人教A版（2019）高中数学必修第一册3.3幂函数

3.3幕函

教材分析：

I

幕函数的定义，y=x,y=x2,y=x3,y=x2,y=》一五个幕函数的图象和性质.

本课时内容是幕函数，塞函数是一类重要的基本初等函数，很多函数都是由事函数与

其他基本的初等函数经过运算、复合得到的.塞函数是学生进入高中后学习的第一类具体的

基本初等函数.在此之前学生已学习正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，＞=广1

y=y=Y等都是学生很熟悉的.因此幕函数的学习是建立在学生已有的函数学习经验上

的，学习中主要体现的数学抽象是在归纳五个具体函数共性基础上进行的.

“幕函数”的内容安排在“函数的概念与性质”一章的第3节，是在学习完一般函数

的概念以及函数的基本性质后，选取一类简单的基本初等函数进行研究，使学生明确一类具

体函数的研究内容（定义、表示一一图象与性质一一应用），并体会如何在一般函数的概念

及基本性质的指导下展开研究，因此幕函数的学习既是对前面所学内容的巩固，也为后面指

数函数、对数函数的学习打下基础.

学情分析：

学生在初中已经学习过一些具体的暴函数，但缺乏对研究一类函数的内容和方法的认

识，教学时应联系初中学习函数的经验，以及前面学习过的一般函数的概念和性质，让学生

尝试建构本节课的学习思路，从而体会研究一类函数的内容、思路和方法.

画出了=尤3,＞=户的图象会有一定难度.教学时应该先引导学生观察函数解析式的特

1

点，得出y=d是奇函数，＞=户的定义域为非负数的集合等；然后让他们思考如何取点，

并利用描点法作图，分析五个函数图象的共性和差异性而得出性质.同时，还要加强信息技

术的应用.

在归纳性质时，学生对从哪些方面进行归纳会存在困惑，教师要引导学生思考研究函

数的一般方法及所要研究的内容，结合前面函数性质的研究，为这里性质的归纳做好铺垫.

基于以上分析，确定本节课的教学难点：观察五个具体察函数的解析式的共性，抽象

幕函数概念；观察函数图象的内容和方法.

教学目标：

I

1.通过具体实例，了解塞函数的定义，会画y=y=x2,y=x3,y=x2,丁=/五

1

个塞函数的图象，理解它们的性质；

2.通过对幕函数的研究，体会研究一类函数的基本内容与方法.

教学过程：

(一)塞函数定义的抽象

问题1：我们知道函数可以用来刻画现实世界中的实际问题，请看下面几个例子：

(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜wkg,那么她需要支付。=卬元，这

里〃是4的函数；

(2)如果正方形的边长为m那么正方形的面积S=/,这里S是a的函数；

(3)如果立方体的棱长为6,那么立方体的体积丫=/,这里V是匕的函数；

(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长。=西，这里c是S的

函数；

(5)如果某人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度v=lkm/s,即v=尸，

t

这里v是7的函数.

观察这五个函数的解析式，从自变量、函数值和解析式的结构特征看，它们有什么共同

特征？

师生活动：教师提出问题，学生观察思考后回答问题.根据学生的回答，教师进行必

要的补充.最后明确指出：这几个函数的解析式都具有幕的形式，而且都是以幕的底数为自

变量，塞的指数都是常数.

教师给出幕函数的定义，并进行板书.

追问(1)：这几个函数中有没有你熟悉的函数？

师生活动：教师提出问题，学生思考并回答.P=w,S=a2,v=尸分别是初中学习过

的一次函数(正比例函数)、二次函数和反比例函数的特殊情况，这种形式的函数称为幕函

数.

追问(2)：能否根据嘉函数的定义将上述五个问题中对应的募函数写出来？

师生活动：学生思考后回答，教师根据学生回答的募函数的解析式写出来，并进行纠

错.

追问(3)：你能说出塞函数解析式的特征吗？判断下面几个函数是否为基函数，并说

出理由.

2

(1)y=x4；(2)y=x~2；(3)y=T-,(4)y=2x2；(5)y=x3+1；(6)y=x3

师生活动：学生思考后回答，并阐述原因，教师根据学生的回答进行评价和强调：底

数是自变量，自变量的系数为1,指数为常数，塞严的系数为1,解析式等号右边只有一项.根

据幕函数的定义(1)(2)(6)是幕函数，(3)(4)(5)不是幕函数.

设计意图：通过学生熟悉的实际问题引出累函数；通过追问(1)使学生建立事函数与

之前已学函数的联系；追问(2)引导学生抓住塞函数的解析式的形式特点；追问(3)使学

生对事函数的定义加以辨析应用，强化理解.

(二)暴函数的图象与性质

问题2：我们知道了什么是幕函数，结合以往的学习经验，我们应该研究些什么呢？

师生活动：学生回答，教师在学生回答的基础上进行补充，最后得出：根据我们学过

的函数知识，应该研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等内容.

