2024-2025学年新教材高中数学第9章解三角形单元测试含解析新人教B版必修第四册

PAGE7-第九章eq\o(\s\up7(其次部分),\s\do5(阶段测试))第九章单元测试时间：90分钟分数：150分一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．在△ABC中，若a＝eq\f(\r(5),2)b，A＝2B，则cosB等于()A.eq\f(\r(5),3)B.eq\f(\r(5),4)C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(\r(5),6)2．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝eq\r(10)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A．－eq\f(3,2)B．－eq\f(2,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,2)3．△ABC中，B＝eq\f(π,3)，且a＋c＝eq\f(3\r(3),2)，b＝eq\r(3)，则△ABC的面积为()A.eq\f(5\r(3),16)B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(7\r(3),12)D．2eq\r(3)4．已知锐角三角形的三边长分别为3,4，a，则a的取值范围是()A．(1,5)B．(1,7)C．(eq\r(7)，5)D．(eq\r(7)，7)5．在△ABC中，a＝1，B＝45°，△ABC的面积为2，则三角形外接圆的半径为()A．2eq\r(3)B．4eq\r(2)C.eq\f(5\r(2),2)D．3eq\r(2)6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝()A.eq\f(3π,4)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)7．如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船航行的速度为()A.eq\f(17\r(6),2)海里/时B．34eq\r(6)海里/时C.eq\f(17\r(2),2)海里/时D．34eq\r(2)海里/时8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tanC等于()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,3)C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(4,3)二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)9．在△ABC中，依据下列条件解三角形，其中有两解的是()A．b＝10，A＝45°，C＝70°B．b＝45，c＝48，B＝60°C．a＝14，b＝16，A＝45°D．a＝7，b＝5，A＝80°10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满意sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是()A．2sinB＝sinAB．2cosB＝cosAC．a＝2bD．B＝2A11．在△ABC中，已知(a＋b)：(c＋a)：(b＋c)＝6：5：4，给出下列结论中正确结论是()A．由已知条件，这个三角形被唯一确定B．△ABC肯定是钝角三角形C．sinA：sinB：sinC＝7：5：3D．若b＋c＝8，则△ABC的面积是eq\f(15\r(3),2)12．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是()A．若tanA＋tanB＋tanC＞0，则△ABC是锐角三角形B．若acosA＝bcosB，则△ABC是等腰三角形C．若bcosC＋ccosB＝b，则△ABC是等腰三角形D．若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，则△ABC是等边三角形三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．在等腰三角形ABC中，已知sinA：sinB＝1：2，底边BC＝10，则△ABC的周长是________．14．某人在C点测得塔在南偏西80°方向，且塔顶A的仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10m到B点，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为________m.15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝________.16．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________.四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝－eq\f(1,7).(1)求∠A；(2)求AC边上的高．18．(12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a2＋c2＝b2＋eq\r(2)ac.(1)求角B的大小；(2)求eq\r(2)cosA＋cosC的最大值．19．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsinA＝eq\r(3)acosB.(1)求B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值． 20.(12分)已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝eq\f(π,3)，求△ABC的面积． 21.(12分)如图，已知A，B，C是一条直路上的三点，AB与BC各等于1km，从三点分别遥望塔M，在A处望见塔在北偏东45°方向，在B处望见塔在正东方向，在C处望见塔在南偏东60°方向，求塔到直路ABC的最短距离．22．(12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A＋eq\f(3,2)＝2cosA.