2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛广西赛区选拔赛试题含答案

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛

广西赛区选拔赛试题

(考试时间：2024年5月19日9：00-11：30)

一、填空题(本大题共8小题，每小题10分，共80分).

1.设函数/(x)=|log2x|.若且/(a)=/(b),则a+2024b的取值范围是一4一.

2.已知椭圆4+力=1(a＞b＞0)的焦点为耳，F2,M为椭圆上一点，4M居=J,

ab3

OM=-b.则椭圆的离心率为

3

3.若正实数x,y满足x-26=12x—y，则x的最大值为一A_.

4.方程3、=X3,的正整数解为

5.设再，X2，七，七均是正整数，且任/产t|1＜，＜，＜左44}={18,36,54}.则玉+工2+

x3+x4=▲.

6.正三棱锥尸一48C中，4P=3,48=4.设。是直线BC上一点，面4PD与直线

的夹角为45。，则线段的长度是▲.

7.已知四次多项式/一25/+姓2+6卜_2024的四个根中有两个根的乘积是一253,则实

数4=▲.

8.设数列{x.}满足国=2001,xn+l=xn+yn,其中匕等于x“的个位数，则XQ=▲.

二、解答题(本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步・)

9.（本小题满分15分）如图所示，AD=CD,DP=EP,$=CE,DP<AD<BE,

ZADC=NDPE=ABEC=90°.

证明：尸为线段ZB的中点.

第1页

10.（本小题满分15分）设力为数集｛1,2,3,…，2024｝的〃元子集，且4中的任意两个数

既不互素又不存在整除关系.求〃的最大值.

11.（本小题满分20分）用[x]表示不超过x的最大整数.设数列｛%｝满足：再=1,

Xm=4》“+[ML」.求、如24的个位数・

12.（本小题满分20分）图G是指一个有序二元组（匕E）,其中夕称为顶点集，E称为边

集.一个图G中的两点X,y的距离是指从X到y的最短路径的边数，记作d（x,y）.一个图G的

直径是指G中任意两点的距离的最大值，记作diam（G）,即diam（G）=max｛d（x,y）\x,yeG].

记…,M-1]｝是模〃的剩余类，定义Z”上的加法和乘法，均是模〃的加法

和乘法，例如在…，[11]｝中：[3]+[4]=[7],[6]+[9]=[3]；[3>[4]=[0],

[6][9]=[6].

在Z”中，设若存在3*[0]使得国•[刃=[0],则称口]是Z”的一个零因子.记

Z.的所有零因子的集合为。（Z）例如。（42）=｛[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10]｝.Z“的零因子图,

记为r（z,），它是以z）（z“）为顶点集，两个不同的顶点[幻，[刃之间有一条边相连当且仅当

M；LF]=[0].下图是r（z12）的例子.

证明：对一切的整数〃N2,都有dhm（r（Z.））43.

第2贝

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛

广西赛区选拔赛试题参考答案

(考试时间：2024年5月1909：00-11：30)

一、填空题(本大题共8小题，每小题10分，共80分).

1.设函数/(x)=|log2x|.若a<6且/(a)=/(b),贝U。+20246的取值范围是上一.

答案；(2025,+8).

2024

解答：由/(a)=/(b),a<b得0<a<l<b且ab=l,从而a+2024b=an-----,

a

a6(0,1).令g®=〃+丝2024二0<»<l.则g(〃)单调递减，g(〃)无最大值且g⑴=2025.因

u

此，g(a)e(2025,+oo),即a+2024b的取值范围是(2025,+8).

20

2.已知椭圆[+与=1(。>6>0)的焦点为片，F,,〃为椭圆上一点，NFiMF,=%,

a-Zr-3

OM=-b-则椭圆的离心率为_A_.

3

答案：坐.

2

解答：令a=MF[,[3=MF2,y=OM=^^~b,则a+P=2a,OF}=OF2=c.

122

在AOg和AO峥中，由余弦定理可得02=72+02-2%(^/欣明，(5=r+c-

2%cosNM。居.故

a2+p2=2/2+2c2.(1)

在△/鸣鸟中，由余弦定理可得

(2c)2=a2+(i1-2ay?cosy=a2+fi2-ap.(2)

由a+P=2a可得

=a2+p2+2ap.(3)

第1页

由(2)(3)可得的=料2一。2)=耕，从而Y+/=4c?+#.代入(1)可得

4?+-62=—Z>2+2?,b=c.因此，e=J-^-^=—.

33U2+c22

3.若正实数x,y满足x—2方=，2x—y，则x的最大值为▲.

答案：10.

解答：设a=J2x-y,b=后.则。2+加=2X，x=a+2b.

(。一1)2+(6-2)2=5,故(2刈皿、=22+42=20.从而x的最大值为10.

4.方程3、=/的正整数解为▲.

答案：39.

解答：XH1,2.

11—Inx-

令g(x)=—1nx，xN3.则由g'(x)=———<。可知g(x)单调递减，从而/(x)=x"

XX5

Ln*

(=e*)单调递减.

j_j_j_j_

由3、=/可得x；=3K=(33)7=(39)7,/(X)=/(39).因此，所求的正整数解为x=3\

5.设X”与，X3,匕均是正整数,且{X/X/X*|l<i</<%"}={18,36,54}.则再+与+

三+'=—.

答案：14.

解答：不妨设X14电4为4与，则18=用电当＜xix2xi＜用七演《X2X3X4=54.

由玉々玉・玉・X]X3X4=(』々*3々)3及18.36-54=24・37可知玉X2X4WI8,

再看匕。54,于是玉电匕=再％3匕=36,从而々=当，x}x;=18.因此，1＜X1＜为＜4，故

5454/

X[+/+*3+X1=14.

