人教版导与练总复习数学一轮教学课时作业：第三章一元函数的导数及其应用（选择性必修第二册）

第1节导数的概念及其意义、导数的运算

灵活名、发衣数提猊

任》选题明细表

知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练

导数的概念与运算1,2,912

导数的几何意义4,5,6,1014,1517

函数与导数的综合3,7,8,111316

A级基础巩固练

1.(多选题)以下运算正确的是(BC)

A.(-)'CB.(cosx)'=-sinx

C.(2X)'=2xln2D.(1gx)7=--^—

xlnlO

解析:对于A,由于(3'所以A不正确;对于B,由于(cosx)'=

Xxz

-sinx,所以B正确；对于C,由于⑵)‘=21n2,所以C正确;对于D,

由于QgX”二代，所以D不正确.故选BC.

xlnlO

2.(2021•广东肇庆高三联考)已知函数f(x)=e'T+xlnx,则2⑴等

于(D)

A.0B.1C.eD.2

解析：因为f(x)=e1+xlnx,所以伊(x)=e1+l+lnx,所以f'(1)=

e,-1+l+ln1=2.

故选D.

3.若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为

(C)

A.f(x)=3cosxB.f(x)=x+x

C.f(x)=l+sin2xD.f(x)=ex+x

解析:A项中,(x)=-3sinx,是奇函数，图象关于原点对称,不关于y

1

-对

轴对称;B项中，f'(x)=3x2+2x=3(x+/W，其图象关于直线3

称;C项中，『(x)=2cos2x,是偶函数，图象关于y轴对称;D项中,

伊(x)=e，+l,由指数函数的图象可知该函数的图象不关于y轴对称.

故选C.

4.若直线尸-2x+b为曲线尸x-e'的一条切线,则实数b的值是(D)

A.In3-3B.31n3+3

C.In3+3D.31n3-3

xzx

解析：设切点为(xo,x0-e°),由y=x-e，得y=l-e,所以解眇。=-2,得

e&=3,得x0=ln3.所以切点为(In3,In3-3),所以In3-3=-21n3+b,

得b=31n3-3.故选D.

5.(2021•湖南永州二模)曲线f(x)=21nx在x=t处的切线1过原点,

则1的方程是(A)

A.2x-ey=0B.2x+ey=0

C.ex-2y=0D.ex+2y=0

解析：曲线f(x)=21nx的导数为『(x)上,设切点坐标为(t,21nt),

X

因此切线1的斜率k=f，(t)4又直线1过原点,所以k二瞥与得

Int=l,t=e,所以k—,故切线1的方程为y-2=-(x-e),即2x-ey=0.故

ee

选A.

6.(多选题)(2021•江苏淮安高三联考)若直线ygx+b是函数f(x)图

象的一条切线，则函数f(x)可以是(BCD)

A.f(x)—B.f(x)=x"

X

C.f(x)=sinxD.f(x)=ex

解析:直线y^x+b的斜率为

由f(X)』的导数为fz(x)=-4,即切线的斜率小于0,故A不正确；

由f(x)=x〃的导数为尹(x)=4x3,而4x35解得故B正确；

由f(x)=sinx的导数为f'(x)=cosx,而cosx=!有解，故C正确；

由f(x)=e*的导数为ff(x)=e;而由解得x=-ln2,故D正确.故

选BCD.

7.(2021•江苏连云港高三联考)定义方程f(x)二*【X)的实数根x。

叫做函数f(x)的“保值点”,如果函数g(x)=x与函数h(x)=ln(x+l)

的“保值点”分别为。，B,那么a和B的大小关系是(B)

A.a<0B.a>0

C.a=BD.无法确定

解析：由题可得g'(x)=l,h，(x)^，由“保值点”的定义可知a=1,

X+1

2

记IxhlnG+l)=^则J(x)二>0,故八x)在定义域上单

x+lx+1\x+l/

调递增.

由夕(0)=一1<0,e(l)=ln2-i=ln2一In五>0,因此0<B<1,所以a>B.

故选B.

8.(2021•江西吉安高三联考)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，

且当x<0时,f(x)=g则曲线尸f(x)在点(l,f(D)处的切线方程为

(A)

A.y=2ex-eB.y=-2ex-e

C.y=2ex+3D.y=-2ex+e

解析：函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x<0时,f(x)=^.

ex

设x>0,则-x<0,因此f(-X)=^=-xex,

由函数f(x)是奇函数可知f(x)=-f(-X)=xex,

即当x>0时f(x)=x-ex,fz(x)=(x+l)•ex,

又f(l)=e,k=f'(l)=2e.

y二f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2ex-e.故选A.

9.某堆雪在融化过程中,其体积V(单位:m3)与融化时间t(单位:h)近

似满足函数关系:V(t)=H(10-去t)"H为常数)，其图象如图所示.记此

堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为万M/h),那么tbt2,t3,3中,

瞬时融化速度等于万(mYh)的时刻是图中的.

解析而,黑歌⑹反映的是V(t)图象与两坐标轴交点连线的斜率,

如图，观察可知t3处瞬时速度(即切线的斜率)与平均速度一致.

