2024年新教材高中数学综合测评含解析新人教B版必修第一册

PAGEPAGE12综合测评(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若集合M={0,1,2,3},N={x∈N|0≤x≤2},则M∩N中元素的个数为 ()A.0 B.4 C.2 D.32.命题p:∃x∈R,x2+2x+2≤0,则¬p为 ()A.∀x∈R,x2+2x+2>0B.∀x∈R,x2+2x+2≥0C.∃x∈R,x2+2x+2>0D.∃x∈R,x2+2x+2≥03.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是 ()A.f(π)>f(-3)>f(-2)B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-2)D.f(π)<f(-2)<f(-3)4.设函数y=f(x)有5个零点x1,x2,x3,x4,x5,且对一切实数x均满意f(x+4)+f(-x)=0,则x1+x2+x3+x4+x5= ()A.8 B.10 C.16 D.205.已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递增,则对实数a,b,a>b是f(a)>f(b)的 ()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.若函数g(x)=xf(x)的定义域为R,图像关于原点对称,在(-∞,0)上是减函数,且g(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是 ()A.(-∞,2) B.(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,2)7.已知x>0,y>0,且4x+y=xy,则x+y的最小值为 ()A.8 B.9 C.12 D.168.用符号[x]表示不超过x的最大整数,如[1.8]=1,[-1.3]=-2,设{x}=x-[x],若方程{x}+kx-1=0有且只有3个实数根,则正实数k的取值范围为 ()A.13,1C.14,1二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)9.若全集U={0,1,2,3,4},集合M={0,1,4},N={0,1,3},则 ()A.M∩N={0,1} B.∁UN={4}C.集合M的真子集个数为8D.M∩(∁UN)={4}10.下列函数中值域为R的有 ()A.f(x)=3x-1 B.f(x)=1C.f(x)=x2,x≤2-(x-11.已知f(x)=x+1x-1(x≠±1),A.f(x)+f(-x)=0 B.f(x)-1f(-C.f(x)·f(-x)=1 D.f(x)-f(-x)=012.下列函数在其定义域上既是减函数又是奇函数的有 ()A.f(x)=1x B.f(x)=-x3C.f(x)=x|x| D.f(x)=-x三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.已知全集U=R,集合A={x|x(x+2)<0},B={x||x|≤1},则如图所示的阴影部分表示的区间是.

14.已知函数f(x)=3x+1,x<2,x215.对于函数f(x)=1x(x>0)的定义域中随意x1,x2(x1≠x2)有如下结论①f(x1+x2)=f(x1)+f(x2);②f(x1x2)=f(x1)f(x2);③f(x1)-f(其中正确结论的序号是.

16.若关于x的不等式|ax-1|≤2在[-1,1]上恒成立,则实数a的取值范围为.

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设集合A={y|y=x2,2≤x≤2},B=xy=x+13-x,C={x|t+1<(1)求A∩B;(2)若A∩C=C,求实数t的取值范围.18.(12分)在①∃x∈R,x2+2ax+2-a=0,②存在区间A=(2,4),B=(a,3a),使得A∩B=⌀这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.问题:求解实数a,使得命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:都是真命题.

