八年级数学下册 讲义（北师大版）第二章第01讲 不等关系、不等式的基本性质、不等式的解集(5类热点题型讲练)（解析版）

第01讲不等关系、不等式的基本性质、不等式的解集(5类热点题型讲练)1.了解不等式的概念；将自然语言转化为符号语言．2.经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同.3.掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质把比较简单的不等式转化为“x>a”或“x<a”的形式.4.理解不等式的解与解集的意义.知识点01不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．特别说明：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：符号读法意义“≠”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小“＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大“≤”读作“小于或等于”即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量“≥”读作“大于或等于”即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．知识点02不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．特别说明：不等式的基本性质的掌握注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．知识点03不等式的解与解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．注意：不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围不等式的解集是一个集合，是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立；②能够使不等式成立的所有数值都在解集中题型01不等式的定义【例题】（2023下·辽宁抚顺·七年级统考期末）下列数学式子：①；②；③；④；⑤；其中是不等式的有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】C【分析】根据不等式的定义：用不等号连接的式子是不等式，逐个进行判断即可．【详解】解：①，是不等式，符合题意；②，是不等式，符合题意；③，是等式，不符合题意；④，是多项式，不符合题意；⑤，是不等式，符合题意；综上：是不等式的有①②⑤，共3个，故选：C．【点睛】本题主要考查了不等式的定义，解题的关键是掌握用不等号连接的式子是不等式．【变式训练】1．（2023下·全国·八年级假期作业）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】略2．（2023下·河北保定·八年级统考阶段练习）下列各式：①；②；③；④，不等式的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】运用不等式的定义进行判断．【详解】解：①没有不等号，不是不等式；②是不等式；③是不等式；④是等式；∴不等式的个数是2个，故选：B．【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：、、、、．题型02列不等式【例题】（2023下·河南安阳·七年级统考期末）“的倍与的和不小于”可以用不等式表示为．【答案】【分析】根据字母表示数及数量关系的书写规则，不等式的概念即可求解．【详解】解：根据题意得，，故答案为：．【点睛】本题主要考查运用字母表示数（或数量关系），不等式的概念，掌握其书写规程，数量关系，不等式的概念的知识是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·江苏镇江·七年级丹阳市第八中学校考期末）某市某天的最高气温是，最低气温是，则当天该市气温的变化范围用不等式表示为．【答案】/【分析】根据题意列出不等式组即可得到答案．【详解】解：某市某天的最高气温是，最低气温是，当天该市气温的变化范围用不等式表示为，故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次不等式的意义，熟练掌握相关知识点是解题关键．2．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）将“与1的差不大于与4的和”用不等式表示为.【答案】【分析】根据题意选准不等号列出不等式即可．【详解】由题意可得，，故答案为：．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．题型03不等式的基本性质【例题】（2023上·湖南永州·八年级校考阶段练习）下列判断不正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质即可得到答案．【详解】解：若，则，故选项A正确；若，则，故选项B正确；若，则，故选项C不正确；若，则，故选项D正确．故选C．【变式训练】1．（2023上·浙江杭州·八年级统考期末）若，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由不等式的性质1，，再由性质3得，．主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】解：∵，∴由不等式的性质1，得，∵，∴．故选：A．2．（2023下·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）下列说法中错误的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，灵活运用不等式的基本性质是解答本题的关键．根据不等式的基本性质逐项排查即可解答．【详解】解：A．∵，∴，选项正确，不符合题意；B．∵，∴，选项正确，不符合题意；C．当时，由得到，选项错误，符合题意；D．∵，∴，选项正确，不符合题意故选：C．题型04利用不等式的基本性质解不等式【例题】（2023下·湖南衡阳·七年级校考期中）下列说法中，正确的是（

）A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个【答案】C【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况．【详解】解：A、该不等式的解集为，故错误，不符合题意；B、∵，故错误，不符合题意；C、正确，符合题意；D、因为该不等式的解集为，所以无正整数解，故错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断解的情况．【变式训练】1．（2023下·八年级课时练习）下列说法错误的是（）A．是不等式的解 B．是不等式的解C．的解集是 D．的解集就是、、【答案】D【分析】根据不等式的性质即可求解．【详解】解：A选项，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正确；B选项，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正确；C选项，的解集是，解不等式得，故正确；D选项，的解集就是、、，不是不等式的解，故错误．故选：D．【点睛】本题主要考查不等式的性质解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题的关键．2．（2023下·七年级课时练习）下列说法错误的是（

）A．不等式的解是3 B．3是不等式的解C．不等式的解集是 D．是不等式的解集【答案】A【分析】使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，结合各选项进行判断即可．【详解】解∶A、3是不等式的解，但是不等式的解集不是3，故本选项错误，符合题意；B、3是不等式的解，说法正确，故本选项不符合题意；C、不等式的解集是，说法正确，故本选项不符合题意；D、是不等式的解集，说法正确，故本选项不符合题意．故选∶A．【点睛】本题考查了不等式的解及解集，注意区分不等式的解与解集是解题的关键．题型05不等式的解集【例题】（2023下·河南周口·八年级校联考阶段练习）将下列不等式化成“”或“”的形式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用不等式的性质求解即可；（2）利用不等式的性质求解即可．【详解】（1）解：两边同时减去，得，即；（2）解：两边同时加上2，得，两边同时乘，得．【点睛】本题考查不等式的性质，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变．【变式训练】1．（2023下·全国·七年级专题练习）把下列各不等式化成“”或“”的形式．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）不等式的两边都加上1即可；（2）不等式两边都减去即可；（3）不等式两边都乘以2即可；（4）不等式两边都除以即可．【详解】（1）解：，，；（2），，；（3），，；（4），，．【点睛】此题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．2．（2023下·全国·七年级专题练习）将下列不等式化成“”或“”的形式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据不等式的性质进行运算，即可得答案；（2）根据不等式的性质进行运算，即可得答案；（3）根据不等式的性质进行运算，即可得答案；（4）根据不等式的性质进行运算，即可得答案．【详解】（1）两边同时减去得：，即；（2）两边同时加上2得：，两边同时乘得：；（3），两边同时除以得：；（4），两边同时减去得：，合并同类项得：，两边同时乘2得：．【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．一、单选题1．（2023下·山东淄博·七年级统考期末）在下列数学表达式中，不等式的个数是（