答案:t3

10.我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”

的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率兀的

精度较高的近似值,这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直

代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替

在切点附近的曲线来近似计算.设f(x)=e%2.则广(x)二,其

在点(0,1)处的切线方程为.

解析：因为f(x)=e一,

故f'(x)=(x2)1ex2=2xex\

则f'(0)=0,故曲线y二f(x)在点(0,1)处的切线方程为y二L

答案：2xe/y=i

11.设函数f(x)=g(2xT)+x；曲线y二g(x)在点(l,g(l))处的切线方程

为y=2x+l,则

#(1)=.

解析:把x=l代入y=2x+l,解得y=3,即g(l)=3,由y=2x+l的斜率为2,

得到(⑴二2.

因为(x)=2gz(2x-l)+2x,

所以(l)=2g,(1)+2=6.

答案：6

B级综合运用练

12.(2021•江苏徐州高三期末)假设某放射性同位素的衰变过程中，

其含量P(单位：贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系P(t)=P°2嗑，

其中P。为t=0时该放射性同位素的含量.已知t=15时,该放射性同位

素的瞬时变化率为-喑,则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变

所需时间为(D)

A.20天B.30天C.45天D.60天

解析：由P(t)=P°2*得P'⑴二-a•P。•2曦•In2,因为t=15时,该

放射性同位素的瞬时变化率为-啜,即P'(15)二-警P。=-喑,解

106010

得Po=18,则P(t)=18•2-so.

当该放射性同位素含量为4.5贝克时，即P(t)=4.5,所以18・2噎二4.5,

即2总金所以-J-2,解得860.故选D.

430

13.(多选题)若以函数y=f(x)的图象上任意一点P(xby)为切点作切

线li,尸f(x)图象上总存在异于点P的点Q(X2,yz),使得以Q为切点的

直线b与L平行,则称函数f(x)为“美函数”，下面四个函数中是“美

函数”的是(BC)

A.y=x3-2xB.y=3x+Z

X

C.y=cosxD.y=(x-2)2+lnx

解析：由题意可知函数是“美函数”的条件是方程y'=a(a是导数值)

至少有两个根.

对于A,由/=3x2-2,当y,=_2时,x的取值只有0是唯一的，因此不

符合题意；

对于B,由y'二3a(x-O,且a<3),即与3-n此方程有两个不同的

X2-X2

根,符合题意；

对于C,由y，=-sinx及其周期性可知-sinx=a(TWaWl)的解有无

穷多个,符合题意；

对于D,由寸=2x—4+%(x>0),令2x—4+La,贝IJ有2x-(4+a)x+l=O,S

XX

△二0时,解唯一,不符合题意.故选BC.

14.(2021•河北石家庄高三开学考试)函数f(x)=sin2x在原点(0,0)

处的切线方程为，请你举出与函数f(x)=sin2x在原点处具

有相同切线的一个函数:.

解析：由f(x)=sin2x得fr(x)=2cos2x,所以函数f(x)在原点(0,0)

处的切线斜率为k=fz(0)=2,因此函数f(x)在原点(0,0)处的切线方

程为y=2x.

因为函数f(x)=sin2x在原点(0,0)处的导数值为2,所以所求函数可

以是y=x2+2x,y'=2x+2,其在原点(0,0)处的切线方程为y=2x.

答案:y=2xy=x?+2x(答案不唯一)

15.(2021•安徽黄山一模)已知函数f(x)=x2+2,g(x)=lnx,若曲线

y二f(x)与y=g(x)的公切线与曲线y=f(x)相切于点(X1，yj,则在-

In(2xi)=.

解析：设公切线与g(x)=lnx相切于点(X2,InX2)：由(x)=2x,

g’(x)A

x

则曲线尸f(x)在(xbyi)处的切线方程为y-(*+2)=2x1(x-x1),即

y=2xiX-xf+2.

曲线y二g(x)在区,InX2)处的切线方程为y=±+lnx-l,

%22

所以产=争

+2=Inx2-l,

解得*Tn(2xi)=3.

答案：3

C级应用创新练

16.在函数f(x)=alnX-(KT)2的图象上,横坐标在(1,2)内变化的点

处的切线斜率均大于1,见实数a的取值范围是(C)

A.[1,+8)B.(1,+8)

C.[6,+8)D.(6,+8)

解析：函数f(x)=alnx-(x-l)2,求导得伊(x)=^2(x-l),

X

由横坐标在区间(1,2)内变化的点处的切线斜率均大于1,

可得生2(x-1)>1对x£(1,2)恒成立，

X

即有a>x(2x-l)=2x2-x对x£(1,2)恒成立.

令g(x)=2x2-x,对称轴方程为x=；,所以区间(1,2)为增区间，即有

4

g(x)<g(2)=6,则有a26.故选C.

17.设点P,Q分别是曲线尸xeXe是自然对数的底数)和直线y=x+3上

的动点，则P,Q两点间距离的最小值为(B)

A*B.这

22

C(4eT)及D(4e+l)及

22

解析：由题意，曲线尸xe'上的任意一点P和直线y=x+3上的动点Q两

点间的距离的最小值,就是曲线y二xG上与直线y=x+3平行的切线与

直线y=x+3之间的距离.

