人教版初中数学同步讲义八年级下册第10讲 专题5 正方形中的三大模型（解析版）

第10讲专题5正方形中的三大模型类型一：正方形中的十字架模型类型二：正方形中的半角（45°）模型类型三：正方形中手拉手模型类型一：正方形中的十字架模型1．如图，在正方形ABCD中，点E是DC边的中点，AE的垂直平分线分别交AD，BC边于点F，G，垂足为点H．若AB＝4，则GH的长为．【解答】解：过点B作BN∥GF交AD于点N，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，∴AD∥BC，AD＝AB＝CD＝4，∠BAN＝∠D＝90°，∴四边形BGFN是平行四边形，∴BN＝GF，∵AE⊥FG，BN∥GF，∴BN⊥AE，∴∠BNA+∠EAD＝90°，∵∠AED+∠EAD＝90°，∴∠BNA＝∠AED，在△AED和△BNA中，，∴△AED≌△BNA（AAS），∴AE＝BN＝FG，∵点E是DC边的中点，∴DE＝CD＝2，∴AE＝＝＝2，∴FG＝2，∵H是AE的中点，∴AH＝AE＝，∵∠AHF＝∠D＝90°，∠FAH＝∠EAD，∴△AFH∽△AED，∴＝，即＝，∴FH＝，∴GH＝FG﹣FH＝2﹣＝，故答案为：．2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，AB上，满足DE＝AF，连接CE，DF，点P，Q分别是DF，CE的中点，连接PQ．若∠ADF＝α．则∠PQE可以用α表示为（）A．α B．45°﹣α C． D．3α﹣45°【解答】解：连接DQ，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠CDE＝90°，∵AF＝DE，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴DF＝CE，∠ADF＝∠DCE＝α，∵点P，Q分别是DF，CE的中点，∴PD＝DF＝DQ＝CE，∴∠DPQ＝∠DQP，∠CDQ＝α，∴∠PDQ＝90°﹣2α，∠DQE＝2α，∴∠PQD＝＝45°+α，∴∠PQE＝45°+α﹣2α＝45°﹣α，故选：B．3．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE交DF于点G，连接AG．下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠EAG＝30°；④∠AGE＝∠CDF．其中正确的是（）A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，∵E，F分别是AB，BC的中点，∴BE＝AB，CF＝BC，∴BE＝CF，在△CBE与△DCF中，，∴△CBE≌△DCF（SAS），∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；∵∠BCE+∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠CDF＝90°，∴∠CGD＝90°，∴CE⊥DF，故②正确；∵CF＝BC＝CD，∴∠CDF≠30°，∴∠ADG≠60°，∵AD＝AG，∴△ADG不是等边三角形，∴∠EAG≠30°，故③错误；∵CE⊥DF，∴∠EGD＝90°，延长CE交DA的延长线于H，如图，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，∴△AEH≌△BEC（AAS），∴BC＝AH＝AD，∵AG是斜边的中线，∴AG＝DH＝AD，∴∠ADG＝∠AGD，∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，∴∠AGE＝∠CDF．故④正确；故选：C．4．如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，CD上的动点，且AE＝DF，连接BE、AF，交于点G．（1）连接DG，则线段DG的最小值是；（2）取CG的中点H，连接DH，则线段DH的最小值是．【解答】解：（1）如图，取AB的中点K，连接GK，DK，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AD＝AB＝1，∵点K是AB的中点，∴AK＝AB＝，在△BEA和△AFD中，，∴△BEA≌△AFD（SAS），∴∠EBA＝∠FAD，∵∠EBA+∠AEB＝90°，∴∠FAD+∠AEB＝90°，∴∠AGB＝90°，∵点K是AB的中点，∴GK＝AB＝，在Rt△ADK中，DK＝＝＝，∵DG≥DK﹣GK，∴DG的最小值＝﹣＝，故答案为：；（2）如图，取AB的中点K，过点K作KN⊥CD于N，延长CD至M，使DM＝CD，连接GK，MG，MK，则四边形ADNK是矩形，∴KN＝AD＝1，DN＝AK＝，∴MN＝DN+DM＝+1＝，在Rt△MKN中，MK＝＝＝，∵MG≥MK﹣GK，∴MG的最小值＝﹣＝，∵D、H分别是CM、CG的中点，∴DH＝MG＝×＝，即线段DH的最小值是，故答案为：．5．如图，P为正方形ABCD内一点，过P作直线PD交BC于点E，过P作直线GH交AB、DC于G、H，且GH＝DE．若∠APD＝∠DEC，∠EDC＝15°．以下结论：①△ABP为等边三角形；②PG＝PD③S△PBE＝PD2④BP＝PE+PG其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝AD，AD∥BC，∠BAD＝∠ADC＝∠DCE＝90°，∴∠ADE＝∠DEC，∵∠APD＝∠DEC，∴∠ADE＝∠APD，∴AP＝AD，∴AP＝AB∵∠EDC＝15°，∴∠ADP＝90°﹣15°＝75°＝∠APD，∴∠DAP＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∴∠BAP＝90°﹣30°＝60°，∴△ABP是等边三角形；故①正确．