2024年北京大学附中高考数学模拟试卷（六）（4月份）

2024年北京大学附中高考数学模拟试卷（六）（4月份）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.（5分）已知全集0=人，集合/={x|x<—1或x〉l},则令Z=（）

A.（-oo,-l）U（1,+GO）B.（-OO,-1]U[1,+GO）

C.D.[-1,1]

2.（5分）已知定义在R上的奇函数/（x）在[0,+s）上单调递减，且a+b〉0,b+c〉0,a+c〉0,

则/⑷+/优）+/（c）的值（）

A.恒为正B.恒为负C.恒为0D.无法确定

3.（5分）将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的图象上

的所有点向右平移2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为（）

A.j=sin（2x-2）B.j=sin（2x+2）

C.y=sin[；x+l]D.y=sin]gx-l]

2x~y~2W0

4.（5分）已知X,y满足不等式卜+.y-1三0，则Z=y-3x的最小值是（）

户1

7

A.1B.-3C.-1D.——

2

5.（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（）

俯视图

A.4B.2亚c.V7D.2

6.（5分）已知S,是等差数列｛%｝的前〃项和,则“5“<叫,对，〃>2恒成立”是“数列｛%｝为递增数

歹的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.（5分）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14,10,8.若这三天中至少有一天开车

上班的职工人数是20,则这三天都开车上班的职工人数至多是（）

A.5B.6C.7D.8

8.（5分）某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得

分的高低进行综合排序，综合排序高者中标.

分值权重表如下：

总分技术商务报价

100%50%10%40%

技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的.报价表则相对灵活，报价标的评

分方法是：基准价的基准分是68分，若报价每高于基准价1%,则在基准分的基础上扣0.8分，最低得

分48分；若报价每低于基准价1%,则在基准分的基础上加0.8分，最高得分为80分.若报价低于基准

价15%以上（不含15%）每再低1%,在80分在基础上扣0.8分.

在某次招标中，若基准价为1000（万元）.甲、乙两公司综合得分如下表:

公司技术商务报价

甲80分90分A甲分

乙70分100分A乙分

甲公司报价为1100（万元），乙公司的报价为800（万元）则甲，乙公司的综合得分，分别是（）

A.73,75.4B.73,80C.74.6,76D.74.6,75.4

二、填空题（共6小题，每小题5分）

9.（5分）若平面向量a=（4,2）》=（—2,加），且a_L（a+书），则实数加的值为.

10.（5分）将标号为1,2,…，20的20张卡片放入下列表格中，一个格放入一张卡片.把每列标号最小

的卡片选出，将这些卡片中标号最大的数设为a；把每行标号最大的卡片选出，将这些卡片中标号最小

的数设为上

甲同学认为。有可能比6大，乙同学认为。和6有可能相等.那么甲乙两位同学中说法正确的同学

是.

11.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入加=5,则输出左的值为.

12.（5分）已知集合"c}={2,3,4},且下列三个关系：a/3力=3,c/4有且只有一个正确，则函数

’2，,x>b

/（%）=/、2勺值域是_______.

yx-c）+a,x^zb

13.（5分）如图，在矩形/BCD中，48=4,40=2,£为N8的中点.将△/£）£沿。£翻折，得到四

棱锥4-DE8C.设4c的中点为M，在翻折过程中，有下列三个命题：

①总有5河〃平面

②线段的长为定值；

③存在某个位置，使DE与4c所成的角为90°.

其中正确的命题是.（写出所有正确命题的序号）

14.(5分)在某艺术团组织的“微视频展示”活动中，该团体将从微视频的“点赞量”和“专家评分”两

个角度来进行评优.若N视频的“点赞量”和“专家评分”中至少有一项高于3视频，则称N视频不亚

于2视频.已知共有5部微视频展，如果某微视频不亚于其他4部视频，就称此视频为优秀视频.那么

在这5部微视频中，最多可能有个优秀视频.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)设｛%｝是首项为1,公比为3的等比数列.

(I)求｛4｝的通项公式及前n项和；

(II)已知也｝是等差数列，北为前"项和，且4=。2也=%++%，求心()•

16.(13分)在△48C中，角B,C的对边分别为a,b,c,b=2百，c=3,cosB=--.

3

(I)求sinC的值；

(II)求△48C的面积.