由y三可得y'二号，令y'=1，解得x=0.

当x=0时,y=0,点P(0,0),因此P,Q两点间的距离的最小值,即为点

P(0,0)到直线y=x+3的距离，出十4¥.故选B.

V22

第2节导数在研究函数中的应用

第一课时利用导数研究函数的单调性

灵法小滤名教提呢

课时作业

❽选题明细表

知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练

导数与函数的单调

3,4,6,7,91216

性关系的理解

利用导数研究函数

1,214,1517

的单调区间

利用导数与函数综

5,8,10,1113

合应用

A级基础巩固练

1.(2021•江苏常熟高三抽测)函数f(x)=2x2-lnx的单调递减区间为

(D)

A.(-2,2)B.(0,2)

c«q)D.(o,|)

解析：函数f(x)的定义域是(0,+8),f'(x)=4x」=把匕，由

XX

4X2-1八

丁<0,可得0<x<i所以此函数的单调递减区间是(0,；).故选D.

{x>0,22

2.函数£&)#?在(B)

l+xz

A.(-8,4-00)内是增函数

B.(-1,1)内是增函数,在其余区间内是减函数

C.(-8,4-00)内是减函数

D.(-1,1)内是减函数,在其余区间内是增函数

解析:f(x)的定义域为R,f,6)=户会，

当f'(X)>0时,解得-1<X<1,故f(x)的单调递增区间为(-1,1);

当fz(x)<0时,解得X<-1或X>1,故f(x)的单调递减区间为(-8,

-1),(1,+8).故选B.

3.(2021•浙江高三联考)已知函数f(x)的图象如图所示,则y=f(x)

的图象可能是(B)

解析：由函数尸伊(x)的图象知f(x)在(1,2)上是增函数,其余部分

递减.故选B.

4.已知f(x)在R上是可导函数，f(x)的图象如图所示，则不等式

(x2-2x-3)伊(x)>0的解集为(D)

B.(-oo,-2)U(1,2)

C.U(-1,0)U(2,+8)

D.U(-1,1)U(3,+8)

解析:原不等式等价于｛；潦［3；0,

或°，结合f(x)的图象可得，

『>3或％V-1,或「:<%<3,解得x.i或x>3或—i<x〈L故选D.

1%V-1或%>1V%v1,

5.已知定义在R上的函数f(x)qax'+x2+ax+l有三个不同的单调区间,

则实数a的取值范围是(D)

A.(-8,-1)U(1,+8)

B.[-l,0)U(0,1]

C.(-1,1)

D.(-1,0)U(0,1)

解析：f'(x)=ax2+2x+a,

若函数f(x)Wax，x2+ax+l有三个不同的单调区间，则f(x)=ax2+2x+

a=0有2个不相等的零点,则有A=4-4a2>0,且aWO,

解得-且a^O,即实数a的取值范围是(-1,0)U(0,1).故选D.

6.已知函数f(x)]x3+(2-a)x?+x-4在(0,2]上为增函数,则a的取值范

围是(B)

A.(-8,4]B.(-8,3]C.(4,+8)D.(-8,3)

解析：f'(x)=x?+2(2-a)x+l,由题意可知x2+2(2-a)x+1^0在区间

(0,2]内恒成立，即2(a-2)Wx+3x£(0,2],

X

由基本不等式知x+Z的最小值为2,因此2(a-2)W2,即a<3.故选B.

X

7,已知函数f(x)二竺/(aW。)的部分图象如图所示，则(B)

A.a<0

B.a-c>0

C.b-c<0

D.3a_2b+c<0

解析:因为f(x)二贮等，

ex

所以『所二-二十()“+要

ex

令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c,

由图象可知，函数y=f(x)先减后增再减，

则-a<0,可得a>O,A选项错误；

伊则晨-l)=-3a+2b-c<0,

则3a-2b+c>0,D选项错误；

伊(1)>0,则g(l)=a-c>O,B选项正确；

f'(0)>0,则g(0)=b-c>0,C选项错误.故选B.

8.已知非负函数数x)的导函数为伊(x)，且f(x)的定义域为(0,+8),

若对于定义域内的任意x,均满足『(x)>四,则下列式子中不一定

X

正确的是(B)

A.f(2)>2f(l)B.f(3)>e•f(2)

C.f(4)>^f(3)D.f(e)>2e-f(1)

解析：因为x>0,且(x)>幺包，可得xfz(x)>f(x),即xf/(x)-

X

f(x)>0,令g(x)二•，则g'(x)jr;；户出，所以父(x)>0,所以

8々)=?在(0,+8)上单调递增，

对于选项A,由g(2)>g(l),可得半〉与，

即f(2)>2f(l),故选项A正确；

对于选项B,由g(3)>g(2),可得手>早，

即f(3)>|f(2),得不出f(3)>e-f(2),故选项B不一定正确；

对于选项C,由g(4)>g(3),可得牛>?，

43

即f(4)>gf(3),因为f(3)>0,

所以殳(3)>£⑶,可得f(4)>£(3),故选项C正确；

366

对于选项D,由g(e)>g(i),可得等〉学，

2

即f(e)>2e•f(1),故选项D正确.

