2024高考数学模拟卷2（19题结构）解析版

2024高考数学模拟卷02

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

绝密☆启用前

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.某校为了提高学生的安全意识，组织高一年级全体学生进行安全知识竞赛答题活动，随机抽取8人的得

分作为样本，分数从低到高依次为:84,85,87,87,90,a,b,99,若这组数据的第75百分位数为94,

则利用样本估计此次竞赛的平均分约为（）

A.85B.86C.90D.95

【答案】C

【分析】根据百分位数以及平均数的计算即可求解.

【详解】由于8x75%=6,所以这组数据的第75百分位数为第六个和第七个数的平均数，

故。；匕=94,故。+6=188,

故选：C

z—1

2.若复数z满足（l+i）z=5i—z,则f=（）

A.3B.2C.1D.V2

【答案】D

【分析】先求出复数z的代数形式，再根据复数的除法运算及复数的模的计算公式即可得解.

【详解】由(l+i)z=5i—z,得(2+i)z=5i,

所以Z喂5M2T)

=l+2i

(2+i)(2-i)

z—12i2i(l-i)

所以—7二1.一・、=l+i,

Z—11+1(1+1)(1-1)

所以二1=g=0.

z-l

故选：D.

3.已知数列｛叫为等比数列，且4=1,旬=16,设等差数列出｝的前"项和为S,,,若仇=生，则既=（）

A.—36或36B.-36C.18D.36

【答案】D

【分析】根据等比数列的通项公式求得炉=4,继而求得々=生的值，利用等差数列前"项和公式进行计算

即可.

【详解】数列｛4｝为等比数列，设公比为q,且4=1,“9=16,

则£=/=16,则/=4,

则a=%==4,

贝=9仇=36,

故选：D.

4.p:m=2,q:（〃w：+y）5的展开式中fy3项的系数等于40,则。是4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】结合二项式定理展开式通式的对应关系求出加，再由充分、必要条件判断即可.

【详解】（如+4的展开式中含/丁项为C；（%）2y3=（73山3,

故=40,解得m=±2,

故“m=2”是"m=±2”的充分不必要条件.

故选：A

11Q

5.若〃，匕都是正数，且必=1,则丁+7r+'7的最小值为（）

2a2ba+b

A.4B.8C.4A/3D.472

【答案】A

【分析】将而=1代入，利用基本不等式直接求解即可得出结论.

【详解】若6都是正数，且必=1

.118ba8a+b8、。\a+b8-.

2a2ba+b22a+b2a+bV2a+b

当且仅当a+b=4时等号成立，

故选:A.

6.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A,3存在如下关系：

P（川联驾龄.若某地区一种疾病的患病率是0.05,现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该

试剂的准确率为95%,即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报

率为0.5%,即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的

一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（）

.495八995〃10r21

A.------B.------C.—D.—

100010001122

【答案】c

【分析】利用条件概率，结合全概率公式与贝叶斯公式即可得解.

【详解】依题意，设用该试剂检测呈现阳性为事件B,被检测者患病为事件A,未患病为事件了，

则P（3|A）=0.95,P（A）=0.05,P（B|A）=0.005,P（A）=0.95,

故尸⑻=0.95x0.05+0.005x0.95=0.05225,

则所求概率为P（A|B）=露=，常⑷0.95x0,0510

005225F

故选：C.

7.在,ABC中，已知tanA+tan5+tanAtan_B=l,则cos2C+sinC的值为()

A.—B.-立C.72D.-V2

22

【答案】A

【分析】利用和角的正切公式求出C,再代入计算即得.

【详解】在ABC中，A+B^90,否贝！ItanAtanB=tanAtan(90-A)=包工.‘皿9°——义-包1A.CQS,

cosAcos(90-A)cosAsmA

tanA+tanB=O,A+B=180,矛盾，并且有tanAtan5wl,

tanA+tanB+tanAtanB=1«>tan(A+B)(l-tanAtanB)=l-tanAtanB,

jr3冗

因此tan(A+8)=1,而OVA+3VTI,贝(]A+3=—,C=—,

44

所以cos2C+sinC=cos—+sin—=.

