大学文科数学之线性代数与概率统计

大学文科数学

之

线性代数与概率统计北京师范大学珠海分校国际特许经营学院与不动产学院2004-2005学年第二学期欧阳顺湘2005.5.11

在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.

因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的.在这些数字特征中，最常用的是期望和方差Whenalargecollectionofnumbersisassembled,asinacensus,weareusuallyinterestednotintheindividualnumbers,butratherincertaindescriptivequantitiessuchastheaverageorthemedian.Ingeneral,thesameistruefortheprobabilitydistributionofanumerically-valuedrandomvariable.Inthisandinthenextsection,weshalldiscusstwosuchdescriptivequantities:theexpectedvalueandthevariance.随机变量的期望(均值)ExpectedValueorExpectationorMeanorAverageNumber要点期望的定义离散型随机变量的期望连续型随机变量的期望期望的意义期望的应用ExpectedValue

ofDiscreteRandomVariables离散型随机变量的分布列完全描述了这个随机变量的取值规律,但在许多实际问题中,我们并不需要这样的“全面描述”,而是希望能有一个数来描述这个随机变量的“平均取值”.例如,同一品种的小麦,每亩地的产量不会完全相同,人们关心的是平均产量.同是7岁的男孩，体重并不一致，为了考察儿童的发育状况,人们更关心他们的平均体重.随机变量的取值在事前无法预知,取各个值的概率一般也不尽相同.那么,怎样的一个数能够“代表”这个随机变量取值的平均水平呢?我们先来看看下面常见的求平均值的问题问题

设有12个西瓜,其中有4个重5公斤,3个重6公斤,5个重7公斤,求西瓜的平均重量.西瓜的平均重量应为12个瓜的总重量除以瓜的总个数,即

注意到上式的计算也可写成如下形式:其中4/12,

3/12

5/12分别为重量是5、6、7公斤的西瓜数在总西瓜数中所占的比重.加权平均西瓜的平均重量可以写成各重量与相应重量的瓜数在所有瓜数中的比重的乘积和现在从这12个西瓜中随机取一个.则取得的西瓜的重量X(单位:公斤)是一个随机变量,可能取值为5,6,7.X的分布列为定义1设X是离散型随机变量，它的概率函数是:P(X=Xk)=pk

,k=1,2,…也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.如果有限,定义X的数学期望Example2

Letanexperimentconsistoftossingafaircointhreetimes.HHH３HHT２HTH２THH２TTH１THT１HTT１TTT０TTT

０TTH,THT,HTT

１HHT,HTH,THH２HHH

３1/83/83/81/8Example1

Letanexperimentconsistoftossingafaircointhreetimes.HHH,HHT,HTH,THH,TTH,THT,HTT,TTTLetXdenotethenumberofheadswhichappear.

ThenthepossiblevaluesofXare0,1,2and3.

Thecorrespondingprobabilitiesare1/8,3/8,3/8,and1/8.Thus,theexpectedvalueofXequals二项分布的期望设Ｘ～Ｂ(n,p)E(X)=npProof:例如，对上面的例子，Ｘ～B(3,1/2)E(X)=3/2Exercise２InLasVegas,aroulettewheelhas38slotsnumbered0,00,1,2,...,36.The0and00slotsaregreen,andhalfoftheremaining36slotsareredandhalfareblack.Acroupierspinsthewheelandthrowsanivoryball.Ifyoubet1dollaronred,youwin1dollariftheballstopsinaredslot,andotherwiseyouloseadollar.Wewishtocalculatetheexpectedvalueofyourwinnings,ifyoubet1dollaronred.LetXbetherandomvariablewhichdenotesyourwinningsina1dollarbetonredinLasVegasroulette.ThenthedistributionofXisgivenby期望的解释投掷一枚均匀的骰子,只可能出现1点,2点,…

,6点,怎样解释这个均值7/2呢?观察一个随机变量X,你能期望它取得均值EX吗?投掷一枚骰子100次后所得点数和近似于100×7/2=350例3某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门.若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望.解:设试开次数为X,P(X=k)=1/n,k=1,2,…,nE(X)于是二、连续型随机变量的数学期望设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点x0<x1<x2<…,则X落在小区间[xi,xi+1)的概率是小区间[xi,xi+1)阴影面积近似为小区间[Xi,Xi+1)由于xi与xi+1很接近,所以区间[xi,xi+1)中的值可以用xi来近似代替.这正是的渐近和式.阴影面积近似为近似,因此X与以概率取值xi的离散型r.v

该离散型r.v

的数学期望是由此启发我们引进如下定义.定义2设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),如果有限,定义X的数学期望为也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.