所以不一定正确的是选项B.故选B.

9.已知函数f(x)=lnx-ax2-x在区间弓支上存在单调递减区间，则a

的取值范围是(B)

A.[1,+8)B.(1,+8)

C.(-8,1)D.(-8,1]

解析：由题,(x)=i-2ax-l二卫咨卫，

XX

因为x>0,则若函数f(x)=lnx-ax2-x在区间与乡上存在单调递减

区间，

即-2ax2-x+l<0在1]上有解，

即存在x£巳勺，使得2am+5成立，

32xX2

22

设tW(tC[2,3]),则u(t)=-t+t=(t-i)-i当t=2时,u(t)min=u(2)=2,

所以2a>2,即a>l.故选B.

10.设f'(x)是f(x)的导函数，写出一个满足伊(x)>f(x)在定义域R

上恒成立的函数f(x)的解析式:.

解析：由题意,设函数f(x)=ex-l,可得『(x)=e\

令F(x)=f,(x)-f(x)=eJ(e'-l)=1>0恒成立，即函数f(x)=ex-l,符合

题意.

答案:f(x)=e'T(答案不唯一)

11.若任意a,b满足0<a<b<t,都有blna<alnb,则t的最大值

为.

解析:因为0<a<b〈t,blna<alnb,

所以雪喷a<b),

ab

令yJ竺,则函数在(0,t)上单调递增，故由y'二手>0可知0<x<e,故

t的最大值是e.

答案:e

上级口综合运用练r

12.已知尸f(x)为(0,+8)上的可导函数,且有f，(x)+->0,则对于

任意的a,be(0,+8),当a>b时,有(B)

A.af(a)<bf(b)B.af(a)>bf(b)

C.af(b)>bf(a)D.af(b)<bf(a)

解析:不妨设h(x)=xf(x),则h'(x)=f(x)+xf7(x).

因为当x>0时，有f'(x)+&包>0,所以当x>0时,xf'(x)+f(x)>0,即

X

X(x)>0,此时函数h(x)单调递增，则对于任意的a,be(0,+oo),

当a>b时，则h(a)>h(b),即af(a)>bf(b).故选B.

13.若l〈x〈X2,则下列不等式正确的是(D)

A.Xilnx2>x2lnXi

B.Xilnx2<x2lnX)

X2X1_

C.e-e<lnx2lnX)

xx_

D.e2-ei>inx2lnXi

解析:构造函数g(x)l^(x>l),则g,(x)¥，

XX

又当x£(1,e)时,g'(x)>0,当x£(e,+8)时,gf(x)<0.

所以g(x)在(1,e)上单调递增,在(e,+8)上单调递减,所以

g(x.),g(x2)的大小不确定.所以A,B均不正确；

构造函数h(x)=e'Tnx(x>l),则h'(x)=e"\>0,所以h(x)在(1,+°°)

X

上为增函数，

X1-

所以h(x2)>h(x),即e*2-lnx2>elnx］，所以e%2-e%i〉lnx2-lnxb

故选D.

r

14.已知函数f(x)-2；,若me(T,1),求函数f(x)的单调区间.

xl-2mx+l

解：因为n)e(T,l),所以△=4疗-4<0,所以y=x2-2mx+l>0恒成立，

则函数的定义域为R.

q,/\ex(x-l)(x-2m-l)

f(X)一(十一2叩+】)2,

①当m=0时,2m+l=l,此时f'(x)20,f(x)在R上单调递增;

②当0<m<l时，l<2m+l<3,

xe(一8,i),伊(x)>0,f(x)单调递增，

xe(l,2m+l),f,(x)<O,f(x)单调递减,

x£(2m+l,+°°),f'(x)>0,f(x)单调递增;

③当T<m<0时,T〈2m+l〈L

xe(-00,2m+l),f7(x)>0,f(x)单调递增,

xE(2m+l,l),f,(x)<O,f(x)单调递减,

x£(l,+8),f，(x)>O,f(x)单调递增.

综上所述,当m=O时,£6)的单调递增区间为(-8,+8)；

当0<水1时,f(x)的单调递增区间为(-8,1),(2m+l,+8),单调递减

区间为(l,2m+l);

当-1<水0时,f(x)的单调递增区间为(-8,2m+l),(1,+8),单调递减

区间为(2m+l,1).

15.已知函数f(x),-x+a：nx.讨论函数的单调区间.

X

解：函数f(X)的定义域为(0,+8),

fz(x)=二T+吼-Yii.

设g(x)=x2-ax+l.

(1)当aWO时,g(x)>0恒成立,即f(x)<0恒成立,此时函数f(x)在

(0,+8)上是减函数；

(2)当a>0时,判别式△=a2-4,

①当0<aW2时，△W0,即g(x)20,即当(x)《0恒成立,此时函数

f(x)在(0,+8)上是减函数;

②当a>2时,x,f'(x),f(x)的变化如表所示.

22

Xa-Va-4(aWa-4Q+A/Q2-4)

2222

f'(x)—0+

f(x)单调递减极小值单调递增

2

a+Va-4/a+Va2-4,、

X(2，)

2

f'(x)0—

f(x)极大值单调递减

综上，当aW2时,f(x)的单调递减区间为(0,+8)；

当a>2时,f(x)的单调递减区间为(0,二)，(竺尹,+8),单调递

增区间为(女民”H).

