2021年全国高等学校招生考试数学试题（浙江卷）-《2021年全国普通高等学校统一招生考试数学（冲刺）试卷》（解析版）

绝密☆启用前

2Q21年全国普通高等学校统一招生（浙江卷）

数学（冲刺）试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.（2021•内蒙古高三月考（文））已知集合A={x[l<x<3},8={x|3<x<6}则408=（）

A.（1,3）B.（1,6）

C.（-13）D.0

【答案】D

【解析】

利用集合的交集运算求解.

【详解】

因为集合4={%|1<%<3},8={x|3<x<6},

所以

故选：D

2.（2021•北京高三一模）在复平面内，复数（l+2i）i对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

化简复数（l+2i）i,根据复数的几何意义可得结果.

【详解】

因为(l+2i)i=-2+3

所以一2+i对应的点为(-2,1)，它位于第二象限.

故选：B

x-y+2>0

3.(2021.全国高三月考(理))若实数乂丁满足不等式组,x+y—4W0，则4x+8y的最大值为()

x-3_y+3<0,

A.28B.23

C.4D.1

【答案】A

【解析】

1717

有约束条件得可行域区间，令z=4x+8y,得>=一一x+一，问题转化为y=--x+-与所得可行域上有

2828

交点时截距最大，即可求目标代数式的最大值.

【详解】

故选：A

”、sinx

4.(2021.全国高三专题练习(理))函数/(%)=■;~的大致图像是().

ln(x-+1)

【解析】

首先根据判断出函数是奇函数，图像关于原点对称排除C选项，再根据函数值去进行排除即可.

【详解】

由题意可知f（X）的定义域为{XIX声0},

sin(-x)sinx

■:/(-x)==-fix'),

ln[(-x)2+1]ln(x2+1)

.♦./（X）为奇函数，其图像关于原点中心对称，.•.排除C；

sink7i

Vf也兀）=。，「・排除A,

In*乃2+])

.TC

sin-i

又于0=—=—~2---->0，

ln（—+1）ln（—+1）

44

故选B.

5.（2021•河南驻马店市•高一期末（理））在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已

知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线恰好平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积是（）

正视图侧视图

俯视图

A.2+40

B.6+4人

C.2+20

D.4+2a

【答案】B

【解析】

首先根据题意画出：视图的直观图，再求其表面积即可.

【详解】

如图所示：

由题知：在直三棱柱ABC—A4cl中，A4,=2,。为AC的中点，且8O=L

又因为口钻。为等腰直角三角形，所以AC=2,AB=BC=6

所以表面枳S=2x—x2xl+2x2+2x2xV2=6+4后.

2

故选：B

6.（2021•全国高三专题练习）己知直线〃〃和平面7，B,满足mua,nu（3,则“加和〃相交”是“a

和£相交'的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

根据直线直线、直线与平面、平面与平面的位置关系分析，结合充分不必要条件的概念可得答案.

【详解】

若"?和〃相交于点0，则Oem，因为mua,〃u£,所以Oee，所以a和夕相

交,

若a和4相交，当机ua,时•，机和I"可能相交，可能平行，可能异面,

所以“机和〃相交”是“a和0相交”的充分不必要条件.

故选：A.

7.(2021•全国高三专题练习(文))已知等差数列｛%,｝的通项公式为勺=31-仇(feZ),当且仅当〃=10

时，数列｛4｝的前〃项和S“最大，则当耳=-10时，k=()

A.20B.21C.22D.23

【答案】A

【解析】

由Bo最大，得4o>0,且a”<0,解得/=3，所以。“=31—3〃，

得其=尹丁”,将耳=一10代入解得左=2().

【详解】

a.n=31-10/>03131

由题意可知，＜『八，解得一</<一，又feZ，则f=3，

ai{=31-11/<01110

.。（59-3”）〃.。—J。,

••—'"•一

"22

即3女2—59左一20=0，4=20或女=—；（舍）,

故选:A.

