2024年中考数学二轮复习重难点03 阴影部分面积求解问题（原卷版）

重难点突破03阴影部分面积求解问题目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u方法一直接公式法方法二和差法题型01直接和差法题型02构造和差法题型03割补法类型一全等法类型二等面积法类型三平移法、旋转法类型四对称法题型04容斥原理【基础】设⊙OQUOTE的半径为R，n°QUOTE圆心角所对弧长为l，n为弧所对的圆心角的度数，则扇形弧长公式l=nπR180（扇形面积公式S扇形=nπR2圆锥侧面积公式S圆锥侧=πrl（其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）圆锥全面积公式S圆锥全=πrl+πr2（圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积）圆锥的高h，圆锥的底面半径rr【方法技巧】1）利用弧长公式计算弧长时，应先确定弧所对的圆心角的度和半径，再利用公式求得结果．在弧长公式l=nπR2）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然后直接代入公式S扇形=nπR2360或S3）扇形面积公式S扇形=14）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量．5）在解决有关圆锥及其侧面展开图的计算题时，常借助圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，即2πr=nπR1806）求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长．注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念．【阴影部分面积求解问题简介】求阴影部分面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：1）直接用公式求解．图形公式S阴影=S扇形ABCS阴影=S△ABCS阴影=S四边形ABCD=ab2）和差法：所求面积的图形是一个不规则图形，可将其转化变成多个规则图形面积的和或差，进行求解．①直接和差法.（阴影部分是几个常见图形组合而成，即S阴影=S常见图形±S常见图形）图形面积计算方法图形面积计算方法S阴影=S△ACB−S扇形ABDS阴影=S扇形AOB−S△AOBS阴影=S△AOB−S扇形CODS阴影=S扇形BAD−S半圆ABS阴影=S半圆AB−S△AOBS阴影=S扇形之和=nπR2S阴影=S扇形EAF−S△ADE②构造和差法（所求阴影部分面积需要添加辅助线构造扇形、三角形或特殊四边形,然后进行相加减。）图形公式S阴影=S扇形AOC+S△BOCS阴影=S△ODC-S扇形DOES阴影=S扇形AOB-S△AOBS阴影=S扇形BOE+S△OCE-S扇形COD3）割补法：直接求面积较复杂或无法计算时，可通过旋转、平移、割补等方法，对图形进行转化，为利用公式法或和差法创造条件，从而求解．①全等法图形公式S阴影=S△AOBS阴影=S扇形BOCS阴影=S矩形ACDFS阴影=S正方形PCQE②等面积法图形公式S阴影=S扇形COD③平移法图形公式S阴影=S正方形BCFES阴影=S矩形ABHG④旋转法图形公式S阴影=S扇形AOES阴影=S扇形BODS阴影=S扇形ABE-S扇形MBN⑤对称法图形公式S阴影=S△ACDS阴影=S扇形CDES阴影=S△OBC=14S正方形AS阴影=S扇形ACB-S△ACD4)容斥原理当阴影部分是由几个图形叠加形成时,1）需先找出叠加前的几个图形;2）然后理清图形之间的重叠关系.图形（举例）公式S阴影=S扇形BAB′+S半圆AB′−S半圆ABS阴影=S半圆AC+S半圆BC−S△ACBS阴影=S扇形AEC+S扇形BCD−S△ACB方法一直接公式法1．（2022·湖北武汉·校考三模）如图，AB是半圆的直径，点C在直径上，以C为圆心、CA为半径向内作直角扇形，再以D为圆心、DC为半径向内作直角扇形，使点E刚好落到半圆上，若AB=10，则阴影部分的面积为（

）

A．16π B．12π C．8π D．4π2．（2023·四川成都·校考三模）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E．若将一骰子（看成一个点）投到矩形ABCD中，则骰子落在阴影部分的概率为．3．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，点D是BC的中点，将AD绕点A按逆时针方向旋转90°得AD'

方法二和差法题型01直接和差法4．（2019上·河北石家庄·九年级统考期中）已知点C在以AB为直径的半圆上，连接AC、BC，AB=10，BC:AC=3:4

5．（2023·青海·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长是4，分别以点A，B，C，D为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）.

6．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=2，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是

7．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，以AB为半径作弧BE，则阴影部分的面积为（结果保留π）．

题型02构造和差法8．（2023·四川泸州·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为(结果保留A．3π4 B．6−3π4 C．5−9．（2022·湖北恩施·统考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是（

）

A．3−13π B．3π−110．（2023·安徽·模拟预测）如图，⊙O的半径为2，AB=23，则阴影部分的面积是．（结果保留π11．（2023上·安徽六安·九年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2．点D为BC边的中点，以点D为圆心，CB长为直径画半圆，交AB于点E，则图中阴影部分的面积为12．（2022·广东江门·鹤山市沙坪中学校考模拟预测）如图，在半径为5，圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在AB上，则阴影部分的面积为．