C级应用创新练

16.已知函数f(x)=x?+axTnx,若叫［1,+8),且“向‘⑺>3恒成

m-n

立，则a的取值范围是(D)

A.［1,+8)B.［3-2V2,+oo)

C.(2,+oo)D.⑵+8)

解析:假设m>n,由“加八”),〉3,得f(m)-3m>f(n)-3n,令g(x)=f(x)-3x=

m-n

x2+(a-3)x-lnx,因此函数g(x)在区间［1,+8)上是增函数.

g，(x)=2x+a-3」=2-+(Q-3)xia>0),

XX

因为g(x)在［l,+8)上单调递增，所以12-乎，且g，⑴20,解得

4

a22.故选D.

17.(多选题)(2021•江苏南京联考)下列命题为真命题的是

(ABD)

A.—>ln2B.-ln2<ln-

342

C.2遍>5D.In2<-

e

解析:构造函数f(x)=—,函数f(x)的定义域为(0,+8),则伊(X)二

X

1-Inx

*'

当0〈x〈e时,f'(x)>0,f(x)单调递增,

当x>e时,fr(x)<0,f(x)单调递减,

所以f(x)*=f(e)=i.

e

因为4>3>e,所以f(4)<f(3),即哈等野鸳,所以等>ln2,故A

正确；

因为e〉》2,所以f(》〉f⑵，即小冷,In|>^ln2,故B正确；

2

因为0<2<V5<e,所以f(2)<f(V5),即］〈生善二整.所以In5>V51n2=

2V52V5

In2/即5>2有，故C错误；

因为0<2<e,所以f(2)<f(e),即四々即In2<-,故D正确.故选ABD.

2ee

第二课时利用导数研究函数的极值、最值

灵活石、发有致提猊

任》选题明细表

知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练

导数研究函数的极值1,2,3,7,8,912,13,16,1718

导数研究函数的最值4,514,15

函数的极值与最值综

6,1011

合问题

A级基础巩固练

1.(2021•安徽阜阳高三联考)若函数f(x)=x3-ax2(a>0)的极大值点为

a-2,则a等于(B)

A.1B.2C.4D.6

解析:函数f(x)=x3-ax2(a>0)的导数为f'(x)=3x2-2ax.当x<0或x>

半时，伊(x)>0,当时,f'(x)<0.所以f(x)的极大值点为0,则

a-2=0,解得a=2.故选B.

2.(2021•河南南阳高三期末)已知函数f(x)=ax+e，没有极值点，则实

数a的取值范围是(D)

A.a<0B.a>0C.aWOD.a20

解析:函数f(x)=ax+3在R上没有极值点，即函数的导数等于0无解或

有唯一解(但导数在点的两侧符号相同).函数f(x)=ax+e'的导数为

f'(x)=a+ex,所以a+ex=O无解,所以a二*无解,所以a^O.故选D.

3.一个矩形铁皮的长为16cm,宽为10cm,在四个角上截去四个相同

的小正方形,制成一个无盖的小盒子,若记小正方形的边长为x(cm),

小盒子的容积为丫(。句，则(B)

A.当x=2时,V有极小值

B.当x=2时,V有极大值

C.当x=一时,V有极小值

D.当x二个时,V有极大值

解析：小盒子的容积为V(X)=x(16-2x)(10-2x)=4x3-52x2+160x(0<x<5),

所以V'(x)=12x2-104x+160,令V'(x)=0,得x=2或x=g(舍去).当

0<x<2时,V’(x)>0,V(x)单调递增，当2<x<5时,V'(x)<0,V(x)单调

递减,所以当x=2时,V(x)有极大值为144.故选B.

4.已知函数f(x)=31nxr'2+(a-在区间(1,3)上有最大值,则实数a

的取值范围是(B)

A.(~1,5)B.(-1,y)

C.§D.(1,5)

解析：因为『(x)--2x+a-g所以由题设f(x)-—2x+a《在(1,3)上

X2X2

只有一个零点，且单调递减，则问题转化为>0，

I1(3)<0,

CLH—>0,11I

/解得-9a故选B.

{a-y<0,22

5.设圆柱的体积为V,那么其表面积最小时，底面半径为(D)

A.V7B,坐C.WD.恶

解析:设圆柱的底面圆半径为r,高为h,则V二冗r2h,即h二二,所以S二

nr2

224TTr32V

2nrh+2兀r=2兀r•二一2nr=—+2兀S'=4兀r_gK=-?由

rr2rz

S'>0得,r>备；由S'<0得,03<忘，所以当厂在时，圆柱的表面

积最小.故选D.

6.(2021•河南郑州高三联考)已知函数f(x)=x3-(3a+》x2+6ax,若f(x)

在(-1,+8)上既有极大值,又有最小值,且最小值为3a-i则a的取值

范围为(C)

A.©,》B

C.(方中D.(-|,|)

解析：由于函数f(x)=x3-(3a+|)x2+6ax的导数口

(x)=3x2-(6a+3)x+6a=(3x-6a)•(x-l)的零点为2a和1,且f⑴=3a[,

所以1是函数的极小值点即最小值点,则2a是函数的极大值点，

所以T<2a〈l,且f(-l)^3a-i解得-故选C.