17.(13分)在平行四边形/BCD中，28=3,3C=2,过/点作CD的垂线，交CD的延长线于点E,

AE=M.连结即，交/。于点R如图1,将△/£>£沿折起，使得点E到达点尸的位置，如图

2.

图1图2

(1)证明：平面平面8cp

(2)若G为尸2的中点，H为CD的中点，且平面4DP，平面ABCD,求三棱锥G-BCD的体积.

18.(13分)已知函数/(x)=；/-gx?+a同一1.

(I)当a=6时，求函数/(x)在(0,+s)上的单调区间；

(II)求证：当。＜0时，函数/(x)既有极大值又有极小值.

19.(14分)据《人民网》报道，“美国国家航空航天局(NASA)发文称，相比20年前世界变得更绿色

了，卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿.”据统计，中国新增绿化面积的420/0来自于植

树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据.(造林总面积为人工造林、飞播造林、新

封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和)

单位：公顷

按造林方式分

地区造林总面积

人工造林飞播新封山退化人工

造林育林林修更新

复

内蒙61848431105274094136006903826950

河北58336134562533333135107656533643

河南149002976471342922111715376133

重庆2263331006006240063333

陕西297642184108336026386516067

甘肃325580260144574387998

新疆2639031181056264126647107962091

青海178414160511597342629

宁夏91531589602293882981335

北京1906410012400039991053

(I)请根据上述数据，分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区;

(H)在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积与造林总面积的比值不足50%的概率是

多少？

(III)从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中，任选两个地区，求至少有一个地区退化林修复面

积超过五万公顷的概率.

20.(14分)已知椭圆C：W+〈=l(a〉b〉0)的左顶点为2(—2,0),两个焦点与短轴一个顶点构成等

腰直角三角形，过点尸(1,0)且与x轴不重合的直线/与椭圆交于N不同的两点.

(I)求椭圆尸的方程；

(II)当与垂直时，求的长；

5

(III)若过点尸且平行于的直线交直线x=5于点。，求证：直线NQ恒过定点.

2019年北京大学附中高考数学模拟试卷(文科)(六)(4月份)

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.【分析】进行补集的运算即可.

【解答】解：为2=[-1』.

故选：D.

【点评】考查描述法、区间表示集合的概念，以及补集的运算.

2.【分析】由题意利用函数的单调性和奇偶性的性质，求得/(a)+fCb)H/(c)<0,可得结论.

【解答】解：定义在R上的奇函数/(x)在[0,+8)上单调递减，

故函数/(x)在(-叫0]上也单调递减，故/(x)在R上单调递减.

根据。+力>0,Z?+c>0,。+。>0,

可得a>-46>-，工/(a)v/(-/?),/(/))</(-c),/(c)</(-a),

•,•/(«)+/(^)+/(c)</(-^)+/(-c)+/(-«)=-/(«)-/(b)-f6),

.-./(«)+/(Z))+/(C)<0,

故选：B.

3.【分析】根据三角函数的图象变换关系分别进行求解即可.

【解答】解：将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，

得到y=sin^x,

再把所得的图象上的所有点向右平移2个单位长度，

得到的图象所对应的函数解析式为y=sin；(x-2)=sin-1],

故选：D.

【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，结合平移，坐标变换关系是解决本题的关键.

4.【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论

【解答】解：由27-3%，得y=3x+z,

2x-y-2W0

作出x,y满足不等式＜x+y-1＞0对应的可行域:

户1

平移直线y=3x+z,

由平移可知当直线y=3x+z经过点/时,

直线y=3x+z的截距最小，此时z取得最小值,

y=1

由＜⑵一y―2=。’解得"

I』

37

代入z=y-3x,得z=l-3x—=——

22

7

即2=y-3x的最小值为一万.

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此

类问题的基本方法.

5.【分析】几何体为四棱锥，作出直观图，计算棱长即可得出答案.

【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥S-48CD,

由侧视图可知棱锥底面/BCD是边长为2的正方形,

顶点S在底面ABCD上的射影M为CO的中点,

由主视图可知1sM=J§,

AM=45,SA=JAM2+SM2=2亚.

由对称性可知SB=SA=2V2.

，几何体最长的棱为2亚.

故选：B.

【点评】本题考查了常见几何体的结构特征与三视图，属于基础题.

6.【分析】S，<〃为对，〃三2恒成立，即加]+/[q+("1川,化简即可判断出结论.

