2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义-数与式的运算

专题01数与式的运算

【知识点梳理】

知识点1:绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即：

a,a>0,

\a\=<0,a=0,

-a,a<0.

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.

两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数。和数6之间的距离.

知识点2：乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(。+0)(。一〃)=a2—b2；

(2)完全平方公式(Q±bY=a2±2ab+b1.

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

(1)立方和公式(〃+—必+〃)=+苏；

(2)立方差公式(〃一/2)伍2+ab+b2)=a3-b3；

(3)三数和平方公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)；

(4)两数和立方公式(a+bp=a3+302b+3ab2+b3；

(5)两数差立方公式(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.

知识点3：二次根式

一般地，形如G(。20)的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理

式.例如3a+J/+6+26,证+及等是无理式,而后尤+1,x2+y/2xy+y2,病等是有理式.

⑴分母(子)有理化

把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化，需要引入

有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两

个代数式互为有理化因式，例如也与血，3G与G，6+屈与6-娓,2石-3夜与26+3应，等

等.一般地，。«与«,。«+久万与。五%+8与互为有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化

则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式

^^b=^(a>0,b>0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算;

二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.

(2)二次根式后■的意义

a,a>0,

=同=

V?-a,a<0.

知识点4：分式

(1)分式的意义

形如4的式子，若B中含有字母，且则称4为分式.当屿0时，分式4具有下列性质:

BBB

AAxM

B~BxM

A_A^M

B~B^M

上述性质被称为分式的基本性质.

(2)繁分式

a

像上，0这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2m

n+p

【题型归纳目录】

题型一：绝对值

题型二：乘法公式

题型三：二次根式

题型四：分式

【典例例题】

题型一：绝对值

例1.(2023•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市中实学校校考期中)如果|x-4|+(y+2)2=0,那么U=

【答案】-8

【解析】••.|x-4|+(y+2)2=0

x—4=0,y+2=0,

解得尤=4,y=-2,

xy-4x(-2)=—8,

故答案为：-8.

例2.(2023.福建龙岩.八年级统考期中)若向^+性-1|=0,则(0+6严3=.

【答案】-1

【解析】•.•而^+|6-1|=0

1・a+2=0,Z?—1=0,

a=—2,b=l,

：.(〃+0)2023=(_2+l)2°23=_l.

故答案为：T.

例3.(2023・上海静安•六年级上海市回民中学校考期中)比较大小：-5；-(-5.75).

【答案】<

【解析】-5：=-5；,-(-5.75)=5.75,

-5-<5.75,

2

<-(-5.75),

故答案为：<.

变式1.(2023.天津东丽.八年级校联考期中)已知实数x、y满足|尤-1|+口+3|=0,则x+y的值为.

【答案】-2

【解析】••,有理数无、y满足|尤一1,»+3|=0,

「•犬―1=0,y+3=0,解得％=1,y=-3f

x+y=1+(-3)-—2.

故答案为：-2.

变式2.(2023・四川南充•七年级四川省南充高级中学校考阶段练习)已知：实数〃，人在数轴上的位置如图所

示，化简：y(_q_l)3+2,(1_6)2_卜_耳=.

ab

____ill11A

-101

【答案】b-3/-3+b

【解析】由题意得，一1<。<0<1<6,

*,•1—,a—b<0,

•*,,(_HT)3+-\a-b\

=-tz—l+2(Z7-l)+tz-Z?

=-a-1+2b-2-\-a-b

=b-3.

故答案为：b-3.

变式3.（2023•黑龙江哈尔滨•六年级哈尔滨市第十七中学校校考期中）已知在数轴上A、B两点分别表示的数

是。和6,回=2,同=4,卜-4=4-6,点P在数轴上且与点A、点8的距离相等，则点尸表示的数是.

【答案】-1或-3

【解析】•.•同=2,网=4,

a=±2,b=±4.

3^〃—Z?|—a-h,

a-b>0,

a>b.

••a=2,Z?=—4或a=—2,b=—4.

当a=2,b=-4时，

•・•点尸在数轴上且与点A、点3的距离相等，

.••点尸表示的数为二=-1;

2

当a=—2,b=-4时，

・・•点尸在数轴上且与点A、点5的距离相等，

点尸表示的数为专3=-3；

.,•点P表示的数为-1或-3.

故答案为：-1或-3.