）①；②；③；④；⑤．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】由不等号（，，，，）连接的式子叫不等式，据此进行判断．【详解】不等式有：①；②；④；⑤．所以共有4个故选择：C．【点睛】本题考查来了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．2．（2021下·全国·八年级专题练习）下列说法中，正确的是（

）A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集【答案】A【分析】对A、B、C、D选项进行一一验证，把已知解代入不等式看不等式两边是否成立．【详解】解：A、当x＝3时，2×3＞1，成立，故A符合题意；B、当x＝3时，2×3＞1成立，但不是唯一解，例如x＝4也是不等式的解，故B不符合题意；C、当x＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，故C不符合题意；D、当x＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，但不是不等式的解集，其解集为：x＞，故D不符合题意；故选：A．【点睛】此题着重考查不等式中不等式的解、唯一解、解集概念之间的区别和联系，是一道非常好的基础题．3．（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）下列表示的不等关系中，正确的是（

）A．不是负数，表示为 B．比3至少多1，表示为C．与1的和是非负数，表示为 D．不大于3，表示为【答案】B【分析】由不是负数即为正数或0可判断A，由至少表示大于或等于可判断B，由非负数表示正数或0可判断C，由不大于即小于或等于可判断D，从而可得答案．【详解】解：不是负数，表示为，故A不符合题意；比3至少多1，表示为，表示正确，故B符合题意；与1的和是非负数，表示为，故C不符合题意；不大于3，表示为，故D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是根据语句的描述列不等式，理解语句的含义是解本题的关键．4．（2023上·浙江·八年级校考期中）下列不等式的变形正确的是（

）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由，得【答案】D【分析】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质，“不等式的性质1：把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变”．【详解】解：A.当时，，，故选项错误，不符合题意；

B.当，，，故选项错误，不符合题意；C.当，由，得，故选项错误，不符合题意；

D.由，得，故选项正确，符合题意．故选：D．二、填空题5．（2023下·吉林长春·七年级统考期中）将“a与b的和是负数”用不等式表示为．【答案】【分析】a与b的和为负数即是小于0的数，据此列不等式．【详解】解：由题意得，．故答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．6．（2023下·七年级课时练习）根据不等式的基本性质填空：（1）已知，则；（2）若，则．（填“”“”或“”）【答案】【解析】略7．（2023下·全国·八年级假期作业）有下列各数：0，，4，，，，．其中是不等式的解；是不等式的解．【答案】6.0，4，，，【解析】略8．（2021上·江西景德镇·七年级景德镇一中校考期中）以下说法正确的是：.①由，得；②由，得③由，得；④由，得⑤和互为相反数；⑥是不等式的解【答案】②③④【分析】根据不等式的基本性质得出结论即可．【详解】解：①由，当时，得，故结论①错误；②由，得，故结论②正确；③由，得；故结论③正确；④由，得；故结论④正确；⑤和互为相反数，当为奇数时，，故结论⑤错误；⑥是不等式的解，故结论⑥错误；故正确的结论为：②③④．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟知不等式的基本性质是解本题的关键．三、解答题9．（2023下·全国·七年级假期作业）下列各式哪些是不等式2(2x+1)＞25的解？哪些不是？(1)x=1．(2)x=3．(3)x=10．(4)x=12．【答案】(1)不是(2)不是(3)是(4)是【分析】把未知数的值代入计算，比较后，判断即可【详解】（1）把x=1代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×1+1)=6＜25，所以x=1不是不等式2(2x+1)＞25的解．（2）把x=3代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×3+1)=14＜25，所以x=3不是不等式2(2x+1)＞25的解．（3）把x=10代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×10+1)=42＞25，所以x=10是不等式2(2x+1)＞25的解．（4）把x=12代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×12+1)=50＞25，所以x=12是不等式2(2x+1)＞25的解．【点睛】本题考查了不等式的解即使不等式左右两边成立的未知数的值，正确理解不等式的解是解题的关键．10．（2021下·湖北十堰·七年级统考期中）运用不等式的性质，将下列不等式化为x＞a或x＜a的形式．（1）x-1＜5

（2）x＜3x-12【答案】（1）x＜12；（2）x＞6．【分析】（1）根据不等式的性质1和不等式的性质2即可求解；（2）根据不等式的性质1和不等式的性质3即可求解．【详解】解：（1）（2）【点睛】主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．11．（2023下·江苏·七年级专题练习）用适当的符号表示下列关系：(1)x的与x的2倍的和是非正数；(2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；(3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；(4)明天下雨的可能性不小于；(5)小明的体重不比小刚轻．【答案】(1)(2)设炮弹的杀伤半径为r，则应有(3)设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有(4)用P表示明天下雨的可能性，则有(5)设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有【分析】（1）非正数用“”表示；（2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”来表示；（3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示；（5）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重．用“≥”表示．【详解】（1）；（2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有；（3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有；（4）用P表示明天下雨的可能性，则有；（5）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有．【点睛】本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠．12．（2023下·全国·八年级假期作业）说出下列不等式的变形依据．(1)若，则；(2)若，则；(3)若，则．【答案】(1)根据不等式的性质，不等式的两边同时减去(2)根据不等式的性质，不等