2023-2024学年北京市海淀区育英学校九年级（上）期中数学试卷【含解析】

第1页（共1页）2023-2024学年北京市海淀区育英学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分。共24分）1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．2．（3分）在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：1：2：2 D．2：1：2：13．（3分）关于的叙述正确的是（）A．在数轴上不存在表示的点 B． C． D．与最接近的整数是44．（3分）如图，已知点A的坐标为（1，2），则线段OA的长为（）A． B． C． D．35．（3分）下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝CD，AD∥BC C．AB∥CD，AB＝CD D．∠A＝∠C，∠B＝∠D6．（3分）估计的值应该在（）A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则AC边上的高BD的长为（）A．4 B．4.4 C．4.8 D．58．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝4，∠D＝120°，AC平分∠DAB，P是对角线AC上的一个动点，点Q是AB边上的一个动点，则PB+PQ的最小值是（）A．4 B． C． D．3二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．（2分）要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．10．（2分）命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是．11．（2分）如图，在湖的两侧有A，B两个观湖亭，为测定它们之间的距离．小明在岸上任选一点C，并量取了AC中点D和BC中点E之间的距离为50米，则A，B之间的距离应为米．12．（2分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交CD和AB于点E、F，且AB＝7，BC＝4，∠DAB＝60°，那么图中阴影部分的面积为．13．（2分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为．14．（2分）已知+|a﹣2|＝0，则＝．15．（2分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是．16．（2分）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，设AB＝4，则图中阴影部分面积为．三、解答题：（本大题共10小题，第17题8分，第18-21题每小题8分，第22-25题每小题8分，17．（8分）计算：（1）；（2）．18．（5分）已知x＝+1，y＝﹣1，求+的值．19．（5分）如图，在▱ABCD中，M，N是AD，BC上的两点且DM＝BN，连接CM，AN．请写出线段CM和AN的关系，并证明．20．（5分）已知，如图点M为∠BAC的边上的一个定点，点N为∠BAC内部的一个定点，连接MN，在∠BAC的内部求作一点P，使得∠APN＝∠AMN．下面是小兵设计的一种尺规作图过程．①连接AN；②作线段AN的垂直平分线m，交AN与点O；③连接MO，并延长MO至P，使得PO＝MO；则点P即为所求．根据小兵设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规补全图形．（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：连接AP、PN，∵直线m为线段AN的垂直平分线，∴AO＝NO，又∵PO＝MO，∴四边形AMNP为平行四边形（填推理依据），∴∠APN＝∠AMN（填推理依据）．21．（5分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点△ABC，使AB＝，AC＝，BC＝，请标出顶点位置，并判断△ABC形状为三角形．22．（6分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB于点E，已知CD＝6，AD＝10．请判断线段AD和BD的大小，并说明理由．23．（6分）如图，在▱ABCD中，F是CD的中点，延长AB到点E．使BE＝AB，连接BF、CE．（1）求证：BF∥EC；（2）若AB＝6，AD＝4，∠A＝60°．求CE的长．24．（6分）小明在解方程时采用了下面的方法：（）（）＝（）2﹣（）2＝（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16∵∴将这①②两式相加可得解得x＝﹣1．经检验x＝﹣1是原方程的解．请你学习小明的方法，解下列方程：（1）方程的解是（直接写出答案）；（2）解方程．25．（6分）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小．我们可以把a和b分别平方．∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b．请利用“平方法”解决下面问题：（1）比较，的大小．（2）猜想之间的大小，并证明．（3）化简＝（直接写出答案）．26．（8分）在平面直角坐标系xOy中，给定线段MN和图形F，给出如下定义：平移线段MN至M'N'，使得线段M'N'上的所有点均在图形F上或其内部，则称该变换为线段MN到图形F的平移重合变换，线段MM'的长度称为该次平移重合变换的平移距离，其中，所有平移重合变换的平移距离中的最大值称为线段MN到图形F的最大平移距离，最小值称为线段MN到图形F的最小平移距离．如图1，点A（1，0），P（﹣1，），Q（5，）（1）①在图1中作出线段OA到线段PQ的平移重合变换（任作一条平移后的线段O'A'）；②线段OA到线段PQ的最小平移距离是，最大平移距离是．（2）如图2，作等边△PQR（点R在线段PQ的上方），①求线段OA到等边△PQR最大平移距离．②点B是坐标平面内一点，线段OB的长度为1，线段OB到等边△PQR的最小平移距离的最大值为，最大平移距离的最小值为．

