河北省定州市2024届数学九年级上册期末统考模拟试题含解析

河北省定州市2024届数学九上期末统考模拟试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.方程（x—DC-2）=0的解是（）

A.x-\B.x-2c.x=l或x=2D.x=-l或x=-2

2.某工厂一月份生产机器100台，计划二、三月份共生产机器240台，设二、三月份的平均增长率为x,则根据题意

列出方程是（）

A.100(1+x)2=240

B.100(1+x)+100(1+x)2=240

C.100+100(1+x)+100(1+x)2=240

D.100(1-x)2=240

3.如图，AB为。O的直径，CD为。O上的两个点(CD两点分别在直径AB的两侧)，连接BD,AD.AC,CD,

若NBAD=56。，则NC的度数为O

B.55°

D.34°

4.下列事件中，是必然事件的是（）

A.明天太阳从西边出来B.打开电视，正在播放《新闻联播》

C.兰州是甘肃的省会D.小明跑完800m所用的时间为1分钟

5.已知：如图，矩形ABCD中，AB=2cm,AD=3cm.点P和点Q同时从点A出发，点P以3cm/s的速度沿AfD

方向运动到点D为止，点Q以2cm/s的速度沿A-B-C-D方向运动到点D为止，则aAPQ的面积S（cm2）与运动

时间t（s）之间函数关系的大致图象是（）

6.对于反比例函数y=K,如果当一20》$_1时有最大值y=4,贝！J当x^8时，有（）

x

,,11

A.最大值y=TB.最小值y=TC.最大值D.最小值》=一5

7.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.回B，OC.0D.C

超爽弦图笛K尔心形线科克曲线斐波那央螺旋

8.在平面直角坐标系xQy中，以点（3,4）为圆心，4为半径的圆与7轴（）

A.相交B.相切C.相离D.无法确定

9.按如图所示的运算程序，输入的x的值为;，那么输出的y的值为（）

A.1B.2C.3D.4

10.如图，在菱形ABCD中，已知A6=4,ZB=60°,以AC为直径的0。与菱形ABC。相交，则图中阴影部分

的面积为（）

nD

A.+兀B.25/3+71c.2\J3+—71D.46+飞汽

11.如图，圆。是RtAABC的外接圆，ZACB=90°,NA=25。，过点C作圆。的切线,,交AB的延长线于点D,则NO

的度数是（）

A.25°B.40°C.50°D.65。

12.下列二次函数，图像与％轴只有一个交点的是（）

A.y=x~+2x—1B«y=—2x~+7x—7

C.y=4x2-12x+9D.y=x2-4x+16

二、填空题（每题4分，共24分）

2

13.如图，点瓦/在函数y=—的图象上，直线所分别与不轴、丁轴交于点A3,且点A的横坐标为4,点8的纵

X

坐标为:，则AEOR的面积是______

K

An1

14.如图，在AA8C中，DEHBC,氤=],DE=2,则BC的长为_________.

A

15.已知三个边长分别为2c加，3。“,5。机的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为

5cm

17.若x=l为一元二次方程/+〃a+1=0的一个根，贝！］加=.

18.计算：后的结果为.

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图，已知菱形A3CD,对角线AC、5。相交于点O,AC=6,BD=\.点E是AB边上一点，求作矩形

EFGH,使得点尸、G、//分别落在边8C、CD、ADk.设4E=机.

（1）如图①，当，〃=1时，利用直尺和圆规，作出所有满足条件的矩形EPG”；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）写出矩形的个数及对应的机的取值范围.

20.（8分）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动.小明喜

欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A,B,C,D依次表示这四个社团），并把这

四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上.

（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是.

（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡

片上的字母.请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率.

21.(8分)如图1,在平面直角坐标系中，二次函数丫=⑺2+法+豆1的图象与犬轴交于8(-1,()),。(3,0)两点，点

2

A为抛物线的顶点，尸为线段AC中点.

