5.3.1诱导公式(1)课件高一上学期数学人教A版

第五章三角函数5.3诱导公式5.3.1诱导公式(1)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.借助单位圆的对称性，利用三角函数的定义，推导三角函数的诱导公式一、二、三、四．2.理解并掌握诱导公式的内涵及结构特征，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简等问题．活动方案前面利用圆的几何性质，得到了同角三角函数之间的基本关系．我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性(如奇偶性)也是函数的重要性质．由此想到，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性．探究1终边相同的角的同一三角函数值有什么关系？为什么？活动一掌握三角函数的诱导公式一、二、三、四【解析】

由三角函数的定义知，终边相同的角的同一三角函数值相等，即有sin(α＋2kπ)＝sinα(k∈Z)，cos(α＋2kπ)＝cosα(k∈Z)，tan(α＋2kπ)＝tanα(k∈Z)．(公式一)探究2除了“终边相同”这样非常特殊的关系之外还有一些角，它们的终边具有另外的某种特殊关系．若角α的终边与角β的终边关于原点对称(如图)，你有什么结论？【解析】

设角α，β的终边分别与单位圆交于点P，P′，则点P和点P′关于原点对称．又根据三角函数的定义得sinβ＝－sinα，cosβ＝－cosα，tanβ＝tanα.特别地，角π＋α与角α的终边关于原点对称，则有sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.(公式二)探究3如果角α的终边与角β的终边关于x轴对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系呢？【解析】

设角α，β的终边分别与单位圆交于点P，P′，则点P和点P′关于x轴对称(如图)．又根据三角函数的定义，点P的坐标为

(cosα，sinα)，点P′的坐标为(cosβ，sinβ)，

则有sinβ＝－sinα，cosβ＝cosα.由同角三角

函数关系得tanβ＝＝＝－tanα.特别地，角－α与角α的终边关于x轴对称，则有sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα.(公式三)思考1►►►由公式三，你可以得到三角函数的什么性质？【解析】

正弦函数y＝sinx是奇函数，余弦函数y＝cosx是偶函数，正切函数y＝tanx是奇函数．探究4若角α的终边与角β的终边关于y轴对称(如图)，你有什么结论？【解析】

同理可得sinβ＝sinα，cosβ＝－cosα，tanβ＝－tanα.特别地，角π－α与角α的终边关于y轴对称，则有sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.(公式四)思考2►►►根据公式二、三、四中的任意两组公式，你能推导出另外一组公式吗？【解析】sin(π＋α)＝sin[π－(－α)]＝sin(－α)＝－sinα，cos(π＋α)＝cos[π－(－α)]＝－cos(－α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tan[π－(－α)]＝－tan(－α)＝tanα.其他情形可以类似推导得到．思考3►►►上面的公式一到四都称为三角函数的诱导公式．想一想，公式一到四的名称和符号有怎样的规律？【解析】

函数名不变，符号看象限．活动二利用诱导公式解决给角求值问题(3)tan(－1560°)．求值：(1)cos225°；(4)cos(－2040°)．活动三利用诱导公式解决给值求值问题思考4►►►如何探究已知角与所求角的关系？【解析】

将已知角与所求角求和、差，然后应用诱导公式将所求角变成已知角．例

4判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝1－cosx；活动四利用诱导公式研究三角函数的奇偶性【解析】

因为函数f(x)的定义域是R，且f(－x)＝1－cos(－x)＝1－cosx＝f(x)，所以f(x)是偶函数．(2)g(x)＝x－sinx.【解析】

因为函数g(x)的定义域是R，且g(－x)＝－x－sin(－x)＝－(x－sinx)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数．已知f(x)＝xcosx－sinx＋5，f(a)＝4，则f(－a)＝________.【解析】

因为f(x)＋f(－x)＝xcosx－sinx＋5＋[－xcos(－x)－sin(－x)＋5]＝xcosx－sinx＋5－xcosx＋sinx＋5＝10，所以f(a)＋f(－a)＝10.又f(a)＝4，所以f(－a)＝6.【答案】6