北师大版八年级数学下册全册教学课件

北师大版八年级下册数学全册优质课件2024/8/27等腰三角形(1)三角形的证明2024/8/271.两直线被第三条直线所截,如果________相等,那么这两条直线平行;2.两条平行线被第三条直线所截,________相等;3.____________对应相等的两个三角形全等;（SAS）4.____________对应相等的两个三角形全等;（ASA）5._____对应相等的两个三角形全等;（SSS）

你能证明下面的推论吗？推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS）耐心填一填，一锤定音！基本事实:同位角同位角两边及其夹角两角及其夹边三边2024/8/27用心想一想，马到功成

推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS）已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求证：△ABC≌△DEF.证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E)∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）∴∠C=∠F（等量代换）∵BC=EF（已知）∴△ABC≌△DEF（ASA）FEDCBA2024/8/27议一议,做一做(1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?尽可能回忆出来.(2)你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?

如图，先自己折纸观察探索并写出等腰三角形的性质，然后再小组交流，互相弥补不足.→→DCBADCBAD(C)BA2024/8/27定理:等腰三角形的两个底角相等.(等边对等角)已知：如图,在△ABC中,AB=AC.求证：∠B=∠C.证明：取BC的中点D,连接AD.在△ABD和△ACD中∵AB=AC,BD=CD,AD=AD∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）CBAD证法一:等腰三角形的性质一题多解2024/8/27等腰三角形的性质已知：如图,在△ABC中,AB=AC.求证：∠B=∠C.证明：作△ABC顶角∠A的角平分线AD.在△ABD和△ACD中∵AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD∴△ABD≌△ACD(SAS)∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）CBAD一题多解证法二:定理:等腰三角形的两个底角相等.(等边对等角)2024/8/27等腰三角形的性质已知：如图,在△ABC中,AB=AC.求证：∠B=∠C.证明：在△ABC和△ACB中∵AB=AC,∠A=∠A,AC=AB,∴△ABC≌△ACB(SAS)∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）CBA一题多解证法三:点拨：此题还有多种证法，不论怎样证，依据都是全等的基本性质。定理:等腰三角形的两个底角相等.(等边对等角)2024/8/27想一想CBAD

在上面的图形中,线段AD还具有怎样的性质?为什么?由此你能得到什么结论?

推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.(三线合一)2024/8/27

1.等腰三角形的两个底角相等；2.等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合；

等腰三角形的性质2024/8/27

2.如图,在△ABD中,C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD，（1）求证：△ABD是等腰三角形;（2）求∠BAD的度数.大胆尝试，练一练！解：（1）∵AC⊥BD，AC=BC=CD，∴∠ACB=∠ACD=90°．∴△ACB≌△ACD．∴AB=AD．∴△ABD是等腰三角形．（2）∵AC⊥BD，AC=BC=CD，∴△ACB、△ACD都是等腰直角三角形．∴∠B=∠D=45°．∴∠BAD=90°．2024/8/27

1.通过折纸活动获得三个定理，均给予了严格的证明，为今后解决有关等腰三角形的问题提供了丰富的理论依据。2.体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证明的必要性。课堂小结,畅谈收获：2024/8/27等腰三角形(2)三角形的证明2024/8/27想一想,做一做

在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗?

