2024年江西省联盟中考二模数学试题（附答案解析）

2024年江西省名校联盟中考二模数学试题

学校:..姓名:.班级:考号:

一、单选题

1.如图，数轴上点P表示的数可能是（）

.............八

-3-2-10123

A.0B.73c.布D.回

2.受益于人工智能和算力市场发展的推动，中国A/服务器市场规模实现了逐年增长，中商

产业研究院发布的《2024-2029年中国服务器行业需求预测及发展趋势前瞻报告》显示,

2024年中国A/服务器市场规模将达560亿元.560亿用科学记数法可表示为（）

A.5.6xlOnB.0.56x10"C.5.6x10'°D.56xlO10

3.如图，这是某学校领奖台的示意图，其左视图为（）

止正

A.B.

C.[D.

4.下列运算正确的是（）

A.(a+8)(—a—b)=a~-b~B.(a+3)2=cr+9

22

C.a2+a2=2a4D.(-2a)=W

5.我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某V型路口放置如图所示的两个平面

镜心4,两个平面镜所成的夹角为N1，位于点。处的甲同学在平面镜4中看到位于点A

处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线经过平面镜4反射后，又沿射向平面镜

k，在点C处再次反射，反射光线为。，已知入射光线45〃3反射光线C。〃/1,则N1

等于（）

Z1

D

A.40°B.50°C.60°D.70°

6.如图，在等边ABC中，AB=2,动点P从点B出发，沿CfA方向运动，过点P

作尸”_LAB于点H,设△尸的面积为y,点P的运动路程为x,则y与龙之间的函数关

二、填空题

7.已知y有意义，则x_____.

2-x

8.因式分解：3a2~na+12=.

9.已知关于尤的方程2x?-mx-=的一根是-6,则该方程的另一根为

10.七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演

变而成七巧板.图1是用边长为4的正方形分割制作而成的七巧板，图2是由该七巧板拼

摆成的“叶问蹬''图，其中点GD分别为①②两个等腰直角三角形斜边的中点，则图2中抬

起的“腿”的高度（点A到BE的距离）是.

试卷第2页，共8页

图1图2

11.三角形三边上的点数分布如图所示，可以发现图①中有4个点，图②中有10个点，图

③中有19个点，……按此规律可知，图”中点的个数是.

12.如图，已知正六边形ABCDEF的边长为6,连接AE,AD,以点A为原点，钎所在直

线为y轴建立平面直角坐标系，尸是射线AO上的点，若△但是等腰三角形，则点尸的坐

标可能是.

三、解答题

13.(1)计算:(母)忘一2卜(勿一I)。；

(2)如图，在矩形ABCD^,E是边CD上的点，连接BE,AE,AE=AB.求证：BE

平分/AEC.

14.下面是数学老师在批改作业时看到的甲、乙两位同学对某分式进行的化简过程，请你认

真观察并完成相应的填空.

xx尤2一4

-----1-----

x+2x-2X

x(x-2)x(x+2)r2-4

甲同学：解：原式=——第一步

(%+2)(%-2)(x-2)(x+2)X

x(x-2)+x(x+2)旧一4

(x+2)(x-2)尤弟一个

x(x-2)+尤(尤+2)(%+2)(无一2)

・第三步

(尤+2)(工一2)元

xx~-4x尤~—4

乙同学：解：原式=-------+----------------第一步

x+2尤x-2x

(1)甲同学的第一步是分式的通分，通分的依据是二乙同学用到的运算律是

(2)请你帮其中一位同学完成化简.

15.己知ABC和DEF是等边三角形，点AB,D,E在同一直线上，。是AE的中点,

请仅用无刻度的直尺按下列要求作图.

图1图2

⑴在图1中作线段AE的中垂线；

⑵在图2中作菱形力OFQ.

16.某校计划在5月1日到5月5日期间组织部分同学开展为期两天的研学旅行活动.