(1)求角A的大小；(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．第九章单元测试1．答案：B解析：由正弦定理，得eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)，∴a＝eq\f(\r(5),2)b可化为eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(\r(5),2).又A＝2B，∴eq\f(sin2B,sinB)＝eq\f(\r(5),2)，∴cosB＝eq\f(\r(5),4).2．答案：D解析：在△ABC中，cos∠BAC＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(9＋4－10,2×3×2)＝eq\f(1,4)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|cos∠BAC＝3×2×eq\f(1,4)＝eq\f(3,2).3．答案：A解析：∵B＝eq\f(π,3)∴由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2)，∴eq\f((a＋c)2－2ac－b2,2ac)＝eq\f(1,2).又a＋c＝eq\f(3\r(3),2)，b＝eq\r(3)，∴eq\f(27,4)－2ac－3＝ac.∴ac＝eq\f(5,4).∴S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×eq\f(5,4)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5\r(3),16).4．答案：C解析：∵三角形为锐角三角形，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(32＋a2>16，,32＋42>a2，))解得7＜a2<25，又a>0，∴eq\r(7)<a<5，∴a的取值范围是(eq\r(7)，5)．5．答案：C解析：由三角形的面积公式，得2＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)c×eq\f(\r(2),2)，∴c＝4eq\r(2).又b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋32－2×1×4eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝25，∴b＝5，又∵eq\f(b,sinB)＝2R.∴R＝eq\f(b,2sinB)＝eq\f(5,2×\f(\r(2),2))＝eq\f(5\r(2),2).6．答案：C解析：由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，又因为b＝c，所以a2＝b2＋b2－2b×bcosA＝2b2(1－cosA)．由已知a2＝2b2(1－sinA)，所以sinA＝cosA，因为A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,4).7．答案：A解析：由题意知PM＝68海里，∠MPN＝120°，∠N＝45°.由正弦定理，知eq\f(PM,sin45°)＝eq\f(MN,sin120°)，∴MN＝68×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)＝34eq\r(6)(海里)．∴速度为eq\f(34\r(6),4)＝eq\f(17\r(6),2)(海里/时)．8．答案：D解析：由2S＝(a＋b)2－c2，得2S＝a2＋b2＋2ab－c2，即2×eq\f(1,2)absinC＝a2＋b2＋2ab－c2，所以absinC－2ab＝a2＋b2－c2.由余弦定理可知cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(absinC－2ab,2ab)＝eq\f(sinC,2)－1，所以cosC＋1＝eq\f(sinC,2)，即2cos2eq\f(C,2)＝sineq\f(C,2)coseq\f(C,2)，所以taneq\f(C,2)＝2.所以tanC＝eq\f(2tan\f(C,2),1－tan2\f(C,2))＝eq\f(2×2,1－22)＝－eq\f(4,3).9．答案：BC解析：选项B满意csin60°＜b＜c，选项C满意bsin45°＜a＜b，所以B、C有两解．对于选项A，可求得B＝180°－A－C＝65°，三角形有一解．对于选项D，由sinB＝eq\f(bsinA,a)，且b＜a，可得B为锐角，只有一解，三角形只有一解．10．答案：AC解析：因为sin(A＋C)＋2sinBcosC＝2sinAcosC＋cosAsinC，所以2sinBcosC＝sinAcosC，又0＜C＜eq\f(π,2)，得2sinB＝sinA，从而由正弦定理得2b＝a.11．答案：BC解析：∵(a＋b)：(c＋a)：(b＋c)＝6：5：4，∴设a＋b＝6k，c＋a＝5k，b＋c＝4k，(k＞0)，得a＝eq\f(7,2)k，b＝eq\f(5,2)k，c＝eq\f(3,2)k，∴a：b：c＝7：5：3，∴sinA：sinB：sinC＝7：5：3，选项C正确．由于三角形ABC的边长不确定，所以三角形不确定，选项A错误．由于cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\f(25,4)k2＋\f(9,4)k2－\f(49,4)k2,2×\f(5,2)×\f(3,2)k2)＝－eq\f(1,2)<0所以A是钝角，即△ABC是钝角三角形，选项B正确．若b＋c＝8，则eq\f(5,2)k＋eq\f(3,2)k＝4k＝8，∴k＝2，∴b＝5，c＝3，A＝120°，∴△ABC的面积S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×5×3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),4).选项D错误．12．答案：ACD解析：∵tanA＋tanB＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)，∴tanA＋tanB＋tanC＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)＋tanC＝tanAtanBtanC＞0，又A，B，C是△ABC的内角，∴角A，B，C都是锐角，选项A正确．