作图观察,我们可以发现：等腰三角形两底角的平分线相等；两腰上的高、中线也分别相等．

我们知道，观察或度量是不够的，感觉不可靠．这就需要以公理和已证明的定理为基础去证明它，让人们坚定不移地去承认它，相信它．下面我们就来证明上面提到的线段中的一种：等腰三角形两底角的平分线相等．2024/8/27已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线．例1.证明:等腰三角形两底角的平分线相等.用心想一想，马到功成21EDCBA求证：BD=CE．证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．∵∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，∴∠1=∠2．在△BDC和△CEB中，∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．∴△BDC≌△CEB(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．2024/8/27已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线．例1.证明:等腰三角形两底角的平分线相等.用心想一想，马到功成43EDCBA求证：BD=CE．一题多解证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵∠3=∠ABC，∠4=∠ACB，∴∠3=∠4．在△ABD和△ACE中，∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．∴△ABD≌△ACE(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．2024/8/27大胆尝试，练一练！已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的高．1.证明:等腰三角形两腰上的高相等.求证：BD=CE．EDCBA证明：∵AB=AC，BD、CE是高，∴∠ADB=∠AEC=90°，在△ABD和△ACE中，∠ADB＝∠AEC，∠A＝∠A，AB＝AC，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴BD=CE．分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两个三角形的全等．2024/8/27大胆尝试，练一练！已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的中线．2.证明:等腰三角形两腰上的中线相等.求证：BD=CE．EDCBA分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两个三角形的全等．证明：∵AB=AC，BD、CE是△ABC的中线，AB＝AC，∴AE=AD，在△ABD和△ACE中，AE=AD，∠A＝∠A，AB＝AC，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴BD=CE．2024/8/27

刚才，我们只是发现并证明了等腰三角形中比较特殊的线段(角平分线、中线、高)相等，还有其他的结论吗?你能从上述证明的过程中得到什么启示?把腰二等分的线段相等，把底角二等分的线段相等．如果是三等分、四等分……结果如何呢?想一想,做一做2024/8/27议一议1．在等腰三角形ABC中，(1)如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE吗?如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB呢?由此，你能得到一个什么结论?(2)如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗?如果AD=AC，AE=AB呢?由此你得到什么结论?2024/8/27小结

（1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE.（2）在△ABC中，如果AB=AC，AD=AC，AE=AB，那么BD=CE.

简述为：（1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么BD=CE.（2）在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE.2024/8/271.求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC。求证：∠A=∠B=∠C=60°.证明：在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角).同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代换）.又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）∴∠A=∠B=∠C＝60°.大胆尝试，练一练！CBA2024/8/27随堂练习及时巩固如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,求证:AE=CDABCDE证明:∵△ABC和△BDE都是等边三角形∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD∴△ABE≌△CBD∴AE=CD2024/8/27课时小结

1.等腰三角形中还有那些相等的线段？2.等边三角形有哪些性质？3.本节课你学到的探索问题的方法是什么？2024/8/27等腰三角形(3)三角形的证明2024/8/27想一想问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？问题2.我们是如何证明上述定理的？问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？2024/8/27

前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?议一议已知：在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC．证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D．则∠ADB=∠ADC．∵在△ABD与△ACD中，∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（AAS），∴AB=AC．CBA分析：只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了.作角A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形．2024/8/27定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(等角对等边.)等腰三角形的判定定理：在△ABC中∵∠B＝∠C（已知），∴AB=AC（等角对等边）.几何的三种语言ACB2024/8/27练习1如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个等腰三角形给予证明．ABCD随堂练习

证明：答案不唯一，可找一个等腰△ABC．在△ABC中，∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=180°-（72°+36°）=72°．∵∠C=∠ABC，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形。2024/8/27练习2：已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，

AD∥BC且∠1=∠2．求证：AB=AC．随堂练习解：∵AD∥BC，（已知）∴∠1=∠B，（两直线平行，同位角相等）∠2=∠C，（两直线平行，内错角相等）∵∠1=∠2，（已知）∴∠B=∠C，∴AB=AC．（等角对等边）2024/8/27想一想

小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?

我们来看一位同学的想法：如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC你能理解他的推理过程吗?CBA2024/8/27

再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法.假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但△ABC中∠A+∠B+∠C=180°“∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有两个直角．上面的证法有什么共同的特点呢?

在上面的证法中，都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．我们把它叫做反证法．2024/8/27

隋堂练习11.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角已知：△ABC．求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，设∠A=∠B=90°，则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A=∠B=90°不成立．所以一个三角形中不能有两个角是直角．2024/8/27活动与探究1.如图，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，AC=18，求△AMN的周长.