(1)若从这5天中随机选择连续的两天，其中有一天是5月4日的概率是二

(2)若将5月1日到5月5日分别标记在5张相同的不透明卡片的正面，将其背面朝上放于

桌面，再随机抽取其中的两张，并将卡片上的日期作为研学旅行的日期.请用画树状图或列

表的方法求随机选择的两天恰好是连续两天的概率.

17.无人机作业已经成为现代农业生产的重要技术手段之一.为了保证无人机飞行作业的安

全可靠，需要加强对操作人员的培训和管理，促进其规范发展.某县劳动就业培训机构购进

试卷第4页，共8页

甲、乙两种无人机用于职业培训，已知用72000元购进的甲种无人机的数量与用90000元购

进的乙种无人机的数量相同，乙种无人机的进货单价比甲种无人机的进货单价多600元.

(1)求甲、乙两种无人机的进货单价；

(2)该县劳动就业培训机构打算再购进甲、乙两种无人机共40架，其中乙种无人机的购货数

量不少于甲种无人机购货数量的3倍，如何进货才能花费最少？

18.某校为了了解初二年级学生上半学期数学学习情况，对部分学生进行了抽样调查，先分

别从初二年级男、女生中各随机抽取20名同学进行了数学知识测试，再对他们的成绩(百分

制)进行整理、分析和描述，下面给出了部分信息.

A女生成绩的频数分布直方图如图所示(数据分成6组：40Vx<50,50Vx<60,60Vx<70,

70Vx<80,80Vx<90,90<x<100).

女生成绩的频数分布直方图

2

1

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

40527070717377788081

82828282838383869194

C男、女生成绩的平均数、方差、中位数如下:

平均数方差中位数

女同学79.636.8478.5

男同学m147.2n

根据以上信息，回答下列问题：

⑴写出表中切，〃的值.

(2)参加测试的初二学生在上半学期数学学习成绩较好的是男生还是女生?并说明理由.

(3)若数学知识测试成绩在80分及以上的为学习成绩优秀，已知该校初二年级有1000名学

生，请你估计该校初二年级有多少名学生上半学期数学学习成绩为优秀.

19.如图，已知AB,C,。四点都在反比例函数>=勺左>0)的图象上，且线段AC,BD

(1)四边形A5CD的形状是

⑵已知A(4,2),

①点C的坐标为」

②若四边形ABCD是矩形，求四边形ABC。的面积.

20.某数学小组用五个全等的菱形设计一个左右对称的无人机模型，下图所示的是该无人机

模型的两种设计方案的俯视图，其中A,D,F,G四点始终在同一条直线上，图形关于直

(1)如图1,若B,C,D,E四点在同一条直线上，连接M尸.

②判断△MFD的形状，并证明.

(2)如图2,若菱形的边长为5cm,ACAD=53°,求点N到点G的距离.

343

(结果精确到0.1cm.参考数据：sin37。。—，cos37°»-,tan37°»-,sin26.5°«0.45,

554

cos26.5°®0.90,tan26.5°x0.50)

21.如图，。的直径AB与弦CO相交，连接AC,DB,=过点C作

交的延长线于点E.

试卷第6页，共8页

⑴求证：CE是O的切线.

(2)若CE=3,BE=l,

①求。的半径；

343

②求DB的长.（参考数据：sin37°»-,cos37°®-,tan370®-）

22.已知二次函数y=尤？-4mx+4〃z-l.

(1)求证：该二次函数的图象与x轴始终有交点.

(2)若该二次函数图象的顶点坐标为打工》),

①y与x的函数关系是二

②已知直线y=-2》-1分别交X轴，y轴于点c,D,若位于①中的函数图象上的点A在直

线y=-2X-1的上方，直接写出点A的横坐标的取值范围，并求点A到直线y=的最

大距离.

23.综合与实践

课本再现

(1)如图1,ABDAEC都是等边三角形.

