2019版新教材高中数学必修1-10章单元检测题解析版

高中数学必修1-10章单元检测题解析版

目录

第一章《集合与常用逻辑用语》章末检测卷....................1

第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元检测卷............8

第三章《函数的概念与性质》单元检测卷.....................17

第四章《指数函数与对数函数》单元检测卷...................26

第五章《三角函数》单元检测卷.............................34

第六章《平面向量及其应用》单元检测卷.....................42

第七章《复数》单元检测卷.................................48

第八章《立体几何初步》单元检测卷.........................54

第九章《统计》单元检测卷.................................63

第十章《概率》单元检测卷.................................73

第一章《集合与常用逻辑用语》章末检测卷

（时间：120分钟满分：150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1.给出下列四个关系式：①币WR；②ZWQ；③0G；④{0},其中正确的个数是（）

A.lB.2

C.3D.4

解析①④正确；对于②，Z与Q的关系是集合间的包含关系，不是元素与集合的关系；对

于③，是不含任何元素的集合，故0，选B.

答案B

2.已知U={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6},则（）

A.MAN={4,6}B.MUN=U

C.（［加UM=UD.（［uM）CN=N

解析由U={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6}知，MUN=U,故

选B.

答案B

3.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=MCN,则P的子集共有（）

A.2个B.4个

C.6个D.8个

解析易知P=MAN={1,3},

故P的子集共有22=4个.

答案B

4.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“AB”的（）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

1

解析•；a=3AB,而A8/a=3,“a=3”是“AB的充分不必要条件”.

答案B

5.设全集。=&集合A={x|x22},B={x\0^x<5},则集合([uA)CB=()

A.{x|0<x<2}B.{x|O<xW2}

C.{x|0<x<2}D.{x|04W2}

解析先求出[M={xb<2},再利用交集的定义求得([uA)n8={x[0Wx<2}.

答案C

6.已知M={yGR|y=|x|},A^={xeR|A=w2},则下列关系中正确的是()

A.MNB.M=N

C.MWND.NM

解析M={y&R|y=M}={>eR|y20},

N={x£R|x=m2}={xGR|x，0},

：.M=N.

答案B

7.命题p：办2+2兀+1=0有实数根，若名弟〃是假命题，则实数a的取值范围为()

A.{a\a<l}B.{a|aWl}

C.{a\a>\}D.{a|a21}

解析因为㈱p是假命题，所以p为真命题，即方程数2+2x+l=0有实数根.

当a=0时，方程为2x+l=0,x=-1,满足条件.当a#0时，若使方程加+2x+1=0有实

数根，则/=4—4a20,即aWL

答案B

8.已知命题p：x£R,y/lTWl,贝ij()

A.㈱p：x《R,71一£21

B.㈱p：x£R,

C.A弟〃：x£R,yj1—^>1

D.^p：y]1—f>1

解析根据全称量词命题的否定方法，当命题p：xWR,[1—A2根]时，女弟p：x£R,

2

71—.故选c.

答案c

9.已知p：—4<x-a<4,q：2<x<3,若名弟p是㈱q的充分条件，则实数。的取值范围是（）

A.{«|—1WaW6}B.{a|qW-1}

C.{a\a^6}D.{Q|QW—1或。26}

角星析p：——4<X——Q<4,即。——44<。+4；

q：2<x<3.

所以㈱p：xW。-4或xNo+4,㈱q：尤W2或尤23；

而痴是痴的充分条件，所叱a+—4*<32,,

解得一1WaW6.

答案A

10.满足且8—aGA,"N”的有且只有2个元素的集合A的个数是（）

A.lB.2

C.3D.4

解析由题意可知，满足题设条件的集合A有{0,8},{1,7},{2,6},{3,5},共4个.

答案D

11.已知集合A={（x,y）|x,y为实数，且y=f},8={（x,y）\x,y为实数，且y=Lx},则

的元素个数为（）

A.无数个B.3

C.2D.1

。=舄

解析联立「消去），得%2+工-1=0,

〔x+y=l,

y=/,

•.Z=12—4X（—l）Xl=5〉0,.,.方程龙2+x—1=0有2个不同的实数解，.•.方程组《,,

[x+y=l

有2组解，.•.AC8的元素有2个，故选C.