②如图，过点G作GK∥AD交CD于K，连接DG，则∠GKH＝∠ADC＝90°＝∠DKG，∴∠GKH＝∠DCE，∵∠BAD＝∠ADC＝∠DKG＝90°，∴四边形ADKG是矩形，∴GK＝AD＝CD，∵GH＝DE，∴Rt△GHK≌Rt△DEC（HL），∴∠GHK＝∠DEC，∵∠DEC+∠EDC＝90°，∴∠GHK+∠EDC＝90°，∴∠DPH＝90°，∴∠DPG＝180°﹣∠DPH＝90°，∵∠DPG+∠BAD＝180°，∴四边形ADPG是圆内接四边形，∴∠DGP＝∠DAP＝30°，∴DG＝2PD，在Rt△DGP中，PG＝＝＝PD，故②正确；③如图，过点P作PL⊥AD于L，交BC于J，过点E作EM⊥BP于M，则四边形BALJ是矩形，∴AL＝BJ，∠BJP＝∠ALP＝90°，∵AP＝BP，∴Rt△APL≌Rt△BPJ（HL），∴PL＝PJ，在△PEJ和△PDL中，，∴△PEJ≌△PDL（ASA），∴PJ＝PD，∵EM⊥BP，∴∠BME＝∠PME＝90°，∵LJ∥AB∥CD，∴∠BPJ＝∠ABP＝60°，∠EPJ＝∠EDC＝15°，∴∠EPM＝∠BPJ﹣∠EPJ＝45°，∴△PEM是等腰直角三角形，∴PM＝EM＝PE＝PD，∵∠ABP＝60°，∴∠EBM＝30°，∴BE＝2ME＝PD，∴BM＝＝＝PD，∴BP＝BM+PM＝PD+PD＝PD，∴S△PBE＝BP•EM＝×PD•PD＝PD2，故③错误；④过点B作BN⊥BP，交PG的延长线于N，连接DG，∵∠GBN+∠GBP＝90°，∠GBP+∠EBP＝90°，∴∠GBN＝∠EBP，∵∠EBG+∠BGP+∠EPG+∠BEP＝360°，∴∠BGP+∠BEP＝360°﹣（∠EBG+∠EPG）＝180°，∵∠BGP+∠BGN＝180°，∴∠BGN＝∠BEP，由②知，∠DGP＝30°，∴∠GDP＝60°，∴∠ADG＝90°﹣60°﹣15°＝15°＝∠EDC，∴△DGA≌△DEC（ASA），∴AG＝CE，∴BG＝BE，∴△BGN≌△BEP（ASA），∴BN＝BP，GN＝PE，∴△BPN是等腰直角三角形，∴PN＝BP，∵PN＝PG+GN＝PE+PG，∴BP＝PE+PG，故④正确；故选：C．6．如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是AD，CD上两点，BE交AF于点G，且DE＝CF．（1）写出BE与AF之间的关系，并证明你的结论；（2）如图2，若AB＝2，点E为AD的中点，连接GD，试证明GD是∠EGF的角平分线，并求出GD的长．【解答】解：（1）BE＝AF，BE⊥AF，理由：四边形ABCD是正方形，∴BA＝AD＝CD，∠BAE＝∠D＝90°，∵DE＝CF，∴AE＝DF，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠DAF+∠AEB＝90°，∴∠BGA＝90°，∴BE⊥AF；（2）如图2，过点D作DN⊥AF于N，DM⊥BE交BE的延长线于M，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，AF＝，∵S△ADF＝AD×FD＝AF×DN，∴DN＝，∵△BAE≌△ADF，∴S△BAE＝S△ADF，∵BE＝AF，∴AG＝DN，易证，△AEG≌△DEM（AAS），∴AG＝DM，∴DN＝DM，∵DM⊥BE，DN⊥AF，∴GD平分∠MGN，∴∠DGN＝∠MGN＝45°，∴△DGN是等腰直角三角形，∴GD＝DN＝．类型二：正方形中的半角（45°）模型7．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，已知AD＝6（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），DF＝2，则S△AEF＝（）A．6 B．12 C．15 D．30【解答】解：如图，过点A作AH⊥AE，交CD的延长线于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD＝BC＝6，∠BAD＝∠ADC＝90°，∵AH⊥AE，∴∠HAE＝∠BAD＝90°，∴∠HAD＝∠BAE，在△ADH和△ABE中，，∴△ADH≌△ABE（ASA），∴BE＝HD，AH＝AE，∵∠EAF＝45°，∴∠HAF＝∠EAF＝45°，在△AFH和△AFE中，，∴△AFH≌△AFE（SAS），∴EF＝HF，∵DF＝2，∴CF＝4，∵EF2＝CE2+CF2，∴（2+BE）2＝16+（6﹣BE）2，∴BE＝3，∴HF＝HD+DF＝5，∵△AFH≌△AFE，∴S△AEF＝S△AFH＝×HF×AD＝×5×6＝15，故选：C．8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于（）A．2α B．90°﹣2α C．45°﹣α D．90°﹣α【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，如图所示：则AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠GAE＝∠FAE＝45°，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴∠AEF＝∠AEG，∵∠BAE＝α，∴∠AEB＝90°﹣α，∴∠AEF＝∠AEB＝90°﹣α，∴∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AEB＝180°﹣2×（90°﹣α）＝2α，故选：A．9．如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF．若DF＝3，则BE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解；如图，把△ADF绕A顺时针旋转90°得到△ABG，∴△ADF≌△ABG，∴∠ADF＝∠ABG＝∠ABE＝90°，∴∠ABG+∠ABE＝180°，∴G、B、E三点共线，∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠EAB＝45°，∴∠BAG+∠EAB＝45°，∴∠EAF＝∠EAG，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝FE，设BE＝x，∵CD＝6，DF＝3，∴CF＝3，则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，∴EF＝3+x，∵∠C＝90°，∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，解得，x＝2，∴BE的长为2．故选：A．10．已知正方形ABCD边长为5，点M、N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，AN，若∠MAN＝45°，BM＝2，则线段NC的长为（）A．2 B．3 C． D．【解答】解：如图，延长CB，使BE＝DN，∵四边形ABCD是边长为5的正方形，∴∠B＝∠C＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝5，∴∠ABE＝90°，在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴EB＝DN，MN＝EM，设CN＝x，则DN＝5﹣x，∴EB+BM＝MN＝7﹣x，在Rt△CMN中，MN2＝CM2+CN2，∴（7﹣x）2＝32+x2，解得x＝，∴CN＝，故选：D．11．在正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，若△ABE、△AEF、△ADF、△EFC的面积分别记为：S1、S2、S3、S4，则等式一定成立的是（）A．S1＝S3 B．S1+S3＝S2 C．S1+S3+S4＝S2 D．S3＝S4【解答】解：过A作AG⊥AF交CB延长线于G，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°＝∠GAF，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠GAB＝∠FAD，∴△GAB≌△FAD（ASA），∴AG＝AF，S△GAB＝S3，∵∠EAF＝45°，∠GAF＝90°，∴∠EAF＝∠GAE＝45°，∵AE＝AE，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴S1+S△GAB＝S2，∴S1+S3＝S2，故选：B．12．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，且∠EAF＝45°．则以下结论：①AF平分∠EFD；②BE+DF＝EF；③△ECF的周长为4；④△AEF的面积等于正方形ABCD的面积的一半．其中正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得△ABM，∴AM＝AF，BM＝DF，∠MAB＝∠DAF，∠AMB＝∠AFD，∵∠EAF＝45°，∴∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠MAE＝∠EAF，在△MAE和△FAE中，，∴△MAE≌△FAE（SAS），∴∠AFE＝∠AMB＝∠AFD，∴AF平分∠EFD，故①正确；∵△MAE≌△FAE，∴EF＝EM＝EB+BM＝BE+DF，故②正确；∵C△ECF＝CE+CF+EF＝CE+CF+DE+EF＝BC+DC＝2+2＝4，故③正确；∵△AEF面积＝△AME的面积，△AME的高AB一定，底不固定，故△AEF面积不能确定，故④错误．综上，①②③正确，共3个．故选：D．13．（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，EF，并延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG．若∠EAF＝45°，猜想BE，EF，DF之间的数量关系并证明；（2）如图2，当点E在线段BC的延长线上，且∠EAF＝45°时，试探究BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）EF＝BE+DF．理由如下：如图1，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB，∠ABG＝∠ADF＝90°，在△ADF和△ABG中，，∴△ADF≌△ABG（SAS），∴AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，∴∠GAE＝∠EAF＝45°，在△AGE和△AFE中，，∴△AGE≌△AFE（SAS），∴GE＝EF，∵GE＝GB+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+DF．故答案为：EF＝BE+DF；（2）EF＝BE﹣DF，理由如下：如图2，在BC上截取BG＝DF，连接AG．∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB，∠ABG＝∠ADF＝90°，∵BG＝DF，在△ADF和△ABG中，，∴△ADF≌△ABG（SAS），∴AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠DAE+∠DAF＝45°，∴∠DAE+∠BAG＝45°，∴∠GAE＝∠EAF＝45°，在△AGE和△AFE中，，∴△AGE≌△AFE（SAS），∴GE＝EF，∵GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF，∴EF＝BE﹣DF．