(1)求。涉的值;

(2)求证：BFLACt

(3)以抛物线的顶点A为圆心，AE为半径作04，点E是圆上一动点，点P为EC的中点(如图2);

①当AACE面积最大时，求PB的长度；

②若点M为m的中点，求点M运动的路径长.

22.(10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=加+区+c(a>0)与x轴交于点A(—1,0)和点8(3,0),与y轴

交于点C,且NQ3C=30°.点E在第四象限且在抛物线上.

(1)如(图1),当四边形OCEB面积最大时，在线段BC上找一点使得后加+(6例最小，并求出此时点E的

坐标及EM+16M的最小值；

(2)如(图2),将△AOC沿X轴向右平移2单位长度得到△AOG，再将△AQG绕点A逆时针旋转。度得到

△AQC2,且使经过A|、的直线/与直线BC平行(其中00<a<180。)，直线/与抛物线交于K、H两点,点N

在抛物线上.在线段KH上是否存在点P,使以点5、C、P、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接

写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

23.（10分）如图，A5和。E是直立在地面上的两根立柱.A8=6m,某一时刻AB在阳光下的投影8c=4，"

（1）请你在图中画出此时在阳光下的投影.

（2）在测量A8的投影时，同时测量出。E在阳光下的投影长为9m,请你计算OE的长.

D

A

BE

24.（10分）齐齐哈尔新玛特商场购进大嘴猴品牌服装每件成本为100元，在试销过程中发现：销售单价x元，与每

天销售量y（件）之间满足如图所示的关系.

（1）求出）'与X之间的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）；

（2）写出每天的利润卬（元）与销售单价》之间的函数解析式；并确定将售价定为多少元时，能使每天的利润最大,

最大利润是多少？

25.（12分）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=9的对称轴为直线/,将直线/绕着点P（0,2）顺时针旋转

的度数后与该抛物线交于A8两点（点A在点8的左侧），点。是该抛物线上一点

（1）若Na=45°,求直线A3的函数表达式

（2）若点，将线段分成2:3的两部分，求点A的坐标

（3）如图②，在（1）的条件下，若点。在V轴左侧，过点2作直线///X轴，点M是直线/上一点，且位于）‘轴左

侧，当以尸，B,。为顶点的三角形与ZVWW相似时，求M的坐标

26.阅读材料：小胖同学遇到这样一个问题，如图1,在△A8C中，ZABC=45°,AB=2近,AD=AE,ZDAE=

90°,CE=也,求C£＞的长；

小胖经过思考后，在。上取点厂使得NOEF=NADB（如图2）,进而得到NE尸。=45。，试图构建“一线三等角”图

形解决问题，于是他继续分析，又意外发现rs/iCDE.

（1）请按照小胖的思路完成这个题目的解答过程.

（2）参考小胖的解题思路解决下面的问题：

如图3,在△4BC中，NACB=NDAC=NABC,AD=AE,-ZEAD+ZEBD=90°,求BE：ED.

2

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、C

【解析】方程左边已经是两个一次因式之积，故可化为两个一次方程，解这两个一元一次方程即得答案.

【详解】解：•••（xT）（x-2）=0,

:.X—1=0或X—2=0,

解得：x=l或x=2.

故选：C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握分解因式解方程的方法是关键.

2^B

【分析】设二、三月份的平均增长率为x,则二月份的生产量为100x(1+x),三月份的生产量为lOOx(1+x)(1+x),

根据二月份的生产量+三月份的生产量=1台，列出方程即可.

【详解】设二、三月份的平均增长率为x,则二月份的生产量为lOOx(1+x),三月份的生产量为lOOx(1+x)(1+x),

根据题意，得100(1+x)+100(1+x)2=1.

故选B.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，设出未知数，正确找出等量关系是解决问题的关键.

3、D

【分析】利用直径所对的圆周角是900可求得的度数，根据同弧所对的的圆周角相等可得NC的度数.

【详解】解：AB为。O的直径，点D为。O上的一个点

AADB=90°

ZBAD=56°

ZABO=34°

ZC=ZABD=34°

故选：D

【点睛】

本题考查了圆周角的性质，熟练掌握圆周角的相关性质是解题的关键.