2023-2024学年北京市海淀区育英学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分。共24分）1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、，是最简二次根式，符合题意；B、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝|b|，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．2．（3分）在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：1：2：2 D．2：1：2：1【分析】根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°，根据以上结论即可选出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD，AD∥BC，∴∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°，即∠A和∠C的度数相等，∠B和∠D的度数相等，且∠B+∠C＝∠A+∠D，故选：D．【点评】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能根据平行四边形的性质进行判断是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．3．（3分）关于的叙述正确的是（）A．在数轴上不存在表示的点 B． C． D．与最接近的整数是4【分析】直接利用的性质，分别分析得出答案．【解答】解：A、在数轴上存在表示的点，故此选项不符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、，故此选项不符合题意；D、与最接近的整数是，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了无理数的估算，正确掌握实数的性质是解题的关键．4．（3分）如图，已知点A的坐标为（1，2），则线段OA的长为（）A． B． C． D．3【分析】根据勾股定理计算即可．【解答】解：OA＝＝，故选：B．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．5．（3分）下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝CD，AD∥BC C．AB∥CD，AB＝CD D．∠A＝∠C，∠B＝∠D【分析】根据平行四边形的判定（①有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有两组对边分别平行的四边形是平行四边形）判断即可．【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项不符合题意；B、根据AB＝CD，AD∥BC可能得出四边形是等腰梯形，不一定推出四边形ABCD是平行四边形，错误，故本选项符合题意；C、∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项不符合题意；D、∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的判定的应用，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有两组对边分别平行的四边形是平行四边形．6．（3分）估计的值应该在（）A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间【分析】先利用乘法分配律，进行计算，然后再估算出的值，即可解答．【解答】解：＝3×﹣×＝3﹣3，∵25＜27＜36，∴5＜＜6，∴5＜3＜6，∴2＜3﹣3＜3，∴估计的值应该在2到3之间，故选：C．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，准确熟练地进行计算是解题的关键．7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则AC边上的高BD的长为（）A．4 B．4.4 C．4.8 D．5【分析】过A作AE⊥BC于点E，根据勾股定理计算出底边上的高AE的长，然后计算三角形的面积，再以AC为底，利用三角形的面积计算出AC边上的高BD即可．【解答】解：过A作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AE⊥BC，∴EB＝EC＝CB＝3，在Rt△ABE中，AE＝＝＝4，∴△ABC的面积为•BC•AE＝×6×4＝12，∴•AC•BD＝12，5×BD＝12，解得BD＝．故选：C．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形底边上的高和中线重合．8．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝4，∠D＝120°，AC平分∠DAB，P是对角线AC上的一个动点，点Q是AB边上的一个动点，则PB+PQ的最小值是（）A．4 B． C． D．3【分析】找出B点关于AC的对称点D，连接DQ交AC于P，则DQ就是PB+PE的最小值，求出即可．【解答】解：在▱ABCD中，AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC＝∠ACD，∴AD＝DC，∴▱ABCD是菱形，连接DQ交AC于P，连接DB，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD＝PB，∴PQ+PB＝PQ+PD＝DQ，即DE就是PB+PQ的最小值，∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∵AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，当DQ⊥AB时，DQ的值最小，此时AQ＝BQ，在Rt△ADE中，DQ＝＝2．∴PB+PE的最小值为2．故选：B．【点评】本题主要考查了菱形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．（2分）要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥3．【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣3≥0，再求出答案即可．【解答】解：要使二次根式有意义，必须x﹣3≥0，解得：x≥3．故答案为：x≥3．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记二次根式有意义的条件（式子中a≥0）是解此题的关键．10．（2分）命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形．【分析】把一个命题的题设和结论互换就可得到它的逆命题．【解答】解：“平行四边形对角线互相平分”的条件是：四边形是平行四边形，结论是：四边形的对角线互相平分．所以逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形．故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．11．（2分）如图，在湖的两侧有A，B两个观湖亭，为测定它们之间的距离．小明在岸上任选一点C，并量取了AC中点D和BC中点E之间的距离为50米，则A，B之间的距离应为100米．