追问：如何研究塞函数的这些性质呢？

根据学生交流讨论情况，教师可以适时地引导归纳，得到：根据初中学习函数的经验，

可以先用描点法画出函数图象，再观察图象得到函数的性质.在画图过程中也可以利用解析

式来帮助我们简化画图过程.

设计意图：引导学生回顾已有经验，得出研究函数的一般内容和方法.

问题3：这五个哥函数中、=彳，y=x2,y=/的图象是我们熟悉的，如何画出y=/

和y=X?的图象呢？

追问：观察这两个函数的解析式，你能先说出它们的一些性质吗？

师生活动：让学生思考回答，最后使学生认识到：通过解析式可以得到函数的定义域

和奇偶性，y=x3定义域是R,是奇函数；y=必定义域是非负实数组成的集合，既不是奇

函数也不是偶函数，可以通过这些性质简化作图的过程.

学生利用描点法进行作图，在一个平面直角坐标系中画出五个幕函数的图象，教师利

用信息技术进行画图并演示.

3

高取点的目的性，使图象更好地反映出函数的性质特征，而且可以使学生体会高中阶段研究

函数性质的新特点.

问题4：观察这五个函数图象，它们有哪些共同的性质？有哪些不同的性质？

函数y=xy=x2y二dy=x2y=/

定义域RRR[0,+8){xxw0}

值域R[0,+8)R[0,+8)卜1严0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

(一8,0)减(一8,0)减

单调性增增增

[0,+°°)增(0,+°°)减

师生活动：学生观察思考后回答，教师引导补充并将这些性质填入表格中.

追问：再观察这五个累函数的图象上是否有某些特殊点可以体现出它们的共同特点？

在第一象限内函数图象还有什么变化趋势？

师生活动：学生观察思考后回答，教师引导得到结论：五个函数的图象都过点（1,1）,

在第一象限内函数y=/的图象"当尤越来越大时，图象无限靠近无轴，当尤趋于0时，函

数图象无限靠近y轴”.

设计意图：引导学生通过观察图象得出五个募函数各自的性质，并在此基础上归纳出

共性和差异性，得出幕函数的一些基本性质.

4

问题5：利用函数的图象我们得到了五个哥函数的基本性质.事实上，观察得到的结论

是不可靠的，我们还应对其加以严格的证明.

例：证明暴函数y=«在［0,+8)上是增函数.

师生活动：教师提出问题，学生尝试完成，教师对证明过程进行分析评价.

解析：函数的定义域是［0,+8),

,巧©1°，+°°)，且再<々，有

/(%)-〃/)=衣-后

_(毒一嘉)("+直)

在+后

一再―-.

+

因为％-x2c0,百+北'>0,

所以—</(x2),即一函数〃尤)=4在［0,+8)上是增函数.

设计意图：引导学生能够对观察到的性质进行理性的思考，利用解析式对结论进行严

格的证明，提高学生思维的严谨性.同时引导学生认识到用抽象语言表述的单调性定义在证

明中的重要作用.

问题6：练习，教科书第91页练习1,2,3

1.已知募函数y=〃x)的图象过点(2,吟,求这个函数的解析式.

解析：设幕函数解析式为y=

将点(2,⑹带入解析式，则0=2“，

得cr=L

2

y=x^(光20).

设计意图：检测学生对幕函数定义的理解，并规范数学语言表述.

2.利用幕函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：

(1)(-1.5)3,(-1.4)3；(2)——,——；(3)1.22,0.9-5,7n.

-1.5-1.4

5

解析：(1)由于累函数y=x3在R上单调递增，且-L5<T.4,

(-1.5)3<(-1.4)3.

(2)由于塞函数y=!在(-8,0)上单调递减，且—1.5<—1.4<0,

x

由于>在［0,+8)上单调递增，1.1.2>—>1.1>0,

9

即1.23>0.9-2>血.

师生活动：教师引导学生得出使用幕函数的性质比较大小的基本思路和方法：比较大

小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内，否则无法比较大小.因此如果底数不同

需转化为同底数暴才能选择一个适当的基函数进行比较说明，同时要注意函数的单调区间.

设计意图：检测学生对幕函数y=V和y=_L单调性的应用，使用时提示：塞函数y=1

XX

的图象不连续，因此要注意单调区间的描述.

3.画出函数y=|x|t的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性.

师生活动：学生分析思考后回答，教师引导归纳得出：这是一个分段函数，也是一个偶函数，

它的定义域是{X|XN0}.当x>0时，y=/是我们熟悉的五个暴函数之一，当x<0时的

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单调性是：xe(0,+8)单调递减，无©(_8,0)单调递增

设计意图：检测学生对一般函数研究思路和方法的理解掌握.

(三)归纳小结

教师引导学生回顾本节课的学习内容，并回答以下几个问题：

(1)什么是暴函数？结合具体的暴函数，你能说出累函数具有哪些性质吗？

(2)结合对五