7.已知a,beR,若x=a不是函数f(x)=(x-a)2(x-b)(b11)的极小值点,

则下列选项符合的是(B)

A.l^b<aB.b〈aWl

C.a<l^bD.a〈bWl

解析:令f(x)=(x-a)2(x-b)(ex-1-l)=0,

得Xi—a,X2=b,Xa=l.

下面利用数轴标根法画出f(x)的草图，借助图象对选项A,B,C,D逐一

分析.

对选项A,若l^b<a,由图V*可知x书是f(x)的极小值点,不符

合题意；

对选项B,若b〈aWl,由图弋;可知x=a不是f(x)的极小值点，

符合题意；

对选项C,若a<l^b,由图可知x=a是f(x)的极小值点,不

符合题意；

对选项D,若a<bWl,由图；可知x=a是f(x)的极小值点,不

符合题意.故选B.

8.(2021•河南郑州一模)已知f(x)=知2+2x+a)e1若f(x)存在极小值,

则a的取值范围是.

解析：函数f(x)的导数为fr(x)=(2x+2)ex+(x2+2x+a)ex=ex(x2+4x+

a+2).

因为函数f(x)的定义域为R,所以若f(x)存在极小值,即函数f(x)有

最小值点，

所以x2+4x+a+2=0有两个不相等的实数根，AnG-Ma+Z))。,解得水2.

答案：(-8,2)

9.(2021•湖北武汉高三模拟)写出一个定义在R上且使得命题“若

f(1)=0,则1为函数f(x)的极值点”为假命题的函数f(x)=.

解析：由题意,f'(1)=0,且(x)在x=l处不存在变号零点，例如

f(x)二(xT);则『(x)=3(x-l)2,所以产⑴二0,且D(x)=3(x-l)2>0,

符合题意.

答案：(x-1”(答案不唯一)

10.已知函数f(X)考若函数f(x)ffix=-l处取得极值,则函数的

f(x)的最大值是,最小值是

解析:因为《)亲，则1(X)二2(x2+a)-2x(3-2x)2(x2-3x-d)

(x2+a)2(r2+a)

由题意可得f'(-1)=尹40,解得a=4.

(a+l)

故f(X),,求导得f,(x)=里言与"

X2+4(X2+4)

由f'(x)=0得x=-l或x=4.

当X变化时，函数f(x),f‘(X)的变化情况如表,

X(-°0,-1)-1(-1,4)4(4,+8)

e(X)+0—0+

f(X)单调递增极大值单调递减极小值单调递增

所以函数f(x)的单调递增区间为(-8,-1),(4,+8),单调递减区间为

(-1,4).

当x<|时,f(x)>0;当x〉|时,f(x)<0.

所以f(x)max=f(-1)=1,

f(X)min=f(4)二一"

答案：i4

4

B级综合运用练

n.(多选题)(2021•广东湛江高三一模)已知函数f(x)=x3-31nx-1,

则(BC)

A.f(x)的极大值为0

B.曲线y=f(x)在(1,f⑴)处的切线为x轴

C.f(x)的最小值为0

D.f(x)在定义域内单调

解析：函数f(x)=xL31nx-l的定义域为(0,+8),导数『(x)=3x2-工

X

-(x3-l).

X

令f'(X)—(x-l)=O,得x=L

X

当X变化时,f(x),尹(X)的变化情况如表：

X(0,1)1(1,+8)

「(X)—0+

f(X)心调递减0单调递增

所以f(x)的极小值,也是最小值为f(l)=O,无极大值,在定义域内不

单调，故C正确,A,D错误;对于B,由f⑴=0及f'⑴=0,所以y=f(x)

在(1,f(l))处的切线方程为y=0,即x轴，故B正确.故选BC.

12.(2021•全国乙卷)设aWO,若x二a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极

大值点，则(D)

A.a<bB.a>b

C.ab<a2D.ab>a2

解析：因为函数f(x)=a(x-a)2•(x-b),

所以f'(x)=2a(x-a)(x-b)+a(x-a)2=a(x-a)•(3x-a-2b).

令f'(x)=0,结合aWO可得x=a或x~a+2b.

3

⑴当a>0时，

①若等>a,即b>a,此时易知函数f(x)在(-8,@)上单调递增，在

(a,等)上单调递减,所以x二a为函数f(x)的极大值点,满足题意；

②若*a,即b=a,此时函数f(x)=a(x-a”在R上单调递增,无极值

点,不满足题意；

③若等<a,即b<a,此时易知函数f(x)在(等,a)上单调递减,在

(a,+8)上单调递增,所以x=a为函数f(x)的极小值点,不满足题意.

⑵当a<0时，

①若产㈤即b>a,此时易知函数f(x)在(-8逸)上单调递减，在

(a,等)上单调递增,所以x=a为函数f(x)的极小值点,不满足题意；

②若产包,即b=a,此时函数f(x)=a(x-a)3在R上单调递减,无极值

点,不满足题意；

③若等即b此时易知函数f(x)在(等,a)上单调递增，在

(a,+8)上单调递减,所以x二a为函数f(x)的极大值点,满足题意.

