人教版高中数学选择性必修第二册5.1.2.2导数的几何意义【同步教学课件】

5.1.2.2导数的几何意义通过函数图象直观理解导数的几何意义.课标要求素养要求通过学习导数与曲线的切线的关系，理解导数的几何意义，发展学生直观想象素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.切线的概念在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线.2.导数的几何意义点睛(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数即为曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0).此时曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).如果切线的倾斜角为α，则tanα＝f′(x0).(2)若函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数不存在，表明曲线在该点处有切线，且切线与x轴垂直或曲线在该点处无切线.

3.导函数1.思考辨析，判断正误×(1)若f′(x0)＝0，则曲线在x＝x0处切线不存在.(

)提示若f′(x0)＝0，则切线斜率为0，其切线存在，与x轴平行或重合.(2)函数在x＝x0处的导数f′(x0)是一个常数.(

)(3)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率.(

)(4)直线与曲线相切，则直线与已知的曲线只有一个公共点.(

)提示

也可能有多个公共点，如曲线y＝x3在点(1，1)处的切线与曲线y＝x3有两个公共点.√√×2.若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则(

) A.h′(a)＝0 B.h′(a)<0 C.h′(a)>0 D.h′(a)不存在

解析

由2x＋y＋1＝0，得y＝－2x－1，由导数的几何意义可知h′(a)＝－2<0.BA所以2a＝2，所以a＝1.3课堂互动题型剖析2题型一求切线方程【例1】

已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；解将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1，1).＝

[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3.∴k＝y′|x＝1＝3.∴曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)求曲线C过点(1，1)的切线方程.①当x0＝1时，切点坐标为(1，1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0.即3x－4y＋1＝0.利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)是切点，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0).(2)若点(x0，y0)不是切点，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.思维升华∴曲线在点P(2，4)处切线的斜率为∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程.∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1，或x0＝2.故所求的切线方程为x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0.【例2】

(1)已知抛物线y＝f(x)＝2x2＋1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的坐标为________.题型二求切点坐标或参数值解析

设切点坐标为(x0，y0)，又∵切线的斜率为k＝tan45°＝1，(2)若直线y＝3x＋b与曲线y＝x3相切，则b＝________.±2因此x0＝±1，所以P(1，1)或P(－1，－1).因为点P在直线y＝3x＋b上，所以b＝±2.解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等.思维升华【训练2】

已知曲线f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值.解

对于曲线f(x)＝x2－1，【例3】

(1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(

)题型三与导数的几何意义有关的图象问题A.f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)<f′(xB) C.f′(xA)＝f′(xB) D.不能确定B解析

由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)<f′(xB).(2)若函数f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(

)A解析

函数f(x)的导函数f′(x)在[a，b]上是增函数，若对任意x1和x2满足a<x1<x2<b，则有f′(a)<f′(x1)<f′(x2)<f′(b)，根据导数的几何意义，可知函数y＝f(x)的切线斜率在[a，b]内单调递增，观察图象.只有A选项符合.导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数的大小可以根据函数图象，观察对应切线的斜率的大小.思维升华A.f′(1)<f′(2)<a

B.f′(1)<a<f′(2) C.f′(2)<f′(1)<a

D.a<f′(1)<f′(2)B1.1个思想

以直代曲：“以直代曲”在微积分中是最基本、最朴素的思想方法，在新的课程标准中也被提到了一定的高度.作为一种基本的数学方法，其本质是转化与化归，与极限思想有关.2.1个注意点

利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点是切点，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不是切点，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题D2.若曲线y＝f(x)在其上一点(1，3)处的切线过点(0，2)，则(

) A.f′(1)>0 B.f′(1)＝0 C.f′(1)<0 D.f′(1)不存在A3.已知函数f(x)在R上有导函数，f(x)图象如图所示，则下列不等式正确的是(

)AA.f′(a)<f′(b)<f′(c) B.f′(b)<f′(c)<f′(a)C.f′(a)<f′(c)<f′(b) D.f′(c)<f′(a)<f′(b)解析

如图，分别作曲线在x＝a，x＝b，x＝c三处的切线l1，l2，l3，设切线的斜率分别为k1，k2，k3，易知k1<k2<k3，又f′(a)＝k1，f′(b)＝k2，f′(c)＝k3，所以f′(a)<f′(b)<f′(c).故选A.4.曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x＋y＋1＝0，则(

) A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1 C.a＝1，b＝－1 D.a＝－1，b＝－1D5.(多选题)过点(2，0)作曲线f(x)＝x3的切线l，则直线l的方程可能为(

) A.y＝0 B.x＝0 C.12x－y－24＝0 D.27x－y－54＝0AD把点(2，0)代入并解得x0＝0或x0＝3.当x0＝0时，切线方程为y＝0；当x0＝3时，切点为(3，27)，斜率k＝27，故切线方程为y－27＝27(x－3)，整理得27x－y－54＝0.二、填空题27.已知f(x)＝mx2＋n，且f(1)＝－1，f(x)的导函数f′(x)＝4x，则m＝________，n＝________.2－3所以m＝2.又f(1)＝－1，即2＋n＝－1，所以n＝－3，故m＝2，n＝－3.8.若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________.所以点P处的切线的斜率等于4.即12x－3y－16＝0.10.在抛物线y＝x2上，哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，则k＝2x0＝4，解得x0＝2.设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0，11.(多选题)下列说法正确的是(

)ACA.若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处也可能有切线B.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C.若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在解析

k＝f′(x0)，所以f′(x0