【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵点D、E分别为AC、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB＝2DE＝100（米），故答案为：100．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．12．（2分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交CD和AB于点E、F，且AB＝7，BC＝4，∠DAB＝60°，那么图中阴影部分的面积为7．【分析】由平行四边形的性质可知阴影部分面积为平行四边形面积的一半，进而可求出结果．【解答】解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∴S△DEO＝S△BOF，∴阴影部分面积等于△ACD的面积，即为▱ABCD面积的一半，过点B作BP⊥CD于点P，∵CD＝AB＝7，∠DAB＝60°，∴CP＝3.5，BP＝，∴S平行四边形ABCD＝CD•BP＝，∴阴影部分面积为7，故答案为：7．【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质是解题关键．13．（2分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为3﹣4或3+4．【分析】当点P在CA延长线上时，当点P在AC延长线上时，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，∴BC＝＝3，当点P在CA延长线上时，∵BP＝6，BC＝6，∴CP＝＝＝3，∴AP＝CP﹣AC＝3﹣4；当点P在AC延长线上时，∵BP′＝6，BC＝3，∴CP′＝3，∴AC+CP′＝4+3，综上所述，线段AP的长为3﹣4或3+4；故答案为：3﹣4或3+4．【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．14．（2分）已知+|a﹣2|＝0，则＝+2．【分析】根据非负数的性质以及二次根式的性质可得b+1＝0，a﹣2＝0，则b＝﹣1，a＝2，将原式化简为+，代入计算即可．【解答】解：＝+，∵+|a﹣2|＝0，∴b+1＝0，a﹣2＝0，∴b＝﹣1，a＝2，∴+＝+2．故答案为：+2．【点评】本题考查二次根式的化简求值、非负数的性质：绝对值、二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．15．（2分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是4．【分析】结合数轴得出：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，进而化简二次根式得出答案．【解答】解：由数轴可得：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，故a﹣b＜0，a+2＞0，b﹣2＜0，则＝b﹣a+a+2+2﹣b＝4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．16．（2分）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，设AB＝4，则图中阴影部分面积为16+8．【分析】设小直角三角形的较长边长为a，较小直角边长为b，根据题意求出b的值，再根据图形表示出阴影部分的面积即可求解．【解答】解：设小直角三角形的较长边长为a，较小直角边长为b，则a﹣b＝4，∵直角三角形的一个锐角为30°，∴a＝b，∴b＝2+2，由图②可知，阴影部分的面积＝[]×4＝2b2＝2（2+2）2＝16+8，故答案为：16+8．【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出阴影部分的面积是解题的关键．三、解答题：（本大题共10小题，第17题8分，第18-21题每小题8分，第22-25题每小题8分，17．（8分）计算：（1）；（2）．【分析】（1）把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先利用二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简后合并即可．【解答】解：（1）原式＝4+2﹣2+2＝6；（2）原式＝2+3+2﹣＝2+3+2﹣＝4+2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．18．（5分）已知x＝+1，y＝﹣1，求+的值．【分析】根据x＝+1，y＝﹣1，可以得到xy和x+y的值，然后将所求式子变形，再将xy和x+y的值代入计算即可．【解答】解：∵x＝+1，y＝﹣1，∴xy＝1，x+y＝2，∴+＝＝＝＝＝6．【点评】本题考查二次根式的化简求值、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．19．（5分）如图，在▱ABCD中，M，N是AD，BC上的两点且DM＝BN，连接CM，AN．请写出线段CM和AN的关系，并证明．【分析】根据平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，根据线段的和差求出AM＝CN，进而推出四边形ANCM是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得解．【解答】解：CM＝AN，CM∥AN，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DM＝BN，∴AM＝CN，∴四边形ANCM是平行四边形，∴CM＝AN，CM∥AN．【点评】此题考查平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．20．（5分）已知，如图点M为∠BAC的边上的一个定点，点N为∠BAC内部的一个定点，连接MN，在∠BAC的内部求作一点P，使得∠APN＝∠AMN．下面是小兵设计的一种尺规作图过程．①连接AN；②作线段AN的垂直平分线m，交AN与点O；③连接MO，并延长MO至P，使得PO＝MO；则点P即为所求．根据小兵设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规补全图形．（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：连接AP、PN，∵直线m为线段AN的垂直平分线，∴AO＝NO，又∵PO＝MO，∴四边形AMNP为平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形（填推理依据），∴∠APN＝∠AMN平行四边形对角相等（填推理依据）．【分析】（1）按照要求作图即可．（2）根据平行四边形的判定与性质可得答案．【解答】（1）解：如图所示．（2）证明：连接AP、PN，∵直线m为线段AN的垂直平分线，∴AO＝NO，又∵PO＝MO，∴四边形AMNP为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），∴∠APN＝∠AMN（平行四边形对角相等）．