩一、弯曲内力平面弯曲的主要内力

剪力（Q）和弯矩（M）内力的正负号规定当截面上的剪力Q绕研究对象顺时针方向转动时为正，反之为负。剪力弯矩当截面上的弯矩M使研究对象产生向下凹的变形为正，反之为负。2、剪力和弯矩的计算二、剪力和弯矩的计算例：如图外伸梁，试求指定截面n-n处的内力。解：在n-n截面切开，取切面左边为对象，画受力图，列平衡方程：因此，指定截面的剪力为-2.5kN，弯矩为0.5kN/m。（1）计算支座反力（2）计算n-n截面内力（截面法）注剪力绕对象顺时针转动，弯曲趋势对象产生下凹的变形。回顾1弯曲梁体的简化过程2弯曲内力的由来3弯曲内力的计算工程力学第二节1.用方程法作梁的内力图目录1剪力方程和弯矩方程的表达2剪力图和弯矩的绘制的要求3用方程法做梁的内力图1、剪力方程和弯矩方程的表达一、剪力方程和弯矩方程的表达对于平置的梁：XY梁的横截面位置截面上的内力大小则各个截面上的剪力和弯矩可表示为关于坐标x的函数。

通常以左端点为原点二、剪力图和弯矩图的绘制要求剪力图：正剪力画在x轴的上方，XY正剪力负剪力描绘阴影线，标注正负号负剪力画在下方。二、剪力图和弯矩图的绘制要求弯矩图：正弯矩画在x轴的下方，XY正弯矩负弯矩画阴影线，无需标正负号负弯矩画在x轴的上方。下凹时下侧受拉，弯矩下凹为正。所以正弯矩画在受拉侧。同样，上凸时上侧受拉，正弯矩画在上侧。弯矩一定要画在受拉侧

哪侧有弯矩就说明那侧受拉2、用方程法做梁的内力图三、用方程法做梁的内力图例题：在右端集中力作用下绘制悬臂梁的内力图。解：由题意可知（1）建立内力方程

以A点为原点，水平向左为x轴代表截面位置，竖直向上为y轴代表截面内力大小。ΣY=0，Q-F=0，得剪力方程：Q=F（0＜x＜L）ΣMx=0，-M-Fx=0，得弯矩方程：M=-Fx（0≤x≤L）（2）绘制梁的内力图

根据方程和原坐标系绘制剪力和弯矩图。

剪力图：无论x等于什么，剪力恒等于F。

弯矩图：当x=0时，M=0；当x=L时，M=-FL。内力图的内力分部特征：在无荷载作用梁段，剪力图为水平线，弯矩图为斜直线。三、用方程法做梁的内力图例题：在满跨均布荷载作用下绘制简支梁的内力图。（1）计算支座反力：RYA=RYB=qL/2（2）建立内力方程

以A点为原点，水平向左为x轴代表截面位置，竖直向上为y轴代表截面内力大小。ΣY=0，-Q-qx+RYA=0，

ΣMx=0，M-RYAx+qLx2/2=0，得剪力方程：Q=qL/2-qx（0＜x＜L）得弯矩方程：M=qLx/2-qx2/2（0≤x≤L）内力图分部特征：在均布荷载作用梁段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。剪力为零的截面，弯矩有极值。解：由题意可知三、用方程法做梁的内力图例题：在单一集中荷载作用下绘制简支梁的内力图。解：由题意可知（1）计算支座反力：RYA=Fb/L，RYB=Fa/L（2）建立内力方程

以A点为原点，水平向右为x轴代表截面位置，竖直向上为y轴代表截面内力大小分段建立内力方程。AC段

Q1=Fb/L（0＜x1＜a）M1=x1Fb/L（0≤x1≤a）CB段Q2=-Fa/L（a＜x2＜L）M2=Fa/L（L-x2）（0≤x2≤L）内力图分部特征：在集中荷载作用截面，剪力图有突变，突变值等于此处集中力，弯矩图有尖角，尖角的指向与集中力相同。三、用方程法做梁的内力图例题：在单一力偶作用下绘制简支梁的内力图。解：由题意可知（1）计算支座反力：RYA=m/L，RYB=m/L（2）建立内力方程