答案C

12.设尸={1,2,3,4},。={4,5,6,7,8},定义P*Q={（a,b）\a&P,b^Q,a^b},则

P*Q中元素的个数为（）

A.4B.5

C.19D.20

3

解析由题意知集合P*。的元素为点，当a=l时，集合P*。的元素为：(1,4),(1,5),(1,

6),(1,7),(1,8)共5个元素.同样当。=2,3时集合P*。的元素个数都为5个，当。=4时,

集合P*Q中元素为：(4,5),(4,6),(4,7),(4,8)共4个.因此P*Q中元素的个数为19个,

故选C.

答案C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)

13.若集合4=同一1WXW2},B={x\x<1],则40([避)=.

解析VB={x|x<l},：.[RB={X\X^1}.

.,.An([R8)={x|l«}.

答案{RlWxW2}

14.命题：存在一个实数对(x,y),使2x+3y+3<0成立的否定是.

解析存在量词命题的否定是全称量词命题.

答案对任意实数对(x,y),2x+3y+320恒成立

15.当是非空集合，定义运算4-8={小64,且》8},若加={4启1},"={州・)<1},

则M~N=.

解析画出数轴如图：

01%

.•.M-N={x|xWM且xN}={x|x<0}.

答案{X|A<0}

16.设集合S={x|x>5或T={x\a<x<a+S},SUT=R,则a的取值范围是.

a<一19

解析借助数轴可知,：.-3<a<-\.

[a+8o>5c.

答案{a|—3<«<—1)

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知集合A={x|-4WxW-2},集合3={x|x+320}.

求：⑴AC&

⑵AUB；

(3)CR(AnB).

解由已知得8={x|x2—3},

(1)AAB={尤|-3WxW-2}.

4

(2)AUB={x|x^-4}.

(3)tR(AAB)={x|x<—3或x>—2}.

18.(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假性.

(1)xez,|x|GN；

(2)每一个平行四边形都是中心对称图形；

(3)有些三角形是直角三角形；

(4)xCR,x+lWO；

(5)xGR,/+2*+3=0.

解⑴xGZ,|x|N,假命题.

(2)有些平行四边形不是中心对称图形，假命题.

(3)所有三角形都不是直角三角形，假命题.

(4)x&R,x+l>0,假命题.

(5)xGR,x2+2x+3：/：O,真命题.

19.(本小题满分12分)已知集合4={-4,2a-1,a2},B={a-5,l-a,9},分别求适合下

列条件的。的值.

(l)9G(AnB)；

(2){9}=AAB.

解(1)：9£(403),，24—1=9或次=9,

••o=5或a=3或ci~~—3.

当a=5时，A={—4,9,25},B={0,-4,9)；

当a=3时，a—5=1—a=-2,不满足集合元素的互异性；

当。=-3时，A={-4,-7,9},B={-8,4,9),

所以a=5或ci——3.

⑵由⑴可知，

当a=5时，AAB={-4,9},不合题意，

当。=一3时，AC8={9},所以”=一3.

20.(本小题满分12分)已知A={x|f—依+/一］2=0},8={x*—5x+6=0},且满足下列三

个条件：

①AW&②AU8=8；③(AC8),求实数a的值.

5

解B={2,3},VAUB=B,.,.AB,

'：A^B,：.AB.

又；(AC8),，AW,

，4={2}或4={3},

方程ax+/-12=0只有一解，

由/=(—0)2—402—12)=0得4=16,

tz=4或a=-4.

当a=4时，

集合A={x*-4x+4=0}={2}符合；

当a=—4时，

集合A={xF+4x+4=0}={-2}(舍去).

综上，a=4.

21.(本小题满分12分)求证：方程/—2x—3/〃=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是一

；<〃2<0.

证明(1)充分性：,.,一;</“<(),

；・方程X2—2x—3m=Q的判别式/=4+12"?〉0,

且一3m>Q,

方程x1—2x—3m=0有两个同号且不相等的实根.

(2)必要性：若方程f—2尤一3〃?=0有两个同号且不相等的实根，

[J=4+12m>0,i

则有J„解得一可<加<0.

xiX2=—3m>0,。

综合(1)(2)知，方程X2—2x—3m=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是一孑<加<0.