①旗与CD有什么关系？请用旋转的性质说明上述关系.

A,D

DA

数学小组发现在图1的四边形ABCE中，BE的长度与AB,3c之间存在一定的关系，可考

虑通过旋转构造特殊三角形之间的全等或相似求解.

特例感知

②若NABC=30°,ABAC=9Q°,AC=2,则BE=_.

请你尝试解决以下问题：

类比应用

(2)如图2,在四边形ABCD中，NABC=75。，ZADC=60°,AD=DC,AB=8,BC=36，

求8D的长.

(3)如图3,在四边形ABCD中，ZABC=15°,ZADC=60°,CD:AD=2:1,

AB=3y/2,BC=3＞直接与出BZ)的长.

试卷第8页，共8页

参考答案：

1.C

【分析】根据实数的比较大小，找出符合范围的实数即可.

【详解】解：1<2,故A选项不符合题意；

l<g<2,故B选项不符合题意；

2<如<3,故C选项符合题意；

3<V10<4,故D选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查的是实数与数轴，掌握实数的比较大小是解决此题的关键.

2.C

【分析】本题考查科学记数法的相关知识，关键是掌握科学记数法的定义；科学记数法的表

示形式为ax10'(IV同<10),本题是将较大的数表示为科学记数法，则〃是正数，其绝对值

为小数点移动的位数，据此解答即可.

【详解】560亿用科学记数法可表示为5.6x101°,

故选：C.

3.B

【分析】本题主要考查几何图形的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键.根据左视图进行

观察即可得到答案.

【详解】

解：左视图为，

故选：B.

4.D

【分析】本题考查了整式的运算，利用完全平方公式、合并同类项法则、积的乘方及事的乘

方逐项判断即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键.

【详解】解：A>(a+Z?)(-a-Z?)=-(a+Z?)2=-a2-2ab-b2,该选项错误，不合题意；

B、(a+3)2=a~+6a+9,该选项错误，不合题意；

C、/+/=2/,该选项错误，不合题意；

答案第1页，共22页

D、(-2/『=4",该选项正确，符合题意;

故选：D.

5.C

【分析】本题考查了光的反射定律，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知

识点是解题的关键.由光的反射定律以及平行线的性质，推出4=N3=Z5,再结合三角形

内角和，推出N1的度数.

【详解】如图所示，由光的反射定律，可以知道/5=/2,/3=/4

AB//1,,CD//\

.'.Z1=Z2,Z1=Z4

.-.Z1=Z3=Z5

,Zl+Z3+Z5=180°

,-.Zl=60°

故选：C.

6.A

【分析】本题考查了二次函数的图象的性质，等边三角形性质，解直角三角形等知识，数形

结合和分类讨论是解题的关键.根据题意分以下两种情况讨论，①当点尸在2C上运动时,

②当点P在C4上运动时，根据以上情况通过等边三角形性质，解直角三角形表示出三角形

的底和高，再利用三角形面积公式求解，得到△尸印?面积表达式，即可解题.

【详解】解：A6C为等边三角形，

.-.ZA=ZB=ZC=60°,AB=AC=BC=2,

①当点P在BC上运动时，

有PB=x,PH=PBsin6Q°=—x,BH=PBcos60°=-x,

22

APHB的面积为〉=3尸8/8=(/,

②当点尸在C4上运动时，

答案第2页，共22页

P//=PAsin60°=）=26—

AH=-x

2f

的面积为y=彳?“.72y/3—^-xx—x=—^-x2+^-x,

2222o2

综上所述，由解析式可知图象为一个开口向上的二次函数图象和一个开口向下的二次函数图

象组合，

故选：A.

7."2

【分析】本题考查了分式有意义的条件,根据分式有意义的条件为分母不等于零列出不等式,

计算即可得解.

【详解】解：=一一有意义,

2-x

••2—xw0,

，xw2

故答案为：xw2.

8.3（。_2『

【分析】直接提取公因式3,再利用完全平方公式分解因式即可.