以A点为原点，水平向右为x轴代表截面位置，竖直向上为y轴代表截面内力大小。分段建立内力方程。AC段

Q1=m/L（0＜x1＜a）M1=x1m/L（0≤x1≤a）CB段Q2=m/L（a＜x2＜L）M2=x2m/L-m（0≤x2≤L）（3）绘制梁的内力图

内力图分部特征：在单一力偶作用截面，剪力图没有影响，弯矩图有突变，突变值等于此处力偶矩。工程力学2.用微分法作梁的内力图目录1微分关系2内力图特征3示例1、微分关系简支梁微段：一、微分关系

剪力方程对x的一阶导数等于该截面处的荷载集度，弯矩方程对x的一阶导数等于该截面处的剪力，弯矩方程对x的二阶导数等于该截面处的荷载集度。

2、内力图特征二、内力图特征在简单荷载作用下梁段的内力图特征：二、解析法计算平面汇交力系内力图特征口诀：剪力图

没有荷载水平线，均布荷载斜直线；力偶荷载无影响，集中荷载有突变。弯矩图没有荷载斜直线，均布荷载抛物线；集中荷载有尖点，力偶荷载有突变。3、示例三、示例例1如图简支梁，试作梁的内力图。解：由题意可知1.计算支座反力

特征面通常取集中力作用点两边、集中力偶作用点两边、均布荷载始末点等。

RXA=0,RYA=3kN,RYB=3kN2.计算特征面内力

只需计算特征面的内力值和我们掌握的内力图特征即可绘制梁体全段内力图。三、示例例1如图简支梁，试作梁的内力图。（1）A右切面内力值：

Σm指的是所有的力对切面求矩和为零。A右=3kN，MA右=0列平衡方程：在A右方无限靠近A点之处切开，取切面左侧梁段为对象，画受力图。

由于切面与A点距离约等于零，所以不用考虑均布荷载的大小和RYA对切面的矩。三、示例例1如图简支梁，试作梁的内力图。（2）C左切面内力值：QC左=-1kN，MC左=2kN·m列平衡方程：在C左方无限靠近C点之处切开，取切面左侧梁段为对象，画受力图。（3）C右切面内力值：QC右=-1kN，MC右=-1kN·m列平衡方程：在C右方无限靠近C点之处切开，取切面左侧梁段为对象，画受力图。三、示例例1如图简支梁，试作梁的内力图。（4）B左切面内力值：QB左=-1kN，MB左=-2kN·m列平衡方程：在B左方无限靠近B点之处切开，取切面左侧梁段为对象，画受力图。（5）B右切面内力值：QB右=2kN，MB右=-2kN·m列平衡方程：在B右方无限靠近B点之处切开，取切面左侧梁段为对象，画受力图。三、示例例1如图简支梁，试作梁的内力图。（6）D左切面内力值：QD左=2kN，MD左=0kN·m列平衡方程：在D左方无限靠近D点之处切开，取切面左侧梁段为对象，画受力图。三、示例例1如图简支梁，试作梁的内力图。3.绘制内力图

AC梁段是均布荷载，弯矩图应该是二次抛物线，而我们只计算了A右和C左的弯矩，还不足以画出抛物线，这时候需要找出第三个点来补充弯矩图。

第三点还不能任意寻找，只能确定剪力为零的截面对应的弯矩极值作为第三点。三、示例例1如图简支梁，试作梁的内力图。4.补充弯矩图(1)首先，在AB梁段，剪力为零处，对应的弯矩有极值。利用相似三角形原理找出剪力为零处的位置。

