2024-2025学年高中数学第三章概率单元综合检测课时跟踪训练含解析新人教A版必修3VIP

PAGE单元综合检测(三)时间：120分钟满分：150分一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下列事务是随机事务的是 ()①同种电荷，相互排斥；②明天是晴天；③自由下落的物体作匀速直线运动；④函数y＝ax(a＞0且a≠1)在定义域上是增函数．A．①③ B．①④C．②④ D．③④解析：②④是随机事务；①是必定事务；③是不行能事务．答案：C2．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是P1、P2、P3，则 ()A．P1＝P2＜P3 B．P1＜P2＜P3C．P1＜P2＝P3 D．P3＝P2＜P1解析：先后抛掷两颗骰子的点数共有36个基本领件：(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，并且每个基本领件都是等可能发生的．而点数之和为12的只有1个：(6，6)；点数之和为11的有2个：(5，6)，(6，5)；点数之和为10的有3个：(4，6)，(5，5)，(6，4)，故P1＜P2＜P3.答案：B3．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品至少有一件是次品”．则下列结论正确的是 ()A．A与C互斥 B．任何两个均互斥C．B与C互斥 D．任何两个均不互斥解析：三件产品至少有一件次品包含三件产品全是次品，所以B、C不互斥，而A与C对立且互斥．答案：A4．下列说法正确的是 ()A．由生物学知道生男生女的概率均约为eq\f(1,2)，一对夫妇生两个孩子，则肯定为一男一女B．一次摸奖活动中，中奖概率为eq\f(1,5)，则摸5张票，肯定有一张中奖C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到的可能性大D．10张票中有1张有奖，10人去摸，无论谁先摸，摸到有奖票的概率都是eq\f(1,10)答案：D5．从一批羽毛球中任取一个，假如其质量小于4.8g的概率是0.3，质量不小于4.85g的概率是0.32，那么质量在[4.8，4.85)范围内的概率是 ()A．0.62 B．0.38C．0.70 D．0.68解析：记“取到质量小于4.8g”为事务A，“取到质量不小于4.85g”为事务B，“取到质量在[4.8，4.85)范围内”为事务C.易知事务A，B，C互斥，且A∪B∪C为必定事务．所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.3＋0.32＋P(C)＝1，即P(C)＝1－0.3－0.32＝0.38.答案：B6．从含有3个元素的集合的子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率为 ()A.eq\f(3,10) B.eq\f(1,12)C.eq\f(45,64) D.eq\f(3,8)解析：设3个元素分别为a、b、c.全部子集共8个，含有两个元素的子集共3个．答案：D7．在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事务“－1≤logeq\s\do9(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”发生的概率为 ()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析：不等式－1≤logeq\s\do9(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1可化为logeq\s\do9(\f(1,2))2≤logeq\s\do9(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤logeq\s\do9(\f(1,2))eq\f(1,2)，即eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2，解得0≤x≤eq\f(3,2)，故由几何概型的概率公式得P＝eq\f(\f(3,2)－0,2－0)＝eq\f(3,4).答案：A8．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率为 ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(2,5)解析：记2个红球分别为a1，a2，2个白球分别为b1，b2，则基本领件空间为{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，(b1，b2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，b1)，(b2，b2)}，共16个基本领件．记事务A＝“取出的两个球同色”＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a2，a1)，(a2，a2)，(b1，b1)，(b1，b2)，(b2，b1)，(b2，b2)}共8个基本领件．所以P(A)＝eq\f(8,16)＝eq\f(1,2).答案：A9．如图的矩形长为5、宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为 ()A.eq\f(23,5) B.eq\f(23,50)C．10 D．不能估计解析：利用几何概型的概率计算公式，得阴影部分的面积约为eq\f(138,300)×(5×2)＝eq\f(23,5).答案：A10．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以eq\f(7,10)为概率的是 ()A．都不是一等品B．恰有一件一等品C．至少有一件一等品D．至多有一件一等品解析：从5件产品中任取2件，共有10种可能结果，2件都是二等品的可能结果只有1种，2件都是一等品的可能结果有3种，一件一等品、一件二等品的可能结果有6种．答案：D11．在区间(0，1)内任取一个数a，能使方程x2＋2ax＋eq\f(1,2)＝0有两个相异实根的概率为 ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(2－\r(2),2)解析：方程有两个相异实根的条件是Δ＝(2a)2－4×1×eq\f(1,2)＝4a2－2>0，解得|a|>eq\f(\r(2),2)，又a∈(0，1)，所以eq\f(\r(2),2)<a<1，区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))的长度为1－eq\f(\r(2),2)，而区间(0，1)的长度为1，所以方程有两个相异实根的概率为eq\f(1－\f(\r(2),2),1)＝eq\f(2－\r(2),2).答案：D12．小莉与小明一起用A，B两枚匀称的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)玩嬉戏，以小莉掷的A立方体朝上的数字为x，小明掷的B立方体朝上的数字为y来确定点P(x，y)，那么他们各掷一次所确定的点P(x，y)落在已知抛物线y＝－x2＋4x上的概率为 ()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,12) D.eq\f(1,18)解析：依据题意，两人各掷骰子一次，每人都有六种可能性，则(x，y)的状况有6×6＝36(种)，即P点有36种可能，而y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，即(x－2)2＋y＝4，易得在抛物线上的点有(2，4)，(1，3)，(3，3)共3个，因此满意条件的概率为eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).