22.(本小题满分12分)设集合A={x*—3x+2=0},8=3「+2(°+1)%+(层-5)=0},

(1)若ACB={2},求实数a的值；

(2)若AUB=A,求实数a的取值范围.

解(1)A={1,2}.；ACB={2},

—代入8中方程，得/+4a+3=0,

所以a——1或a=-3.

当。=-1时，B={-2,2},满足条件；

6

当。=-3时，B=[2],也满足条件.

综上，a的值为一1或一3.

(2)'：AUB=A,：.BA.

①当』=4(a+l)2-4(/—5)=8(a+3)<0,即a<-3时，B=满足条件;

②当/=0,即。=-3时，B={2},满足要求；

③当/>0,即a>-3时,

B=A={1,2}才能满足要求，经检验不可能成立.

综上可知a的取值范围是aW—3.

7

第二章《一元二次函数.方程和不等式》单元检测卷

（时间：120分钟满分：150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1.设mb,c,且G>"，c>d,则下列结论中正确的是（）

A.aObdB.a-c>b-d

C.a+ob+d

角窣析,：a>b,c>d,.,.a+c>/?+d.

答案C

2.不等式悬的解集是（）

Ji乙

A.{小<2}B.{x|x>2}

C.{x\0<x<2}D.{x|x<0或x>2}

解析由聂，得言<°，

即x（2—x）<0,解得x>2或x<0,故选D.

答案D

3.已知不等式or2+陵+2>0的解集是{x[—l<r<2},则a+。的值为（）

D.—2

"a<0,

解析易知，

-=-1X2

「・。+6=0.

答案c

4.若QV1,/7>1,那么下列命题中正确的是（）

C.a2<h2D.ab<a+b

解析利用特值法，令。=—2,b=2.

8

则另,A错；(<0,B错;

a2=b2,C错，ah<a+b,D正确.

答案D

5.已知a>0,b>Q,且满足胃+/=1,则帅的最大值是()

A.2B.3

C.4D.6

解析因为a>0,b>Q,且满足g+/=l,

所以化为当且仅当。=去匕=2时取等号，则帅的最大值是3.

答案B

6.若一Zf+Sx—2>0,则周4/—4x+l+2|x—2|等于()

AAx—5B.-3

C.3D.5—4x

解析—2x2+5%一2>0,

^<x<2,；・2x>1,x<2,

原式=|2x—l|+2|x—2|=2x—1—2(%—2)=3.

答案C

7.设实数1<6/<2,关于x的一元二次不等式x2—(a2+3a+2)x+3«(tz2+2)<0的解集为()

A.{x\3a<x<(r+2}B.{x|a2+2<x<3a}

C.{x|3<x<4}D.{x|3<x<6}

解析由x2—(屋+3Q+2)尤+3。(屋+2)<0,得(九一3。>(九一/一2)<0,V\<a<2,・13。>屋+2,

关于x的一元二次不等式x2—(a2+3a+2)x+3tz(a2+2)<0的解集为{X[〃2+2<X<3Q}.故选B.

答案B

8.与不等式式力。同解的不等式是()

3—x

A.(x—3)(2—冗)20B.不工20

2—x

C.-^>0D.(x-3)(2-x)>0

9

解析解不等式二2。，得2<xW3,

对于A,不等式（九一3）（2—x）20的解是2W无W3,故不同解；

对于B,不等式的解是2<xW3,故同解；

x—2

对于C,不等式智20的解是2Wx<3,故不同解；

对于D,不等式（x—3）（2—九）〉0的解是2a<3,故不同解.故选B.

答案B

21

9.已知a>0,Z?>0,且2a+/?=l,若不等式机恒成立，则机的最大值等于（）

A.10B.9

C.8D.7

解析5+,=2（2广"）+罕=4+乡+与+l=5+2、+（|e5+2X2^^|=9,当且仅

171

当a=b=y时取等号.又即〃?的最大值等于9,故选B.