【点睛】

等差数列中:

若S“最大，则%＞0,且4川＜0；

若5,最小,则见＜0,且见”＞（）.

8.（2021.湖南长沙一中高三月考）已知椭圆G与双曲线的焦点相同，离心率分别为G，e2,且满足

4=国,大，工是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若NKPB=120°,则双

曲线的离心率为（）

3

A.0B.73C.2D.10

【答案】C

【解析】

设|尸制=?;,|尸用=2，利用余弦定理可得（2c）2=7+九2—2佐COS120。，再分别利用椭圆与双曲线的

,4b213.广

定义可得，巡=4婕=◊,可得一3+＞=4,结合々二氐1,解方程即可得答案.

【详解】

设附,仍同=弓，

X2V2.

在椭圆G：—啜+7~^=1中，

4b-

（2c）2=A；?+娉-2^^COS120°

=6+弓）2-和=3）2-和,

.,.rxr2=4a,_4c2=4术,

%2y2

在双曲线。2：―J--i~5=l中，

%b2

（2c）2=/+弓2_2化85120。

=（4-与+3皿=（2%『+3^弓

/.3｛弓=4c~-4a）~=4"~=>（弓=~~~~，

2

.-.1^2=物2即区=3月，则4_02=3卜2_42）

所以a；+3a；=4c2=>粤=4n*+3=4,

r-115,

又因为02=64，所以一方+不=4,

解得02=2,

故选：C.

【点睛】

方法点睛：在处理焦点三角形问题时，一般要考虑椭圆和双曲线的定义，注意余弦定理的应用，得到基本

量之间的关系，从而转化为离心率问题，一般此类问题比较灵活，需要基础扎实，运算能力强.

9.(2020・上海高一专题练习)单调增函数/(x)对任意满足/(x+y)=/(x)+/(y),若

/(h3*)+/(3，-9'-2)<0恒成立，则左的取值范围是()

A.2>/2—1,2V2+1jB.2V2—1j

C.(0,20—1]D.[2A/2-1,+OO)

【答案】B

【解析】

根据抽象函数的性质可得/(0)=0,原不等式可转化为f(k-3x+3'-9X-2)</(0)，根据不等式恒成立，

换元后分离参数求解即可.

【详解】

因为/(x+y)=/(x)+/(y)，

所以/出3*)+/(3A'-9v-2)=f(k-y+3X-9'-2)<0

又对任意x,y&R满足/(x+>)=/(%)+/(>),

所以/(0)=/(0)+/(0),

解得/(0)=0,

由/(力为式上单调增函数可得k-3"+3'-9'-2<0.

令，=3'>0，

即(女+l)f—产一2<0恒成立，

2

即+--，

t

而f+当且仅当/=：,即l=夜时等号成立，

所以％+1<2啦,即2<2&-1，

故选：B

10.(2020•江苏扬州市・扬州中学)已知集合尸={1,2,3,4,5},若A,B是P的两个非空子集，则所有满足

A中的最大数小于B中的最小数的集合对(4,B)的个数为()

A.49B.48C.47D.46

【答案】A

【解析】

利用分类计数法，当A中的最大数分别为1、2、3、4时确定A的集合数量，并得到对应8的集合个数，它

们在各情况下个数之积，最后加总即为总数量.