题型二：乘法公式

例4.（2023•黑龙江齐齐哈尔・统考三模）下列运算正确的是（）

A.2a2-a2=2B.-a'=-^C.（2a3）3=8a9D.（a-bf=/-及

【答案】C

【解析】A、2a2-a2^a2,故A不正确，不符合题意；

B、a^a^a2,故B不正确，不符合题意；

C、（2/了=8/,故C正确，符合题意；

D、（a-/?）"=a2-2ab+b1,故D不正确，不符合题意.

故选：C.

例5.（2023•北京海淀•八年级首都师范大学附属中学校考开学考试）多项式A与2x+y的乘积含有一孙项，那

么A可能是（）

A.3x-yB.2x-yC.1-xD.y-2

【答案】C

【解析】A.V（2x+y）（3j;-y）=6x2-2xy+3jcy-y2=6JC+xy-y2,

，多项式3x-y与2x+y的乘积不含一孙项，故A不符合题意；

B.V（2x+y）（2x-y）=4^2-y2,

多项式2x-y与2x+y的乘积不含一孙项，故B不符合题意；

C.V（2x+y^（l-x^-2x-2x2+y-xy,

二多项式1-%与2x+y的乘积含有一孙项，故C符合题意；

D.V（2x+y）（y-2）=2xy-4x+y2-2y,

多项式y-2与2x+y的乘积不含有一孙项，故D不符合题意.

故选：C.

例6.（2023•北京西城•八年级北京市第一六一中学校考开学考试）下列因式分解结果正确的是（）

A.IO"+5a~=5/（2a+1）B.4x~-9=（4x+3）（4x-3）

C.x?-5x-6=（x+6）（x-1）D./-2q-1=（a-1）?

【答案】A

【解析】A、10a3+5a2=5a2（2a+l）,故本选项因式分解结果正确；

B、4/-9=（2X+3）（2X-3）,故本选项因式分解结果错误；

C、X2-5X-6=（X-6）（X+1）,故本选项因式分解结果错误；

D、/一2°-1不能分解因式，故本选项结果错误；

故选：A.

变式4.（2023•江苏泰州・统考二模）机、”为正整数，1+〃2+1=2m+2"，贝打"+〃的值为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】：m2+n2+1=2m+2n

m2—2m+l+n2—2n+l—l—0

：.（m-l）2+（n-l）2=1

V（m-l）2^O,（“-I）?>0,又加、”为正整数,

（m-l）2=0,（n-lf=1,（n-l）2=0,

m=l,n=2^m=2,n=l,

/.机+〃=3,

故选：B.

变式5.（2023•四川内江•威远中学校校考二模）下列运算正确的是（

A.x4+x4=x8B.(x-y)2=x2-y

C.x3-x4=x7D.(2/丫=2f

【答案】C

【解析】A.X4+X4=2/1故此选项错误，不符合题意；

B.（x-yf-2到+/,故此选项错误，不符合题意；

C.尤3.无4=，，故此选项正确，符合题意；

D.（2/丫=8尤6,故此选项错误，不符合题意；

故选：C.

变式6.（2023•安徽合肥・统考三模）下列运算正确的是（）

A.cT-o'=a8B.（«—£＞）­=a2—b2C.a6a3=a1D.（-2a%）=4/〃

【答案】D

【解析】A、a2-a4^a6,计算错误，故此选项不符合题意；

B、（a-bf=a2-2ab+b2,计算错误，故此选项不符合题意；

C、a6^a3=a3,计算错误，故此选项不符合题意；

D、（-2/6y=4/b2,计算正确，故此选项符合题意；

故选：D.

变式7.（2023•山东东营・统考二模）下列运算结果正确的是（）

A.X2+2%3=3^5B.。+2）2=炉+4

C.&+亚=2D.（3尤2）3=9/

【答案】C

【解析】A.炉+2/不能合并了，故原选项计算错误，不符合题意；

B.（X+2『=Y+4X+4,故原选项计算错误，不符合题意；

C.&+血="=2,故原选项计算正确，符合题意；

D.（3/）3=27x6,故原选项计算错误，不符合题意；

故选：C.

题型三：二次根式

例7.（2023.湖北武汉.八年级校联考期中）计算：

（1）后-屈+招;

⑵}J-瓜乂瓜.

【解析】⑴后-年+6

=36-20+G

=26

?—^8x

⑵

=5.；x娓-氓x-J6

=5A/2-4V3

例8.（2023•北京海淀•八年级首都师范大学附属中学校考开学考试）先化简，再求值:

/—1a—1

11U,其中°=血+1.