综上，当a>0,且b>a时,满足题意,当a<0,且b<a时，，也满足题意.据此,

可知必有ab>a?成立.故选D.

13.若X。是函数f(x)二e"」的极值点，则(C)

XX

A.—+lnXo=OB.x-lnx=O

%。0o

C.Xo+lnx=OD.--Inx=O

o出o

解析：因为函数f(x)二小二，

XX

所以f'(x)=e"殍，

X2

因为X。是函数f(x)=e，-小二的极值点，

XX

所以f'(Xo以下。+也：。-0,即欧e%0二-InXo.

两边取以e为底的对数，

得Xo+21nx0=ln(-lnx0),

-

BPxo+lnx0=lnx0+ln(-lnx0).

令g(x)=x+lnx(x>0),

即g(xo)=g(-lnxo),

因为g'(x)=l+i>0,

所以g(x)在(O,+8)上单调递增，

所以x0=-lnx0,即Xo+lnxo=O.故选C.

14.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)，在［-2,2］上有最大值3,那么此函

数在［-2,2］上的最小值为.

解析：由已知可得,f'(x)=6x2-12x,由6x2-12x=0得x=2或x=0,因此

当X£［2,+8)U(-8,o］时,f(x)单调递增，当x£［0,2］时,f(x)单调

递减,又因为x£［-2,2］,所以当xe［-2,0］时,f(x)单调递增，当xe

［0,2］时,f(x)单调递减,f(x)«x=f(0)=m=3,故有f(x)=2x3-6x2+3,所以

f(-2)=-37,f(2)=-5.因为f(-2)=-37<f(2)=-5,所以函数f(x)的最小

值为f(-2)=-37.

答案:-37

15.已知函数f(x)=e'+lnx,g(x)=4x+?,且x满足l〈xW2,贝ijg(x)-f(x)

的最大值为.

解析:令h(x)=g(x)-f(x)=4x+L-e'Tnx,1WXW2,

X

则h'(x)=4-^-ex--,

X

令m(x)=4—7-e'--,

则(x)=-e'+g1Wx<2,

X3X2

易知一(x)在［1,2］上单调递减，则m'(D=3-e>0,m,(1.1)=-^+

1.1°

二re±O,

1.12

则必存在一点xe(1,L1),使m'(x)=4-ex°+-^=O,即卷+J=e%。

ooV。V*/VJV*乙

xo兀0xox0

即m(x)在(1,xo)上单调递增,在(xo,2)上单调递减，

则函数m(x)在x。处取最大值，

且m(xo)=4--7-ex°--=4—^-―—^―^-=4-^--x^(1,1.1),

x0x0xo兀oxox0兀0xo0

易知m(x。)在(1J1)上单调递增，则

mCxoXmd.DM-^-^-^O,

则m(x)<0在1WXW2上恒成立,

即h'(x)<0.

故h(x)在[1,2]上单调递减,从而h(x)^h(l)=5-e.

答案：5飞

16.若x=0为f(x)=x4+(a-l)x3+ax2的极大值点，则a的取值范围

为.

解析：因为f(x)=x4+(a-1)x3+ax2,

则f'(x)=4X3+3(a-l)x2+2ax=x[4x2+3(a-l)x+2a].

设g(x)=4x2+3(a-l)x+2a,

则A=9(a-l)2-32a=9a-50a+9.

⑴若△<(),则g(x)>0,当x<0时,f'(x)<0,当x>0时,f'(x)>0,

此时,x=0为函数f(x)的极小值点,不符合题意；

(2)若△=9a-50a+9=0,解得产士产

设函数g(x)的零点为X。，

2

则f'(x)=4x(x-x0).

25+4734|?I|i3(l-fl)

①右a二一--，则x()=——<0,

Vo

当Xo〈x<O时，f'(x)<0,当x〉0时,f'(x)>0,

此时,x=0为函数f(x)的极小值点,不符合题意;

25-4V34rn.i3(l-tt)

②若联---，贝UX。一>0,

yo

当x<0时,(x)<0,当O(x<xo时,f'(x)>0.

此时,x=0为函数f(x)的极小值点,不符合题意;

⑶若△>0,解得a(交等或a>至等，

设函数g(x)的两个零点分别为X1,x2.

①若a=0,贝ijf'(x)=4x3-3x2=x2(4x-3).

当x<0时,f‘(x)<0,当0(xT时,f'(x)<0,

4

此时,x=0不是函数f(x)的极值点,不符合题意;

②若Xi<x2<0,f'(x)=4x(x-xi)(x-x2),

f

当x2<x<0时,f'(x)<0,当x>0时,f(x)>0,

此时,x=0为函数f(x)的极小值点,不符合题意;

③若0<Xi<x2,当x<0时,f'(x)<0,

当0<x<Xi时,f'(x)>0,

此时,x=0为函数f(x)的极小值点,不符合题意;

④若Xi<0<x2,当Xi<x<0时，f'(x)>0,

当0<x<x2时，f'(x)<0,

此时,x=0为函数f(x)的极大值点,符合题意.