242

故选：A

8.已知四面体A3CD,ABC是边长为6的正三角形，DA=DB=26,二面角O-AB-C的大小为gn,

则四面体A5cD的外接球的表面积为()

A.40兀B.52兀C.72兀D.84兀

【答案】B

【分析】

画出图形，找出外接球球心的位置，利用OD=OC=厂以及图形几何关系表示出相应的线段长度，结合勾股

定理列方程求出外接球半径即可得解.

【详解】如图,

取AB中点E,连接CE,£>E,因为ABC是边长为6的正三角形，DA=DB=2也,

则由三线合一可知A3，CE,ABIDE,

2

所以二面角O—AB—C的平面角为/。即=]71,

取三角形A3C的外心设外接球的球心为。，则平面A3C,

S.OA=OB=OC=OD=r,其中厂为四面体A5CD外接球的半径，

过点。作DG垂直平面ABC,垂足为点G,由对称性可知点G必定落在的延长线上面,

由几何关系，设DBnX,

而由正弦定理边角互换得G。=1X=273,

2sm60

选而0iE=CE-C0i=6x与-26=布,

由勾股定理得。石==Vs，

从而EG=OE-cos（7r-NCEr））=OE-cos；=V^,DG=DEsin（7t-ZCED）=DEsin^=-,

所以0。1=2=]_工，OF=O、G=当,

解得x=g,r=而,

所以由OD=OC=厂得，<

所以四面体ABCD的外接球的表面积为4兀产=52兀.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：关键是合理转换二面角D-AB-C的大小为［兀，并求出外接球半径，由此即可顺利

得解.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

19

9.已知集合4={》|—eN,xeN},8={尤|/-6x<7},则()

X+1

A.AnB={1,2,3,5}B.AuB=(-l,7)u{ll}

C.12®{x-yAyeB}D.3acA,{y|y=lg(x?-ax+叫=R

【答案】BCD

【分析】求出集合A,B,根据集合的运算即可判断A,B；结合x-y<12,可判断C；由

{yb=lg(x2-«x+9)}=R,结合判别式，可求得a的范围，即可判断D.

19

【详解】由题意得4={%1--GN,XGN}={0,1,2,3,5,11},B={X|X2-6X<7}=(-1,7),

x+1

故Ac3={0,l,2,3,5},AuB=(-l,7)u{ll},A错误，B正确；

由于尤故无一y1)=12,贝！|12名{x-y|xe,C正确；

若{y［y=lg(J—依+9)}=R,贝!|/一6+9能取至［］所有的正数,

BPtz2-36>0,贝!|。26或aV-6,

即A,y=lg（无2-依+9）｝=R,D正确,

故选：BCD

10.已知函数/（x）=sin]0x+£）+cos0x（0>O）的最小正周期为2,则（）

A.。=兀B.曲线y=/（x）关于直线尤=。对称

O

C.〃尤）的最大值为2D.〃尤）在区间上单调递增

【答案】AB

【分析】

借助三角恒等变换公式将原函数化为正弦型函数后，结合正弦型函数的性质逐项判断即可得.

[详解]/（x）=sin+3]+cosmx--sina）x+—cosa）x+cosaix

=^-sin^x+—cos^x=V3sinf^x+—，

22L3J

对A：由的最小正周期为2,故臼=2,即。=兀，故A正确；

G）

对B：当x时，兀x，+g=g,由x=g是函数y=sin尤的对称轴,

66322

故曲线y=/（x）关于直线尤=，对称，故B正确；

对C：又sin"酢卜1川，故“诅-五行故C错误；

,、”「11]-兀「兀5兀

对D：当一不彳时，7Lr+TG，

_ZZJ366_

7T5冗

由不是函数丫=5m》的单调递增区间，

00

故一）」不是函数〃尤）的单调递增区间，故D错误.

故选：AB.