【解答】解：对，〃三2恒成立，.4]+"(；"d<〃[%+(〃-l)d]，化为:—

d>0.

...数列｛%｝为递增数列，反之也成立.

，"5"<做”对，恒成立”是“数列｛%｝为递增数列”的充要条件.

故选：C.

【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推

理能力与计算能力，属于中档题.

7.【分析】设周一，周二，周三开车上班的职工组成的集合分别为4B,C,集合N,B,C中元素个数

分别为〃(Z),〃闻,“(C),根据

”(ZU8UC)=〃(Z)+〃(8)+〃(C)-〃(ZHB)-n(AAC)-«(5AC),且

“(znB户”(zn^nc),"(znc)>〃(zn8nc),〃(8nc)w〃(zCBnc)可得.

【解答】解：设周一，周二，周三开车上班的职工组成的集合分别为4,B,C,集合/,B,。中元素个

数分别为〃(4),〃(8),"c),n5nc

则〃⑷=14,〃(B)=10,«(C)=8,〃(/UBuc)=20,

因为

〃(zu5uc)=〃(z)+"(B)+〃(c)—n^)—“(znc)—〃(5nc)+〃0nsrc),且

“(znB户〃(zn^nc),“(znc)训zn^nc),〃(8nc户〃(zn^nc),

所以14+10+8—20+〃(zn5nc)>3〃(znBnc),gpn5nc)^14+10^8-20=6.

【点评】本题考查了Venn图表达集合的关系以及运算，属中档题.

8.【分析】根据定义计算甲，乙两公司的报价得分，再计算综合得分.

【解答】解：甲公司的报价分数%=68—”累产xl00x0.8=60,

乙公司的报价分数/乙=80—个器犯xl00x0.8=76,

甲公司的综合得分为80x50%+90xl0%+60x40%=73分，

乙公司的综合得分为70x50%+100x10%+76x40%=75.4分.

故选：A.

【点评】本题考查了函数值的计算，属于中档题.

二、填空题（共6小题，每小题5分）

9.【分析】可求出Z+B=（2,〃?+2）,根据打口+可便可得出7口+可=0,进行数量积的坐标运算

即可求出m的值.

【解答】解：［+1=(2,加+2)；

*.*a±(a+3)；

,a+B)=(4,2>(2,加+2)=8+2(加+2)=0；

m--6.

故答案为：-6.

【点评】考查向量坐标的加法和数量积的运算，以及向量垂直的充要条件.

10.【分析】利用信息可以先自己随便填写出来一种情况，然后对图分析结果即可.

【解答】解:

20121011

1934912

18561316

17781415

比如此时每一列的最小值分别为17,1,2,9,11,此时最小值中最大的是。=17,

每一行中最大的分别是20,19,18,17,此时四个最大值中最小的是6=17

从而得出每列最小数中的最大数，最大是17,比如一列排20,19,18,17,即aW17,且此时a=Z?=17

故答案为乙

【点评】利用信息，分析思考解决问题，属于逻辑思维的有难度的题目.

11.【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序

的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.

【解答】解：模拟程序的运行，可得：

mk

初始50

第一次91

第二次172

第三次333

第四次654

第四次时，65>50,满足判断框内的条件，退出循环，输出发的值为4.

故答案为：4.

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论,

是基础题.

12.【分析】根据集合相等的条件，列出八6、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a,b,c

的值，结合的最值即可求出函数的值域.

【解答】解：由{a,6,c}={2,3,4}得,a、b、c的取值有以下情况:

当Q=2时，b=3、c=4时,aw3/=3,cw4都正确，不满足条件.

当。=2时，6=4、。=3时，aw3成立，成立，此时不满足题意;

当。=3时，6=2、。=4时，都不正确，此时不满足题意；

当。=3时，6=4、。=2时，cw4成立，此时满足题意；

当Q=4时，b=2,c=3时，aw3,cw4成立，此时不满足题意;

当。=4时，b=3、。=2时，QW3,6=3成立，此时不满足题意;

综上得，1=3、6=4、c=2f

2\x>b2x,x>4

则函数/(x)={/2

(x-c)+a,xWb(x-2)-+3,xW

当x〉44时，/(X)=2X>24=16,

当xW4时，/(x)=(x-2)-+3>3,

综上/(x)>3,即函数的值域为［3,+s),

故答案为：［3,+8).