【详解】

集合P={1,2,3,4,5}知:

1、若A中的最大数为1时，8中只要不含1即可：A的集合为口}，

而5有24一1=15种集合，集合对(4,B)的个数为15；

2、若A中的最大数为2时，8中只要不含1、2即可：

A的集合为{2},{1,2},而B有23-1=7种，

集合对(A,8)的个数为2x7=14；

3、若A中的最大数为3时，8中只要不含1、2、3即可：

A的集合为⑶,{1,3},{2,3},{1,2,3},而B有22-1=3种,

集合对(43)的个数为4x3=12；

4、若A中的最大数为4时，8中只要不含I、2、3、4即可：

A的集合为{4},{1,4},⑵4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4},

而8有)一1=1种，集合对(48)的个数为8x1=8：

.•.一共有15+14+12+8=49个，

故选：A

第II卷非选择题部分(共110分)

二'填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

11.(2021•江苏启东市•高二期末)2020年是全国决胜脱贫攻坚之年，“一帮一扶”工作组进驻某山区帮助农

民脱贫，发现该山区盛产苹果、梨子、物猴桃，工作人员文明在线上进行直播带货活动，促销方案如下：

若一次购买水果总价不低于200元，则顾客少付款m元，每次订单付款成功后，农民会收到支付款的80%,

在促销活动中，为了使得农民收入不低于总价的70%,则机的最大值为.

【答案】25

【解析】

根据题意建立函数关系式(％—m)x80%2xx7()%,整理出相《二恒成立，再由x的范围即可求解.

【详解】

设每笔订单促销前的总价为X元，

根据题意有（x-加）X80%2xX70%,即根《2恒成立，

8

由题意得XN200,所以22且也=25,所以加＜25，

88

即m的最大值为25.

故答案为：25

【点睛】

数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：

（1）求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字

语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；

（2）求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围.

12.（2020•山东淄博市•高三零模）在二项式的展开式中，所有项系数之和为含/的项

的系数是（用数字作答）.

【答案】-184

【解析】

令X=l,可得所有项系数之和；由通项公式可得含/的项的系数.

【详解】

令x=l,得所有项系数之和为（1一2）7=-1：

二项式的展开式中的通项为（+1

3。，

令7—巳7=4,得r=2,所以含/的项的系数是（—2）2。；=84.

2

故答案为：一1；84

【点睛】

方法点睛：求二项展开式中的特定项的系数，实质是考查通项C/"?'的特点，一般需要建立方程求

乙再将r的值代回通项求解，注意「的取值范围（「=0」,2,•••,〃）.

、

/乃37171,则COSf2<Z+yI=

13.（2021•福建三明市•高一期末）已知sin。+工——<a<—

k67522

sin(2a+^|-

731V2

【答案】—

50

【解析】

利用倍角可求cos(2a+《J的值，因为2=+展=2a+(-?，故可利用两角差的正弦求得sin[2a+R

的值.

【详解】

cos|2or+—I=cos21a+—|=l-2sin2|«+-|=l-2x—,

I3)I6I6J2525

Ed4冗田冗兀UI...,71D

因为—<oc<一,故---van—<—，而sincc4=

22363I6)5

..2.71_71-

故——<«+—<0,故----<2。+一<0,

3633

TT7T

因为cos|2aH—>0,故一一<2a+—<0,所以sin<0,

23

旦71

所以sin|2a-I——=sin2a+-------=sinI2。H—I-cos[2aH—

I12jI34j233

V2（31、31V2

=-------X----------=-------------------.

2I25J50

故答案为：—.-里亚.

2550

14.（2021•全国高三其他模拟（文））如图，在"ABC中，AB=8,8C+AC=12,分别取ARBC、AC边

的中点O,E,F,将口加瓦DAOE口CEE分别沿三条中位线折起，使得4民。重合于点P,则三棱锥

P-DEF的外接球体积的最小值为

A

P

【解析】

由翻折变换知，三棱锥P-Q印的对棱分别相等，将锥体弥补成长方体，利用长方体外接球的求法，结合

球的体积公式即可得解.

【详解】

设3C=2a，则AC=12-2a,

由翻折变换可知，三棱锥P-DEF的对棱分别相等，

且DE=PF=6—a,DF=PE=a,EF=PD=4

将三棱锥P-D所补充成长方体，对角线长分别为6-4,如图所示

三棱链P-DEF的外接球即为长方体的外接球.