再=2,x2=3,x3=x2=3"短=5=6.因此,

6.正三棱锥P-4BC中，AP=3,AB=4.设。是直线上一点，面力PO与直线8c

的夹角为45。，则线段为。的长度是▲.

答案:黑

第2页

解答：设A/为8C的中点，点N在直线以上且MN为以，BC的公垂线段.由/P=3,

力3=4可得力加=2后，PM=45-于是PN=g,AN=三,M?V=|jiT.DN为边BC

n__

在面力PD上的射影，从而由NMDN=45°,MNA.BC可得DM=MN=二后.因此，PD=

3

!44789

^IPM2+DM2=5+—=----

93

7.已知四次多项式r―25/+af+6ix-2024的四个根中有两个根的乘积是-253,则实

数4=▲.

答案I-221.

解答：设四个根分别是M，为，看，匕，不妨设再为=-253.由韦达定理可得

X|+七+看+%=25,(1)

X|X,+x/3+玉/+x2x3+x’x4+x3x4=a,⑵

'七七+K/2X4+再看汽+X2X3X4=-6L⑶

不々/巧=-2024.(4)

由(4)有x3x4=—"2,.=8.

-253

于是由（3）式得8（%+片）-253（当+为）=一61.（5）

由（1）（5）可得再+为=24,玉+玉=1.于是，。=再又2+占/+（±+玉）。3+为）=-253+

8+24=-221.

8.设数列区｝满足jf,=2001,xn+l=x„+yn,其中y”等于x„的个位数，则/3=▲.

答案：12108.

解答：=2002,y2=2,x3=2004,必=4,=2008,_y4=8,xs=2016,丁5=6,

人=2022，y6=2.一般地：y^4=yn(M>2).

%+歹"+I+加2+加3=20(〃N2).于是，xn+A=x„+20,进一步有再田=x”+20Z,

n>2.因此，JC2024=JC4+20x505=2008+10100=12108.

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二、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

9.(本小题满分15分)如图所示，AD=CD,DP=EP,BE=CE,DP<AD<BE,

AADC=NDPE=NBEC=90°.

证明：P为线段的中点.

证明：如图所示，延长OP至点户，使得PF=PD,

联结FB、AP、BP.

(1)DE=EF,CE=BE,NCED=/BEF,•取ACEDweBEF.因此，CD=BF,

NCDE=NBFE.

（2）若CD〃PE,则力、D、P和B、F、P分别三点共线.又D、P、/三点共线，故

A.P、B三点共线.由4O=CO=B尸和Z）P=PF得/P=/0+QP=8R+PR=BP.因

此，P为线段的中点.

(3)若CD与PE不平行.AD=CD=BF,DP=FP,ZADP=ZADC+NCDE—

NEDP=90°+NCDE-45°=ZCDE+45°=NBFE+APFE=NBFP,.故XADP/△BFP.

因此，AP=BP,NAPD=NBPF.

由于点4、8在直线OF的两侧，而。、P、F三点共线，ZAPD=NBPF,故4、P、8

三点共线，即点P在线段上.因为"=8P,所以P为线段48的中点.

10.（本小题满分15分）设力为数集｛1,2,3,…，2024｝的〃元子集，且/中的任意两个数

既不互索又不存在整除关系.求〃的最大值.

解：由力中的任意两个数不互索可知存在素数P,力中的每个数均被P整除，故在数集

｛1,2,3,…,2024｝的〃元子集中使得任意两个数不互素的最大的子集是偶数子集.

｛2,4,…,2024｝共有1012个元素，而其中有的元素满足整除关系，注意到1012的2倍是2024.于

是，集合/=｛1014」016,…,2024｝中，任意两个数既不互索又不存在整除关系，此时/中有506

个元素.若从｛2川1444506｝中任取一数，则它与/中的某个数存在整除关系.因此，506是〃

的最大值.

11.（本小题满分20分）用口]表示不超过X的最大整数.设数列｛4｝满足：再=1,

Xz=4x”+[ViTrrt].求^2034的个位数.

第4页

解：由JiT是无理数和x“sz可得[JTTx“]<JiTx“<[JiT%]+1.

则4x〃+[ViTxn]<4x„+ViTxrt<4x”+[ViTx“]+1,xrt+1<4x”+ViTx„<xn+i+1,

(4-0T)x向<5%<(4-拒)(加+1).

故0<而角一(43-5/)<4—五<1,[疝如—(4%—5x.)]=0.

因此，4%|-5乙=[而乙+|],从而〃2=4%|+[5/1?%+1]=8'“+|-5匕.

9X

于是n^2三x“(mod2),^„+2=3^,(mod5).

由数学归纳法及Xi=l,/=7可得X”三l(mod2)(〃Nl)：x"三2x3"-2(mod5)(〃N2).故

022

x2024=l(mod2)；、2必三2X32=2x3z三3(mod5).因此，所求不。?’的个位数为3.

12.(本小题满分20分)图G是指一个有序二元组(匕E),其中P称为顶点集，E称为边

集.一个图G中的两点x,丁的距离是指从x到V的最短路径的边数，记作d(xj).一个图G的

直径是指G中任意两点的距离的最大值，记作dhm(G),即diam(G)=max{d(x,y)|x/eG}.

记Z“={[0],[l],⑵，…,是模〃的剩余类，定义Z”上的加法和乘法，均是模〃的加法

和乘法,例如在几={⑼,臼,[2],...,[11]}中：网+[4]=[刀，同+[9]=处网平卜⑼,

[6]-[9]=[6].

在Z”中，设国w[0].若存在[用。⑼使得印•[用=[0],则称[x]是Z”的一个零因子.记

4的所有零因子的集合为。(Z“)