(2)然后，画出距A点1.5m长梁段的受力图，列平衡方程计算M极的大小。

(3)最后，将M补充到弯矩图。

因此，在距A点1.5m处有最大弯矩，其值为2.25kNm，在A点有最大剪力，其值为3kN。工程力学3.用叠加法作梁的内力图目录1叠加原理2叠加法3用叠加法作梁的内力图1、叠加原理1、概念：一、叠加原理梁在多个荷载共同作用下产生的某一截面处的内力，等于各个荷载单独作用该截面上产生内力的代数和。2、叠加法1、叠加法的概念：二、叠加法首先绘制各个荷载单独作用下引起的剪力图和弯矩图，然后将其相应截面位置的纵坐标叠加，即得到梁在所有荷载共同作用下的剪力图和弯矩图。2、叠加法使用范围：二、叠加法弯矩图3、叠加法类型：全段叠加法简单的剪力图区段叠加法例：如图简支梁，试作梁的内力图。

解：（1）绘制各个荷载单独作用时的剪力图和弯矩图。三、用叠加法作梁的内力图（2）利用叠加原理将各个对应位置的剪力值和弯矩值叠加。剪力叠加：QA=QAq+QAF=qL+FQB=QBq+QBF=F

弯矩叠加：MA=MAq+MAF=qL²/2+FLMB=MBq+MBF=0三、用叠加法作梁的内力图3、总结1、叠加原理2、叠加法的应用

三、总结3、用叠加法作梁的内力图工程力学第三节梁的应力计算主讲人：武鹢目录1几何法求解平面汇交力系2解析法计算平面汇交力系3例题讲解1、弯曲梁横截面上的正应力一、弯曲梁横截面上的正应力梁的弯曲形式：CD段只有弯矩没有剪力，说明CD段是梁的纯弯曲梁段AC段和DB段既有弯矩又有剪力，则说明AC段和DB段是梁的横力弯曲梁段。一种是纯弯曲，是指变形时梁段内只有弯曲没有剪力。一种是横力弯曲，是指变形时梁段内既有弯矩又有剪力。一、弯曲梁横截面上的正应力为了使正应力的研究不受剪应力的影响，我们取纯弯曲梁作为研究对象。假设平面梁是由相互平行等距的横向线和纵向线组合而成。一、弯曲梁横截面上的正应力①横向线仍为直线，但存在小角度偏转。②纵向线变为曲线，但仍与横向线保持垂直。③位于拉区的纵向线伸长，位于压区的纵向线缩短。④横截面上部（压区）变宽，横截面下部（拉区）变窄。纯弯曲梁的变形特点：一、弯曲梁横截面上的正应力梁的正应力计算公式：首先，应力应变关系式：然后，梁体纵向线的线应变：因此，正应力表达式：然而，梁的曲率：所以，梁的正应力计算公式：一、弯曲梁横截面上的正应力正应力计算公式的适用条件：第一，适用于纯弯曲梁，而且梁的最大正应力不超过材料的比例。第二，适用于跨度与横截面高度之比大于5的横力弯曲梁。第三，适用于横截面对称的梁，比如说圆形梁、矩形梁、工字梁、T形梁。一、弯曲梁横截面上的正应力梁的正应力计算：例：如图简支梁，试求a、b两点的正应力。解：（1）计算n-n截面弯矩（2）计算矩形截面惯性矩（3）计算两点正应力2、弯曲梁横截面上的剪应力二、弯曲梁横截面上的剪应力1.矩形截面梁的剪应力：2.工字截面梁的剪应力这里的面积矩为中性轴以上或以下部分截面对自身中性轴z轴的面积矩，惯性矩为工字形截面对自身中性轴z轴的惯性矩。注：矩形截面梁横截面上的最大剪应力为截面平均剪应力的1.5倍。工程力学第五节用叠加法作梁的内力图主讲人：程小龙目录1叠加原理2叠加法3用叠加法作梁的内力图1、叠加原理1、概念：一、叠加原理梁在多个荷载共同作用下产生的某一截面处的内力，等于各个荷载单独作用该截面上产生内力的代数和。2、叠加法1、叠加法的概念：二、叠加法首先绘制各个荷载单独作用下引起的剪力图和弯矩图，然后将其相应截面位置的纵坐标叠加，即得到梁在所有荷载共同作用下的剪力图和弯矩图。2、叠加法使用范围：二、叠加法弯矩图3、叠加法类型：全段叠加法简单的剪力图区段叠加法例：如图简支梁，试作梁的内力图。