H.费马原理是几何光学中的一条重要定理，由此定理可以推导出圆锥曲线的一些性质，例如，若点A是

22

双曲线C（用，鸟为C的两个焦点）上的一点，则C在点A处的切线平分/耳44.己知双曲线c：土-匕=1的

84

左、右焦点分别为片,B，直线/为C在其上一点4（4班,2百）处的切线，则下列结论中正确的是（）

A.C的一条渐近线与直线岳-y+3=0相互垂直

B.若点B在直线/上，且与8,A8,则|。邳=2夜（。为坐标原点）

C.直线/的方程为若x-返y-4=0

D.延长AF,交C于点P,则的内切圆圆心在直线彳=速上

3

【答案】ABD

【分析】根据双曲线方程即可求出渐近线可判断A,由角平分线性质可得G点坐标，求出直线/方程可判

断C,设出B点坐标由条件可判断B,假设片的内切圆圆心在直线x=上，由内心性质可判断D.

3

【详解】选项A：双曲线C:右-f=1的一条渐近线方程为y=与岳-y+3=0相互垂直，故A正

842

确；

选项BC：因为〃=2后,6=2,所以c=20，丹卜2石,0）,耳（2班,0）,

所以|泪=J（4指+2石『+（2灼2=8垃,|A阊=4夜,

y/15

/77<2八、

直线/：y=—x......-,即班尤-&y-2=0,故C错误，

513J

（h后-2

设2项吃一,则_飞__5,化简得：x=-百,

【代J命=二而二一无

所以3卜上，-君），则|OB|=2及，故B正确；

选项D：=小/11百=半'直线Ag：丫=平卜-2@,

化简得：7/_40氐+144=0

撞

"12732后岳

所以尸~39~

一2拒E

7

所以直线尸［:>=-等卜+26卜

2^3IL什。*士心48r

因为△4尸片的内切圆圆心在直线直线/：y=-x--—上，若又在直线工=空上上,

533

(4J32垂、

则内切圆圆心为周一，，一圆心到直线和：岳x-3y-6君=0的距离为:

I33J

F*3争一6囱,同,

J15+915

圆心到直线咫：屏x+39y+6石=0的距离为:

后口以拶+6石

4而，即4=4,

d=

2V15+39215

芈，*］为用的内切圆

所以点「望4百，三2至一、也在乙针书的角平分线上，即点

I33J

圆心，圆心在直线x=逋上，故D正确;

3

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：充分利用角平分线的性质得出G点坐标，根据直线垂直关系及点到直线距离公式可

判断各项.

第n卷

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知。为坐标原点，A(l,0),B为圆”:(x-2y+y2=i上一点且在第一象限，|A6|=1,则直线。3的

方程为.

【答案】y=—x

-3

【分析】数形结合求得直线02的倾斜角，进而即可求得直线方程.

【详解】根据题意，作图如下：

易知点A在圆M上，由可知，=

所以/区4M=60。，又因为41TAsI，所以N3Q4=30。，

则直线。8斜率左=tan3(T=也，故直线。3的方程为y=且无.故答案为：y=^x.

333

13.大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作注时介绍了“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”.如图是某同

学绘制的赵爽弦图，其中四边形ABCD,砂GH均为正方形，AD=AE^2,^FB-AH=.

【答案】16

【分析】建立直角坐标系，由数量积的坐标表示求解即可.

【详解】以。为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，因为AD=AE=2,

所以--2,0),8(2,2)4(0,2)5(4,2),所以FB=(4,2),AH=(4,0),所以丽・加=16.故答案为：⑹

33x_Ql_l

14.函数〃x)=)e:nar1/>())的最小值是.

【答案】3

【分析】解法一：求函数“X)的导函数((x),再利用导数研究尸(x)的零点及零点两侧函数值的正负，由

此确定函数/'(x)的单调性，再求其最值可得.