【详解】解：3/-124+12

=3（/-4a+4）

=3（＜?-2）2

故答案为：3（”2）一.

【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键.

9.1

【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系的应用，解此题的关键是根据根与

系数的关系得到-6。=-6,解题即可.

【详解】解：设另一根为。，

答案第3页，共22页

则-6。=---=-6,解得°=1,

2

故答案为：1.

10.4A/2

【分析】此题考查了七巧板中的图形的构成和等腰直角三角形的性质，熟悉七巧板中图形的

分类是解题的关键.

过点G作GH_LNH,过点C作CMLEB,根据等腰直角三角形的性质分别求出.，GH,

QC,CM的长度，然后相加即可.

【详解】如图所示，过点G作过点C作

•.•图1中正方形的边长为4

AG=-x4=2

2

：_AGF是等腰直角三角形

/.AF=-AG=y[i

2

:点。是AG的中点

DG=-AG=1

2

,/DN=-x4=2

2

：.GN=DN—DG=1

,•t7GNH是等腰直角三角形

答案第4页，共22页

••G”=(J7V=

22

•・•图1中正方形的边长为4

。。=争4=20,PB=1X4=2

:点C是PB的中点

/.BC=-PB=1

2

•：/B=45°,CMA.EB

.CWB是等腰直角三角形

/.CM=—BC=—

22

；•点A到BE的距离=Ab+GH+QC+CM=血+#+20+等=4后

图2中抬起的“腿”的高度(点A到BE的距离)是40.

故答案为：4A/2.

U3〃(〃+1)+2

•2

【分析】本题考查找规律，正确找到规律是解题的关键.观察图象可得图①中点的个数，图

②中点的个数，图③中点的个数，，依此类推图〃中点的个数是

1+1X3+2X3+3X3++〃x3,据此计算即可解题.

【详解】解：由题知,

图①中有l+lx3=4个点，

图②中有1+1x3+2x3=10个点，

图③中有1+1x3+2x3+3x3=19个点，

,依此类推，

图几中点的个数是1+1x3+2x3+3x3++〃x3=1+30+2+3++〃),

n(n+l)

=l+3x-^——L

2

3n(n+l)+2

—2•

辽田〃

故答案为：二3"一+l)」—+2.

2

12.(3E3)或(9,3@或(969)

【分析】本题考查了正六边形的性质、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、坐标与图

答案第5页，共22页

形，分三种情况：当AP=EP时；当AP=AE=6g时；当AE=EP=6后时；分别作出图

形，利用等腰三角形的性质、解直角三角形，求解即可得出答案，采用分类讨论的思想是解

此题的关键.

【详解】解：如图，作尸OLAE于0,

正六边形ABCDEF的边长为6,

：.AF=EF=6,ZAFE=120°,ZE4D=60°,

ZFAE=ZFEA=,世=3Q0,

2

AO=AF-COS30°=6X^=3A/3,ZEAD=ZFAD-ZFAE=30°,

2

FOLAE,

AE=2AO=6A/3,

△AEP是等腰三角形,

如图，当AP=EP时，则NPE4=NE4尸=30。=/£4后,

AF//EG,

延长£?交工轴于G,则EGLx轴,

AG=-AE=3y/3,

2

ZPAG=90°-ZFAD=30°,

PG=AG-tan30。=34x#=3,故此时P©区3）；

如图，当AP=AE=6括时，作轴于H,

答案第6页，共22页

则AH=APcos30o=66x也=9,PH=AP-sin30°=6V3x1=3V3,故此时尸(9,34)；

22

如图，当AE=EP=66时，作ENLAP于N,尸加，x轴于

x3=18,

2

AM=AP-cos30°=18x=9A/3,PM=AP-sin30°=18xl=9,故此时P（9抬；9卜

综上所述，点P的坐标可能是（363）或（9,3⑹或（9®9）,

故答案为：（3出,3）或（9,3力）或（94,9）.