分析：要求△AMN的周长，则需求出AM+MN+AN，而这三条边都是未知的．由已知AB=12，AC=18，可使我们联想到△AMN的周长需转化成与AB、AC有关系的形式．而已知中的角平分线和平行线告诉我们图形中有等腰三角形出现，因此，找到问题的突破口．NMCBAD2024/8/27例1.证明:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.用反证法来证:证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假设不成立,原命题成立,即这五个数中至少有下个大于或等于1/5.2024/8/272.现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数?36°

90°

108°活动与探究2024/8/27（1）本节课学习了哪些内容？（2）等腰三角形的判定方法有哪几种？（3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系．（4）举例谈谈用反证法说理的基本思路课堂小结2024/8/27等腰三角形(4)三角形的证明2024/8/27

(1)一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形?(2)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?把你的证明思路与同伴交流．想一想分析：有一个角是60°，在等腰三角形中有两种情况：(1)这个角是底角；(2)这个角是顶角．2024/8/27定理：有一个角是60°.的等腰三角形是等边三角形．等边三角形的判定定理：2024/8/27求证：三个角都相等的三角形是等边三角形．已知：△ABC中，∠A=∠B=∠C．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠A=∠B，∴BC=AC(等角对等边)．又∵∠A=∠C，∴BC=AB(等角对等边)．∴AB=BC=CA，即△ABC是等边三角形．

随堂练习CBA2024/8/27性质判定的条件等腰三角形(含等边三角形)等边对等角等角对等边“三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高互相重合有一角是60°的等腰三角形是等边三角形等边三角形三个角都相等，且每个角都是60°三个角都相等的三角形是等边三角形等边三角形的性质和判定：2024/8/27

用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?说说你的理由．由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?你能证明你的结论吗?做一做D(1)CBA(2)BCAD2024/8/27

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=AB．CBAD证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD．

∵∠ACB=90°∴∠ACD=90°∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)．∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)．∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．∴BC=BD=AB．2024/8/27等腰三角形的底角为15°腰长为2a，求腰上的高．

[例题]已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高；求：CD的长.CBAD解：∵∠ABC=∠ACB=15°∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°∴CD=AC=×2a=a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)．

2024/8/27

一个问题“反过来”思考，就可能形成一个真命题．你能举个例子吗?例如“等边对等角”反过来“等角对等边”也是真命题；“等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°”，反过来“三个角都相等的三角形是等边三角形”．但有些命题“反过来”就不成立．例“对顶角相等”反过来“相等的角是对顶角”就不成立．想一想2024/8/27DCBA已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB．求证：∠BAC=30°证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD.∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．又∵AC=AC．∴△ACB≌△ACD(SAS)．∴AB=AD．∵CD=BC，∴BC=BD．又∵BC=AB，∴AB=BD．∴AB=AD=BD，即△ABD是等边三角形．∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．2024/8/27试一试

命题“在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”是真命题吗？如果是，请你证明它．

是真命题，证明如下：2024/8/27解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，∴

BC=AB，DE=AD．

又AD=AB，∴

DE=AD=1.85（m）

．

∴

BC=3.7（m）．答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m．

性质运用

例如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、DE要多长？ABCDE2024/8/27直角三角形(1)三角形的证明2024/8/27

一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少?B1C1呢?用心想一想，马到功成解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10cm，∴BC=0.5AB=5cm．∵CBl⊥AB，∴∠B+∠BCBl=90°

又∵∠A+∠B=90°∴∠BCBl=∠A=30°

在Rt△ACBl中，BBl=0.5BC=2．5cm．∴AB1=AB-BBl=10-2.5=7.5cm．∴在Rt△ABlC中，∠A=30°∴B1C1=0.5ABl=3．75cm．2024/8/27用心想一想，马到功成一般的直角三角形的三边具有什么样的性质呢?勾股定理在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方.你会证明吗?证明方法:数方格和割补图形的方法你会利用公理及由其推导出的定理证明吗?

2024/8/27勾股定理的证明已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c．求证：证明：延长CB至D，使BD=b，作∠EBD=∠A，并取BE=c，连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED．∴∠BDE=90°，ED=a．∴四边形ACDE是直角梯形．

∴S梯形ACDE=(a+b)(a+b)=(a+b)．

∴∠ABE=180°一∠ABC一∠EBD=180°—90°=90°，

AB=BE．∴S△ABE=∵S梯形ACDE=S△ABE+S△ABC+S△BED，∴即∴2024/8/27两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理直角三角形中,在反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗?2024/8/27逆定理的证明已知：如图，在△ABC中，求证：△ABC是直角三角形．证明：作Rt△DEF，使∠D=90°，DE=AB，DF=AC(如图)，则.(勾股定理)．∵DE=AB，DF=AC∴∴BC=EF∴△ABC≌△DEF（SSS）∴∠A=∠D=90°(全等三角形的对应角相等)．因此，△ABC是直角三角形．2024/8/27勾股定理的逆定理

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?

勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．在前面的学习中还有类似的命题吗?

2024/8/27

在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题．互逆命题原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题!!

2024/8/27大胆尝试，练一练！说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:(1)四边形是多边形；(2)两直线平行，同旁内角互补；(3)如果ab=0，那么a=0b=0解：(1)多边形是四边形．原命题是真命题，而逆命题是假命题．

(2)同旁内角互补，两直线平行．原命题与逆命题同为真命题．

(3)如果a=0，b=0，那么ab=0．原命题是假命题，而逆命题是真命题．2024/8/271.了解了勾股定理及逆定理的证明方法;2.了解了逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立;3.了解了逆定理的概念，知道并非所有的定理都有逆命题.

2024/8/27直角三角形(2)三角形的证明2024/8/27原命题是真命题，而且逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理.其中逆命题成为原命题(即原定理)的逆定理．

互逆定理大胆尝试！举例说出我们已学过的互逆定理.

2024/8/27用心想一想，马到功成

小明在证明“等边对等角”时，通过作等腰三角形底边的高来证明。过程如下：已知：在△ABC中，AB=AC．求证：∠B=∠C．证明：过A作AD⊥BC，垂足为C，∴∠ADB=∠ADC=90°

又∵AB=AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD．

∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）你同意他的作法吗？DCBA2024/8/27

小颖说：推理过程有问题．他在证明△ABD≌△ACD时，用了“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”．而我们在前面学习全等的时候知道，两个三角形，如果有两边及其一边的对角相等，这两个三角形是不一定全等的．如图所示：在△ABD和△ABC中，AB=AB，∠B=∠B，AC=AD，但△ABD与△ABC不全等．CDBA2024/8/27

小刚说：小颖这里说的∠B是锐角，如果∠B是直角，即如果其中一边所对的角是直角，这两个三角形就是全等的．我认为小明同学的证明无误．

已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′A'B'C'CBA证明：在Rt△ABC中，AC2=AB2－BC2(勾股定理)．又∵在Rt△A'B'C'中，A'C'2=A'B'2－B'C'2(勾股定理)AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'．∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SSS)．2024/8/27

定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．直角三角形全等的判定定理2024/8/27判断下列命题的真假，并说明理由：(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；(2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等；(3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；(4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．开拓创新试一试2024/8/27放开手脚做一做你能用三角尺平分一个已知角吗?

如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是么AOB的平分线．NMPOBA2024/8/27议一议

如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌BDA，还需要什么条件?把它们分别写出来．DCAOB

从添加角来说，可以添加∠CBA=∠DAB或∠CAB=∠DBA；从添加边来说，可以是AC=BD，也可以是BC=AD．2024/8/27议一议

如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌BDA，还需要什么条件?把它们分别写出来．DCAOB若OA=OB，则△ACB≌△BDA．证明：在Rt△ACO和Rt△BDO中∵AO=BO，∠ACB=∠BDA=90°∠AOC=∠△BOD(对顶角相等)，∴△ACO≌△BDO(AAS)．∴AC=BD．又∵AB=AB，∴△ACB≌△BDA(HL)

如果把刚才添加的条件“OA=OB”改写成“OC=OD”，也可以使△ACB≌△BDA．2024/8/27

如图，在△ABC和△A'B'C'中，CD，C'D'分别分别是高，并且AC=A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．求证：△ABC≌△A'B'C'．用心想一想，马到功成'CCADB'''BDA证明：∵CD、C‘D’分别是△ABC和△A'B'C'的高∴∠ADC=∠A'D'C'=90°．在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中，AC=A'C'，CD=C'D'，∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'(HL)．∴∠A=∠A'(全等三角形的对应角相等)．在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，AC=A'C'，∠ACB=∠A'C'B'，∴△ABC≌△A'B'C'(ASA)．2024/8/27线段的垂直平分线(1)三角形的证明2024/8/27用心想一想，马到功成

如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?AB2024/8/27线段垂直平分线的性质：

定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．求证：PA=PB．NAPBCM证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC，PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS)；∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．2024/8/27用心想一想，马到功成你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?