解法二：利用切线放缩可得

【详解】解法一：/'(%)=3吠+2彳；+3——2,

令g(x)=3x'e"+2x3e3x+31nx—2,

贝！Ig'(x)=9x4e3x+18x3e3x+6x2e3x+-,

x

当x>0时，g'(x)>0,

43%33x3+3hu3

所以g(x)在(0,+8)上单调递增,g(x)=3xe+2xe+31nx-2=3xe"-+2e+31nx-2,

设/z(无)=31nx+3x,

因为//(尤)=31n尤+3x在(0,+ao)上单调递增，

33

因为〃(1)=3>0,/7(e-)=-9+3e<0

存在不,使311Mo+3%=0,

且g(%o)=3x0+2+31nx0—2—31nx0+3x0—0,

故当x«0,x。)时,g(x)<0,即尸(x)<0,所以〃x)在区间(O,x0)单调递减,

当x«x0,+s)时，g(x)>0,即用x)>0,所以在区间(对—)单调增,

所以［〃尤几=〃尤。)=尤芳:小一1e3M+31叭311no131叫)=3

人()玉)尤o

解法二(最优解)：设p(x)=e，—x-l,则p'(x)=e-l,

所以当X«YO,0)时,p(x)<0,p(x)单调递减;当xw(O,E)时,p(x)>0,P(无)单调递增；所以

p(x)>p(O)=O,即e*2x+l,当且仅当尤=0时,等号成立；

g、―/\x3e3l-31nx-le3x+31nA-31nx-l3A：+31nx+l-31nx-l0

所以/(%)=------------=--------------2-------------------=3，

xxx

当且仅当x+lnx=O时等号成立,

设s（x）=_r+lnx,可得s（x）单调递增，又5卜一）=e--l<O,s⑴=1>0,

所以s（x）=0有解,所以"（X）L=3.

故答案为：3.

【点睛】方法点睛：解法一：导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重

要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、

微积分相联系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.（3）利用导数求函数

的最值（极值），解决生活中的优化问题.（4）考查数形结合思想的应用.

解法二：常见的切线放缩有e'"+l,e"Nex,lnxWx-l,lnxJx.

e

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）荥阳境内广武山上汉王城与霸王城之间的鸿沟，即为象棋棋盘上“楚河汉界”的历史原型，荥阳

因此被授予“中国象棋文化之乡”.有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛

必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换

负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛.设各局中双方获胜的概率均为各局比赛

的结果相互独立.

⑴求前3局比赛甲都取胜的概率；

（2）用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望.

【答案】⑴:

O

9

⑵分布列见解析，f

O

【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式计算即得；

（2）列出随机变量X的所有可能的值，分别求出每个值对应的概率，列出分布列，求出期望值.

【详解】（1）因各局比赛的结果相互独立，前3局比赛甲都获胜，

则前3局甲都取胜的概率为P=4x4x：=J.

222a

（2）X的所有可能取值为0,1,2,3.

其中，X=0表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则尸（X=0）=gxg=；；

X=1表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢；或第1局乙赢，且第2局乙输,

X=2表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输,

贝”(X=2)K4=，

X=3表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙赢,

所以X的分布列为

X0123

£11

P

4288

故X的数学期望为E(X)=0X9+1X:+2X：+3X!=，

42ooo

16.(15分)如图，四棱锥尸-ABCD的底面为矩形，平面PC。，平面ABC。，PCD是边长为2等边三角

形，8C=0，点E为8的中点，点〃为PE上一点(与点尸，E不重合).

(1)证明：AM±BD；

(2)当A”为何值时，直线AM与平面所成的角最大？

【答案】⑴证明见解析；

(2)2.

【分析】(1)根据面面垂直的性质定理可得平面ABCD,可得皮)，尸E,结合条件可得然

后利用线面垂直的判定定理及性质定理即得；

(2)利用坐标法，表示出平面的法向量，利用向量夹角公式结合基本不等式即得.