13.（1）V2-1（2）见解析

【分析】本题考查实数的混合运算和矩形的性质，等边对等角，掌握矩形的性质是解题的关

键.

（1）先运算乘方，绝对值和0指数次累，然后合并解题即可；

（2）根据等边对等角得到NA£B=NABE,然后根据矩形的对边平行得到ABCD即可得

到NCEB=/EBA,根据等量代换得到NAEB=NCEB,即可得到结论.

【详解】⑴解：（四丁一2一2卜（乃一1）°

=2-（2-V2）-l

=2-2+72-1

=72-1;

(2)证明：：AE=AB,

答案第7页，共22页

/.ZAEB=ZABE,

又：ABCQ是矩形，

Z.ABCD,

：./CEB=/EBA,

：.ZAEB=NCEB,

：.BE平分NAEC.

14.(1)一，分式的基本性质：乘法分配律

(2)2x,过程见解析

【分析】本题考查了分式的混合运算;

(1)根据分式的混合运算进行计算即可求解;

(2)根据题意，完成分式的化简;

【详解】(1)甲同学的第一步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；乙同学用到的

运算律是乘法分配律

尤+x］尤？―4

(2)甲同学：解:

x+2x-2)x

x(x-2)x(x+2)X2-4

(x+2)(x-2)(x-2)(x+2)x

x(x-2)+x(x+2)X2-4

(x+2)(x—2)x

-2)+x(x+2)(x+2)(x—2)

(x+2)(x-2)x

=x—2+x+2

=2x

乙同学：解：原式=-.^^+-

x+2xx-2x

=x—2+%+2

=2x

15.⑴见解析

(2)见解析

答案第8页，共22页

【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、菱形的判定、三角形中位线定理、无刻度直

尺作图，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

(1)延长AC,EF交于点M,连接DA1,DM即为所作；

(2)延长AC,EF交于点、M,连接。0,连接AF交于G,连接EG并延长交AAf于。，

则菱形ADFQ即为所作.

【详解】(1)解：如图1,直线DM是所作的中垂线，

图1

延长AC,EF交于点M,连接

ABC和。砂是等边三角形，

ZMAE=ZMEA=60°,

ZAME=180°-ZMAE-ZMEA=60°=ZMAE=ZMEA,

.二跖场为等边三角形，

。是AE的中点，

.,.MD.LAE,

直线DM是AE的中垂线；

(2)解：如图2,四边形的Q是所作的菱形

图2

答案第9页，共22页

延长AC,EF交于点M,连接QM,连接A尸交加。于G,连接EG并延长交A"于Q,

ABC和OEF是等边三角形，

ZMAE=ZMEA=60°,DF=DE=EF,

ZAME=180°-ZMAE-ZMEA=60°=ZMAE=ZMEA,

为等边三角形，

:.AE=ME^AM,

。是AE的中点，

:.DE=AD=-AE,

2

:.EF=-ME,

2

:.AF±ME,

EQYAM,

:.AQ=^AM=AD=DF,

QF是△43的中位线，

:.QF=^AE,

QF=AQ=AD=DF,

四边形ADFQ为菱形.

16.(1)1

⑵g

【分析】本题考查的是概率的计算，解题的关键是掌握概率的计算公式以及画树状图法求概

率.

(1)选择连续的两天共有4种等可能的结果，其中有一天是5月4日有2种结果，利用概

率公式即可求得概率；

(2)根据题意画出树状图，找到所有可能的结果，再找到随机选择的两天恰好是连续两天

的情况数，即可求出其概率.

【详解】(1)解：随机选择连续的两天共有4种等可能结果，其中有一天是5月4日有2种

21

结果，故有一天是5月4日的概率是

42

答案第10页，共22页

故答案为：—;

(2)解：列树状图为:

开始

12345

/TVx/Ax/A\

23451345124512351234

由树状图可知共有20种等可能结果，其中两天恰好是连续两天的有8种，

Q9

即选择的两天恰好是连续两天得概率为之=:.