(若选择两个条件分别解答,则只按第一个解答计分)19.(12分)某小区要建一座八边形的休闲公园,如图所示,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形地域,安排在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为4200元/m2,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价为210元/m2,再在四个角上铺草坪,造价为80元/m2.受地域影响,AD的长最多能达到23m,其余的边长没有限制.(1)设总造价为S元,AD的长为xm,试求S关于x的函数关系式;(2)当x取何值时,S最小,并求出这个最小值.20.(12分)设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x+1.(1)求f(x)的解析式;(2)当x<0时,方程f(x)=x2+tx+2t仅有一实根(若有重根按一个计算),求实数t的取值范围.21.(12分)已知函数f(x)=x2+12x,a,b(1)若a+b=2,求证:f(a)+f(b)≥3;(2)若f(-a)=f(b),求a+b的最小值.22.(12分)已知函数y=x+tx有如下性质:假如常数t>0,那么该函数在(0,t]上是减函数,在[t,+∞)上是增函数(1)已知f(x)=4x2-12x-32x+1,x∈(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)=-x-2a,若对随意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立,求实数a的值.答案全解全析全书综合测评1.D2.A3.A4.B5.D6.C7.B8.B9.AD10.AC11.BC12.BD一、单项选择题1.D∵N={x∈N|0≤x≤2}={0,1,2},∴M∩N={0,1,2},∴M∩N中元素的个数为3.故选D.2.A因为命题p为存在量词命题,所以¬p为“∀x∈R,x2+2x+2>0”.故选A.3.A∵偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,∴在区间(-∞,0]上f(x)是减函数,f(-π)=f(π),∴f(π)>f(-3)>f(-2).故选A.4.B对于随意x∈R,函数f(x)满意f(x+4)+f(-x)=0,∴函数的图像关于点(2,0)对称,∴函数f(x)的零点关于直线x=2对称,∴函数f(x)的5个零点中有2对关于直线x=2对称,中间的零点是2,∴x1+x2+x3+x4+x5=2×4+2=10.故选B.5.D因为f(x)为偶函数,且在[0,+∞)单调递增,所以函数f(x)在(-∞,0]单调递减,且函数f(x)的图像关于y轴对称.若a>0>-a>b,依据函数单调性可得f(-a)<f(b),即f(a)<f(b),所以由a>b不能推出f(a)>f(b);若f(a)>f(b),依据函数的单调性可得|a|>|b|,也不能推出a>b.综上,a>b是f(a)>f(b)的既不充分也不必要条件.故选D.6.C函数g(x)=xf(x)的定义域为R,图像关于原点对称,所以g(x)是奇函数,所以g(-2)=-g(2)=0,g(0)=0.因为函数g(x)在(-∞,0)上是减函数,所以g(x)在(0,+∞)上也是减函数.作出函数g(x)=xf(x)的大致图像如图所示.由图可知,使得f(x)<0的x的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).7.B由4x+y=xy得4y+1x=1,则x+y=(x+y)4y+1x=4xy+yx+1+4≥24+5=9,当且仅当4xy=y8.B方程{x}+kx-1=0有且只有3个实数根等价于y={x}的图像与y=-kx+1的图像有且只有3个交点,当0≤x<1时,{x}=x,当1≤x<2时,{x}=x-1,当2≤x<3时,{x}=x-2,当3≤x<4时,{x}=x-3,以此类推,如图所示,则正实数k的取值范围为13,12二、多项选择题9.AD由题意,M∩N={0,1},A正确;∁UN={2,4},B不正确;集合M的真子集个数为23-1=7,C不正确;M∩(∁UN)={0,1,4}∩{2,4}={4},D正确.故选AD.10.AC对于A,函数f(x)=3x-1的值域为R,故A正确;对于B,函数f(x)=1x的值域为{x|x≠0},故B错误对于C,当x≤2时,函数f(x)=x2∈[0,+∞),当x>2时,f(x)=-(x-2)2∈(-∞,0),所以函数f(x)=x2,x≤2,-对于D,函数f(x)=|x|-2的值域为[-2,+∞),故D错误.11.BC∵f(x)+f(-x)=x+1x-1+-x+1∵f(x)-1f(-x)=x+1∵f(x)·f(-x)=x+1x-∴C符合题意;∵f(x)-f(-x)=x+1x-1-x-∴D不符合题意.