4、C

【分析】由题意根据必然事件就是一定发生的事件，依据定义依次判断即可.

【详解】解：A.明天太阳从西边出来，为不可能事件，此选项排除；

B.打开电视，正在播放《新闻联播》，为不一定事件，此选项排除；

C.兰州是甘肃的省会，为必然事件，此选项当选；

D.小明跑完8()()m所用的时间为1分钟，为不一定事件，此选项排除.

故选：C.

【点睛】

本题考查必然事件的概念.解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件

下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，

可能发生也可能不发生的事件.

5、C

【分析】研究两个动点到矩形各顶点时的时间，分段讨论求出函数解析式即可求解.

【详解】解：分三种情况讨论：

（1）当OWtWl时，点P在AD边上，点Q在AB边上，

1,

/.S=—x2fx3f=3广，

2

此时抛物线经过坐标原点并且开口向上；

（1）当1〈号1.5时，点P与点D重合，点Q在BC边上，

S=-x3x2=2,

2

•••此时，函数值不变，函数图象为平行于t轴的线段；

（2）当1.5<t<2.5时，点P与点D重合，点Q在CD边上，

121

S=-x2x（7-It））=-t+—•

22

...函数图象是一条线段且S随t的增大而减小.

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次函数与几何问题，用分类讨论的数学思想解题是关键,解答时注意研究动点到达临界点时的时间以此作

为分段的标准，逐一分析求解.

6、D

【解析】解：由当一2WxW-1时有最大值y=4,得x=—l时，y=4,k——1x4=—4,

4

反比例函数解析式为y=-一，

x

当xZ8时，图象位于第四象限，）'随x的增大而增大，

当x=8时，）'最小值为-g

故选D.

7、C

【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对

称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称

图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；

D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称

图形是要寻找对称中心，旋转18()度后两部分重合.

8、A

【分析】先找出圆心到y轴的距离，再与圆的半径进行比较，若圆心到y轴的距离小于半径，则圆与y轴相交，反之

相离，若二者相等则相切

故答案为A选项

【详解】根据题意，我们得到圆心与y轴距离为3,小于其半径4,所以与y轴的关系为相交

【点睛】

本题主要考查了圆与直线的位置关系，熟练掌握圆心距与圆到直线距离的大小关系对应的位置关系是关键

9、D

【分析】把代入程序中计算，知道满足条件，即可确定输出的结果.

2

【详解】把1=:代入程序，

2

V7是分数，

2

y=-"-=-2<0

x

不满足输出条件，进行下一轮计算；

把2代入程序，

；-2不是分数

y=_；x2_2x+l=_；x(_2)2_2x(_2)+l=4〉0

满足输出条件，输出结果y=4,

故选D.

【点睛】

本题考查程序运算，解题的关键是读懂程序的运算规则.

10、D

【分析】根据菱形与的圆的对称性到^AOE为等边三角形，故可利用扇形AOE的面积减去aAOE的面积得到需要割

补的面积，再利用圆的面积减去4倍的需要割去的面积即可求解.

【详解】♦.•菱形ABCD中，已知AB=4,ZABC=60°,连接AO,BO,

，NABO=30°,NAOB=90°,

AZBAO=60%又AO=EO,

.♦.△AOE为等边三角形，故AE=EO=yAB=2

r=2

1f2

，S扇形AOEU^X»x2=-,T

2

SAAOE=x〃二X22=>/3

44

2lr~4

图中阴影部分的面积=1x22-4百)=4V3+—

故选D.

【点睛】

本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键.

11、B

【分析】首先连接OC,由NA=25。，可求得/BOC的度数，由CD是圆O的切线，可得OCLCD,继而求得答案.

【详解】连接OG

,圆。是R3ABC的外接圆，NAC5=90。,

•,.AB是直径，

VNA=25°,

ZBOC=2ZA=50°,

•••C。是圆。的切线，

:.OCLCD,

:.Z£)=90°-N80(7=40°.