14．（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：EF＝BE+DF．（2）如图2：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．点E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．请说明理由（提示：延长FD到点C，使DG＝BE，连结AG．）【解答】解：（1）结论：EF＝BE+DF．理由如下：如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，∵∠EAF＝45°，∴∠EAF′＝∠EAF＝45°，在△AEF和△AEF′中，，∴△AEF≌△AEF′（SAS），∴EF＝EF′，又EF′＝BE+BF′＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF；（2）结论：EF＝BE+DF成立．理由如下：如图2中，延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG．∵∠B＝∠ADC＝90°，∴∠B＝∠ADG＝90°，∵AB＝AD，∴△ABE≌△△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，∴∠BAE+∠DAF＝∠EAF＝60°，∴∠FAG＝∠GAD+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝60°，∴∠FAE＝∠FAG，∵AF＝AF，∴△FAE≌△FAG（SAS），∴EF＝FG，∴EF＝FG＝DG+DF＝BE+DF．类型三：正方形中的手拉手模型（多选）15．如图，点E为正方形ABCD对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论正确的有（）A．DE＝EF B．CE＝CF C．AC⊥CG D．BC＝CG【解答】解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，故A正确；∴矩形DEFG为正方形；∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，∴∠ACG＝90°，∴AC⊥CG，故C正确；当DE⊥AC时，点C与点F重合，∴CE不一定等于CF，故B错误；∴不能得出△DCE与△GCF全等，CD不一定等于CG，即BC不一定等于CG，故D错误；故选：AC．16．如图，正方形ABCD的边长为9，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，下列结论中不正确的是（）A．矩形DEFG是正方形 B．∠CEF＝∠ADE C．CG平分∠DCH D．【解答】解：如图，作EK⊥BC于点K，EL⊥CD于点L，则∠EKF＝∠ELD＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，AD＝CD，∠B＝∠ADC＝90°，∴∠BCA＝∠BAC＝45°，∠DCA＝∠DAC＝45°，∴∠BCA＝∠DCA，∴EK＝EL，∵∠EKC＝∠ELC＝∠KCL＝90°，∴四边形EKCL是矩形，∵四边形DEFG是矩形，∴∠KEL＝∠FED＝90，∴∠FEK＝∠DEL＝90°﹣∠FEL，∴△FEK≌△DEL（ASA），∴DE＝FE，∴矩形DEFG是正方形，故A正确；∵∠EDG＝∠ADC＝90°，∴∠CDG＝∠ADE＝90°﹣∠CDE，∵CD＝AD，GD＝ED，∴△CDG≌△ADE（SAS），∴CG＝AE，∴CE+CG＝CE+AE＝AC，∵∠B＝90°，AB＝CB＝9，∴AC＝AB＝9，∴CE+CG＝9，故D正确；∵△CDG≌△ADE（SAS），∴∠DAE＝∠DCG＝45°，∴CG平分∠DCH，故C正确；∵∠ADE＝∠DEL＝∠FEK，≠∠CEF，∴∠CEF≠∠ADE，故B不正确，故选：B．17．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝6；③CF＝BD＝；④△COF的面积是．其中正确的结论为（）A．①③ B．①④ C．②③ D．①③④【解答】解：①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，故正确；②∵EF＝，∴OE＝2，∵AO＝AB＝3，∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，故错误；③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，则FG＝1，CF＝＝＝，BH＝3﹣1＝2，DH＝3+1＝4，BD＝＝＝2，故错误；④△COF的面积S△COF＝×3×1＝，故正确；∴其中正确的结论为①④，故选：B．18．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【解答】①证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形；②解：CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE＝AB＝×2＝4，∴CE+CG＝4是定值．19．如图1，已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，连接BE，DG．（1）请判断BE与DG的数量关系与位置关系