2024年中考数学复习：反比例函数的性质培优学案

反比例函数的性质培优学案

知识引入

悲伤的双曲线

如果我是双曲线，你就是那渐近线.如果我是反比例函数，你就是那坐标轴.

虽然我们有缘，能够生在同一个平面.然而我们又无缘，漫漫长路无交点.

为何看不见，等式成立要条件.难道正如书上说的，无限接近不能达到.

如果我是双曲线，你就是那渐近线.如果我是反比例函数，你就是那坐标轴.

虽然我们有缘，能够生在同一个平面.然而我们又无缘，漫漫长路无交点.

为何看不见，等式成立要条件.难道正如书上说的，无限接近不能达到.

为何看不见，明月也有阴晴圆缺，此事古难全，但愿千里共婵娟.

知识解读：

1.反比例函数及其性质

反比例函数y=k/x(k^O)

k的符号k>0k<0

图象

①x的取值范围是x#0,①x的取值范围是X/),

v的取值范围是y¥0.y的取值范围是叶0.

②当k>0时，函数图象的两个分支分别②当k<0时，函数图象的两个分支分

性质在第一、第三象限.在每个象限内，y随别在第二、第四象限.在每个象限

x的增大而减小.内，y随x的增大而增大.

反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，

对称中心是坐标原点.

2.如图5-24-1,过双曲线上任意一点P(x,y)分别作x轴、y轴的垂线PM,PN,所得的矩形PMON的面积

S=PM-PN=|y|-|x|=|xy|,

即过双曲线上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，所得的矩形面积均为|k|.

若连接PO,同理可得$刖=$力=45所心，，

图5-24-1

一典例示范：

一、实际问题中的反比例函数关系，其图象常取第一象限

例1某体育场计划修建一个容积一定的长方体状游泳池，设容积为a(m3),泳池的底面积S(/n2)与其深度X(m)

【技巧点评】------------------------

在实际问题中，当两个变量的乘积是一个常数时，这两个变量成反比例函数关系，其自变量和因变量一般都是

正数，因此其图象常取第一象限内那支.

跟踪训练

1.为了更好地保护水资源，造福人类.某工厂计划建一个容积入小3)一定的污水处理池，池的底面积S(m2)与其

二、反比例函数值的大小比较

例2已知点人值,丫1),：6(*2,丫2)。(*3,丫3)是函数旷=图象上的三点，且.<0<%2V久3,则yi,y2,y3的大小关系

是________■

-【技巧点评】------

方法一：取特殊值是解选择题和填空题常用的技巧性方法，以特例来反映一般情形，便于计算，易得结论，要

注意的是所列举的特殊值必须在题目中字母许可的范围之内，否则失去代表性，会导致错误的结论；方法二：将

Xi,X2,X3代入后比较yi,y2,y3的大小，涉及复杂的代数式的大小比较，此法有难度；方法三：用图象法解题体

现了数形结合的重要数学思想方法，可使抽象的数学问题变得直观明了，画示意图必须符合题意，应在二、四象

限的图象就不能画在一、三象限，另外所描的三个特殊点也必须根据题目提供的横坐标的大小来确定大致位置.

跟踪训练

2.在反比例函数y=，^的图象上有两点A(Xi,yi),B(x2,y2),S<0<久2时，有％<为厕m的取值范围是

()

A.m<0B.m>0

C.m<-2D.m>-2

三、比例系数“k”的几何意义

例3两个反比例函数.y=孑口y=十在第一象限内的图象如图5-24-2所示，点P在y=司勺图象上，PC±x轴

于点C,交y=工的图象于点A,PD±y轴于点D,交y="勺图象于点B,当点P在y=」的图象上运动时，四边

XX%V”,

形PAOB的面积会不会发生变化?为什么？-1I\

图5-24-2

【提小】由于'也""。"HSJSBOCPO-SA“O,>-SAAOC，利用反比例函数比例系数的几何意义先求出矩形

OCPD,AAOC,ABOD的面积，再计算四边形PAOB的面积.

【解答】

【技巧点评】

求不规则图形的面积时，常常设法将不规则图形转化为几个易于求面积的几何图形的和或差的形式.

跟踪训练

3.如图5-24-3所示，过点O作直线与双曲线y=W也手0)交于A,B两点，过点B作BC±x轴于点C,作BD±y

轴于点D.在x轴、y轴上分别取点E,F,使点A,E,F在同一直线上，且AE=AF.设图中矩形ODBC的面积为S15AEOF

的面积为S2厕S1&的数量关系是

A.S1=S2B.2sl=S2

C.3sl=S2DAS1=S2

图5-24-3

四、借助图象的对称性解决问题

例4如图5-24-4,已知双曲线y=-(与两直线y=~^x,y=-kx(k)0,且k片》分别相交于A,B,C,D四点.

⑴当点C的坐标为(-1,1)时,A,B,D三点坐标分别是A(一,—),B(,1,D(,);

⑵证明：以点A,D,B,C为顶点的四边形是平行四边形；

⑶当k为何值时，口ADBC是矩形.

图.5-24-4

【提示】⑴把点C的坐标代入y=-kx，求出k,再把反比例函数分别与两个一次函数结合，解两个方程组求

四个交点坐标；

⑵思路1:直接根据对称性说明对角线互相平分；思路2:分别用k的代数式表示C,D两点的坐标，求出

OA,OB,OC,OD的表示式，证明OA=OB,OC=OD,利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明；

⑶由矩形对角线相等，得出。却=。。2,列出关于k的方程，求解即可.

【解答】

【技巧点评】•

设点的坐标是解决函数问题常用的手段，而两个图象交点是应当优先考虑设出的坐标.