答案：C二、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．乘客在某电车站等待26路或16路电车，该站停靠16，22，26或31四路电车，假定各路电车停靠的概率一样，则乘客期盼26路或16路电车首先停靠的概率等于__________．解析：由互斥、对立事务的概率公式可计算．答案：0.514．向边长为a的正三角形内投一点，点落在三角形内切圆内的概率是__________．解析：点落在三角形内的每一处是一个基本领件，即基本领件总区域的面积为MΩ＝eq\f(\r(3),4)a2.设“点落在三角形的内切圆内”为事务A，则P(A)＝eq\f(Ma,MΩ)＝eq\f(\r(3),9)π.答案：eq\f(\r(3),9)π15．在区间(0，1)中随机地取出两个数，则两数之和小于eq\f(6,5)的概率是__________．解析：设两数为x、y，则有序实数对(x，y)满意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜x＜1，,0＜y＜1，,0＜x＋y＜\f(6,5)，))如下图所示的阴影部分．由图知，点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,5)))，AC＝BC＝eq\f(4,5)，∴S阴＝1－eq\f(1,2)×eq\f(4,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(17,25).∴P＝eq\f(S阴,S正)＝eq\f(17,25)，故填eq\f(17,25).答案：eq\f(17,25)16．有以下说法：①一年按365天计算，两人生日相同的概率是eq\f(1,365)；②买彩票中奖的概率为0.001，那么买1000张彩票就肯定能中奖；③乒乓球赛前，确定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数字中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公允的；④昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率是90%”是错误的．依据我们所学的概率学问，其中说法正确的序号是__________．解析：依据“概率的意义”求解．答案：①③三、解答题：(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(10分)随机地排列数字1，5，6，得到一个三位数，计算下列事务的概率．(1)所得的三位数大于400；(2)所得的三位数是偶数．解析：运用1，5，6三个数字可以排成156，165，516，561，615，651，共6个不同的三位数．(1)大于400的三位数的个数为4，所以P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)；(2)三位数为偶数的有156，516，共2个，所以相应的概率为P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).18．(12分)爸爸和亮亮用4张扑克牌(方块2，黑桃4，黑桃5，梅花5)玩嬉戏，他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，爸爸先抽，亮亮后抽，抽出的牌不放回．(1)若爸爸恰好抽到了黑桃4.①请把下面这种状况的树状图绘制完整；②求亮亮抽出的牌的牌面数字比4大的概率．(2)爸爸、亮亮约定，若爸爸抽出的牌的牌面数字比亮亮的大，则爸爸胜；反之，则亮亮胜．你认为这个嬉戏是否公允？假如公允，请说明理由；假如不公允，更换一张扑克牌使嬉戏公允．解析：(1)①树状图：②由①可知亮亮抽出的牌的牌面数字比4大的概率是eq\f(2,3).(2)不公允，理由如下：爸爸抽出的牌的牌面数字比亮亮的大有5种状况，其余均为小于等于亮亮的牌面数字，所以爸爸胜的概率只有eq\f(5,12)，明显对爸爸来说是不公允的．只需把黑桃5改成黑桃6即可使这个嬉戏公允(答案不唯一)．19．(12分)在圆O：x2＋y2＝1的某始终径上随机地取一点Q.试求过点Q且与该直径垂直的弦的长度不超过1的概率．解析：如图所示：记事务过点Q且与该直径垂直的弦的长度超过1为A.设EF＝1则在Rt△OQE中，OE2＝OQ2＋QE2，1＝OQ2＋eq\f(1,4)，∴OQ＝eq\f(\r(3),2).由几何概型的概率公式得P(A)＝eq\f(\f(\r(3),2)×2,2)＝eq\f(\r(3),2).而过点Q且与该直径垂直的弦的长度不超过1的概率为1－eq\f(\r(3),2).20．(12分)有7位歌手(1至7号)参与一场歌颂竞赛，由500名大众评委现场投票确定歌手名次．依据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别ABCDE人数5010015015050(1)为了调查评委对7位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表.组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解析：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：组别ABCDE人数5010015015050抽取人数36993(2)记从A组抽到的3位评委分别为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6位评委分别为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手，从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的全部结果如图：由树状图知全部结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝eq\f(4,18)＝eq\f(2,9).21．(12分)(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过该圆内接正三角形的边长eq\r(3)的概率是多少？(2)在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内接正三角形的边长eq\r(3)的概率是多少？(3)在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内接正三角形边长eq\r(3)的概率是多少？解析：(1)设事务A＝“弦长超过eq\r(3)”，弦长只与它跟圆心的距离有关，∵弦垂直于直径，∴当且仅当它与圆心的距离小于eq\f(1,2)时才能满意条件，由几何概率公式知P(A)＝eq\f(1,2).(2)设事务B＝“弦长超过eq\r(3)”，弦被其中点惟一确定，当且仅当其中点在半径为eq\f(1,2)的同心圆内时，才能满意条件，由几何概率公式知P(B)＝eq\f(1,4).(3)设事务C＝“弦长超过eq\r(3)”，固定一点A于圆周上，以此点为顶点作内接正三角形ABC，明显只有当弦的另一端点D落