设长方体的长宽高分别为％Xz,

贝Jx2+y1=a~,y2+z2=（6—tz）",x2+z2=16

fjlrl^x2+y2+z2=a2-6a+26,

则外接球半径r=J*+y2+z2=J，-6a+26

22

当a=3时，半径最小，此时r=姮

2

所以三棱锥石厂的外接球的体积的最小值为三x*—

3I2J6

故答案为：凶1兀

6

【点睛】

方法点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法

(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆

的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.

(2)若球面上四点PA,B,C构成的三条线段RLPB,PC两两互相垂直,一般把有关元素“补形”成为一个

球内接长方体，利用242+「§2+r。2=4/?2求解.

15.(2021•浙江湖州市•高二期末)已知圆C的圆心在直线y=-4x上，且与直线/：%+>-1=0相切于点

P(3,-2),则圆C的方程为,它被直线3x-4y-9=0截得的弦长为.

【答案】(x-l)2+(y+4)2=84

【解析】

设圆心为C(a,Ta),利用圆心到直线的距离等于半径和两点间的距离公式可得圆的方程；利用圆心到直线

的距离、半径、弦长的一半构成的直角三角形可得答案.

【详解】

设圆心为C(a,Ta),由题意得七关2」=Jg—3)

C+(-4a+2)2,

解得a=l,圆的半径为/?=庄坐二11=20,

V2

圆C的方程为(x—I)?+(y+4)2=8；

圆心C(l,-4)到直线3x—4y—9=0的距离为恒生-9|_2

一乙＞

5

所以弦长为2小/?2一(2)2=2际=4=4.

故答案为：①(x—1)2+(>+4)2=8；②4.

21

16.(2020浙江高三其他模拟)两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为一和彳，两个零

32

件是否加工为一等品相互独立，设两人加工的零件中为一等品的个数为：，则E0=；若〃=37-1,

则________

717

【答案】--

64

【解析】

分析得到自的可能取值为0,1,2,且分别计算J取每个值时的概率，根据公式计算E4，DJ再计算D4.

【详解】

2I1

。的可能取值为0』,2,则P(4=0)=(l—q)x(l—；)=工，

326

2121111

P(^=l)=(l--)x-+-x(l--)=-+-=-.

3232o3Z

P6=2)=gxg=g,

s1117

则超=0x-+lx/+2x-=q；

£^9721919111则0g=Ej29_(Ej2,=17

=012x22X

O230Jo

17

由〃=34-1,则==y

4

717

故答案为：一；—

64

17.(2020•浙江高一期末)已知平面向量满足国一5|=|2。—切/0,则G—日与守一23所成夹角的

取值范围是.

71

【答案】0)-

_6

【解析】

令应—别=|22一*|=x,向量(1—5)与(2a-c)的夹角为0,与^—25的夹角为a,即可得到

方程cos2a='RS"，。”"，化简为对勾函数的形式，根据对勾函数的值域求cos2a的范围，从而可得

5-Acosd

a的最大值.

【详解】

令应—51=12万一冽=x，向量（1—5）与（2万一｝）的夹角为。£[0,利，

因为了一2方=2（M—5）_（2a—c）,

所以（&-B）•（c-2b）=^a-b）-[2（a-b）-（2a-c）]=2\a-b^-\a-b\\^a-c\cosQ®,

若M—5与^一2石的夹角为ad[0,兀],即（"5）♦（c-2b）=\a-b\\c-2b\cosa®,

所以由①②知，|5-2B|cosa=2应-5l-|2M-5|cos0=2x-xcosO=x（2-cos0）,

所以cosa>0,

Wlc—2ftpcos2a=4x2-4x2cos0+x2cos29,

又因为|m-25F=|2（a-b）-（2S-c）|2=5x2-4^cos0,

4-4cos04-cos26395-4cos0

所以cos2a=----------------=-+—T7-,-------+-------....,令团=5-4cos0,

5-4cos3816（5-4cos6）16

_39m._3

HurPlcos2a=—H-----1,9],Wcos2a^[—,1],

816m164

又因为cosa>0,

所以cosa£[Y^,I],

2

所以a的最大值是J.