即函数g(x)的零点一正一负,故X1X2卷0,

解得a<0.

综上所述,实数a的取值范围是(-8,0).

答案：(-8,0)

17.(2021•江西吉安高三期末)已知函数f(x)=aex•(x-2)(a^O).

(1)求f(x)的单调区间;

(2)当a=-l时，求函数g(x)=f(x)+x2-2x的极值.

解：(1)函数f(x)的定义域为R,f'(x)=aex(x-l).

若a>0,由f'(x)<0,可得xG;由伊(x)>0,可得x>l,

所以f(x)的单调递减区间为(-8,1),单调递增区间为(i,+8)；

若a<0,由伊(x)<0,可得x>l;由(x)>0,可得x<l,

所以函数f(x)的单调递减区间为(1,+8),单调递增区间为(-8,I).

综上所述,当a>0时，函数f(x)的单调递减区间为(-8,1),单调递增

区间为(1,+8)；

当a<0时，函数f(x)的单调递减区间为(1,+8),单调递增区间为

(-8,1).

(2)当a=-l时，可得g(x)=f(x)+x2-2x=-ex(x-2)+x2-2x,

贝I」g'(x)=-ex(x-l)+2x-2=-(x-l)(ex-2),

由g'(x)=0,BP(x-l)(ex-2)=0,解得x=l或x=ln2.

当x变化时,g'(x)与晨x)的变化情况如表:

X(-8,in2)In2(In2,1)1(1,+°°)

](X)

—0+0—

g(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减

所以当x=ln2时，函数g(x)取得极小值

g(ln2)=ln22-41n2+4;

当x=l时，函数g(x)取得极大值g(l)=e-l.

C级应用创新练

18.已知函数f(x)=(x-2)(ex-ax).当a>0时，讨论f(x)的极值情况.

解:伊(x)=(eX-ax)+(x-2)(eX-a)=(x-l)•eX-2a(x-l)=(x-l)(ex-2a).

因为a>0,由f'(x)=0得,x=l或x=ln(2a).

①当时,#(x)=(x-l)(ex-e)20,f(x)单调递增,故f(x)无极值.

②当0<a<|时，ln(2a)〈l.

x,f'(x),f(x)的关系如表：

(-8,

XIn(2a)(ln(2a),l)1(1,+8)

In(2a))

f'(x)+0—0+

f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增

故f(x)有极大值f(ln(2a))=-a(ln(2a)-2)2,极小值f(l)=a-e.

③当a>|时,ln(2a)>L

x,*(x),f(x)的关系如表：

(In(2a),

X(-8,1)1(1,In(2a))In(2a)

+8)

*（X）+0—0+

f（X）单调递增极大值单调递减极小值单调递增

故f(x)有极大值f(l)=a-e,极小值f(ln(2a))=-a(ln(2a)-2)2.

综上，当0<a《时,f(x)有极大值-a(In(2a)-2)2,极小值a-e;当a=|

时,f(x)无极值;当a>：时,f(x)有极大值a-e,极小值-a(In(2a)-2)2.

第三课时导数与不等式

灵活石、发有致提猊

课时作业

选题明细表

知识点、方法综合运用练应用创新练

利用导数证明不等式2,3,59

利用导数研究不等式恒成立问题16

导数与不等式的综合问题47,8

B级综合运用练

1.(2021•陕西榆林高二二模)已知函数f(x)=(x2-3)e'+n

⑴讨论f(x)的单调性；

⑵若Vxe(0,+oo),VX2GR,f(X)>4%2-8'2,求in的取值范围.

解：(1)由f(x)=(x2-3)ex+m,得f'(x)=(x2+2x-3)ex=(x+3)(xT)ex,

当x<-3或x>l时,f'(x)>0,当-3<x<l时,『(x)<0,

所以f(x)在(-OO,-3)和(1,+8)上单调递增,在(-3,1)上单调递减.

(2)因为£«)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，所以

f(x)2f(l)=m-2e,

因为VxP(0,+«>),VX2GR,f(X)>4%2-8孙，所以m-2e>4&-8%恒成

立.

令t=2%2,则t>0,即m>t2-t3+2e在(0,+8)上恒成立,

令g(t)=t2-t3+2e,则g'(t)=2t-3t2=t(2-3t),

所以g(t)在(0,|)上单调递增，在(|,+8)上单调递减，所以m>g(|)=

—+2e,

故m的取值范围为(5+2e,+8).

2.已知函数f(x)2ax2-(2a+l)x+21nx.

2

当a=0时,证明：f(x)<2eX-x-4(其中e为自然对数的底数).

证明：当a=0时，函数f(x)=21nx-x,

由f(x)<2eX-x-4可知ex>lnx+2.

令g(x)=e'Tnx_2(x>0),gz(x)=e"-：.

设g'(x0)=0,贝iJe*°W(O〈Xo〈l).

当x£(0,X。)时,gz(x)<0,g(x)单调递减;

当x£(xo,+8)时,g，(x)>0,g(x)单调递增，

所以当x=x。时,g(x)取得唯一的极小值,也是最小值.

g(x)的最小值是g(x