答案B

h

10.若关于X的不等式以一b>0的解集为{x|x>l},则关于X的不等式y〉0的解集为（）

A.{x|x<—2或x>\}B.{x|l<r<2}

C.{x|xv-1或犬>2}D.{x|-l<x<2}

解析:•不等式ax—b>0的解集为{x|x>l},

...x=1为初一〃=0的根，/.«—/?=0,即

Var—/?>0的解集为{x|x>l},

/.a>09

ax+ba（x+1）红〃丁,

故一一--------等价于（工+）。-）

x—2x—2>0,12>0.

/.x>2或x<—1.

答案C

11.若关于x的不等式x2—4x—m$:0对任意0<xWl恒成立，则m的最大值为（）

A.lB.-1

C.-3D.3

解析令丁=«—4%一加，则只需满足在x=l处的函数值非负即可，解得用・一3.

10

答案c

12.在R上定义运算：xy=x(l—>).若不等式(X—。x+a)<l对任意实数x恒成立，则

()

A.—l«z<lB.0<a<2

八13-31

C.—2<a<2D.-2<a<2

解析'."(x-ax+a)=(x—a)(l—x—a),又不等式(x—ax+a)<l对任意实数x恒成立,

，(x-a>(l—x—a)<l对任意实数x恒成立，即x2—x—/+a+i〉()对任意实数》恒成立，

13

=(—I)2—4(—o2+a+1)<0,得一/"].故选C.

答案C

二'填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)

13.不等式f—2x<0的解集为.

解析不等式x2-2x<0可化为x(x—2)<0,解得：0<x<2；.,.不等式的解集为{x[0令<2}.

答案{.r|0<x<2}

14.某汽车运

输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y(单位：1。万元)与营

运年数x(xGN*)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示)，则每辆客车营运_______年时,

年平均利润最大.

解析二次函数顶点为(6,11),

设为y=a(x—6产+11,

代人(4,7)得。=-1,

；.y=l/+12光一25,

入十人/,、、_,“y—x2+12x-25

年平均利润为〉------7-----

=—(*+§)+12W—2\^+12=2,

11

当且仅当尤=；•,即x=5时等号成立.

答案5

15.一元二次不等式f+or+Z?>。的解集为｛卫尤<—3或x>l｝,则一元一次不等式（zr+X0的解

集为.

解析由题意知，-3和1是方程—+以+/?=0的两根，

—3+l=­a,。=2,

所以解得

-3X1=/?,/?=—3

不等式ax+/?<0即为2x—3<0,

3

所以取彳

答案卜<|）

16.若关于x的不等式X2—/77%+m+2>0对一2WxW4恒成立，则m的取值范围是.

解析设y=f—〃a+〃z+2=（x——）—拳+〃?+2,

①当?W—2,即机W—4时，当x=-2时，

y的最小值为4+2m+m+2=3m+6>0,m>—2,

又/nW—4,・••无解；

②当一2<^<4,即一4<〃z<8时，当x=当时，

2

y的最小值为一彳+"2+2>0,

解得2—2y[3<m<2+2\[3,

又一4<〃z<8,/.2—2y[3<fn<2+；

③当今24,即〃z，8时，当x=4时，

y的最小值为16—4m+m+2=18—3m>0,/.m<6,

又相》8,・••无解.

综上，加的取值范围为｛"?|2—2小<加<2+2小｝.

答案｛〃?|2—2y[3<m<2+2小）

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）当x>3时，求£、的最小值.

12

角翠Vx>3,/.x—3>0.

.Zr22(工一3)2++(%—3)+18

*3%—3

IQI1Q

=2(x—3)+_^+12^2A2Cx-3)•_2+12=24.

1Q

当且仅当2(x—3)=-

即尤=6时，上式等号成立，

••.上鼻的最小值为24.

18.(本小题满分12分)若不等式(1—a)%2—4x+6>0的解集是{x|—3<x<1}.

(1)解不等式2^+(2—a)x—。>0；

(2)人为何值时，加+法+320的解集为R.

"1—。<0,

4_

解(1)由题意知1—且一3和1是方程(1—Gx2—4x+6=0的两根，.,・<1—。

解得。=3.，不等式2『+(2—a)x—〃>0,

3

即为Zr2—%—3>0,解得光<一1或

.••所求不等式的解集为卜X<—1或

(2)ax2+Z?x+3^0,即为3f+bx+320,

若此不等式的解集为R,

则序一4X3X3W0,

:.—6W/?W6.