6

TT

故答案为：一.

6

【点睛】

关键点点睛：利用向量数量积定义及向量加减运算转化（M—5）•（c-2S）=（3-^）-[2Ca-b）-

（2a-c）怵解

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.（2021•天津南开区•高三一模）在口A3c中，内角A,B,C对边的边长分别是“，b,C.已知

(2sinA-百sinB)2=4sin2C-sin2B.

(1)求角。的大小；

(2)若b=l,c=V7，求cos2(8—C)的值.

jr]]

【答案】(1)工；(2)yy.

614

【解析】

(1)将等式化简，再利用正弦定理及余弦定理，即可求出角C；

(2)利用正弦定理求出sin5,再根据b<c,可知进而可根据同角三角函数关系，求出cosB,再

利用两角差的余弦公式及二倍角公式，即可求出cos2(6—C).

【详解】

⑴由(2sinA-百sinB)2=4sin2C-sin2B化简，

得sin?A+sin?6—sin?C=GsinAsin8，由正弦定理,a2+h2-c2=y/3ab>

由余弦定理得cosC==走，又Ce(O,»),所以C=2.

lab26

(2)因为力=1，c=币,所以由正弦定理工=三；，得sin8=aG=XZ.

sin8sinCc14

因为8<c,所以8<C,所以cos8=JI二而万=之叵，

14

所以cos(6—C)=cosBcosC+sinBsinC-x+x—=，

14214214

所以cos2(B—C)=2cos2(B—C)—1=2x(等)-1=^..

19.(2021.全国高三专题练习(理))在边长为2的菱形A8C£>中，N8AD=60。，点E是边AB的中点(如

图1)，将口4)£沿。£折起到的位置，连接AB，4C,得到四棱锥4-8CDE(如图2)

（1）证明:

图1图2

平面48£，平面8。。£；

(2)若4E_L8E,连接CE,求直线CE与平面4c。所成角的正弦值.

V21

【答案】（1）证明见解析，（2）

IT

【解析】

（1）连接图1中的30,证明OELAB，然后证明。平面ABE即可;

（2）证明AEJ■平面3CDE，然后以£为原点建立如图空间直角坐标系，然后利用向量求解即可.

【详解】

（1）连接图1中的BZ），

因为四边形ABCD为菱形，且/班短=60。

所以△A8D为等边三角形，所以。

所以在图2中有DE_LBE,£>E_LAE,因为BEcAE=E

所以OE_L平面4BE,因为DEuBCDE,所以平面&BEJ.平面BCOE

(2)因为平面平面5CDE,平面48EC平面BCZ)E=BE,A}ELBE,A.EAtBE

所以AE,平面BCDE

以£为原点建立如图空间直角坐标系

所以A（o,o』）,c（2,省,o）,o（o,7i,o）,E（o,o,o）

所以亚=（0,百,一1）,而=（2,也,一1）,反=（2,6,0）

一n-A,D=\/3y—z=0

设平面AC。的法向量为〃=（X,y,Z），贝叶，r

n-\C-2x+\/3y-z=0

令y=l,则3=（0,LG）,所以cos值比1亩向=磊=得

所以直线CE与平面AC。所成角的正弦值叵

14

20.（2021.天津和平区.高三一模）已知等比数列｛为｝的前〃项和为S.，也｝是等差数列，SLO,4-q=1,

4+4=5,2b5="+3b2.

（1）求｛4｝和也｝的通项公式;

⑵设也｝的前〃项和为7,，（二（2〃？）“"

①当"是奇数时，求g+q用的最大值;

2n

②求证：£q<i.

i=\

2

【答案】（1）｛4｝的通项公式为4=（—1）"T,｛我｝的通项公式为a=2〃；（2）①最大值为百：②证明见

解析.

