空间向量的数量积运算 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册_第1页
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1.1.2空间向量的数量积运算思考：类比平面向量的数量积，你能得出空间向量的数量积相关知识吗？

已知两个非零向量a，b,在空间任取一点O、作=a，=b,则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作<a，b>.ba（1）<a,b>=<b,a>（4）如果<a，b>=,那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b.（2）<a,b>+<a,-b>=π（3）<a,b>的范围：0≤<a,b>≤π注：

已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos<a，b>叫做a，b的数量积，记作a·b.特别地，零向量与任意向量的数量积为0.a·a=|a||a|cos<a,a>=|a|2.a⊥b

a・b=0;即a·b=|a||b|cos<a，b>.求长度空间向量数量积的定义证垂直

求夹角性质(λa)・b=λ(a・b)，λ∈Ra・(b+c)=a・b+a・c(分配律)a・b=b・a(交换律)空间向量数量积的运算律思考1:对于向量a,b,c,由a・b=a・c能得到b=c吗?如果不能,请举出反例.不能.数量积运算不满足消去律，例如a=0思考2:对于向量a,b,若a·b=k,能否写成(或

)的形式?不能.数量积不是单纯的乘法，向量没有除法.思考3:对于向量a,b,c,(a・b)c=a(b・c)成立吗?也就是说,向量的数量积满足结合律吗?不满足.(a・b)和(b・c)都是数，而a和c方向也不一定相同.辨析:对于非零向量a,b,c,由a・b=a・c能得到b=c吗?不一定.只能得到|b|cos<

a,

b

>=|

c

|cos<a,

c

>思考：类比平面向量的投影，在空间，向量a向向量b的投影有什么意义？向量a向直线l的投影呢？向量a向平面β的投影呢？

在空间,向量a向向量b投影,由于它们是自由向量,因此可以将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.空间向量的投影向量类似地,可以将向量a向直线l投影.只要将b看成是l的方向向量.

向量a向平面β投影：1.分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',得到向量

,2.向量

称为向量a在平面β上的投影向量.这时,向量a,

的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.例1.如图所示，在空间四面体OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离.例题讲解解：求模长求夹角例3.如图，正四棱锥P－ABCD的各棱

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