2024年中考数学二轮复习：新定义问题(一)（解析版）

专题08新定义问题（1）

【规律总结】

※知识精要

新定义型问题是学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），

通过阅读题

目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。其主要目

的是通过对新定义

的理解与运用来考查学生的自主学习能力，便于学生养成良好的学习习惯。

※要点突破

解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、

步骤和结论（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举

例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、

联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。

【典例分析】

例1.（2020•湖南广益实验中学七年级月考）规定：用{加}表示大于加的最小整数，例如

{1}=3,{4}=5,{-1.5）=-1等；用所表示不大于m的最大整数，例如[Z]=3,[2]=2,

[-3.2]=-4,如果整数了满足关系式：2{x}+3田=32,则%的值为（）

A.3B.-5C.6D.7

【答案】C

【分析】

根据题意，可将2x+3冈=32变形为2x+2+3x=32,解方程后即可得出结论.

【详解】

解：取为整数,

0{x}=x+l,[x]=x,

回2{x}+3冈=32可化为:2(x+1)+3x=32

去括号，得2x+2+3x=32,

移项合并，得5x=30,

系数化为1,得x=6.

故选：C.

【点睛】

本题结合新定义主要考查解一元一次方程，比较新颖，注意仔细审题，理解新定义运算的规

则是解题的关键.

例2.(2021河南安阳市八年级期末)对于有理数b,定义min{〃/}：当。>匕时，

min{a,b}=b,当时，min{a,b}=a,若min〈W,—12m+4〃一加2-〃2}=40,则

nrn的值为.

【答案】36

【分析】

根据一12m+4"一根2-与40的大小，再根据minClO,-12m+-m2-^2}=40,从

而确定m,n的值即可得出相及的值.

【详解】

解：回min「0,—12机+4〃一加2—〃2}=40,

M0<-12m+4〃一切22；

0m2+—4"+12m+40<0

团(m+6)2+(n-2)2<0,

团(m+6)2+(n-2)2>0,

0m+6=O,n-2=0,

团m=-6,n=2,

回〃=(-61=36

故答案为：36.

【点睛】

本题考查了配方法的应用和非负数的性质.根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键.

例3.(2021北京西城区八年级期末)给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知点

P{a,b\P{c,b\P{c,d},这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点彳匕々的“最佳

间距”.例如：如图，点々(T，2),<(1,2),<(1，3)的“最佳间距”是1.

(1)点4(2,1),2(4,1),q(4,4)的，，最佳间距〃是:

(2)已知点0(0,0),4-3,0),B(-3,y).

①若点O,A,B的“最佳间距”是1,则y的值为；

②点O,A,B的“最佳间距”的最大值为；

（3）已知直线I与坐标轴分别交于点。（0,3）和。（4,0）,点P金〃）是线段上的一个

动点.当点。（0,0）,E。",。），P（m〃）的“最佳间跑取到最大值时求此时点p的坐标.

……1212

【答案】（1）2；（2）①±1；（2）3；（3）P（y,y）.

【分析】

（1）根据题意，分别求出点。］（2,1）,2（4,1）,（4,4）任意两点间的距离，比较后即可

得出结论；

（2）①根据三个点的坐标特点可得AB鸵轴，由此可求出OA、0B均不满足点0,A,B的

"最佳间距”是1,则可得AB=1,从而求出y值的两种情况；

②根据0A=3,且0A为定值，可得无论y取何值，点0,A,B的"最佳间距”的最大值为

3；

（3）根据题目中的已知条件，可利用待定系数法求出直线CD的解析式，由£（加,0）,

P（m〃）可判断PEEix轴，同⑵②则可得出点。（。，0）,E（:〃,0）,P（m〃）的"最佳间

距"取到最大值时的条件为OE=PE,从而可列出关于m的方程，求解后即可求出点P的坐

标.

【详解】

解：（1）团点。（2/），Q（4,1）,Q（4,4）,

123

回。2=2,e2e=3,0g=J（4-正+（4-D；=E，

S\2<3<yJ13,

国点e（2,l）,e（4,1）,e（4,4）的“最佳间距〃是2.

故答案为：2.

⑵①团点。(0,0),A(—3,0),S(-3,y),

0ABEy轴,

团0A=3,0B>0A,

回点。A,B的"最佳间距”是1,

0AB=1,

0y=±l.

故答案为：±1.

②当一3463时，点。，A,B的"最佳间距"是|y|=ABW3,

当y>3或y<—3时，AB>3,点0,A,B的“最佳间距”是0A=3,

团点0,A,B的"最佳间距"的最大值为3.

故答案为：3.

(3)如图,

设直线CD的解析式为y=k]X+b/将。（。,3）,。（4,0）代入得:

'b=3

41

4k+b=0

iii

解得｛i4

b=3

I1

3

0y=——x+3,

4

igP（mn）,E（jn,O）,

EIPE取轴，

当且仅当OE=PE时，点。（o,o）,£（m,0）,"）的"最佳间距

取到最大值,

0OE=m,PE=n=-—w+3,

4

回机=--m+3,

4

12

解得机=亍,

当点O,E,P的"最佳间距"取到最大值时，点P的坐标为（>，—

【点睛】

本题考查了新定义运算的综合应用，弄清新定义的规则，并灵活应用所学知识求解是解题的

关键.

