2023-2024学年上海交大附中高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年上海交大附中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足|z−1|=1，|z|的取值范围为(

)A.[0,2] B.(0,2) C.[0,4] D.(0,4)2.在同一平面直角坐标系内，将所有可以用两点式方程表示的直线组成的集合记为A；将所有可以用点斜式方程表示的直线组成的集合记为B；将所有可以用点法式方程表示的直线组成的集合记为C.则下列结论中正确的是(

)A.A=B=C B.C⊂B⊂A C.A⊂B⊂C D.B⊂C⊂A3.已知向量a，b，c满足a+b+c=0，且a2<b2A.a⋅b B.b⋅c C.4.若无穷数列{an}满足：a1≥0，当n∈N，n≥2时，|an−an−1|=max{a1,a2,⋯,an−1}(其中max{a1,a2,⋯,an−1}表示a1，a2，⋯，an−1中的最大项)，有以下结论：

①若数列{an}是常数列，则aA.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。5.平面直角坐标系中，以(−2,1)为圆心，且经过原点的圆的方程为______．6.在复数范围内方程x2−2x+3=0的解集是______．7.若等差数列{an}的前三项依次为1，a+1，a+3，则实数a8.已知数列{an}的前n项和Sn=n9.已知|a|=|b|=2，a⋅b10.已知a=(1,−1)，b=(2,0)，则b在a方向上的投影的坐标为______．11.直线l1：y=2x−1与l2：y=112.将无限循环小数化为分数：0.3.1.13.已知△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且AB+AC=2AO，|AB|=|14.计算：k=11979coskπ18015.当今各网络销售平台通常会提供上门回收旧家具服务.平台工作人员小牛正在回收某客户淘汰的旧家具，为了省力，小牛选择将旧家具水平推运(旧家具背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于旧家具背面).已知旧家具的形状为长方体.小牛在推运过程中遇到一处直角过道，如图所示，过道宽为1.8米.记旧家具在地面的投影为矩形EFGH，其中宽度EH=1.2米.请帮助小牛得出结论：按此种方式推运的旧家具，可以通过该直角过道的最大高度EF为______米(结果精确到0.1米)．16.已知n是大于3的正整数，平面直角坐标系xOy中，正n边形P1P2⋯Pn内接于单位圆.若集合S={P||PO|≤|PPi|,i=1,2,⋯,n}，则集合三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)

已知复数z=(2−a)+(2+a)i，其中i为虚数单位，a∈R．

(1)若z⋅z−=16，求实数a的值；

(2)求|z−2|的最小值，并指出|z−2|取到最小值时实数18.(本小题12分)

已知函数y=f(x)，其中f(x)=sin(ωx+φ)，(ω>0,0≤φ<2π)．

(1)若ω=1，φ=0，在用“五点法”作出函数y=f(x)，x∈[0,2π]的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成如表：x0f(x)0(2)若ω=2，φ=π3，写出函数y=f(x)的最小正周期和单调增区间；

(3)若y=f(x)的频率为1π，且f(x)≤f(π19.(本小题12分)

如图，某地有三家工厂分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处.AB=20km，BC=10km.为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内(不含边界)且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道OA、OB、OP.记排污管道的总长度为ykm．

(1)设∠BAO=θ，将y表示成θ的函数并求其定义域；

(2)确定污水处理厂的位置，使排污管道的总长度y最短，并求出此时y的值．20.(本小题12分)

如图，平面直角坐标系xOy中有一张圆形纸片(不计厚度)，圆心为坐标原点O，OA是圆形纸片的一条半径，其中点A(2,0)，点B是线段OA的中点.在圆形纸片的边界上任取一点P，将纸片对折，使得P与B重合，展开后得到的折痕为线段MN(端点M、N在纸片边界上)：

(1)若点P与点A重合，求折痕MN所在直线的方程；

(2)若PB⊥OA，且点P在第一象限，求线段MN的长度；

(3)求线段MN的长度的取值范围．21.(本小题12分)

若无穷数列{an}满足：存在正整数T，使得an+T=an对一切正整数n成立，则称{an}是周期为T的周期数列．

(1)若an=2n+3，bn=3(n∈N∗)，判断数列{an}与{bn}是否为周期数列(不必说明理由)；

(2)若an+1=sinan(n∈参考答案1.A

2.C

3.B

4.C

5.(x+2)6.{1+7.2

8.252

9.π310.(1,−1)

11.π412.319913.3

14.0

15.2.6

16.n417.解：(1)z−=(2−a)−(2+a)i，

z=(2−a)−(2+a)i，z⋅z−=(2−a)2+(2+a)2=8+2a2=16，解得a=±2．

经检验，a=±2满足要求；

(2)|z−2|=|−a+(2+a)i|=(−a)2+(2+a)18.解：(1)若ω=1，φ=0，则f(x)=sinx，x∈[0,2π]，

五点法列表如下：x0ππ3π2πf(x)010−10(2)若ω=2，φ=π3，则f(x)=sin(2x+π3)，

所以f(x)最小正周期T=2π2=π，

令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，

解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，

所以y=f(x)的单调增区间为[kπ−5π12,kπ+π12]，k∈Z．

(3)由题意可得y=f(x)的周期19.解：(1)如图所示，延长PO交AB于点E，

根据题意OA=OB，PE=10，PE⊥AB，AE=10，

当点O，E重合时，θ=0最小；

当点O，P重合时，θ=∠PAE=π4最大，

当点O与P，E不重合时，

在△OAE中，cosθ=AEOA，tanθ=OEAE，OA=OB=AEcosθ=10cosθ，OE=tanθ⋅AE=10tanθ，

所以y=OA+OB+PO=10cosθ+10cosθ+10−10tanθ=20cosθ+10−10tanθ=20−10sinθcosθ+10，

所以y=20−10sinθcosθ+10，函数的定义域为θ∈[0,π4]；

(2)y=20−10sinθcosθ+10，θ∈[0,π4]，

y′=−10cosθcosθ−(20−10sinθ)(−sinθ)cos2θ=10(2sinθ−1)cos2θ，20.解：(1)点P与点A重合时，折痕MN所在直线为线段AB的中垂线，其方程为x=32；

(2)点B(1,0)，PB⊥OA且点P在第一象限时，P(1,3)，

所以线段AB的中垂线MN的方程为y=32，

圆心O到直线MN的距离d=32，

所以|MN|=24−d2=13；

(3)设P(m,n)，其中m2+n2=4，

折痕MN所在直线即线段PB的中垂线(x−1)2+y2=(x−m)2+(y−n)2，

21.解：(1)数列{an}不是周期数列，数列{bn}是周期数列．

因为an=2n+3，

假设存在正整数T，使得an+T=an对一切正整数n成立，

即2(n+T)+3=2n+3，解得T=0∉N∗，

所以数列{an}不是周期数列，

因为bn=3(n∈N∗)，

对任意的正整数T，均有bn+T=3=bn(n∈N∗)，

所以数列{bn}是周期数列，

综上，数列{an}不是周期数列，数列{bn}是周期数列；

(2)对任意n≥2时，an=sinan−1∈[−1,1]，

所以|an+1|=|sinan|=