若X~U(a,b),即X服从(a,b)上的均匀分布,则由随机变量数学期望的定义，不难计算得：若X服从特别,如果X服从N(0,1)则,E(X)=0

这意味着，若从该地区抽查很多个成年男子，分别测量他们的身高，那么，这些身高的平均值近似是1.68.已知某地区成年男子身高X~练习ThetimebetweenarrivalsisanexponentiallydistributedrandomvariableXwithdensityfunctionFindtheexpectedvalueofthetimebetweenarrivals.三、数学期望的性质

1.设C是常数，则E(C)=C;4.设X、Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y);

2.若k是常数，则E(kX)=kE(X);

3.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);（诸Xi独立时）注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立例6某射击队共有9名队员,技术不相上下,每人射击中靶的概率均为0.8.进行射击时，各自打中靶为止为止，但限制每人最多只打3次，问大约要为他们准备多少发子弹?设

i为第i名队员所需子弹数，

为9名队员所需子弹数目=1+2+3+…9E=E(1+2+3+…+9)

=E1+E2+E3+…+E9=9E1S:success射中F:Failure

不射中P(=1)=P(S)=0.8P(=2)=P(FS)=0.2

0.8P(=3)=P(FFS+FFF)=P(FFS)+P(FFF)

=0.2

0.2

0.8+0.2

0.2

0.2=0.2

0.2例Acoinistossedtwice.Xi=1ifthe

ithtossisheadsand0otherwise.WeknowthatX1andX2areindependent.Theyeachhaveexpectedvalue1/2.ThusE(X1·X2)=E(X1)E(X2)=(1/2)(1/2)=1/4.随机变量的独立性随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念两事件A,B独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B独立.设X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有则称X,Y相互独立.两随机变量独立的定义是：例 WeflipacoinandletXhavethevalue1ifthecoincomesupheadsand0ifthecoincomesuptails.Then,werolladieandletYdenotethefacethatcomesup.ItreasonabletoassumethatXandYareindependent.WhatdoesX+Ymean,andwhatisitsdistribution?Thisquestioniseasilyansweredinthiscase,byconsideringthejointrandomvariableZ=(X,Y),whoseoutcomesareorderedpairsoftheform(x,y)用分布函数表示,即设X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有则称X,Y相互独立.

它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.其中是X,Y的联合密度，几乎处处成立，则称X,Y相互独立.对任意的x,y,

有若(X,Y)是连续型r.v，则上述独立性的定义等价于：这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积为0的集合外，处处成立.分别是X的边缘密度和Y

的边缘密度.若(X,Y)是离散型r.v，则上述独立性的定义等价于：则称X和Y相互独立.对(X,Y)的所有可能取值(xi,

yj),有四、数学期望性质的应用例1求二项分布的数学期望若X~B(n,p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数.现在我们来求X的数学期望.可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np.

X~B(n,p),若设则X=X1+X2+…+Xn=

npi=1,2，…，n因为P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p所以E(X)=则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数.E(Xi)==p例保险问题例

设某保险公司有10000人参加人身意外保险.该公司规定:每人每年付公司120元,如果遇到意外死亡,公司将赔偿10000元.如果每人每年意外死亡率为0.006,试讨论该公司是否会亏本(不考虑公司的其他赔偿费用、开支和收入).如果用X表示这10000人中意外死亡的人数,那么X服从参数为n=10000;p=0.006的二项分布,即死亡X人时,公司要赔偿X万元,它的利润是(120-X)万设某保险公司有10000人参加人身意外保险.该公司规定:每人每年付公司120元,如果遇到意外死亡,公司将赔偿10000元.如果每人每年意外死亡率为0.006,求该保险公司的年平均利润.用X表示投保的10000人中意外死亡的人数,则X~B(10000;0.006),则每年的死亡人数平均为EX=10000*0.006=60.因此,年平均损失为60万元.这样,该公司的年平均利润为120-60＝60万元.随机变量函数的数学期望

1.问题的提出：设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望.那么应该如何计算呢？如何计算随机变量函数的数学期望?一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来.一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.

使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的.那么是否可以不