13．（2022·福建·一模）如图，在平行四边形纸板ABCD中，点E，F，O分别为AB，

14．（2023·广东梅州·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，点B坐标为0,23，OC与⊙D交于点C，∠OCA=30°，则圆中阴影部分的面积为

15．（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考模拟预测）如图，扇形AMB的圆心角∠AMB=60°，将扇形AMB沿射线MB平移得到扇形CND，已知线段CN经过AB的中点E，若AM=23，则阴影部分的周长为

16．（2024·西藏拉萨·统考一模）如图，等腰△ABC的顶点A，C在⊙O上，BC边经过圆心0且与⊙O交于D点，∠B=30°.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若AB=6，求阴影部分的面积17．（2023·山西长治·统考模拟预测）如图，在△ABC中，CA=CB，AB=4，点D是AB的中点，分别以点A、B、C为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AC、BC于点E、F、G、H，若点E、F是线段AC的三等分点时，图中阴影部分的面积为（

）

A．82−2π B．162−4π18．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）已知AB是⊙O的直径，DA、DE、BC是⊙O的三条切线，切点分别为A、E、B，连接OE．

(1)如图1，求证：OE(2)如图2，AD=1，题型03割补法类型一全等法19．（2022上·安徽阜阳·九年级校考期末）AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C=30°，CD=43A．π B．2π C．83π20．（2023·山西晋城·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=1，以点A为圆心，矩形的长AD为半径画弧，交BC于点E，交AB的延长线于点F，若AE恰好平分∠BAD，则阴影部分的面积为（

）

A．1 B．π−2−12 C．221．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC,BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为．

22．（2022·青海·统考中考真题）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB=3，BC=4，则图中阴影部分的面积为．23．（2022上·江西南昌·九年级统考期末）如图，半径为10的扇形OAB中，∠AOB=90°，C为弧AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E．若∠CDE=40°，则图中阴影部分的面积为（

）A．403π B．1109π C．类型二等面积法24．（2023·辽宁锦州·统考二模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED=45°，AB=2，则阴影部分的面积为（）A．π4 B．π3 C．2π25．（2023·山西大同·校联考模拟预测）阅读与思考下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务：通过构造全等三角形来解决图形与几何中的问题在图形与几何的学习中常常会遇到一些问题无法直接解答，需要作辅助线构造全等三角形才能得到解决，比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交，构造全等三角形，再运用全等三角形的性质解决此问题．例：如图1，D是△ABC内的点，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，连接BD．若△ABC的面积是10，求图中阴影部分的面积．

该问题的解答过程如下：解：如图2，延长CD交AB于点E．

∵AD平分∠BAC，∴∠DAB=∠DAC．∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠ADE=90°．在△ADE和△ADC中，∠DAB=∠DAC∴△ADE≌△ADCASA∴S△ADE=S任务：(1)上述解答过程中的“依据*”是指；(2)请将上述解答过程的剩余部分补充完整；(3)如图3，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD的延长线于点E，连接BE．若BE=5，请直接写出AD的长．

26．（2023上·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，连接BC，CD，AC，BD，类型三平移法、旋转法27．（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图，正六边形ABCDEF内接于半径为8cm的⊙O中，连接CE，AC，AE，沿直线CE折叠，使得点D与点O重合，则图中阴影部分的面积为（

A．323cm2 B．83cm228．（2023·浙江·模拟预测）如图，△ABC是直角边长为2的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半圆O2过C点且与半圆

A．7−π9 B．5−π9 C．7929．（2018·山西·统考中考真题）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣8类型四对称法30．（2017上·山东东营·九年级校联考期末）如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC=2，则图中阴影部分的面积是31．（2023·广西北海·统考三模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O，交AD于点F，交BC于点E．若AB=3，AC=4，AD=5，则图中阴影部分的面积是（）

A．1.5 B．3 C．6 D．432．（2023·河北保定·统考一模）如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB于点E(E不与A，B重合），交CD于点F．以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M，N．若AB=1，则图中阴影部分的面积为（）

A．π8−18 B．π8−33．（2022·山东菏泽·统考二模）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，半径OA=3，则图中阴影部分的面积是，（结果保留π）34．（2023·江苏南通·统考二模）如图，在⊙O中，弦AB垂直于半径OC，垂足为D，点E在OC的延长线上，且∠EAC=∠CAB．(1)求证：直线AE是⊙O的切线；(2)若OE=6,sin题型04容斥原理35．（2022上·重庆·九年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以AB、BC、AC边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．当AB=8，BC=4时，则阴影部分的面积为36．（2021·广东江门·校考三模）如图，AB是半圆O的直径，以O为圆心，OC长为半径的半圆交AB于C，D两点，弦AF切小半圆于点E．已知AB=4，∠BAF=30°，则图中阴影部分的面积是（）

A．32+π3 B．33+37．（2023·广东肇庆·统考三模）如图，在Rt△ABC中