跟踪训练

4.如图5-24-5,直线1与双曲线交于A,C两点，将直线1绕点O顺时针旋转a角(0。<a<45。),与双曲线交

于B,D两点，则四边形ABCD两条对角线的特征是.

五、通过代数恒等变形求解析式

例5已知。101少1)/2(乂2，丫2)是同一个反比例函数图象上的两点，若*2=*1+2,且—=—+"则这个反比例

yi2

函数的表达式为.

【提示】设这个反比例函数的表达式为y=：将2式知、1)出3，及)代入，通过代数的恒等变形，求出k的值

【技巧点评】---------------

点在函数图象上，则点的坐标适合函数解析式，所以只要把图象上点的坐标代入函数解析式，就可以列出方

程，从而把问题转化为方程来解决..

跟踪训练

5.已知A(Xi,yi),B(X2,y2)是反比例函数y-渭象上的两点，且/-冷=-2,X1-x2=3,-y2=-:当-

3<x<-l时，求y的取值范围.

六、求y的取值范围，需要结合图象来观察

例6已知反比例函数y=自勺图象经过点M(2,l).

⑴求该函数的表达式；

⑵当-2<x<4时，求y的取值范围(直接写出结果).

【提示】本题y的取值范围是不连续的，要求出y的取值范围，可先画出y=争勺图象，结合图象看出y的取

值范围.

【解答】

【技巧点评】

由于反比例函数图象是不连续的，当自变量取值范围包括0的时候，最好结合函数图象求y的取值范围.

跟踪训练

6.已知反比例函数y=%k为常数，厚0)的图象经过点A(2,-3).

⑴求这个函数的解析式；

⑵当x<l时.求y的取值范围.

七、设点的坐标是解决函数问题的常用手段

例7如图5-24-6,函数y=5和y=-5的图象分别是lx和.殳PC1x轴，垂足为C,交上于点A,PD±y轴,垂足为

D,交12于点B,则APAB的面积为一.

【提示】设点P的坐标为(a,b),用a,b的代数式表示点A,B的坐标，然后根据三角形面积公式求解.

跟踪训练1

7.如图5-24-7矩形AOBC的面积为4,反比例函数.y=例图象的一支经过矩形对角线的交点P,则该反比例函

数的解析式是()

2

A..y=-4.B.y=-

XJX

1

Cr.y=-D.y=—

X)2x

拓展延伸：

图5-24-7

八、一个特别有用的梯形

例8函数y=x的图象与函数.y=(的图象在第一象限内交于点B,点C是函数.y=(在第一象限图象上的一个

动点，当AOBC的面积为3时，点C的横坐标是—.

【提示】连接OC,BC,过点C作CD±x轴,垂足为D,过点B作BE±x轴,垂足为旦则ABOC的面积等于梯形

CDEB的面积；点C可能在直线0B的上方,也可能在直线0B的下方.

【技巧点评】--

对于形如本题中求ABOC面积的时候，常考虑作x轴的垂线，转化为梯形求面积.

跟踪训练

8.如图5-24-8,已知一次函数yi=x+爪的图象与反比例函数y2=:的图象交于A,B两点.已知当x>l时,yi>y2；

当0<x<l时,yt<y2.

(1)求一次函数的解析式；

⑵已知反比例函数在第一象限上有一点C到y轴的距离为3,求AABC的面积.

图5-24-8

竞赛链接：

例9如图5-24-9,四边形OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象

限的点C分别在双曲线y=，和y=券的一支上，分别过点A,C作x轴的垂线，垂足分别为M和N,则有以下

的结论：

①吧".

JCN\k2\,

②阴影部分面积是|（自+七）；

③当NAOC=90。时|任|=\k2\-

④若四边形OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称.

其中正确的结论是（把所有正确的结论的序号都填上）.

【提示】①由平行四边形的对称性得出OM=ON,因此有笑=含;②根据k的几何意义可得阴影部分面积是

|/<21

+|后1）；③当NAOC=90。时,AAOM和ACN。面积并不相等，所以得不出|句=隹I；④若四边形OABC是菱形，

贝必AOM和ACNO面积相等,所以得出隹|=隹即的=-七，由反比例函数的对称性可得出两曲线既关于x轴对

称，也关于y轴对称.

跟踪训练

9如图5-24-10,在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A,C分别在x轴，y轴上，

反比例函数y=^（k手0,»0）的图象与正方形的两边AB,BC分别交于点M,N,ND±x轴,垂足为D,连接

OM,ON,MN.下列结论：

①△OCNgZiOAM;

②ON=MN;

③四边形DAMN与AMON面积相等；

④若/MON=45o,MN=2厕点C的坐标为（（0，&+1）.

其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个图5-24-10

培优训练

1.★★如图5-24-11,点O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（-3,4）顶点C在x轴的负半轴上，函数y=三。<

0）的图象经过顶点B,则k的值为（）

A.-12B.-27C.-32D.-36

2.★★如图5-24-12在平面直角坐标系中，反比例函数y=£（x>0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB,BC分

别相交于M,N两点，连接MN,AOMN的面积为10.若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（）

A.6V2B.10C.2V26D.2^/29

3.★★如图5-24-13,A,B两点在反比例函数y=，的图象上，C,D两点在反比例函数y=Lx的图象上,AC_Ly轴于点

E,BD±y轴于点F,AC=2,BD=1,EF=3厕-6的值是()

A.6B.4C.3D.2

4.如图5-24-14,AABC的三个顶点分别为A(1,2),B(4,2),C(4,4).若反比例函数y=kx在第一象限内的图象与AABC有交

点，则k的取值范围是()

A.l<k<4.B.2<k<8C.2<k<16D.8<k<16

5状★★如图5-24-15在菱形ABOC中,/A=60。,它的一个顶点C在反比例函数y=*勺图象上，若将菱形向下平移

2