17.(1)甲种无人机的进货单价为2400元，乙种无人机的进货单价为3000元

⑵购进甲种无人机10架，乙种无人机30架时，花费最少

【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，正确理解题中的数量关系是解题的

关键.

(1)设甲种无人机的进货单价为x元，根据“用72000元购进的甲种无人机的数量与用

90000元购进的乙种无人机的数量相同”列方程，求解方程即得答案；

(2)设购进甲种无人机m架，购进40架无人机的总花费为y元，先列出y关于相的函

数解析式，然后根据乙种无人机的购货数量不少于甲种无人机购货数量的3倍，列出不等

式(40-叫23w，求出相的取值范围，最后根据一次函数的增减性，即可求得答案.

【详解】(1)设甲种无人机的进货单价为x元，则乙种无人机的进货单价为(x+600)元,

72000_90000

由题意得

x尤+600

解得x=2400,

经检验，x=2400是原方程的解，且符合题意，贝i]x+600=300(),

答：甲种无人机的进货单价为2400元，乙种无人机的进货单价为3000元.

(2)设购进甲种无人机m架，则购进乙种无人机(40-㈤架，购进40架无人机的总花费

为y元，

由题意得丁=2400m+(40—m)x3000=120000—600m,

乙种无人机的购货数量不少于甲种无人机购货数量的3倍，

/.(40—m)>3m,

解得根《10,

答案第11页，共22页

-600<0,则函数y的值随m的增大而减小，

，当m=10时，y最小，

此时40-加=30,

答：购进甲种无人机10架，乙种无人机30架时，花费最少.

18.(1)/71=77,77=81.5

(2)从成绩的平均数和方差的角度来看，上半学期数学学习成绩较好的是女生，因为女生测

试成绩的平均分更高，且方差小，女生之间成绩差距小；从成绩的中位数的角度来看，上半

学期数学学习成绩较好的是男生，因为男生测试成绩的中位数分值更高

(3)500名

【分析】本题考查了平均数、中位数、方差、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活

运用是解此题的关键.

(1)根据平均数和中位数的计算方法计算即可得出答案；

(2)根据平均数、方差、中位数分析即可得出答案；

(3)由样本估计总体的计算方法计算即可得出答案.

【详解】(1)解：由题意得：

40+52+70+70+71+73+77+78+80+81+82+82+82+82+83+83+83+86+91+94一

〃二也冬=81.5；

2

(2)解：从成绩的平均数和方差的角度来看，上半学期数学学习成绩较好的是女生，因为

女生测试成绩的平均分更高，且方差小，女生之间成绩差距小;从成绩的中位数的角度来看,

上半学期数学学习成绩较好的是男生，因为男生测试成绩的中位数分值更高；

QI12

(3)解：由题意得：1000x---------=500(人)，

20+20

估计该校初二年级有500名学生上半学期数学学习成绩为优秀.