19.(本小题满分12分)某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离sm和汽车车速

xkm/h有如下关系：$=》:+焉「.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40m,

那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？

解设这辆汽车刹车前的车速为xkm/h.

根据题意，有表x+击P240,

移项整理，得/+10%—720020.

13

即(x-80)(x+90)N0.

故得不等式的解集为{x|xW—90或x280}.

在这个实际问题中x>0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为80km/h.

20.(本小题满分12分)已知a,h,c均为正数，证明：/+〃+,2+e+1+026/，并确定

a,b,c为何值时，等号成立.

证明因为a,b,c均为正数，

所以。2+。222次;，b2+c1^2bc,c2+a2^2ac.

所以a2+〃2+c22；a〃+机,+ac.①

同理了+讲+了》•+反+苏，②

故/+〃+/+(海+¥

333

沁匕+―盆+反+位26小.③

所以原不等式成立.

当且仅当a=/?=c时，①式和②式等号成立，

当且仅当a=b=c,(aZ?)2=Sc)2=(ac)2=3时，③式等号成立.故当且仅当a=Z?=c=46时，原

不等式等号成立.

21.(本小题满分12分)某建筑队在一块长AM=30米，宽AN=20米的矩形地块AMPN上施

工，规划建设占地如图中矩形ABC。的学生公寓，要求顶点C在地块的对角线MN上，B,

。分别在边AM，AN上，假设AB长度为x米.

(1)要使矩形学生公寓ABCO的面积不小于144平方米，的长度应在什么范围？

(2)长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少平方

米？

解(1)依题意知△NDCS^NAM,所以f=黑，即看=吟产

ZJLXKZIV/JL\J^\J

2

则AZ)=20—qx

14

故矩形ABCD的面积为S=20x—|f.

根据条件0<x<30,要使学生公寓A3CO的面积不小于144平方米,

2

即5=20%—,2144,化简得『-3Qx+216W0,解得12WxW18.

故AB的长度应在12米〜18米内.

(2)S=20x~•¥=|X(3O-X)W](3O=150,

当且仅当x=30—x,即x=15时，等号成立.

2

此时AD=20—^x=10.

故A3=15米，4。=10米时，学生公寓ABCD的面积最大，最大值是150平方米.

22.(本小题满分12分)已知二次函数丁=#+笈+4工。)的图象过A(»,yi),8(必闻两点,

且满足/+(yi+y2)o+yiy2=0.

(1)求证yi=—。或”=—。；

⑵求证函数的图象必与x轴有两个交点；

⑶若)>0的解集为{Rx>m或x<n}(/2<m<0),解关于x的不等式cx2~bx+a>0.

(1)证明Vcr+(y\+y2)a+y=0,

/.(a+y1)(«+y2)=0,得y]=­a或yi=­a.

⑵证明当公>0时，二次函数的图象开口向上，图象上的点A或点8的纵坐标为一m且一

。<0,

・•・图象与x轴有两个交点；

当。<0时，二次函数的图象开口向下，图象上的点A或点8的纵坐标为一々，且一〃>0,

・♦•图象与x轴有两个交点.

・••二次函数的图象必与x轴有两个交点.

(3)解ax1+bx+c>0的解集为{光仅>m或x<n}(n<m<0),

二•a〉。且加+法+^二。的两根为加，孔,

根+

a.m+nb„

I且c>0,

c••mn

mn=~a,

Acx2-Z?x+6f>0即x2-"x+~>0,

15

即/+佟吗+%

Imn/mn

*/n<m<0,一1<一’,

nm

.二不等式ex2—Z?x+tz>0的解集为

16

第三章《函数的概念与性质》单元检测卷

（时间：120分钟满分：150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1.下列所示的图形中，可以作为函数y=/（x）的图象是（

解析作直线x=a与曲线相交，由函数的概念可知，定义域中任意一个自变量对应唯一的函

数值，二）是x的函数，那么直线移动中始终与曲线只有一个交点，于是可排除A,B,

C,只有D符合，故选D.

答案D

2.函数/U）=、1的定义域是（）

+°°)B.(—8,0)U(0,+00)

o)u(o,+0°)D.R

1+x20,

解析一、解得一lWx<0或x>0,区间表示为[—1,0)U(0,4-o°),故选C.