+aJ4〃a?—2〃+1

—1CL—1

【解析】

4。a?—2a+1

a+1(a+l)(a-1)ci-1

a4a

a+14a1

a

41

a—1ci—1

3

〃一1

33

把4=0+1代入得：原式=

-=6

A/3+1-1V3

-1

例9.（2023•北京海淀•八年级首都师范大学附属中学校考开学考试）计算：（3+夕）（3-夕卜/彳+I

1

=9-7—2+；

2

=9—7—2+2

=2.

2r1x-l

变式8.（2。23・全国•九年级专题练习）先化简,再求值：（「一不）十，其中X=石+1

x-2

【解析】原式=再".「

x+2x-2

(x+2)(x—2)x—1

1

x-1'

当x=6+1时，原式=—=

变式9.（2023•北京•八年级统考期中）计算：历一6+京一瓜.

【解析】原式=26-6+白

=2>/3-A/3+V3

=2^/^.

变式10.（2023•黑龙江哈尔滨・哈尔滨市第四十七中学校考模拟预测）先化简，再求值（1+

其中x=2sin45°—1

【解析】原式=二,百

2

x+1

3。=冬

x=2sin45°-l=V2-b

原式=

亚-1+1-立

变式11.（2023・福建龙岩•八年级统考期中）一个三角形的三边长分别为5、m，:同，-x.E.

V524V5x

（1）求它的周长（用含X的式子表示）；

（2）请你给一个适当的x值，使该三角形的周长为整数，并利用海伦公式求出此三角形的面积.（海伦公式:

s=-6）（p-c）,其中a,b,C分别是三角形的三边长，记/="+：+'）

【解析】⑴；一个三角形的三边长分别为54，-x.E

\524\5x

.•.它的周长=5、2+!而1+』人区

N524V5尤

5^5x

2

⑵由题意得号要是整数’

当x=20时，生叵=%叵=25,符合题意,

,此时三边长分别为10,10,5,

_25715

4

题型四：分式

21

例10.（2023•广东佛山•八年级佛山市惠景中学校考期中）分式一一与丁三的最简公分母是

【答案】3（。+2）

【解析】I3〃+6=3（。+2）,

71

.♦•分式旨与三土的最简公分母是3（。+2）.

故答案是3（。+2）.

例11.（2023•内蒙古包头・二模）化简：fa+1%]+2".§1=________

Ia-lja-2a+l

【答案】a—1/—1+ci

a—1Q2—2〃+1

_a2-3（a-1）-

d—\a-3

—Cl—19

故答案为：a—1.

例12.（2023•河北邯郸•八年级统考期中）在函数y=Y亘中，自变量x的取值范围是

x-5

【答案】心1且xw5

x-l>0

【解析】由题意得,

%—5

解得，x>lS.x^5

故答案为：且xw5.

变式12.(2023•江苏苏州•七年级苏州市立达中学校校考期中)已知根+加一1=3,则m4+^Y=

【答案】47

【解析】m+m-1=3,

(m+—)2=9,

m

.,.m2+2+4=9,

m

根2H——=7,

m

1

「.O9+—)?=49,

m

7n4+2+4r=49,

m

m4+=47,

m

即m44-m-4=47,

故答案为：47.

Y+1

变式13.(2023・广东佛山•校联考二模)若式子7匚在实数范围内有意义，则x的取值范围是

【答案】XW0

【解析】由题意，得

A/2-xw0，

Xw6•

故答案为：xV2•

变式14.(2023•河北沧州・统考二模)已知m+2〃=1,求下列各式的值.

(1)2"x2?〃+2=;

(2)3m2+6mn+6n=.

【答案】13

【解析】⑴2mx22〃+2=222〃-1,

*.*m+2n=l,

•2〃计2〃-1_2。_].

(2)3m2+6mn+6”=3讯〃2+2〃)+6〃=3”?+6〃=3(m+2”)=3；

故答案为：1；3.

【过关测试】

一、单选题

2

1.（2023•辽宁葫芦岛・统考二模）数1,0,-2中最小的是（）

A.-2B.0C.--D.1

3

【答案】A

2

【解析】；一1〈卜2|

/.-2<--

3

2

・••在1,0,--,—2中最小的数是—2,

故选：A.

2.（2023•北京海淀•七年级101中学校考开学考试）下列代数式中孙+z2,3a为c5,-万，丝中，单项式

67

（）

A.1个B.2C.3个D.4个

【答案】D

【解析】仍2,孙+z2,3〃6c5,一匹”声:中，。炉,3。2次5,_%,1是单项式，共4个，

故选：D.