【点评】本题主要考查函数的值域的计算，根据集合相等关系以及命题的真假条件求出a,b,c的值是

解决本题的关键.

13.【分析】取4。的中点N,连接MN,EN,根据四边形MA期为平行四边形判断①，②，假设DE,4c

得出矛盾结论判断③.

【解答】解：取4。的中点N,连接MMEN,

则MN为△4。。的中位线，

:.MMN2L-CD,

-2

又BE为矩形ABCD的边48的中点，,BEJL-CD,

~2

''MN-即四边形跖亚3为平行四边形，8河〃EN,

又ENu平面AXDE,BM(Z平面AXDE,

BM//平面AXDE,故①正确;

由四边形MNEB为平行四边形可得BM=NE,

而在翻折过程中，NE的长度保持不变，故2”的长为定值，故②正确；

取的中点。，连接40,CO,

由AXD=A[E可知4。±DE,

若则平面4。。，

/.DEL0C,又ZCD0=90°-ZADE=45°,

二.△OCD为等腰直角三角形，故而CD=J5OZ),

而==J5,CD=4,与CD=J5O。矛盾，故DE与4c所成的角不可能为90。.

故③错误.

故答案为：①②.

【点评】本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定与性质，属于中档题.

14.【分析】记这5部微视频为4-4,设这5部微视频为先退到2部微视频的情形，若4的点赞量N4

的点赞量，且4的专家评分〉4的专家评分，则优秀视频最多可能有2部，以此类推可知：这5部微

视频中，优秀视频最多可能有5部.

【解答】解：记这5部微视频为4-4,设这5部微视频为先退到2部微视频的情形，

若4的点赞量〉4的点赞量，

且4的专家评分N4的专家评分，则优秀视频最多可能有2部；

再考虑3部的情形，若若4的点赞量〉4的点赞量〉4的点赞量，

且4的专家评分＞4的专家评分＞4的专家评分，则优秀视频最多可能有3部；

以此类推可知：这5部微视频中，优秀视频最多可能有5部.

故答案为：5

【点评】本题考查了简单的合情推理的应用，属于基础题.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.【分析】（I）根据等比数列的通项公式和求和公式即可求出,

（II）先求出公差，再根据等差数列的求和公式即可求出

【解答】解：（I）由题意可得%=3"。

1-3"_3"-1

1-3-2

（II）=%=3力3==13，

4—4=10=2d,

：•d=5,

20x19

・・・L=20x3+—^x5=1010

【点评】本题考查了等比数列等差数列的通项公式和求和公式，考查了运算能力，属于基础题

16.【分析】（I）在△NBC中，cos8=-1,求出正弦函数值，利用正弦定理转化求解即可.

3

（II）由余弦定理〃=/+c2—2accos3得。，然后求解三角形的面积.

【解答】（本小题13分）

解：（I）在△48C中，cosB=--,

3

sin5=A/1-COS25=Jl-=~~

,**B-2g=3,

入2月3

由正弦定理——=——得2正sinC,

sin5sinC—

3

•••sinC=—

3

（ID由余弦定理〃二a2+c2—2（2cosB得12=/+9—2义3ax

•・/+2a—3=0,

解得或。=—3（舍）

S.,=-acsin5=—xlx3x-----=也■

3cRr223

【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查三角形的解法，考查计算能力.

17.【分析】（1）证明PFLAD,BFLAD.推出PFLBC,BFIBC,得到8CL

平面2尸尸，然后证明平面AFP，平面3cp.

（2）解法一*证明PEL平面/BCD取3歹的中点为O,连结G。，得到G。，平面/BCD然后求解

棱锥的高.

解法二：证明尸尸，平面/BCD三棱锥G-8CH的高等于说明△8"的面积是四边形N2CD

2

的面积的;，通过匕fBCO=§xS平行四边形，求解三棱锥的体积.

【解答】（1）证明：如题图1,在RtZkB/E中，48=3,ZE=G，所以NZE8=60°.

在Rt^ZED中，40=2,所以ND4E=30°.

所以BE上4D.

如题图2,PF±AD,BF±AD.又因为4D〃BC,所以PFLBC,BFLBC,PFCBF=F,

所以5c，平面3内尸，又因为BCu平面8cP,所以平面平面8CP

（2）解法一：因为平面平面/2C。，

平面4DPn平面48cz）=40,r户u平面Nr＞尸，PFLAD,所以万户，平面488.