1彳0,

答案C

3.下列函数中，与函数y=Mx20）有相同图象的一个是（）

A.y=y/^B.y=(E¥

C.y=y[^D.y=

解析y=V?=W，xGR；y=«¥=x,x20;y=y/^=x,x£R；y=—y[x,第>0,所以

选B.

17

答案B

4.幕函数的图象过点(2,则它的单调递增区间是()

A.(0,+8)B」0,+0°)

C.(—8,0)D.(—8,+8)

解析设赛函数^=Y，则2a=(,解得a=—2,所以y=/2,故函数y=-2的单调递增区间

是(-8,0).

答案C

5.下列函数中，既是偶函数又在(0,+8)上单调递增的函数是()

A.y=xB.y=W+l

C.y=-f+lD.y=一：

解析A：y=x是奇函数，故不符合题意；B：y=M+l是偶函数，在(0,+8)上单调递增，

故正确；C：>=一<+1是偶函数，在区间(0,+8)上单调递减，不合题意，D：>=一;是奇

函数，不合题意.故答案为B.

答案B

6.已知於)是一次函数，且九*x)］=x+2,则.*x)=()

A.x+1B.2x—1

C.—x+1D.x+1或一x—1

解析设式幻=依+伙ZW0),则/［/(x)］=Z(依+h)+0=3x+妨+/?=x+2,

7^=1,［k=\,

：.\,：.\故选A.

kb+b=2,［b=1,

答案A

7.已知/U)为奇函数，当第>0时，式幻=一/+2%,则/U)在［-3,—1］上是()

A.增函数，最小值为一1

B.增函数，最大值为一1

C.减函数，最小值为一1

D.减函数，最大值为一1

解析fix)=-x!-+2x,图象为开口向下，对称轴为尤=1的抛物线，

所以x>0时贝x)在［1,3］上是减函数.

因为/(X)为奇函数图象关于原点对称，所以函数./(X)在［-3,—1］也是减函数.

18

所以在[-3,11]上次X)max=A-3)=一负3)=—(-32+2X3)=3,

_/(X)min=A-1)=一川)=一(一F+2X1)=—1,故C正确.

答案C

8.函数凡行=以一1|的图象是()

解析由题函数火X)=|X—1|的图象相当于函数式处=尤向右平移一个单位，然后将X轴下方的

部分对折到x轴上方即可，故选B.

答案B

—R—ax—7GW1),

9.已知函数/、是R上的增函数，则a的取值范围是()

-(%>1)

[%

A.[-4,0)B.(-8,-2]

C.[-4,-2]D.(—8,0)

解析••TU)在R上为增函数，

•••需满足"a<0,

、一1-a-7Wa,

即一4WaW—2,故选C.

答案C

10.已知函数人》)是R上的增函数，A(0,-1),8(3,1)是其图象上的两点，那么一1勺5)<1的

解集是()

A.(—3,0)

B.(0,3)

C.(—8,-1]U[3,+°°)

D.(—8,0]U[l,+oo)

解析由已知10)=—1,犬3)=1,

19

，一1勺U)V1,即7(0)勺(X)勺(3),

••V(x)在R上递增，...OavB,

...—1勺5)<1的解集为(0,3).故答案为B.

答案B

11.已知函数兀励=罟，记犬2)+H3)+贝4)+…+/UO)=〃z,《乡+7(，+7(，+…+武)=〃，

则m+n=()

A.-9B.9

C.10D.-10

-+2

x~\~2x+2,x十/

解析•••函数./(*)=口,七六口+1=f

-x1

•.•犬2)+_穴3)+14)+…+式10)=加,

.•.〃?+〃=9X(—1)=-9.故选A.

答案A

12.已知函数.*x)是定义域为R的偶函数，且对任意xi,x2G(—°°,0］,当xiWx2时总有

>0,则满足7(1—2x)—《一3>0的x的范围是()

B-r3

「12'

D.5,3

解析由题意，7U)在(一8,0］上是增函数，又人幻是定义域为R的偶函数，故|x)在［0,+

117

2x|<g,解得g<x<g.

答案A

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)

13.若/U)=(x+a)(x—4)为偶函数，则实数a=.