故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；平行四边形对角相等．【点评】本题考查作图﹣基本作图、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的作法是解答本题的关键．21．（5分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点△ABC，使AB＝，AC＝，BC＝，请标出顶点位置，并判断△ABC形状为等腰直角三角形．【分析】先找到A，B，C的位置，再判断三角形形状．【解答】解：如图：∵AB＝AC＝，BC＝，∴AB2+AC2＝10+10＝20，BC2＝20，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角．【点评】本题考查直角三角形的判定，掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是求解本题的关键．22．（6分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB于点E，已知CD＝6，AD＝10．请判断线段AD和BD的大小，并说明理由．【分析】先判断，然后根据勾股定理可以求得AE、BE和BD的长，然后即可判断AD和BD的大小．【解答】解：AD＜BD，理由：∵∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB于点E，CD＝6，∴DE＝DC＝6，∠CBD＝∠EBD，∠C＝∠DEB＝90°，∴AE＝＝＝8，在△DCB和△DEB中，，∴△DCB≌△DEB（AAS），∴BC＝BE，设BC＝x，则AB＝x+8，∵∠C＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，即（10+6）2+x2＝（x+8）2，解得x＝12，即BE＝12，∴BD＝＝＝6，∵10＜6，∴AD＜BD．【点评】本题考查勾股定理、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．（6分）如图，在▱ABCD中，F是CD的中点，延长AB到点E．使BE＝AB，连接BF、CE．（1）求证：BF∥EC；（2）若AB＝6，AD＝4，∠A＝60°．求CE的长．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，且AB＝DC，再证CF＝BE，然后根据平行四边形的判定定理推出四边形BECF是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论；（2）过点C作CH⊥BE于点H．解直角三角形得到BH＝CB＝2，CH＝2，再根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，且AB＝CD，∵F是CD的中点，∴CF＝CD，又∵BE＝AB，∴CF＝BE，∵CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形，∴BF∥EC；（2）解：如图，过点C作CH⊥BE于点H．在▱ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，∴∠CBE＝∠A＝60°．∵AB＝6，AD＝4，∴CD＝AB＝6，CB＝AD＝4，在Rt△BCH中，∠BCH＝90°﹣∠CBE＝30°，∴BH＝CB＝2，∴CH＝＝＝2，由（1）可知，四边形BECF是平行四边形，∴BE＝CF＝CD＝3，∴EH＝BE﹣BH＝3﹣2＝1，在Rt△CHE中，根据勾股定理得：CE＝＝＝．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．24．（6分）小明在解方程时采用了下面的方法：（）（）＝（）2﹣（）2＝（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16∵∴将这①②两式相加可得解得x＝﹣1．经检验x＝﹣1是原方程的解．请你学习小明的方法，解下列方程：（1）方程的解是x＝（直接写出答案）；（2）解方程．【分析】（1）利用二次根式的特征，利用平方差公式得到方程（+）（﹣）＝4，则可得到﹣＝1，再利用加减法得到2＝5，然后解简单的无理方程即可；（2）利用二次根式的特征，利用平方差公式得到方程（﹣）（+）＝12x，则+＝6x，再利用加减法得到＝3x+1，然后解简单的无理方程即可．【解答】解：（1）∵（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝x+6﹣（x+2）＝4，而+＝4①，∴﹣＝1②，①+②得2＝5，解得x＝，经检验x＝是原方程的解；故答案为：；（2）∵（﹣）（+）＝（）2﹣（）2＝9x2+8x﹣3﹣（9x2﹣4x﹣3）＝12x，而﹣＝2①，∴+＝6x②，①+②得2＝6x+2，即＝3x+1，两边平方得9x2+8x﹣3＝9x2+6x+1，解得x＝2，经检验x＝2是原方程的解．【点评】本题考查了解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解．在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法；用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．25．（6分）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小．我们可以把a和b分别平方．∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b．请利用“平方法”解决下面问题：（1）比较，的大小．（2）猜想之间的大小，并证明．（3）化简＝（直接写出答案）．【分析】（1）利用平方法，通过比较c2与d2的大小得到c与d的大小；（2）先计算出m2和n2的平方得到m2＝26+4，n226+4，然后比较与的大小得到m与n的大小；（3）利用完全平方公式表示原式变形为＝+2，再利用二次根式的性质化简得到原式＝|﹣1|+2+2，接着进行讨论：当1≤p≤2时，原式＝1﹣+2+2；当p＞2时，原式＝﹣1+2+2，最后合并即可．【解答】解：（1）∵c＝4，d＝2，∴c2＝（4）2＝32，d2＝（2）2＝28，∵32＞28，∴c＞d；（2）m＜n．理由如下：∵m＝2+，n＝2+，∴m2＝（2+）2＝20+4+6＝26+4，n2＝（2+）2＝12+4+14＝26+4，∵4＜4，∴m2＜n2，∴m＜n；（3）＝+2＝+2＝+2＝|﹣1|+2|+1|＝|﹣1|+2+2，∵p﹣1≥0，∴p≥1，当1≤p≤2时，原式＝1﹣+2+2＝+3；当p＞2时，原式＝﹣1+2+2＝3+1，综上所述，原式＝．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和完全平方公式是解决问题的关键．26．（8分