取AF的中点为。，连结G。，则GO〃尸7"所以GO，平面/BCD

即GO为三棱锥G-8S的高.

且GO=-PF=-xPAsin30°=—.

224

因为，三棱锥6—5。打的体积为匕榜椎「；;“=15人8切・60=1义工5会5*@=1*2包*业=土.

棱—BCH332463416

解法二：因为平面40尸，平面A8CD,平面4DPn平面48c£>=4D,PEu平面ADP,

所以PE，平面ABCD.

因为G为网的中点.

所以三棱锥G-BCH的高等于工尸尸.

2

因为〃为CO的中点，所以的面积是四边形48CZ)的面积的工，

4

从而三棱锥G-BCH的体积是四棱锥尸-ABCD的体积的工.

8

]1xfi3

面「P-ABCD=§XS平行四边形.尸尸=JX36X~^~=丁

3

所以三棱锥G-BCH的体积为—.

16

【点评】本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空

间想象能力以及计算能力.

18•【分析】(I)求。=6且x〉0时/(x)的导数，利用导数判断/(x)的单调性，从而求得/(x)在(0,+s)

上的单调区间；

(II)由a<0时，讨论x<0和x〉0时，利用导数研究函数/(x)的单调性，从而判断函数/(x)是否

存在极大与极小值.

【解答】解：(I)当a=6,且x〉0时，/(x)=-x3--x2+6x-l,

')32

令/'(x)=0，得x=2,或x=3；

当x变化时，/(x),/(x)的变化情况如下表:

X(0,2)2(2,3)3(3,+00)

/'(X)+0-0+

/(x)/极大值极小值/

所以/(x)在(0,+8)上的单调递增区间是(0,2),(3,+8),单调递减区间是(2,3)；

(II)当a<0时，若x<0,则=—%3——%2—ux—1,

所以f(x)=x2-5x-tz=x(x-5)-«；

因为x<0,a<0,所以/'(x)〉0；

若x〉0,贝Uf(x)=—%3—x~+ax—1,

所以(x)=x2-5x+a；

令/'(x)=0，A=25-4a>0,

所以有两个不相等的实根X],x2,且再％<0；

不妨设马〉0,所以当X变化时，/'(x),/(x)的变化情况如下表:

X0

(-叫0)(O,x2)x2

/'(X)+无定义-0+

/(X)极大值极小值/

因为函数/(X)图象是连续不断的，

所以当a<0时，/(X)即存在极大值又有极小值.

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了分类讨论思想与方程根的应用问

题，是中档题.

19.【分析】(I)结合表格数据进行判断即可

(II)根据古典概型的概率公式进行计算即可

(III)利用列举法结合古典概型的概率公式进行求解即可

【解答】解：(I)人工造林面积与造林总面积比最大的地区为甘肃省，

人工造林面积占造林总面积比最小的地区为青海省

(II)设在这十个地区中，任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比比不足50%为事件/

在十个地区中，有3个地区(重庆、新疆、青海)人工造林面积占总面积比不足50%,

3

则p(/)=记

(III)设至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷为事件5

新封山育林面积超过十万公顷有4个地区：内蒙、河北、新疆、青海，分别设为4,4,%，%，

其中退化林修复面积超过五万公顷有2个地区：内蒙、河北即%,出

从4个地区中任取2个地区共有6种情况，（4,。2），（见，。3），（%，%），（。2，。3），（。2，。4），（%，%）

其中至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷共有5种情况，（%,%），（%，/），（%，%），（%，%）,

（%，%）

则P（3）=*.

6

【点评】本题主要考查概率的计算，结合古典概型的概率公式利用列举法是解决本题的关键.

20.【分析】（I）由已知可得。=2,b=c,又62+c2=/,求得b=c=后，即可得所以椭圆方程.

「，解得I

%/w+

2Xmo广，可得

（II）设〃（七“,券,），可得＜

22

Xmy>n_J乂=±/2

[42

（III）设/（七,必）,N（工2,名），

由题意，设直线的方程为X=zny+1,

x=my+\/-2m-3

由＜/+2/_4=0阳m2+2）y2+2my-3=0,

3%

/、

求得。*/M2（加弘+3）_2即跖+6%-3%

，左N2=---，直线NQ的方程为

，22（町+3）5（）（）

7Wi+32my2-3

%一2