19.(1)平行四边形

⑵①（＜-2）；②24

【分析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式，熟知相关性质

答案第12页，共22页

是解题的关键。

(1)利用对角线互相平分，即可解答；

(2)①利用反比例函数的性质，即可解答；②求出点8坐标，即可解答。

【详解】(1)解：设点B坐标为［a,：］

,「点B与点。关于原点对称，

二点O的坐标为,

.­.30与。。相等，

同理可得，CO与A。相等，

四边形ABCD为平行四边形，

(2)解：根据(1)中原理可得C(-2,-4),

Q

・••反比例函数的解析式为y=2,

X

AC=,J(-2-2)2+(-4-4)2=275，

若四边形ABCD是矩形，贝“20=AC=2岔,

设则

则可得BO=J(2a『=26,

解得a{=2,4=4,%=-2,2=-4,

.•.8(2,4),

AB=7(4-2)2+(2-4)2=2A/2,AD=，(4+2<+(2+4,=6应，

四边形ABCD的面积=A&AD=2&x6a=24•

20.(1)①90。，②等边三角形，证明见解析

(2)13.5cm

【分析】①首先根据菱形的性质得到4)=也=即，进而得出ZDM4=Nn4M,

ZDMF=DFM,然后利用三角形内角和定理求解即可；

②连接C。，证明出四边形MCDF是平行四边形，得到MF//8,然后设ZAMC=ZAMD=x，

答案第13页，共22页

贝iJ/QWD=2x,根据平行线的性质表示出ZDMF=NMFD=NMZ»=2x,进而求解即可;

（2）连接NG交40于点尸，首先得出AGuAD+TTJ+bGnlScm,然后根据对称的性质

得到NGLAM,NP=GP,ZPAG=^ZCAD=26.5°,然后解直角三角形求解即可.

【详解】（1）①,・,五个菱形两两全等

AD=MD=FD

：.ZDMA=ZDAM,ZDMF=DFM

ADMA+ADAM+ZDMF+Z.DFM=180°

・•・ZAMF=/DMA+ZDMF=90。；

②连接CD,

*：CM//DF,CM=DF

・•・四边形MC。方是平行四边形

:.MF//CD

•；B,C,D,E四点在同一条直线上，DE//FN

：.MF//DE

•・,四边形MCM）是菱形

：.^ZAMC=ZAMD=x,则NCMD=2x

CM//AD

：.ZMDF=ZCMD=2x,ZFDE=ZCMD=2x

'：MF//DE

：.ZMFD=ZFDE=2x

：.ZDMF=ZMFD=2x

：.ZDMF=ZMFD=ZMDF=2x

△MFD是等边三角形；

答案第14页，共22页

(2)如图所示，连接NG交AM于点P

:菱形的边长为5cm,

AD=ED=PG=5cm

VA,D,F,G四点始终在同一条直线上

AG=AD+ED+FG=15cm

:图形关于直线AM对称

.•.点N和点G关于直线AM对称

NGLAM,NP=GP,ZPAG=-ZCAD=26.5°

2

.,.在RtAPG中，sinZPAG=sin26.5°=—

AG

：.0.45=—

15

PG=6.75cm

，NG=2PG=13.5cm.

【点睛】此题考查了解直角三角形，菱形的性质，等边三角形的判定，轴对称性质等知识,

解题的关键是掌握以上知识点.

21.(1)见解析

⑵①5,②等

lo

【分析】证明：如图1,连接OC,由BC=BC，AD=AD'可得NA="，ZACD^ZABD,

则NACD=2NA,由。4=OC,可得NA=NACO.由NOCD=NACO—NACO=NA,可得

NOCD=ND,0C//DE.进而可证CELDE,进而结论得证；

(2)①如图2,过点。作于点M.则四边形OMEC是矩形，

CE=OM,ME=CO.设Q的半径为r,贝=r—勾股定理得，OB2-BM2^OM2,

答案第15页，共22页

即户—（井一1）2=32,可求r=5.

②如图2,连接由①可知sinZOBM,则NO3Afa37。，Z.BOM53°,由

BO5

垂径定理得，ZBOD=2ZBOM=106°f然后计算弧长即可.

【详解】（1）证明：如图1,连接0C,

,BC=BC，AD=AD，

AZA=ZD,ZACD=ZABD,

*.*ZABD=2ZD,

：.ZACD=2ZA,

OA=OC,

JZA=ZACO.

：.NOCD=ZACD-ZACO=ZA,

・•.ZOCD=ZD,

OC//DE.

•：CE1DE,

OCrCE.

・・・。。是。的半径，

；.CE是。的切线.

(2)①解：如图2,过点。作于点M.

VOCA.CE,CELDB,

四边形OMEC是矩形,

ACE=OM,ME=CO.