3.（2023•八年级单元测试）直线/：y=（加-3口+“-2（办”为常数）的图象如图，化简：|〃L3|H"2_4”+4

【答案】D

【解析】由直线y=（加一3）%+〃一2（相，〃为常数）的图象可知，m-3>0,M-2<0,

m>3,n<2,

Im-3\fjn2-4〃+4

2

=(m-3)-A/(M-2)

=(m—3)一(2—〃)

=m+n—5.

故选：D.

4.（2023•湖北武汉•八年级校联考期中）下列计算正破的有（）

A.+\/3=5/5B.=2C.=2V2D.^/2xy/6=2,^/3

【答案】D

【解析】因为0和百不是同类二次根式，不能合并，所以A不正确；

因为2省-石=（2-1）百=百，所以B不正确；

因为

=琶IT，所以c不正礁

因为VFx=JTF=x亚=2诉，所以D正确.

故选：D.

5.（2023•湖北武汉•八年级校联考期中）下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.J12B.C.\[6D.J1.8

【答案】C

【解析】A、配的被开方数12中含有能开得尽方的因数4,则g不是最简二次根式，故本选项不符合

题意；

B、的被开方数|■是分数，不是整数，则不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

C、布是最简二次根式，故本选项符合题意；

D、的被开方数1.8是小数，不是整数，则g不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

故选：C.

6.（2023•陕西西安・校考三模）在下列计算中，正确的是（）

A.a，+2a3=3a6B.+（—3a）=ab

C.a'b，2a2=2a%D.（—=—6a^b}

【答案】B

【解析】A、原式=3Y，不符合题意；

B、原式=943）+9/=必，符合题意；

C、原式=2/。，不符合题意；

D、原式=-8363,不符合题意.

故选：B.

7.（2023•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市中实学校校考期中）有理数相、”在数轴上的位置如图，则下列关系

式正确的个数有（）

@m+n<0；®n-m>0；③2〃z-〃>0；@-n-m>0；@—>--

mn

—I_________________I_______I_>

n0rn

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】根据数轴可得〃<o<”且|H>H，

・,•加+〃<0,n-m<0,即①正确，②错误；

*.*n<0<m,

/.2m>n,

/.2m—n>0,即③正确；

*.*n<0<m>|«|>|m|,

-n>m>0

/.-n-m>0,即④正确；

-n>m>0

即⑤正确；

mn

.♦.①③④⑤正确，正确的个数为4个，

故选：D.

8.（2023•内蒙古包头•二模）已知加，〃是一元二次方程Y+x-6=0的两个实数根，则代数式病+2机+〃的

值等于（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】机，〃是一元二次方程Y+x-6=0的两个实数根，

：.m+n=-l,m2+m=6,

irT+2m+n=m2+m+^m+n^—6—l—5,

故选：B.

9.（2023•陕西榆林•校考模拟预测）若实数a、6在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）

--1-----1---'>

b0a

A.-a>-bB.同〈网C.ab>0D.a<0<b

【答案】B

【角星析】A、〈Q〉0〉b,・,•一”VOV—b,错误，不符合题意；

B、〈〃〉。〉/?,同<同，正确，符合题意;

C>'.'a>O>b,ab<0,错误，不符合题意；

D、.,.错误，不符合题意；

故选B.

10.（2023•湖北武汉・统考模拟预测）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏.将

-1,2,-3,4,-5,6,-7,8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相

等，则a+b的值为（）

A.1或一1B.一1或TC.-3或-6D.1或一8

【答案】C

【解析】设小圈上的数为c,大圈上的数为d,

横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等,

两个圈的和是2,横、竖的和也是2

贝U-7+6+b+8=2,得6=-5,

6+4+6+c=2,得c=-3,

a+c+4+d=2,a+d=l,

•..当a=-l时，d=2,贝Ua+6=-l-5=-6,

当a=2时，d——1,贝!|a+b=2—5=—3,

故选：C.

二、填空题

11.(2023•辽宁葫芦岛•统考二模)分解因式：“3+2/+”=

【答案】«(«+1)2

【角^】cr+2矿+a=a+2a+1)=a(“+l)

故答案为：a(“+l).

12.(2023・广西南宁•校考二模)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围_______.

【答案】x>l

【解析】；GT在实数范围内有意义，

x—120,

:.x>l,

故答案为：X>1.

13.(2023・广东佛山・八年级佛山市惠景中学校考期中)化简：x+y--=.

y

【答案】X+1

【解析】x+y--=x+l,

y

故答案是x+l.