【真题演练】

一、单选题

1.（2020.福建省泉州实验中学八年级月考）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的

长，那么称这个三角形为“匀称三角形若&ABC是“匀称三角形"，且NC=90。，

AC>BC,则AC:BC:AB为（）

A

A.JJ：1：2B.2：：J7"C.2：1：y/5D.无法确定

【答案】B

【分析】

作Rt回ABC的三条中线AD、BE、CF,由"匀称三角形"的定义可判断满足条件的中线是BE,

它是AC边上的中线，设AC=2a,则CE=a,BE=2a,在RtEIBCE中E1BCE=9O°,根据勾股定理可

求出BC、AB,则AC：BC：AB的值可求出.

【详解】

解：如图①，作RtEIABC的三条中线AD、BE、CF,

图①

加ACB=90°,

^CF=-AB^AB,

2

又在RtE]46c中，AD>AC>BC,

ADwBC,

团满足条件的中线是BE,它是AC边上的中线,

设AC=2a,则CE—AE—a,BE—2Q,

在Rt回BCE中团BCE=90°,

回BC—dBE?—CE2=pa,

在RtHABC中，AB=1BC2+AC2=Q（2a>+履）=JTa,

HAC：BC：AB=2a:岛："a=2:「:".

故选：B.

【点睛】

考查了新定义、勾股定理的应用，算术平方根的含义，解题的关键是理解“匀称三角形"的定

义，灵活运用所学知识解决问题.

2.（2021•上海徐汇区•九年级一模）定义：表示不超过实数》的最大整数例如：k71=l,

-2：=-3根据你学习函数的经验，下列关于函数'=的判断中，正确的

是（）

A.函数y=k1的定义域是一切整数

B.函数y=LJ的图像是经过原点的一条直线

C.点（2,2）在函数y=[J图像上

D.函数y=W的函数值y随x的增大而增大

【答案】c

【分析】

根据题意描述的概念逐项分析即可.

【详解】

A、对于原函数，自变量显然可取一切实数，则其定义域为一切实数，故错误；

B、因为原函数的函数值是一些整数，则图象不会是一条过原点的直线，故错误；

C、由题意可知2-=2,则点（2：2）在函数y=L]图像上，故正确；

D、例如[1]=1,=1,即当x=1,x=:时，函数值均为y=l,不是丁随》的增大

而增大，故错误;

故选：C.

【点睛】

本题考查函数的概念以及新定义问题，仔细审题，理解材料介绍的的概念是解题关键.

二、填空题

a7

-------,a>b

"",若5※工的

3.（2020•浙江杭州市•七年级其他模拟）定义运算“酬：a»b=<

b7

-------,a<b

Jj-a

值为整数，则整数X的值为.

【答案】0或4或6或10

【分析】

根据题中的新定义可分若5>x,若5<x,两种情况分别求解，最后合并结果.

【详解】

解：若5>x,

则5Xx=为整数，

5-x

则x=0或4或6（舍）或10（舍），

若5<x,

.xx—5+55

贝ij5※1二——-=-----=1+—^为整数，

x—5x—5x—5

则x=0（舍）或4（舍）或6或10,

综上：整数x的值为：。或4或6或10,

故答案为：0或4或6或:10.

【点睛】

此题主要考查了分式的值的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是理解题中的新定义.

4.（2020浙江嘉兴市七年级期末）材料：一般地，n个相同因数a相乘：。‘。‘联

〃个

记为如.如23=8,止匕时3叫做以2为底的8的对数，记为log8（BPlog8=3）.那么

22

log9=,（log16）2+-log81=.

3-----------233-----------

1

【答案】3；17-.

【分析】

由32=9可求出log,9=3,由24=16,34=81可分别求出logJ6=4,1(^81=4,继

而可计算出结果.

【详解】

解：(1)由题意可知：32=9,

则log9=3,

2

(2)由题意可知：

24=16,34=81,

则log16=4,log81=4,

23

141

回(％16)2+_吗81=16+-=17_,

…1

故答案为：3；17-.

【点睛】

本题主要考查定义新运算，读懂题意，掌握运算方法是解题关键.

三、解答题

6.(2021•北京顺义区•七年级期末)我们规定：若有理数。力满足。+匕=。6,则称。力互

为“等和积数”，其中。叫做万的“等和积数”，匕也叫。的“等和积数”.例如：因为

二,所以！+(-l)=ix(-l),

1+(-1)=-1,1x(-1)=-则:与T互为"等和积数

乙乙乙乙N乙乙

请根据上述规定解答下列问题：

(1)有理数2的“等和积数”是；

（2）有理数1（填"有"或"没有"）"等和积数”；

23

（3）若小的“等和积数”是可，"的"等和积数”是＞，求3加+4〃的值.

【答案】（1）2；（2）没有；（3）-5

【分析】

（1）根据"等和积数"的定义列方程求解即可；

（2）根据“等和积数"的定列方程求解即可；

（3）根据“等和积数”的定列方程求出m和n的值，代入3根+4”计算即可.

【详解】

解：（1）设有理数2的"等和积数”是x,由题意得

2+x=2x,

解得x=2,

故答案为：2；

（2）设有理数1的"等和积数〃是y,由题意得

l+y=y,

I3y-y=l,

国此方程无解，

回有理数1没有"等和积数"；

故答案为：没有；

2

（3）国机的“等和积数”是5，

22

0m+—=—m,

解得m=-y;

3

团”的"等和积数”是斤,

33

0n+-=n,

77

解得

团3加+4〃=3x(-§)+4x(-a)=5

【点睛】

本题考查了新定义，以及一元一次方程的应用，根据新定义列方程求解是解答本题的关键.

ac

6（2。如北京海淀区北理工附中七年级期末）我们%”称为二阶行列式，且

=ad-be.如:=1x(—4)—3x2=—10

42

（1）计算:

-35