故选B.

12、C

【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c(aW0)与x轴只有一个交点，可知b2-4ac=0,据此判断即可.

【详解】解：•••二次函数图象与x轴只有一个交点，，b2-4ac=0,

A、b2-4ac=22-4X1X(-1)=8,故本选项错误；

B、b2-4ac=72-4X(-2)X(-7)=-7,故本选项错误；

C、b2-4ac=(-12)2-4X4X9=0,故本选项正确；

b2-4ac=(-4)2-4XIX16=48.故本选项错误，

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次函数与x轴的交点，根据二次函数y=ax2+bx+c(aW0)的图象与x轴只有一个交点时，得到b2-4ac=0是

解题的关键.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、1

【分析】作EC_Lx轴于C,EP_Ly轴于P,FD-Lx轴于D,FH_Ly轴于H,由题意可得点A,B的坐标分别为(4,0),

Q

B(0,I),利用待定系数法求出直线AB的解析式，再联立反比例函数解析式求出点，F的坐标.由于

SAOEF+SAOFD=SAOEC+S梯形ECDF，SAOFD=SAOEC=1>所以SAOEF=S梯形ECDF，然后根据梯形面积公式计算即可.

【详解】解：如图，作EP_Ly轴于P,EC，x轴于C,FD_Lx轴于D,FH_Ly轴于H,

Q

由题意可得点A,B的坐标分别为(4,0),B(0,§),

QQQ9

由点B的坐标为(0,I),设直线AB的解析式为y=kx+2,将点A的坐标代入得，0=4k+*,解得k=-£.

JJJD

直线AB的解析式为y=-1X+1.

JJ

联立一次函数与反比例函数解析式得，

128广々

33x=l

一L解得或2,

2y=2y=—

y=—iI3

lx

2

即点E的坐标为(1,2),点F的坐标为(3,-).

,**SAOEF+SAOFD=SAOEC+S梯形ECDF>而SAOFD=SAOEC=~X2=1，

II2s

，SAOEF=S梆影ECDF=5X(AF+CE)XCD=yX(y+2)X(3-l)=-.

本题为一次函数与反比例函数的综合题，考查了反比例函数k的几何意义、一次函数解析式的求法，两函数交点问题,

掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的比例系数k的几何意义，利用转化法求面积是解决问题的关键.

14、6

【分析】根据相似三角形的性质即可得出答案.

【详解】.；DE〃BC

，NADE=NABC,ZAED=ZACB

，△ADES△ABC

.ADDE

..AD_1

•DB~2

•AD__D__E__1

,•AB~1BC~3

又DE=2

:.BC=6

故答案为&

【点睛】

本题考查的是相似三角形，比较简单，容易把三角形的相似比看成g,这一点尤其需要注意.

15>3.75cm2.

【解析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可.

【详解】解：如图，

5cm

对角线所分得的三个三角形相似，

5x

根据相似的性质可知言=§,

解得x—2.5,

即阴影梯形的上底就是3—2.5=().5(cm).

再根据相似的性质可知3=工，

52.5

解得：y=i.

所以梯形的下底就是3-1=2(。〃)，

所以阴影梯形的面积是(2+0.5)x3+2=3.75(cm?).

故答案为：3.75cm2.

【点睛】

本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例.

13

16、—

3

【分析】首先对图中各点进行标注，阴影部分的面积等于正方形BEFL的面积减去梯形BENK的面积，再利用相似三

角形的性质求出BK、EN的长从而求出梯形的面积即可得出答案.

【详解】解：如图所示，

M

ABE

・；四边形MEGH为正方形,

・・・NEGH

AAAEN-AAHG

ANE:GH=AE:AG

VAE=2+3=5,AG=2+3+4=9,GH=4

，NE:4=5:9

8

同理可求BK=—

9

阴影部分的面积：3x3--=—

33

13

故答案为：—.

【点睛】

本题主要考查的知识点是图形面积的计算以及相似三角形判定及其性质，根据相似的性质求出相应的边长是解答本题

的关键.

