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“经济学的数量分析方法”期末试题（2013.1.16）答案1、（20分）一个生产者，以r的价格租赁机器K，以w的工资雇佣劳动L，生产产出Q，其中。（1）给定产量为Q时，求其成本最小化的条件要素需求。即求解最优化问题（2）计算条件要素需求的价格效应矩阵。（3）证明其拉格朗日乘子为：，说明拉格朗日乘子的经济含义。解：（1）拉格朗日函数L为L则拉格朗日条件为r-w--可解得K=L=λ=则成本最小化的条件要素需求为K=w2Q（2）条件要素需求的价格效应矩阵为∂K（3）由（1）知拉格朗日乘子λ=2wrQw+r，把为K=w2C则∂C(Q)∂Q=2wrQw+r=λ，拉格朗日乘子表示的是“边际成本”：当产量增加1单位时，最优成本增加了λ单位。λ2、（10分）对于单一产出的生产技术，设生产函数是。证明：生产集是凸集的充分必要条件是生产函数是凹函数。（注：与习题五第4题相类似）解：（1）充分性：对任意的x1,y1,(x2,yf[λ即[λx1+（2）必要性：对任意的x1,x2∈Enλ即有f[λ则生产函数fx是凹函数。3.（20分）分别用图解法和库恩-塔克条件求解下面不等式约束最优化问题：（P）解：规划（P）等价于(（1）库恩塔克条件法：令φ其中u1(KT)若u1=0，则由(1)和(2)有x1=x2-1，代入(3)，则有2x2-12+1≤0，此不可能，故u1>0,g1x=1-x1-12-x22=0；同理，可证得u2>0则根据(KT)解得(P)的最优解和广义拉格朗日乘子为x（2）图解法：4、（20分）求解下列优化问题：（1）maxy解：（1）令Ft,y'F则有y其中C1y同理，C2为待定常数。由y0=1y又由yT-又由水平终结线的横截性条件有[F-[即C1=12T，代入(1)，可解得即最优路径为y（2）maxu（2）令汉密尔顿函数H由最大值原理有∂Hyλλ由(1)可得u=λ，代入(2)可得λ由(3)可得y由(6)可得y把(6)和(7)代入(5)，可得二阶微分方程λ由r2-2=0解得λ=其中C1,Cλ则由(6)有y由y02C可解得CC则最优路径为y5、（30分）假定某经济的资本积累方程为：，其中总量生产函数是新古典的，表示总资本存量，表示总人口，表示技术进步。假定人口增长率和技术进步率是外生给定的。试将上述总量形式的资本积累方程改写成按有效劳动平均的人均项的形式（即用和描述的资本积累方程）；（2）假定具有无限寿命的代表性消费者的即期效用函数为。假定时间偏好因子。试将上述问题写成代表性消费者所面临的跨期最优化问题；（3）考虑（2）中的优化问题，试推导出和的运动方程，并解释消费行为和资本积累行为的稳态和转移动态特征。（注：可参考蒋中一《动态最优化基础》9.3，pp.308）解：（1）由F(K,AL)是新古典的，令F(K,AL)k即资本积累方程的有效劳动平均的人均项形式为k社会的总即期效用为Uc0令L0maxs.t.k现值汉密尔顿函数为H由最大值原理有∂km由(1

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