解析由yu)是偶函数，所以人*)=大一九)，

即(x+a)(x—4)=(—x+a)(—x—4),解得<2=4.

20

答案4

1

14.若函数人x)=/一应，则满足火工)<0的x的取值范围为.

1

解析设函数尸=/,函数”=巨，则危)<0,即yi<”

在同一平面直角坐标系中作出函数yi与”的图象，如图所示，则由数形结合得xe(0,1).

答案(0，1)

15.将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个.若每个涨价1元，则日销

售量减少10个.为获得最大利润，则此商品销售价应定为每个元.

解析设每个涨价九元，则实际销售价为(10+x)元，销售的个数为100—10x.则利润为y=(10

+x)(100-10x)-8(100-10x)=-10(A：-4)2+360(0^X<10,x6N).因此，当x=4,即售价定为

每个14元时，利润最大.

答案14

16.若函数/U)同时满足：①对于定义域上的任意x,恒有/U)+式-x)=0；②对于定义域上的

任意如，X2,当加工及时，恒二<0,则称函数人处为“理想函数”.

给出下列四个函数中：①*X)=7；②人力三必；③/U)=|X|；④火工)=彳2八能被称为“理

想函数”的有(填相应的序号).

解析①中，函数./(x)=:为定义域上的奇函数，但不是定义域上的减函数，所以不正确；

②中，函数/)=f为定义域上的偶函数，所以不正确；③中，函数/U)=|x|的定义域为R,

在定义域内不单调，所以不正确；④中，函数7U)=2,cl'的图象如图所示，显然

(X<O)

此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，所以为理想函数，综上，答案为④.

答案④

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

21

17.(本小题满分10分)已知函数/W是定义域为R的奇函数，当x>0时，.*%)=/-2工

(1)求出函数兀?)在R上的解析式；

(2)画出函数#x)的图象.

解(1)①由于函数火x)是定义域为R的奇函数，则犬0)=0;

②当x<0时，-x>0,因为兀v)是奇函数，

所以.*x)=一4—x)=­[(--2(­X)]=-W-2x.

x2—2x,x>0,

0,x=0,

{—x2-2x,x<0.

(2)图象如图所示.

18.(本小题满分12分)已知於)在R上是单调递减的一次函数，且式/U))=9x—2.

⑴求危)；

(2)求函数yuTCxi+x2—x在1,a]上的最大值.

解(1)由题意可设兀外=丘+/?(%<0),

由于./(/a))=9x-2,则后c+妨+8=9%-2,

>2=9k=—3

故,1-2,解M故fix)=—3x+1.

@=1,

(2)由(1)知，函数y=-3x+1H-x2—x=x2—4x+1=(%—2)2—3,

故函数y=%2—4元+1的图象开口向上，对称轴为％=2,

当一lvaW5时，y的最大值是人-1)=6,

当。>5时，y的最大值是外〃)=层-4a+l,

22

6(—1<〃W5),

综上，ymax—|2I./,、

4A。+1(。>5).

［f(x)，x>0,

19.(本小题满分12分)设函数段)=这2+"+1(。，%为实数)，尸(%)=彳

—f(x),x<0,

(1)若式一1)=0且对任意实数x均有./)20成立，求尸(尢)的表达式；

(2)在(1)的条件下，当工£［-2,2］时，g(x)=/(x)—日是单调函数，求实数Z的取值范围.

解(1)由已知可知：

C/(—1)=一(〃一力+1)=0,

I

V>o,解得」。

［/?_2,

［廿一4aW0,

W+2%+1,x>0,

则F(x)=\.

2

、一JC—2x—1,x<0.

(2)由(1)可知+2%+1,则g(x)=x1+2x+1-kx=x^+(2-k)x+1,

k—2

则g(x)的对称轴为x=亍.

由于g。)在［―2,2］上是单调函数，

k—2k—2

故-2-W—2或一2—22,即左W—2或k26.

即实数左的取值范围是(-8,-2］U［6,+8).

1

20.(本小题满分12分)设函数次光)=直不二是奇函数(a,。都是正整数)，且;(1)=2,犬2)<3.

⑴求a,b,c的值；

(2)当x<0时，./U)的单调性如何？用单调性定义证明你的结论.