17、-2

【分析】把x=l代入已知方程可得关于m的方程，解方程即可求得答案.

【详解】解：=1为一元二次方程犬+如+1=0的一个根，

1+/?/+1=0>

解得：，〃=■—2.

故答案为：一2.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解的定义，属于应知应会题型，熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题关键.

18、2百

【分析】根据二次根式的乘法法则得出.

【详解】:而=&24=g=26.

故答案为：2百.

【点睛】

本题主要考查了二次根式的乘法运算.二次根式的乘法法则：8♦&=金；.

三、解答题（共78分）

99

19、（1）见解析；（2）①当，〃=0时，存在1个矩形EFGH；②当OVwVg时,存在2个矩形EFGHi③当机=不时，

Q1Q1Q

存在1个矩形EFGH；④当不时，存在2个矩形EFG”；⑤当不</«<5时，存在1个矩形EFG”；⑥当,〃

=5时，不存在矩形EPG".

【分析】（1）以O点为圆心，OE长为半径画圆，与菱形产生交点，顺次连接圆O与菱形每条边的同侧交点即可；

（2）分别考虑以O为圆心，OE为半径的圆与每条边的线段有几个交点时的情形，共分五种情况.

【详解】（1）如图①，如图②（也可以用图①的方法，取。。与边8C、CD、AZ）的另一个交点即可）

129

（2）到菱形边的距离为不，当。。与AB相切时AE=M，当过点A,C时，。。与AB交于A,E两点，此时

918

AE^-X2=y,根据图像可得如下六种情形：

①当m=0时，如图，存在1个矩形EFG”；

9

③当时，如图，存在1个矩形EFG”；

918

④当时，如图，存在2个矩形EFG//;

⑤当不<"?<5时，如图，存在1个矩形£FG”；

⑥当m=5时，不存在矩形EFGH.

【点睛】

本题考查了尺规作图，菱形的性质，以及圆与直线的关系，将能作出的矩形个数转化为圆O与菱形的边的交点个数，

综合性较强.

20、（1）（2）见解析，

42

【分析】（1）直接根据概率公式求解；

（2）利用列表法展示所有12种等可能性结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数，然后根

据概率公式求解.

【详解】（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率=9;

4

（2）列表如下：

ABcD

A(B,A)(C,A)(D,A)

B(A,B)(C,B)(D,B)

C(A,C)(B,C)(D,C)

D(A,D)(B,D)(C,D)

由表可知共有12种等可能结果，小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数为6种，

所以小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率为2=（.

【点睛】

本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的

结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率

21、（1）a=-#，b=A（2）证明见解析；（3）①26+1或2百—1;②万.

【分析】（1）将8（—1,O）,C（3,O）代入二次函数的解析式＞=以区+卒即可求解；

（2）证得A6C是等边三角形即可证得结论；

（3）①根据题意，当E4_LAC或E'A_LAC时，E4c或AE'AC面积最大，利用三角形中位线定理可求得PE的

长，利用勾股定理可求得BE,即可求得答案；

②根据点M的运动轨迹是半径为2的A,则EC的中点P的运动轨迹也是圆，同样，阱的中点M的运动轨迹也是

圆，据此即可求得答案.

【详解】•.•二次函数3；=办2+加+述的图象与x轴交于B（-1,0）,C（3,0）两点，

2

«-/?+—=0

，3,

9。+3"毡=0

I3

f石

a=-----

解得：2,

b=\[3

故答案为：a=,h=A/3;

2

（2）由（1）得：抛物线的解析式为.丫=一日》2+6%+半，

•.•二次函数y=一与X2+百％+芈的图象与X轴交于B（-l,0）,C（3,0）两点，

.•.抛物线的对称轴为：X=3+（T）=],

2

顶点A的坐标为：（1，26），AB=AC,

VAC=^（3-l）2+（2V3-0）2=4,

5C=3-（-l）=4,

:.AB=AC=5C=4,

是等边三角形，

V尸为线段AC中点,

，BFA.AC；

：.BF//EA,

,点/为线段AC中点，点P为EC的中点，

PF//EA,PF=1E4=1,

:.P、F.B三点共线，

在RtBCF中,BC=4,CF=2,

BF=yjBC2-CF2=，4?-22=273，

PB=BF+PF=2X5+1；

同理，当E'A_LAC时，_E'AC面积最大，

同理可求得：P'B=BF-PF=26-1;