【解析】

（1）根据题意，列方程组求出首项与公差、公比即可得到通项公式；

（2）（i）当〃是奇数时，计算C.+C“M，根据单调性求其最大值；（ii）由裂项相消法求和即可得证.

【详解】

（I）设数列｛4｝的公比为夕，数列也｝的公差为4.

由§2=4+44=0,且4工0,解得q=-l.

h}-ax-1d=2

依题意，有也+2d-q=5,解得＜4=2.

2伍+4d)=4+3d+3(4+d)q=1

故%=1x(-1)"“=(-1)"7,=2+(〃-1)x2=2〃

所以，｛。"｝的通项公式为4=（一1）"\｛"｝的通项公式为4=2”.

（2）（i）由（1）可得7；=①冽？=/+〃，所以g=（二1）.一（2〃+1）.

2〃（"+1）

2n+l-(2〃+3)2〃+2_2

当"是奇数时，g+c同

可知当〃£N*且〃是奇数时，%+%+i随〃增大而减小.

2

所以当〃=1时，%+c〃+］最大，其最大值为q+。2=§.

211

（ii）由（i）知，c2n-\+C2=77；iWo.i\=o；一/4，

W（2〃-+2〃-12〃+1

2nJI!|j

所以？,=化+6)+&+/)+…+"*2“)=1-3+3”+一=一==,百

i2〃

因为〃eN*，所以1-一二<1,即2>,<L

2〃+1公

【点睛】

关键点点睛：根据数列通项的结构特点，选择合适的求和方法是解题的关键，本题中

2112n

,根据裂项相消法即可求出X。•

（2n-l）（2n+l）2/1-12n+l

/=1

21.（2021•全国高三专题练习）椭圆：E：《+，=l（a>/?>0）的焦点到直线x-3y=0的距离为萼,

离心率为竿.抛物线G：y=2Pxs>°）的焦点与椭圆E的焦点重合，斜率为k的直线/过G的焦点与E

交于A3,与G交于C,D.

（1）求椭圆E及抛物线G的方程;

1V52

（2）是否存在常数2,使得为常数？若存在，求出2的值；若不存在，请说明理由.

丫216

【答案】（1）椭圆E：二+>2=1,抛物线G：y2=8x：（2）存在，2=——

55

【解析】

（1）设椭圆焦点（c，0）,代入点到直线距离公式，可求得c•的值，根据题意，可求得抛物线中。值，进而

可得抛物线方程，根据椭圆C值及离心率，可求得椭圆中。值，根据a,b,c的关系，即可求得〃值，即可

得答案.

（2）设直线/的方程为x=s+2,与椭圆联立，根据韦达定理，可得％+力，,%的表达式，代入弦长公

式，可得同理将直线与抛物线联立，结合弦长公式，可得|CD|,代入所求，化简整理，即可求得；I

值.

【详解】

（1）设椭圆焦点（c,0）,由题意得d

解得c=2，即椭圆焦点为（2,0）,

所以抛物线G的焦点为（2,0）,所以"=2,解得p=4,

2

所以抛物线G的方程为丁=8x,

又椭圆E得离心率为2叵，所以2=2叵

，得a=V5-

5a5

又Z?2=/一/=5—4=1，得。=1.

所以椭圆E的方程为土+丁=1.

5-

（2）由题意得，直线/不与x轴平行，

设直线/的方程为x=my+2,并设A（x,y）,^（马，%），。（毛，%），。（匕，%），

2

联立％=冲+2与V=1,消去X,整理得"+5）丁+4叼_]=（）,

Am,_i

A=（4/n）2-4（m2+5）（-1）=20m2+20>0,乂+必=---^―,必y=---，

m+52m+5

所以|X一%|=J（X+