14.(2023・云南曲靖・统考二模)分解因式：a3~6a2+9a=.

【答案】a(a-3)2

【角星析1/-6a~+9。=-6a+9)=-3)~.

故答案为。(a-3)2.

15.(2023•陕西榆林•七年级绥德中学校考阶段练习)课堂上老师布置了四道运算题目，小刚做的结果为：①

(-3a2)3=-27a6；@(-a)2-a3=-a5；③(2尤-_J；@2a2-4a2=8a4,他做对的有.(填序

号)

【答案】①④/④①

【解析】(-3/丫二一27/,故①正确；

(-a)2-a3=a5,故②错误；

(2x-y)2=4x2-^xy+y2,故③错误；

2/.4/=8",故④正确，

故答案为：①④.

三、解答题

16.(2023•浙江温州•校考二模XI)计算：725-|-5|+(-5)°-5-2.

3%+2>x

(2)解不等式组x+2,,并把解表示在数轴上.

----<x-l

13

IIIIIIII1

-4-3-2-101234

【解析】⑴底十5|+(-5)。-5-2

=5-5+1--

25

_24

"25；

3x+2>%®

⑵虫W1②

I3

解不等式①得，x>-l；

解不等式②得，x>|；

所以，不等式组的解集为：龙

在数轴上表示为：

-101234

17.(2023•浙江•校联考三模)化简与计算:

⑴化简：(%+1)2-X(X+1)；

(2)计算：(-1)2023+2-2+4COS230°.

【解析】(1)(%+1)2-%(%+1)

=x2+2x+1-%2-x

=%+1；

(2)(-1)2023+2-2+4COS230O

18.（2023•江苏苏州・统考二模）计算：（-2）2-|-3|+（7C-2023）°.

【解析】（-2）2—卜3卜（兀-2023）°

=4-3+1

=2.

19.（2023•河北沧州•校考模拟预测）如图，数轴上点O为原点，点C表示的数分别是%+1,2-m,9-4m.

9-4加2-mm+\

CBOA

(1)AB=(用含根的代数式表示)；

(2)求当BC与A3的差不小于;时m的最小值.

［解析］(1)钻=(/+1)_(2_m)=2根—1.

(2)V5C与A3的差不小于g,

2

*.*BC=2-m-(9-4m)=3m-7,AB=m+\-(2-m)=2m-\,

•*.3m—7—(2m—1),

.、13曰।而13

••m>—,加取小取:

22

2x-7<3(x-l)①

Y2+Y

20.（2023•河南南阳・统考三模）化简求值:「；…其中尤是不等式组4…2G的

Y-2X+X—x+3<l——x②

I33

整数解.

x2+x

【解析】

1—2x+

x_12x(x-1)

x(x-l)x(x-l)x(x+l)

x—\—2x(x-1)

x(x-l)x(x+l)

_X+l(XT)2

x(x-l)x(x+l)

x-1

=一丁.

2x-7<3(x-l)@

解14…2否,

—x+3<1—x®

I33

①可化简为：2x-7<3x-3,-x<4,

x>-4；

②可化简为2%41-3,

xW—1,

・••不等式的解集为-4<xW-1,

・・・不等式的整数解是-3,-2,-1,

又,.•尤+lwO,x^±l,

••x——3x——2,

-3-14

当％=—3时，原式=一^^二5，

-2-13

当x=-2时，原式=一百^二^.

21.(2023・湖南长沙•九年级校联考期中)先化简，再求值：Za7—1-f—41，其中。满足q=2.

。+2〃-2a+1a—1

a-1(Q+2)(Q-2)1

Q+2(以-if(Q+1)(Q_1)

Q—](Q+2)(Q-2)(Q+1)(〃_1)

(4-1)2I'

二(a—2)(a+l),

=々2_a_2；

,**6—Q=2,

〃2_Q_2=_a)_2=2-2=0.

22.(2023・上海静安•六年级上海市回民中学校考期中)若方程2(x+l)-5=3(x-1)+4的解是关于x的方程

元=7的解，求-H的值.

4

【解析】2(x+l)-5=3(x-l)+4,

;.2x+2—5=3x-3+4,解得x=T,

—x(—4)—(―4)a=7,即4a=8,解得a=2,

将。=2代入。2一2。一11得/一2。-11=22—2><2—11=一11.

23.(2023•黑龙江哈尔滨•六年级哈尔滨市第十七中学校校考期中)如图，数轴上点A、2分别在原点左侧和右

侧，点C在点B右侧，点C对应的数是点B对应的数冽倍，点A到