如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．2024/8/27已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．证明：过点P作已知线段AB的垂线PC，PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)．∴AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上．CBPA2024/8/27证法二：取AB的中点C，过P,C作直线．∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．又∵∠PCA+∠PCB=180°，∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB∴P点在AB的垂直平分线上．CBPA已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．一题多解2024/8/27CBPA已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．一题多解证法三：过P点作∠APB的角平分线交AB于点C．∵AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC，∴△APC≌△BPC(SAS)．∴AC=BC，∠PCA=∠PCB

又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°∴P点在线段AB的垂直平分线上．2024/8/27线段垂直平分线的判定：

定理：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．2024/8/27想一想，做一做已知：如图1-18，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC．证明：延长AO交BC于点D，在△ABO和△ACO中，AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO（SSS），∴∠BAO=∠CAO，∵AB=AC，∴AO⊥BC．BD=CD.即直线AO垂直平分线段BC．2024/8/27课堂小结,畅谈收获：一、线段垂直平分线的性质定理．二、线段垂直平分线的判定定理．三、用尺规作线段的垂直平分线．

2024/8/27线段的垂直平分线(2)三角形的证明2024/8/27

习题1．7的第1题：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作完此题时你发现了什么?

用心想一想，马到功成

发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．2024/8/27放开手脚做一做

剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论?与同伴交流．QPNMFECBAO2024/8/27

证明结论：三角形三边的垂直平分线交于一点.用心想一想，马到功成已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点O.求证：O点在AC的垂直平分线上．证明：连接AO，BO，CO．

∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴OA=OB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．同理OB=OC．∴OA=OC．∴O点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)．∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点OCBAO2024/8/27

定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。三角形三边的垂直平分线的性质定理2024/8/27议一议

(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?已知：三角形的一条边a和这边上的高h求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等．

1ADCBAah()DCBAah1ADCBAah1A2024/8/27议一议

(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?

这样的等腰三角形也有无数多个．根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．如图所示，这些三角形不都全等．2024/8/27议一议

(3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?

这样的等腰三角形应该只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．

你能尝试着用尺规作出这个三角形吗?2024/8/27放开手脚做一做已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．已知：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h作法：1．作BC=a；

2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；

3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；

4．连接AB、AC∴△ABC就是所求作的三角形NMDCBahA2024/8/27课内拓展延伸求作等腰直角三角形，使它的斜边等于已知线段．已知：线段a．求作：等腰直角三角形ABC使BC=a．作法：1．作线段BC=a

2．作线段BC的垂直平分线L，交BC于点D．

3．在L上作线段DA，使DA=DB．

4．连接AB，AC．∴△ABC为所求的等腰直角三角形．2024/8/27角平分线(1)三角形的证明2024/8/27

还记得角平分线上的点有什么性质吗?你是怎样得到的?用心想一想角平分线上的点到角两边的距离相等．2024/8/27已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．放开手脚做一做证明：∵∠1=∠2，OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)21EDCPOBA2024/8/27角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．21EDCPOBA2024/8/27如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．你能写出这个定理的逆命题吗?用心想一想，马到功成这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．这是一个真命题吗?2024/8/27已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在∠AOB的角平分线上．用心想一想，马到功成证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°．在Rt△ODP和Rt△OEP中

OP=OP，PD=PE∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL)．∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．21EDCPOBA2024/8/27

例题：在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的E两边距离相等的点在这个角的平分线上）.又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°.在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，∴DE=2AD=2×10=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.2024/8/27角平分线的判定定理

在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．2024/8/27课堂小结,畅谈收获：(一)角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等．(二)角平分线的判定定理在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．(三)用尺规作角平分线．2024/8/27角平分线(2)三角形的证明2024/8/27三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?用心想一想，马到功成发现：三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等．2024/8/27放开手脚做一做

剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论?与同伴交流．DFEMNCBAP2024/8/27用心想一想，马到功成DEFMNCBAP证明：三角形三条角平分线相交于一点．

已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，求证：P点在∠BAC的角平分线上．证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上∴PD=PE同理：PE=PF．∴PD=PF．∴点P在∠BAC的平分线上∴△ABC的三条角平分线相交于点P．2024/8/27

定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．三角形角平分线的性质定理2024/8/27比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等2024/8/27

如图：直线L1、L2、L3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？开拓创新试一试满足条件共4个P1Pl3l21lCBA2024/8/27[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．(1)已知CD=4cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD．用心想一想，马到功成DABEC(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB∴DE=CD=4cm∵AC=BC∴∠B=∠BAC(等边对等角)∵∠C=90°，∴∠B=

×90°=45°．∴∠BDE=90°—45°=45°．∴BE=DE(等角对等边)．在等腰直角三角形BDE中

(勾股定理)，∴AC=BC=CD+BD=(4+)cm．2024/8/27[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．(1)已知CD=4cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD．用心想一想，马到功成DABEC(2)证明：由(1)的求解过程可知，

Rt△ACD≌Rt△AED(HL)∴AC=AE．∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD．2024/8/27不等关系2024/8/27

地球上海洋的面积大于陆地的面积，铅球的质量比篮球的质量大……情景引入

利用相等关系可以解决许多问题，利用不等关系同样可以解决许多问题。在我们的生活中，不等关系更为普遍。2024/8/27Ⅰ、如图，利用两个长度均为lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆：新知探究(1)要使正方形的面积不大于25cm2，那么绳子长l应满足怎样的关系式？2024/8/27Ⅰ、如图，利用两个长度均为lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆：新知探究(2)如果要使圆的面积不小于100cm2，那么绳子长l应满足怎样的关系式？2024/8/27Ⅰ、如图，利用两个长度均为lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆：新知探究(3)当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？2024/8/27Ⅰ、如图，利用两个长度均为lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆：新知探究(4)当l=12时，正方形和圆的面积哪个大？2024/8/27Ⅰ、如图，利用两个长度均为lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆：新知探究(5)你能得到什么猜想？改变l的取值再试一试。2024/8/27Ⅱ、通过测量一棵树的树围(树干的周长)可以计算它的树龄。通常以树干离地面1.5m的地方作为测量部位。某棵树栽种时的树围为5cm，以后树围每年约增加3cm，这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4m？(只列关系式)设这棵树至少生长x年其树围才能超过2.4m，得新知探究2024/8/27合作交流ⅰ、观察下列关系式，你有什么发现？由不等号连接而成2024/8/27新知归纳不等式的定义：

一般地，用符号“<”(或“≤”)，“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。2024/8/27范例讲解例1、用适当的符号表示下列关系：(1)x的3倍与8的和比x的5倍小；(2)x2是非负数；(3)地球上海洋的面积大于陆地面积；(4)老师的年龄不超过你的年龄的2倍。解：2024/8/271、用适当的符号表示下列不等式：(1)a是非负数；(2)直角三角形斜边c比它的两直角边a、b都长；(3)x与17的和比它的5倍小。巩固练习2024/8/272、从1、3、5、7、9中任取两个数就组成一组数，写出其中两数之和小于10的所有数组。巩固练习2024/8/27合作交流ⅱ、请你设计不同的实际背景来表示下列不等式：(1)(2)2024/8/27新知归纳“≥、≤”的意义：(1)“≥”：a不小于(不低过)b表示为a≥b

，a为非负数表示为a≥0；(2)“≤”：a不大于(不高过)b表示为a≤b

，a为非正数表示为a≤0。2024/8/27范例讲解例2、甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：甲种原料乙种原料维生素C/(单位/千克)600100原料价格/(元/千克)84现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x(千克)应满足的不等式。原料维生素及价格2024/8/273、甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：巩固练习甲种原料乙种原料维生素C/(单位/千克)600100原料价格/(元/千克)84在例2的条件下，如果还要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，那么你能写出所需甲种原料的质量x(千克)应满足的另一个不等式吗？原料维生素及价格2024/8/274、在通过桥洞时，我们往往会看到如图(1)所示的标志，这是限制车高的标志。你知道通过该桥洞的车高x(m)的范围吗？在通过桥面时，我们往往会看到如图(2)所示的标志，这是限制车重的标志。你知道通过该桥面的车重y(t)的范围吗？巩固练习(1)(2)10t5m2024/8/27课堂小结1、不等式的定义：