解：（1）绘制各个荷载单独作用时的剪力图和弯矩图。三、用叠加法作梁的内力图（2）利用叠加原理将各个对应位置的剪力值和弯矩值叠加。剪力叠加：QA=QAq+QAF=qL+FQB=QBq+QBF=F

弯矩叠加：MA=MAq+MAF=qL²/2+FLMB=MBq+MBF=0三、用叠加法作梁的内力图3、总结1、叠加原理2、叠加法的应用

三、总结3、用叠加法作梁的内力图1、当梁上只有单一荷载作用时，直接建立梁的挠曲线方程和转角方程进行计算。二、梁的变形计算工程力学第四节梁的强度计算目录1几何法求解平面汇交力系2解析法计算平面汇交力系3例题讲解1、几何法计算平面汇交力系对于承受满跨均布荷载的简支梁来说跨中弯矩最大，该跨中截面为最危险截面；一、正应力表达式最危险截面上距中性轴最远的边缘点处的正应力最大，该最远点为最危险点。一、正应力表达式因此，最危险点的正应力表达式为：由于，抗弯截面系数：所以，最危险点的正应力另一种表达式为：二、强度条件为了能够保证构件能够安全可靠地正常工作，要求梁的最危险截面上的最危险点的工作应力σmax不超过材料的许用应力[σ]。对于平面弯曲梁，因为在变形时存在拉区和压区，强度条件分为两种情况：1.当材料的抗拉和抗压性能相同时，强度条件为：二、强度条件2.当材料的抗拉和抗压性能不相同时，强度条件为：式中：——最大拉应力，——最大拉应力；——许用拉应力，——许用拉应力；其中：式中：——受拉区边缘道中性轴距离；

——受压区边缘道中性轴距离；为了能够保证构件能够安全可靠地正常工作，要求梁的最危险截面上的最危险点的工作应力σmax不超过材料的许用应力[σ]。对于平面弯曲梁，因为在变形时存在拉区和压区，强度条件分为两种情况：1.强度校核三、强度问题2.截面设计3.确定许用荷载四、强度计算例：梁采用的是20a的工字形钢，许用正应力为[σ]=170MPa，试校核梁的正应力强度。1.强度校核（1）计算梁的最大弯矩值（2）查找型钢表，确定工字形钢的抗弯截面系数（3）校核正应力强度因此，梁的强度满足要求。四、强度计算2.截面设计例：如图简支梁，已知采用工字形钢，许用正应力为[σ]=170MPa，试选择梁的型号。

（1）计算支座反力（2）计算梁的最大弯矩值（3）计算抗弯截面系数的界限（4）确定梁的型号查找型钢表得，选28b号工字形钢，其抗弯截面系数Wz=534.4cm3，略大于界限值，满足设计要求。四、强度计算3.确定许用荷载例：如图简支梁，已知采用矩形截面梁，许用正应力为[σ]=170MPa，试确定许用荷载。

（1）计算抗弯截面系数（2）计算梁的最大弯矩值（3）计算许用荷载因此，简支梁最大能够承受3.9kN/m的满跨均布荷载。1.减小最大弯矩五、提高梁弯曲强度的措施（1）合理安排支座（2）合理布置荷载2.选择合理截面五、提高梁弯曲强度的措施在截面面积相等的情况下，抗弯能力越大，截面就越合理。比如：（1）直径为h的圆形截面：（2）高为h、宽为b的矩形截面：（3）高为h的T形、工字形、槽形截面：五、提高梁弯曲强度的措施3.采用变截面梁从A点到B点由零到达最大弯矩值采用变截面形式，由A到B逐渐增大截面尺寸来有效抵抗梁内的弯矩变化1.梁的强度条件：强度校核、截面设计和确定许用荷载。3.提高梁弯曲强度的措施：

总结2.强度条件的应用。（1）减小最大弯矩：合理安排支座、合理布置荷载。（2