【详解】(1)因为三角形PCD是等边三角形，且E是DC中点，

所以PE1.CD,

又因为PEu平面尸C£),平面PCDJ_平面ABCD,平面尸CD「平面ABCD=CD,

所以尸E_L平面ABCD,

又因为BDu面A5CD,

所以BDLPE,

e、，r-ZJZL/\U

因为£>E=1,AD=&,A8=2，—=—,

所以RtEOAsRtDAB,ZDAE=ZABD,

IT

ff[]^ZBAE+ZABD=-,即

因为8£>_LPE,AE尸石=瓦4£匚平面24瓦尸£'<=平面2钻，

所以应>1平面巴4E,

又因为A"u平面B4E,

所以如_LAAf；

(2)设F是AB中点，以E为原点，E尸所在直线为x轴，EC所在直线为y轴，£P所在直线为z轴建立空

间直角坐标系，

由已知得E（0,0,0）,A（后，-1,0）,8（点,1,0）,0（0,-1,0）,P（0,0,白）,

设M（0,0,机）（0<小<有），则AM=（-72,1,m）,BD=（一0,-2,0）,OM=（0,1,机）、

设平面BDM的法向量为n=（a,b,c）,

,n-BD=-s/2a-26=0

则n，

n•DM=b+me=0

令b=l,有〃=

设直线AM与平面BDM所成的角。,

所以sina=|cos（?AM）=n-AM

|??|.AM

当且仅当〃2=1时取等号，

当AM=2时，直线A"与平面SDA1所成角最大.

17.(15分)设函数/(无)=g依2+(i一元)e\

(1)当时，讨论/(尤)的单调性；

(2)若xw［-2,2］时，函数/(无)的图像与丫=二的图像仅只有一个公共点，求。的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

⑵(l,2e)

【分析】(1)借助导数对。(0、。=1及0<。<1分类讨论即可得；

x

(2)原问题可等价于方-2/=0即。=竺7PX在1-2,0)10,2］上无解，构造函数g(x)=竺9p，借助导数研究即

XX

可得.

【详解】(1)/(X)的定义域为R,f'(x)=ax-x&x=x{a-er),

①当a40时，a-e'<0,由/'(x)=x(q-e')>0,得尤<0,

由/''(x)=x(a-e")<。，得尤>0,

.•.当a<0时，/(尤)的在区间(-8,0)上单调递增，在区间(0,+刈上单调递减,

②当。=1时，/,(x)=x(l-ex),八0)=0,

当xwO时，/(无)<0,/(')的区间(-8,入)上单调递减，

③当0<°<1时，由尸(x)=x(a-eX)=0,得x=0或x=lna,且lna<0.

当x变化时，/'(%),/(尤)的变化情况如下表：

X(-00,Ina)(Ina,0)(0,+co)

/(X)—+—

f(x)递减递增递减

综上所述，当。W0时，Ax)的在区间(-8,0)上单调递增，在区间(0,+8)上单调递减;

当a=l时，/(X)在区间(-8,+◎上的单调递减；

当0<.<1时，〃尤)在区间(In。,0)上的单调递增，

在区间(-8,Ina)和(0,+8)上单调递减区间；

(2)若xe［-2,2］时，函数/⑴的图像与〉=二的图像仅只有一个公共点，

即关于x的方程g办2+(l-x)e'=e',即x(ax-2e')=0在区间［-2,2］上仅只有一个解,

%=0是方程的解，且x=0时ox-2e"w0,

2ex

「•问题等价于"-2/=0即〃=竺在［-2,0)(0,2］上无解，

x

2ex

即曲线g(x)=±±(-2Wx<0或。vx《2)与直线y=Q无公共点，

g，(x)=2e'(：T),由，(x)=0得彳=1,

当-2«%<0或0<xW2时，X变化时，g'Q),gQ)的变化情况如下表:

X-2(-2,0)0(0,1)1(1,2)2

g'(x)——+

g(无)-e-2递减，负值无意义递减，正值极小值2e递增，正值e2

且当x>0且％—>0时，g(x)—+00；当X<0且X—>0时，g(x)―—CO.

故。的取值范围为(-e<,2e).

18.(17分)已知抛物线C：V=4x的焦点为F，在x轴上的截距为正数的直线/与C交于P,。两点，直线PE

与C的另一个交点为R.

⑴若R1』J,求1P印

(2)过点R作C的切线若/I',则当一PQR的面积取得最小值时，求直线/的斜率.