一般地，用符号“<”(或“≤”)，“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。2、“≥、≤”的意义：(1)“≥”：a不小于(不低过)b表示为a≥b

，a为非负数表示为a≥0；(2)“≤”：a不大于(不高过)b表示为a≤b

，a为非正数表示为a≤0。2024/8/271.2不等式的基本性质2024/8/27课前复习：（9）3x≠22024/8/27怎样比才公平？两个同学比高矮：①同时站在讲台上；②一人站在讲台上，另一人站在讲桌上；③两人都站在讲桌上；④一人站在讲台上，另一人站在讲台下；⑤两人都站在讲台下。

请问怎样比才公平？想一想：2024/8/27（1）请同学们回顾等式的基本性质1：1、等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，等式仍然成立。那么如果将等式换为不等式呢？？2024/8/27试一试：如果在不等式的两边都加上或减去同一个整式，那么结果会怎样？举例试一试。如：3<73+2__7+2加(减)正数加(减)负数3-5__7-53+(-2)__7+(-2)3-(-5)__7-(-5)<<<<你发现了什么？？2024/8/27发现：如果在不等式的两边都加上或减去同一个整式，那么结果会怎样？

不等式的基本性质1

：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。与等式的基本性质类似2024/8/272、已知x﹥y,请用恰当的符号填空。（1）x–6（）y-6

（4）x+1（）y+1（5）x+（-2）（）y+（-2）（2）x-(-5)（）y-(-5)(3)x-0（）y-02024/8/27请同学们再回顾等式的基本性质2：2、等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立。那么如果将等式换为不等式呢？？2024/8/272、完成下列填空：

如：2<3

2×53×5

2×（-1）

3×（-1）

2×（-5）

3×（-5）

.

<<>>>通过计算上面各题你能发现什么？类比等式的基本性质2可以得到什么结论？2024/8/27

不等式的基本性质2

：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向.不变

不等式的基本性质3

：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向.改变2024/8/27练一练：已知x﹥y，请用恰当的符号填空。（1）3x（）3y（2）-2x（）-2y（3）2x+1（）2y+1（4）-4x+2（）-4y+22024/8/27回顾旧知:你会解下列方程吗？(1)x-5=-1;(2)-2x=3；(3)-x=(4)

2024/8/27应用新知1.将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式：（1）x–5>-1;(2)-2x>3

(3）x–1>2;(4)-x﹤；

(5)2024/8/271、若a＜b，b＜2a－1，则a______2a－14、若a＜b，则2－a_____2－b3、若－a＜b，则a_______－b选择恰当的不等号填空，并说出理由。2、若a＞－b，则a+b______0＞＞＞＜练一练：5、≤2024/8/27课堂小结：通过本节课的学习，你有什么收获呢？1.在知识获取方面：2.在课堂表现方面：

那么你还有什么疑惑呢？2024/8/27

1、单项选择：(1)由x＞y得ax＞ay的条件是（）A.a≥0B.a＞0C.a＜0D.a≤0(2)由x＞y得ax≤ay的条件是（）A.a＞0B.a＜0C.a≥0D.a≤0能力提升：BD2024/8/27(3)由a＞b得am2＞bm2

的条件是（）A.m＞0B.m＜0C.m≠0D.m是任意有理数(4)若a＞1，则下列各式中错误的是（）A.4a＞4B.a+5＞6C.＜D.a-1＜0CD2024/8/27(5)若a-b<0，则下列各式中一定成立的是（）

A.a>bB.ab>0C.D.-a>-bD2024/8/272、下列各题是否正确?请说明理由(1)如果a＞b,那么ac＞bc(2)如果a＞b,那么ac2

＞bc2(3)如果ac2＞bc2,那么a＞b(4)如果a＞b,那么a-b＞0(5)如果ax＞b且a≠0,那么x＞b/a2024/8/27不等式的解集2024/8/271、解下列方程：诊断练习(1)什么叫方程的解？(2)什么叫解方程？2024/8/27复习旧知1、方程的解的定义：

