新教材数学人教A必修第一册课件4.5.3　函数模型的应用

4.5.3函数模型的应用1.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.在实际情境中,会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.3.了解建立拟合函数模型的步骤,并了解检验和调整的必要性.1|常见的函数模型

一次函数模型y=kx+b(k,b为常数,k≠0)二次函数模型y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)指数函数模型y=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0

且a≠1)对数函数模型y=mlogax+n(m,a,n为常数,m≠

0,a>0且a≠1)幂函数模型y=axn+b(a,n,b为常数,a≠0)2|利用函数模型解决实际问题的基本过程1.函数模型中,要求定义域只需使函数式有意义.

(

✕)提示:在实际问题中,函数的定义域不仅要使函数式有意义,而且要使自变量表示

的各个量均满足实际意义.2.根据收集到的数据作出散点图,结合已知的函数选择适当的函数模型,这样得到

的函数模型的模拟效果较好.(√)提示:根据散点图选择函数模型,针对性较强,得到的函数模型的模拟效果较好.3.用来拟合散点图的函数图象一定要经过所有点.

(

✕)提示:拟合函数的图象不需要经过散点图中的所有点,只需误差小就行了.4.用函数模型预测的结果和实际结果必须相等,否则函数模型就无存在意义了.

(

✕)提示:用函数模型预测的结果和实际结果可以有误差,好的函数模型预测的结果与实际结果误差较小.判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”.|利用函数模型解决实际问题

利用函数模型解决实际问题的步骤(1)审题——弄清题意,分清条件和要求的结论,理顺数量关系;(2)建模——将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学

知识建立相应的函数模型;(3)求模——推理并求解函数模型;(4)还原——用得到的函数模型描述实际问题的变化规律.函数拟合与预测的一般步骤(1)根据原始数据、表格,绘出散点图;(2)通过考察散点图,画出拟合直线或拟合曲线;(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式;(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依

据.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述,设物体的初始温度是

T0℃,经过一定时间tmin后的温度是T℃,则T-Ta=(T0-Ta)×

,其中Ta表示环境温度,h称为半衰期.现有一杯88℃的速溶咖啡放在24℃的房间中,如果咖啡降温到4

0℃需要20min,那么降温到32℃,需要多长时间?思路点拨根据已知条件确定函数关系式,然后代值求解.解析

由题意可得40-24=(88-24)×

,即

=

,解得h=10,故T-24=(88-24)×

,将T=32代入上式,得32-24=(88-24)×

,即

=

=

=

,∴t=30.因此需要30min可降温到32℃.某企业常年生产一种出口产品,自2017年以来,每年在正常情况下,该产品产

量平稳增长.已知2017年为第1年,前4年年产量f(x)(万件)如下表所示:x1234f(x)4.005.587.008.44(1)画出2017~2020年该产品年产量的散点图;(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该产品年产量变化的函数模型,并

求出函数解析式;(3)2021年(即x=5)因受到某种影响,年产量减少30%,试根据所建立的函数模型,估

计2021年的年产量.解析

(1)画出散点图,如图所示.

(2)由散点图知,可选用一次函数模型.设f(x)=ax+b(a≠0).由已知得

解得

所以f(x)=1.5x+2.5.检验:f(2)=5.5,且|5.58-5.5|=0.08<0.1.f(4)=8.5,且|8.44-8.5|=0.06<0.1.所以一次函数模型f(x)=1.5x+2.5能基本反映该