【答案】⑴宁25

(2)±1

【分析】(1)由题意计算直线尸产的斜率，写出直线P尸的方程，联立抛物线计算交点坐标，由过焦点的焦

点弦长公式可得结果；

(2)设直线网的方程为：x=my+l,并设网0力),7?@，%)，联立直线与抛物线方程可得韦达定理以及

弦长|依|,求出在点R处的切线斜率，写出直线尸Q的方程，求解点。的坐标，以及点。到直线网的距离,

用点坐标8七,％)化简计算，可求出面积最小时的力的值，从而求出治，可求出斜率.

【详解】(1)由题意可知/(1,0),因为则直线PF的斜率为％=-g,

所以直线PF的方程为y=-1（%-1）,

y1=4x

联立4Z、，可得4——17%+4=0,BP（4x-l）（x-4）=0,

y=一§（i）

解得七=；,々=4,当％2=4时，y=-4,则P（4,-4）,

25

故|「穴|=|再+巧+。|=1.

（2）设直线尸R的方程为x=my+l,并设/（七,%）水（斗％），

1丫2=4V

联立）,消犬可得y2_4切_4=0,

[x=my+1

则「1%一+-=4”m，公=16布+16>0恒成立，

1%•%=T

|尸氏卜yjl+m21%-%|=Jl+/]（%+为『-4%，%

=yjl+m2yJ16m2+16=4（1+〃-）,

设过点R（*%）的切线方程为：y-y.=k（x-x4）,

y2=4%

联立，/、，得外2_4>-4也+4%=。，

〔,一必=上@一匕）

因为△=（）,贝!J有16-4%（4%-4依4）=0,

2

因为R（z，%）在抛物线上，所以皿=4匕，代入求解可得上=一,

2

所以p。的直线方程为：y-%=—（X-%）,设。（%,%）,

y2=4x

联立2,、，消去无可得丁―2”广气-8=0,

,一%=一（冗一七）

、）4

因为尸（七,为）在抛物线上，所以4=4九3,代入可得丁—2%y-货-8=0,

16

%+%=2y4rTr*|-88¥”

则有所以%=------=-%—,不=芋+1+4,

%%4%

即纥%-；%普+3,

21.168

+/4-m-y------11

点。到直线质的距离为「4£3

a二

A/1+m2

4

为—一

国+与+4+%81■+§+4

%+一卜1

4%J4%2%-2

Jl+m2

yjl+m2

则c1Jx|P7?|-^x2%黄

PQR=~Xx4(l+疗

yjl+m2

16

+¥

16

+7

当且仅当£=3,普=±时，即丫3=±2时，等号成立,

为16%

所以当为=±2时，三角形PQR面积最小，

2

因为%•%=-4,所以％=-2或乂=2,此时/=一=±1.

y4

19.(17分)根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数z=f(羽y)在约束条件gQ,y)的可能极值点，首

先构造出一个拉格朗日辅助函数L{x,y,A)=f(x,y)+Ag(x,y),其中几为拉格朗日系数.分别对L(x,y,2)中

的龙,部分求导，并使之为0,得到三个方程组，如下：

4(x,y,A)=fx(x,y)+Agx(x,y)=0

<Lv(x,y,2)=fy(x,y)+Agy(x,y)=0,解此方程组，得出解(苍〉),就是二元函数z=/(x,y)在约束条件g(x,y)

/式x,y,X)=g(x,y)=0

的可能极值点.%，，的值代入到中即为极值.

补充说明：【例】求函数/(X,y)=/+孙+/关于变量X的导数.即：将变量y当做常数，即：fx(x,y)=2x+y,

下标加上X,代表对自变量无进行求导.即拉格朗日乘数法方程组之中的4,4,〃表示分别对X,弘力进行求

导.

(1)求函数f(x,y)=x2y2+2孙+孙2关于变量y的导数并求当x=i处的导数值.

⑵利用拉格朗日乘数法求：设实数羽V满足g(x,y)=4/+/+孙-1=0,求/(x,y)=2x+y的最大值.

(3)①若羽V，z为实数，且％+y+z=l,证明：x2+y2+z2>1.

11

②设求2。9+—+------10tzc+25c9的最小值.

aba^a-b)

【答案】⑴力(羽丁)=2。+2%+29，