使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。2、解方程的定义：

求方程的解的过程叫做解方程。2024/8/271、解下列方程：诊断练习(3)你能在数轴上表示以上两个方程的解吗？-4-3-2-1012343-12024/8/27

燃放某种礼花弹时，为了确保安全，燃放者在点燃导火线后要在燃放前转移到10m以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度为0.02m/s，燃放者离开的速度为4m/s，那么导火线的长度应为多少厘米？情景引入设导火线的长度应为xcm，根据题意，得2024/8/27Ⅰ、当x取下列值时，不等式x>5成立吗？新知探究对比“方程的解的定义”，你有什么想法？你还能找出一些使不等式x>5成立的x的值吗？2024/8/27新知归纳不等式的解的定义：

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。2024/8/27合作交流ⅰ、不等式x<16有多少个解？请找出几个。2024/8/27Ⅱ、当x取下列值时，不等式x–5≤–1成立吗？新知探究对比“不等式的解的定义”，你有什么想法？你能表示出不等式x–5≤–1所有的解吗？2024/8/27新知归纳不等式的解集的定义：

一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。2024/8/271、判断正误：(1)不等式有无数个解；()(2)不等式的解集为。()巩固练习2024/8/272、在0，–4，3，–3，，–5，4，–10中，

是方程x+4=0的解；

是不等式x+4≥0的解；

是不等式x+4<0的解。巩固练习2024/8/27Ⅲ、写出下列不等式的解集：新知探究2024/8/27新知归纳解不等式的定义：

求不等式解集的过程叫做解不等式。2024/8/27合作交流ⅱ、某弹簧秤的称量范围是0~50N，小明未注意弹簧秤的称量范围，用弹簧秤称量了一个物体，取下后，发现弹簧没有恢复原状。你知道这个物体的重力在什么范围吗？2024/8/27范例讲解例1、将下列不等式的解集分别表示在数轴上：解：(1)x>5在数轴上表示如下：-101234567-3-2-1012345(2)x≤4在数轴上表示如下：2024/8/273、将下列不等式的解集分别表示在数轴上：巩固练习2024/8/274、将下列不等式的解集分别表示在数轴上：巩固练习2024/8/27课堂小结1、不等式的解的定义：

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。2、不等式的解集的定义：

一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。3、解不等式的定义：

求不等式解集的过程叫做解不等式。2024/8/27请同学们加倍努力!2024/8/27一元一次不等式的性质主讲：chen2024/8/27不等式的性质性质：1、a>ba+c>b+c(或a-c＞b-c)2、a>b，c>0ac>bc3、a>b，c<0ac<bc4、a>b，b>ca>c2024/8/271．当x取下列数值时，不等式1-5x＜16是否成立？-4.5，-4，-3，4，2.5，0，-1．答：当x=-4.5,-4,-3时，不等式不成立。当x=4，2.5，0，-1时，不等式成立2024/8/272．用不等式表示下列数量关系：(1)x的3倍大于x的2倍与5的差；(2)y的3/4与x的1/2的差小于2。

(3)y的一半与4的和是负数；(4)5与a的4倍的差不是正数．答：(1)3x>2x-5(2)3y/4-1/2X<2(3)y/2+4<0(4)5-4a≤02024/8/274．按照下列条件写出仍然成立的不等式，并说明根据不等式的哪一条基本性质：(1)m＞n，两边都减去3；

(2)m＞n，两边同乘以3；(3)m＞n，两边同乘以-3；

(4)m＞n，两边同乘以m．(1)m-3＞n-3(2)3m＞3n(3)-3m<-3n(4)m＞0时，不等式成立。

m<0时，不等式不成立。2024/8/27例1

在下列各题横线上填入不等号，使不等式成立．并说明是根据哪一条不等式基本性质．(1)若a-3＜9，则

a______12；

(2)若-a＜10，则a______-10；(3)若a/4>-1,则a______-4；(