八年级数学下册 讲义（北师大版）第六章第02讲 平行四边形的判定(6类热点题型讲练)（原卷版）

第02讲平行四边形的判定(6类热点题型讲练)1．掌握平行四边形的判定定理；(重点)2．综合运用平行四边形的性质与判定定理1、2解决问题．(难点)知识点01平行四边形的判定定理【知识点】平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD：（1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC.（2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC.（3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC.（4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC.（5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO.注：=1\*GB3①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）；=2\*GB3②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的.题型01判断能否构成平行四边形【例题】（23-24八年级下·广东珠海·阶段练习）如图，四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（

）A．， B．，C．， D．，【变式训练】1．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列四个选项中不能判定四边形是平行四边形的是（

）A．， B．，C．， D．，2．（2024·河北石家庄·一模）如图，已知线段和射线，且，在射线上找一点C，使得四边形是平行四边形，下列作法不一定可行的是（

）A．过点D作与交于点CB．在下方作与交于点C，使C．在上截取，使，连接D．以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接题型02添一个条件成为平行四边形【例题】（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在四边形中，，请添加一个条件：，使四边形成为平行四边形．【变式训练】1．（22-23八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在四边形中，，请再添加一个条件，使四边形是平行四边形．添加的条件是．2．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在四边形中，是边上一点，连接并延长，与的延长线相交于点．请你再添加一个条件：，使四边形是平行四边形（写出一种情况即可）．题型03证明四边形是平行四边形【例题】（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，E、F为对角线上两点，．求证：四边形是平行四边形．【变式训练】1．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，四边形对角线交于点O，且O为中点，，，求证：四边形是平行四边形．

2．（2024·湖南岳阳·二模）如图，在中，点，分别在，上，，分别交，于点，．求证：四边形是平行四边形．题型04利用平行四边形的判定和性质求解【例题】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在四边形中，，点E在上，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，平分，，求的长．【变式训练】1．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在中，，于点D，延长到点E，使，过点E作交的延长线于点F，连接，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，直接写出的长．2．（22-23八年级下·江西宜春·阶段练习）如图所示，将的边延长至点，使，连接，是边的中点，连接．

(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，求的长．题型05利用平行四边形的判定和性质证明【例题】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知：如图，四边形为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，．(1)求证：；(2)连接、，求证：四边形为平行四边形．【变式训练】1．（2024·广东江门·一模）如图，，E、F分别是边上一点，且，直线分别交延长线、延长线于O、H、G．(1)求证：．(2)分别连接，试判断与的关系，并证明．2．（2024·贵州·一模）如图，中，，点是边上一点，且，点是延长线上一点，且，点在上，且．

(1)求证：四边形为平行四边形；(2)若，求四边形的周长；(3)过点作交于点，判断和的大小关系并说明理由．题型06平行四边形的判定和性质的应用【例题】（22-23八年级下·陕西渭南·期末）问题背景：如图，在等边中，、两点分别在边、上，，以为边作等边，连接，，．

问题探究：(1)求证：为等边三角形；(2)求证：四边形为平行四边形；(3)若，求四边形的面积．【变式训练】1．（22-23八年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，为边上一点（），过点，分别作射线的垂线，垂足分别为点，．点在的延长线上，且．

(1)求证：四边形为平行四边形；(2)若，的周长为24，求的长．2．（22-23八年级下·山西太原·阶段练习）已知：在中，于点．

(1)尺规作图：作线段，使交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的基础上，连接，，求证：四边形是平行四边形；(3)连接，若，，，则______．3．（23-24八年级上·吉林白城·期末）如图：是边长为6的等边三角形，P是边上一动点．由点A向点C运动（P与点不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D．(1)若设的长为x，则，．(2)当时，求的长；(3)过点Q作交延长线于点F，则有怎样的数量关系？说明理由．(4)点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段的长；如果变化，请说明理由．一、单选题1．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，长为半径画弧，两弧在直线上方交于点D，连接，则的度数是（

）A． B． C． D．2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形中，，，E、F是对角线上的两点，如果再添加一个条件，使，则添加的条件不能是（

）A． B． C． D．3．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，点是内的一点，过点作直线、分别平行于、，与的边分别交于、、、．则图中平行四边形的个数为（

）A．10个 B．9个 C．8个 D．7个4．（2023·贵州铜仁·三模）如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交于，分别以点为圆心大于长为半作弧，两弧交于点，作交于点，连接，若，则的长为（）A． B． C． D．5．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t为（

）秒时，以点为顶点的四边形是平行四边形A．1 B． C．1或 D．或2二、填空题6．（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图所示，在中，A、C分别为边、上的点，请在目前图形中添加一个条件，使四边形是平行四边形．

7．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）已知一副直角三角板如图放置，点C在ED的延长线上，，，，，若，则DC的长为．

8．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在四边形中，，，，．则四边形的面积是．9．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，连接，过点A作交的延长线于点E，过点E作交的延长线于点F，若，则．10．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，点E为的中点，点F为边上的一个动点，将三角形沿折叠，点A的对应点为，当以E，F，，C为顶点的四边形是平行四边形时，线段的长为．三、解答题11．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，相交于点，点，分别为，的中点．

(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若的面积为，直接写出四边形的面积．12．（23-24八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）如图：，和均为直线同侧的等边三角形，点P在内．(1)求证：四边形为平行四边形；(2)若中，，，，求四边形的面积．13．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）如图，在中，点，分别在，上，，分别交，于点，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)已知，连接，若平分，求的长．14．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在中，点为中点，延长相交于点，连结．

(1)求证：四边形是平行四边形．(2)连结，若，求的长度．15．（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）如图，四边形中，，F为上一点，与交于点E，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，求的长．16．（2024九年级下·浙江·专题练习）在中，，是斜边上的一点，作，垂足为，延长到，连接，使．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)连接，若平分，，，求四边形的面积．17．（23-