故选BC.12.BD对于A,f(x)=1x在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上是奇函数,但在定义域上不是减函数,故不满意题意;对于B,f(x)=-x3在定义域R上是奇函数,且是减函数,故满意题意;对于C,f(x)=x|x|=x2,x≥0,-x2,x<0在定义域R上是奇函数,且是增函数,故不满意题意;对于D,f(x)=-x三、填空题13.答案(-2,-1)∪[0,1]解析因为集合A={x|x(x+2)<0},B={x||x|≤1},所以A={x|-2<x<0},B={x|-1≤x≤1},所以A∪B=(-2,1],A∩B=[-1,0),所以题图中阴影部分表示的区间为∁A∪B(A∩B)=(-2,-1)∪[0,1].14.答案-5解析∵f23=3×2∴ff23=f(3)=9+3a=-6,解得a15.答案②④解析①令x1=1,x2=2,则f(x1+x2)=13≠f(x1)+f(x2)=32,故①②对于随意x1,x2(x1≠x2),有f(x1x2)=1x1x2=f(x1)f(x2),③f(x1)-f(x④fx1+x22-f(x1)+f则正确结论的序号是②④.16.答案[-1,1]解析∵不等式|ax-1|≤2,∴-2≤ax-1≤2,∴-1≤ax≤3,x∈[-1,1].若a>0,则-a≤ax≤a,∴a≤3,-a≥若a=0,则-1≤0≤3,满意条件;若a<0,则a≤ax≤-a,∴-a≤3,a≥-综上,实数a的取值范围是[-1,1].四、解答题17.解析(1)∵A={y|y=x2,2≤x≤2},∴A={y|2≤y≤4}. (2分)∵B=xy∴B={x|0≤x<3}, (4分)∴A∩B={x|2≤x<3}. (5分)(2)∵A∩C=C,∴C⊆A, (6分)①若C是空集,则2t≤t+1,解得t≤1,符合题意;②若C为非空集合,则t解得1<t≤2. (9分)综上所述,实数t的取值范围为t≤2. (10分)18.解析选条件①.由命题p为真,可得不等式x2-a≥0在x∈[1,2]上恒成立. (1分)因为x∈[1,2],所以1≤x2≤4,所以a≤1. (3分)由命题q为真,可得方程x2+2ax+2-a=0有解, (5分)所以判别式Δ=4a2-4(2-a)≥0,所以a≥1或a≤-2. (8分)又因为p,q都为真命题,所以a≤-2或a=1. (10分)所以实数a的取值范围是{a|a≤-2或a=1}. (12分)选条件②.由命题p为真,可得不等式x2-a≥0在x∈[1,2]上恒成立. (1分)因为x∈[1,2],所以1≤x2≤4,所以a≤1. (3分)因为集合B=(a,3a),所以a>0, (5分)由A∩B=⌀得a≥4或3a≤2,即0<a≤23或a≥4. (8分又因为p,q都为真命题,所以0<a≤23. (10分所以实数a的取值范围是a|0<a≤219.解析(1)设AM=zm,则4zx+x2=200, (2分)∴z=200-x24∴S=4200x2+210×(200-x2)+80×2×200-x=4000x2+100x2+38000(0<x≤23(2)∵x2+100x2≥20当且仅当x2=100x2,即x=10时,等号成立, (10∴当x=10时,S最小,最小值为4000×20+38000=118000. (12分)20.解析(1)由题意得,当x=0时,f(x)=0; (2分)当x<0时,-x>0,则f(-x)=2(-x)+1=-2x+1,即f(x)=-f(-x)=-(-2x+1)=2x-1. (4分)综上,f(x)=2x+1,(2)当x<0时,方程f(x)=x2+tx+2t仅有一实根,即2x-1=x2+tx+2t的负根仅有一个, (7分)即x2+(t-2)x+2t+1=0的负根仅有一个,设g(x)=x2+(t-2)x+2t+1,g(x)=0的两实根分别为x1,x2,当x1<0<x2时,g(0)<0,即2t+1<0,解得t<-12,符合题意当x1<0=x2时,g(0)=0,即t=-12,此时x2-52解得x=0或x=52,不符合题意,舍去当x1=x2<0时,Δ解得t=12,符合题意. (10分)综上,实数t的取值范围是t=12或t<-12. (12分21.解析(1)证明:∵a+b=2,且a,b均为正数,∴ab≤a+b22=1,当且仅当a=b=1时,取等号令t=ab,则0<t≤1,∴f(a)+f(b)=a2+b2+12a+12b=4-2ab+1ab=4-2t+1t,令h(t)=4-2t+1t,易知h(t)∴h(t)≥h(1)=4-2+1=3,即f(a)+f(b)≥3. (6分)(2)∵f(-a)=f(b),∴a2-12a=b2+∴a2-b2=a+∵a,b均为正数,∴a+b≠0,∴a-b=1