常见统计分布及其特点

/【附录一】常见分布汇总一、二项分布二项分布（BinomialDistribution），即重复n次的伯努利试验（BernoulliExperiment），用ξ表示随机试验的结果,如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是。二、泊松poisson分布1、概念当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当n≧10,p≦0.1时，就可以用泊松公式近似得计算。2、特点——期望和方差均为λ。3、应用（固定速率出现的事物。）——在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布三、均匀分布uniform设连续型随机变量X的分布函数F(x)=(x-a)/(b-a)，a≤x≤b则称随机变量X服从[a,b]上的均匀分布，记为X~U[a,b]。四、指数分布ExponentialDistribution1、概念2、特点——无记忆性（1）这种分布表现为均值越小，分布偏斜的越厉害。（2）无记忆性当s,t≥0时有P(T>s+t|T>t)=P(T>s)即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。3、应用在电子元器件的可靠性研究中，通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果五、正态分布Normaldistribution1、概念2、中心极限定理与正态分布（说明了正态分布的广泛存在，是统计分析的基础）中心极限定理：设从均值为μ、方差为σ^2;（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ^2/n的正态分布。3、特点——在总体的随机抽样中广泛存在。4、应用——正态分布是假设检验以与极大似然估计法ML的理论基础定理一：设X1，X2，X3.。。Xn是来自正态总体N（μ，δ2）的样本，则有样本均值X~N（μ，δ2/n）——总体方差常常未知，用t分布较多六、χ2卡方分布（与方差有关）chi-squaredistribution1、概念若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和

构成一新的随机变量，其分布规律称为

卡方

分布（chi-squaredistribution），其中参数n称为自由度【注意】假设随机干扰项呈正态分布。因此，卡方分布可以和RSS残差平方和联系起来。用RSS/δ2，所得的变量就是标准正态分布，就服从卡方分布。2、卡方分布的特点（1）分布的均值为自由度n，记为E()=n。（这个容易证明）（2）分布的方差为2倍的自由度(2n)，记为D()=2n。（3）如果

互相独立，则：（独立可加减）

服从

分布，自由度

；

服从

分布，自由度为

3、图形特点4、应用定理二，设X1，X2，X3.。。Xn是来自正态总体N（μ，δ2）的样本，则有样本均值X~N（μ，δ2/n）（1）正态分布以与卡方分布是F检验的基础。大量的检验用到了F检验：F检验、三大检验。七、t学生分布（用样本方差s来标准化）——Student's

t-distribution1、概念（适用于δ2未知）【理解】把样本标准正态化的U变换前提是方差已知，但总体方差是未知的，所以用样本方差来代替总体方差。根据中心极限定理，抽样服从方差为总体方差除以n的正态分布。由于在实际工作中，往往σ是未知的，常用s作为σ的估计值，为了与u变换区别，称为t变换，统计量t值的分布称为t分布（u变换指把变量转换为标准正态分布）【思考】为什么样本方差比总体方差要小？因为一个是总体方差，一个是样本均值的方差。不同2、特点1）与标准正态分布曲线相比，自由度v越小，t分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度v愈大，t分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度v=∞时，t分布曲线为标准正态分布曲线。定理三：设X1，X2，X3.。。Xn是来自正态总体N（μ，δ2）的样本，则有样本均值X~N（μ，δ2/n），S为样本方差【注意】S是样本方差。中心极限定理说的是样本均值的方差。八、F分布F-distribution1、概念F分布定义为：设X、Y为两个独立的随机变量，X服从自由度为k1的卡方分布，Y服从自由度为k2的卡方分布，这2个独立的卡方分布被各自的自由度除以后的比率这一统计量的分布2、特点

（1）它是一种非对称分布；

（2）它有两个自由度，即n1-1和n2-1，相应的分布记为F（n1–1，n2-1），n1–1通常称为分子自由度，n2-1通常称为分母自由度；

（3）F分布是一个以自由度

和

为参数的分布族，不同的自由度决定了F分布的形状。

（4）F分布的倒数性质：

（5）残差平方和之比通常与F分布有关。九、逻辑分布logistic（分类评定模型）——最早应用最广的离散选择模型1、概念2、特点用作增长曲线并为二进制响应建模。在生物统计和经济领域使用。Logistic分布由尺度和位置参数描述。Logistic分布没有形状参数，也就是说其概率密度函数只有一个形状。下列图形显示了不同参数值对Logistic分布的效应。尺度参数的效应位置参数的效应Logistic分布的形状与正态分布的形状相似，但Logistic分布的尾部更长。十、伽马分布1、概念——伽玛分布（GammaDistribution）是统计学的一种连续概率函数。Gamma分布中的参数α称为形状参数（shapeparameter），β称为尺度参数（scaleparameter）。假设随机变量X为等到第α件事发生所需之等候时间,密度函数为

特征函数为

伽马分布的可加性当两随机变量服从Gamma分布，且单位时间内频率相同时，Gamma数学表达