答案第16页，共22页

设的半径为广，贝！|BW=r—1,

由勾股定理得，OB--BM2=OM2,即户一(-1)2=32,

解得r=5.

②解：如图2,连接0D,

由①可知sin/OBM=0^=3,

BO5

ZOBMx37°,

ZBOM=53°,

由垂径定理得，ZBOD=2ABOM=106°,

./_106TTX5_53〃

•・BD~180

【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等边对等角，平行线的判定与性质，切线的判

定，矩形的判定与性质，勾股定理，正弦，垂径定理，弧长等知识.熟练掌握同弧所对的圆

周角相等，等边对等角，平行线的判定与性质，切线的判定，矩形的判定与性质，勾股定理，

正弦，垂径定理，弧长是解题的关键.

22.⑴见详解；

(2)①y=—/+2x—1；②0<x<4,最大距禺是"f.

【分析】(1)由62一4。。>0可证明；

(2)①先求出该二次函数的顶点坐标，从而得到,和x的关系；

②先计算出二次函数与直线的交点，然后分别画出两个函数的图象，通过数形结合，求出点

A横坐标的范围，作44'〃、轴交、=-2工-1于点4，，通过平行知道

ZAAH=ZODC,通过sinN447f=sinNOOC=@知道AH=@AA',设点A坐标为

55

(a,-a2-I+2a),A'(a,-2a-1),AA'=-a2-l+2a-(-2a-1)=-(。一2了+4,当a=2时，

AA有最大值，从而求出A"的最大值.

【详解】(1)；在y=/-4〃a+4根-1中，a=l,b--Am,c=4m-l,

A=b2—4ac=(-4/n)2—4x1x(4/7z-1)=(4根—2了,

(4/7!-2)2>0,

.-.A>0

答案第17页，共22页

二该二次函数的图象与X轴始终有交点.

(2)①:y=X2—4mx+4m—1=(x—2m)2—(2m—I)2,

・二顶点坐标为（2根（2根-1了）,

该二次函数图象的顶点坐标为P（羽丁），

y——（%—1）——Y+2%—19

故答案为：y=-x2+2x-l；

y=-2x-l

②联立

y=—%2+2%—1

解得：%=。，兀2=4,

将y=o代入y=-2x-i,解得尤=一］,即c点坐标为（_10）,

22

将x=0代入V=-2x-l,解得y=T,即。点坐标为（0,-1）,

丫=一（无一1）2=-*2+2*-1,开口向下，对称轴是x=l,当x=l时，y=。，当x=0时，y=T,

分别画出两个函数的图象，如图所示，

结合图像可知，当0<x<4时，点A在直线y=-2x-l的上方，

点A的横坐标取值范围为0<x<4；

任取点A,作A4'〃y轴，交直线y=-2x-l于点A,作AH_LA'O,交直线y=-2x-l于点

答案第18页，共22页

H,

:.ZAAH=ZODC

CD=+OD。=出了+F=5,

sinNODC=吧=%=此,

CD5

了

sinZAA'H=—=sinNODC=—,

AA，5

AH=—AA',

5

,当AA最大时，A”取最大值，即点A到直线y=-2x-l的距离最尢

不妨设A(a,—4+2a—1),则A(〃,—2a—1),

,22

/.AA=-a+2a-l-(-la—1)=-(a—4a+4)+4=—(Q—2y+4

「•当〃=2时，A4,=4为最大值，

止匕时A〃=@44'=走乂4=述，

555

•・•点A到直线的最大距离为逑.

5

综上所述：点A的横坐标取值范围为0<x<4,点A到直线'=-2x-1的最大距离为逑.

5

【点睛】本题考查了二次函数的图象与x轴交点个数与判别式的关系，二次函数顶点式表达,

二次函数的最值问题，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，解一元二次方程，通过数形结

合解一元二次不等式，利用数形结合并熟练掌握以上知识点是解题的关键.

23.(1)①BE