/7r^—I—1

解(1)由次］)=汝+'是奇函数，

得式-x)=—/(X)对定义域内X恒成立,

II。(一%)2+1ar2+1.,।…।-卜、ir。+1

则〃(―口)+c=—/zx+c—灰+c=—(灰+c)对定义域内x怛成立，即c=0.y(l)=b=

2,/2)=-^<3,又a,b是整数,得b=a=L

,,«+1,1

(2)由(1)知式x)=1—=x+7

当x<0时，火幻在(-8,—1］上单调递增，在［-1,0)上单调递减，下面用定义证明.

23

设X1<X2W-1,则_/01)一次尤2)=%1+9—［2+［)=为-*2+"手=(如一工2)(1一士)，因为

X1<X2W—1,XI—X2<0,1—J->0.

X\X2

AXI)-X%2)<0,故«r)在(一8,—1］上单调递增.

同理可证兀r)在［—1,0)上单调递减.

21.(本小题满分12分)已知矩形ABC。中，AB=4,AO=1,点。为段线AB的中点，动点P

沿矩形ABCD的边从B逆时针运动到A.当点尸运动过的路程为x时，记点尸的运动轨迹与线

段。P,。8围成的图形面积为.穴X).

D.___________________.C

A'-------------o-----B

(1)求7U)的解析式；

(2)若人尤)=2,求x的值.

解⑴当日0,1］时，危)=去08尤=心

।.(2+x-1)X11

当尤£(1,5]时，/(%)=------2----------=2(x+1);

当尤G(5,6]时，«X)=4X1—；X2X(6—X)=X—2.

x,OWxWl,

所以/(x)=<g(x+l),laW5,

*—2,5<xW6.

⑵若段)=2,显然laW5,所以段)=g(x+l)=2,解得x=3.

22.(本小题满分12分)已知函数y=/(x)的定义域为R,且对任意a,b^R,都有加+与=加)

十也?)，且当x>0时，*x)<0恒成立.

(1)证明函数y=/(x)是R上的单调函数；

⑵讨论函数y=/(x)的奇偶性；

(3)若汽/-2)+Xx)<0,求x的取值范围.

(1)证明设X1>X2,则XI—X2>0,

二凡k)-兀⑵=/[(Xl—X2)+X2]―/(X2)

=f(.X\—X2)+«T2)—/(X2)=式XI-X2)

又当x>0时，fi.x)<0恒成立，所以共组)勺(X2),

24

/.函数y=*x)是R上的减函数.

(2)解由+份=/(a)+y(与得/(X—x)=/(x)+X—X),

即犬幻+八-x)=AO)，

又由。a+b)=yg)+/(b),令a=b=O,得火0)=0,

二八一x)=—於)，又函数y=/U)的定义域为R,

即函数y=/U)是奇函数.

⑶解法一由兀2)+«r)<0得

2)<-/(x),又y=«x)是奇函数,

即.*X2一2)勺(一幻，

又y=/U)在R上是减函数，

所以x2—2〉一无,解得光>1或x<—2.

故x的取值范围是(一8,—2)U(1,+°°).

法二由.人『一2)+犬x)<0且负0)=0及勿=*。)+得“-2+x)勺(0),

又y=/(x)在R上是减函数，

所以；r2—2+x>0,解得x>l或x<—2.

故x的取值范围是(-8,-2)U(1,+8).

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第四章《指数函数与对数函数》单元检测卷

(时间：120分钟满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的)

1.化简咚m的结果为()

A.—yj—xB.y/x

C.—y[xD.yj—x

解析要使式子有意义，只需一%3>0,即x<0,所以^了=一可三=

答案A

2.函数凡r)=ln(/—x)的定义域为()

A.(0,1)B.[0,1]

C.(—8,0)U(l,+8)D.(—8,0]U[l,+°°)

解析由x>0,得x>l或x<0,故选C.

答案C

3.函数y=log]x,xW(0,8]的值域是()

2

A.[-3,+8)B.[3,+°o)

C.(—8,-3)D.(—8,3]

解析VxG(0,8],.Mogix〉logl8,

22

.♦.log]—3,...y2一3.故正确答案为A.

2

答案A

x~\~1

4.函数百的零点是()

A.lB.-l

C.+lD.O