若acosA＝bcosB，则sinAcosA＝sinBcosB，∴2sinAcosA＝2sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∴A＝B，或A＋B＝90°，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，选项B错误．若bcosC＋ccosB＝b，sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA＝sinB，则A＝B，∴△ABC是等腰三角形，选项C正确．若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，则eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(sinB,cosB)＝eq\f(sinC,cosC)，即tanA＝tanB＝tanC，∴A＝B＝C，∴△ABC是等边三角形，选项D正确．13．答案：50解析：由正弦定理，得BC：AC＝sinA：sinB＝1：2，又底边BC＝10，∴AC＝20，∴AB＝AC＝20，∴△ABC的周长是10＋20＋20＝50.14．答案：10解析：设塔底为A′，AA′＝hm，则借助于实物模拟图(如图所示)可以求得A′C＝hm，A′B＝eq\r(3)hm，在△A′BC中，A′C＝hm，BC＝10m，A′B＝eq\r(3)hm，∠A′CB＝120°，∴(eq\r(3)h)2＝h2＋100－2h×10×cos120°，即h2－5h－50＝0，解得h＝10(h＝－5舍)．15．答案：1解析：依题意有S△ABC＝S△BCD＋S△ABD，即eq\f(1,2)acsin120°＝eq\f(1,2)a×1×sin60°＋eq\f(1,2)c×1×sin60°，ac＝a＋c，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝1.16．答案：eq\f(12\r(2),5)解析：如图所示，设CD＝x，∠DBC＝α，则AD＝5－x，∠ABD＝eq\f(π,2)－α，在△BDC中，由正弦定理得eq\f(3,sin\f(π,4))＝eq\f(x,sinα)＝3eq\r(2)⇒sinα＝eq\f(x,3\r(2)).在△ABD中，由正弦定理得eq\f(5－x,sin(\f(π,2)－α))＝eq\f(4,sin\f(3π,4))＝4eq\r(2)⇒cosα＝eq\f(5－x,4\r(2)).由sin2α＋cos2α＝eq\f(x2,18)＋eq\f((5－x)2,32)＝1解得x1＝－eq\f(3,5)(舍去)，x2＝eq\f(21,5)，在△BDC中，由正弦定理，得BD＝BC·eq\f(sin∠C,sin∠BDC)＝eq\f(3×\f(4,5),\f(\r(2),2))＝eq\f(12\r(2),5).17．解析：(1)在△ABC中，因为cosB＝－eq\f(1,7)，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(4\r(3),7).由正弦定理得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(3),2).由题设知eq\f(π,2)<∠B<π，所以0<∠A<eq\f(π,2).所以∠A＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，因为sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(3\r(3),14)，所以AC边上的高为asinC＝7×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(3\r(3),2).18．解析：(1)由余弦定理及a2＋c2＝b2＋eq\r(2)ac得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(\r(2),2).又0<B<π，∴B＝eq\f(π,4).(2)由(1)知，A＋C＝π－B＝eq\f(3π,4)，∴eq\r(2)cosA＋cosC＝eq\r(2)cosA＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－A))＝eq\r(2)cosA－eq\f(\r(2),2)cosA＋eq\f(\r(2),2)sinA＝eq\f(\r(2),2)cosA＋eq\f(\r(2),2)sinA＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4))).又0<A<eq\f(3π,4)，∴eq\f(π,4)<A＋eq\f(π,4)<π，∴A＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)时，即A＝eq\f(π,4)时，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))取得最大值1，∴eq\r(2)cosA＋cosC的最大值为1.19．解析：(1)∵bsinA＝eq\r(3)acosB，∴由正弦定理得，sinBsinA＝eq\r(3)sinAcosB，∵A为△ABC的内角，∴sinA>0，∴tanB＝eq\r(3)，∵0<B<π，∴B＝eq\f(π,3).(2)∵sinC＝2sinA，∴c＝2a.由(1)知B＝eq\f(π,3)，∵b2＝a2＋c2－2accosB，∴a2＋(2a)2－2a×2a×eq\f(1,2)＝9，∴a＝eq\r(3)，c＝2eq\r(3).20．解析：(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，由正弦定理，得a2＝b2，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)由题意知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.∴ab＝4(ab＝－1舍去)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×4×sineq\f(π,3)＝eq\r(3).21．解析：由题意得∠CMB＝30°，∠AMB＝45°，∵AB＝BC＝1，∴S△MAB＝S△MBC，即eq\f(1,2)MA×MB×sin45°＝eq\f(1,2)MC×MB×sin3