故答案为：26+1或2退-1；

②如图，

V点E的运动轨迹是0A,半径为£4=2,

EC的中点P的运动轨迹也是圆，半径为1,

•••BP的中点M的运动轨迹也是圆，半径为J,

.,.点M运动的路径长为：2兀1~=兀.

故答案为：兀.

【点睛】

主要考查了二次函数的综合，二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思

想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.

22、(D点现|,一竽)，的最小值=乎；(2)存在，点尸的坐标可以为尸拒;

pqO)骂

6

I2J3

【分析】(1)设y=a(x+l)(x-3),根据正切函数的定义求出点c，将其代入二次函数的表达式中，求出小过点E

作EH_L08,垂足为根据四边形OCEB面积鞭形OCEH的面积+Z\BHE的面积得到一个二次函数，进而可求出

取最大值时点E的坐标，过点M作M/_L03,垂足为尸，要使+最小，则使+最小，进而求解；

(2)分两种情况考虑，①线段8c为邻边时，则点N只能取点K,H,②线段BC为对角线时，设点N(x,y),线段

3c与线段PN的交点为点O,分别利用中点坐标公式进行求解.

【详解】解：(1)设y=a(x+l)(x—3),

VZOBC=30°,08=3,

OC=3xtan30°=百，即点C(0,一百),

将点C代入y=a(x+l)(x-3)中,

解得，a=—

3

•5Q、_622Gr-

••y-3(x+l)(x-3)=3x---——x->/3,

设点E(x,y),过点E作垂足为"，

，四边形OCEB面积=梯形OCEH的面积+4BHE的面积

=—(V3-y)x+—(3-x)(-y)=—-y=--—x+——x+——>

1Q

.•.当X=——=二时，四边形OCEB面积最大，

2a2

•••点呜呼，

过点M作MFLOB,垂足为F,

；EM+-BM=EM+MF,

2

.•.要使EW+’BM最小，即使EM+M/最小，

2

过点E作EHLOB交BC于点M,垂足为H,此时取得最小值，

/.EM+-BM的最小值=上叵；

24

U«I)

(2)存在;

点(1),

由题意知，4(1,0),线段K”所在的直线方程为y

分两种情况讨论：①线段8c为邻边时，则点N只能取点K,H,

与

y

=3

(X

立2

yX

=3

解得，点K,//的横坐标分别为三近，三姮，

22

•.♦四边形5C/W为平行四边形，设点P(a,切，

当N取点K时，由中点坐标公式知，3+后+0=3+。，

2

解得，姮二2,

2

…回5s即点

6I26J

(9-V17扃、

同理可知，当点N取点K时，点P一/;

(26J

②线段5c为对角线时，设点N(x,y),线段8c与线段PN的交点为点O,

.•.点。(|,—务

a+x=3

・•・由中点坐标公式得，〈

b+y=一<3

b=

,:<

y=

，解得，。=1或。=2,

点尸(1,0)或P(2,白),

综上所述，点「的坐标可以为缺述］”既空,述衿)，机。)或尸⑵半).

【点睛】

本题是二次函数的综合题，考查了正切函数，二次函数的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，学会运用分类讨

论的思想进行解题，是中考压轴题，难度较大.

23、(1)见解析；(2)13.5m.

【分析】(1)直接利用平行投影的性质得出答案；

(2)利用同一时刻实际物体的影子与物体的高度比值相同进而得出答案.

【详解】解：(1)如图所示：EF即为所求;

(2)\'AB=6m,某一时刻A3在阳光下的投影RC=4，"，OE在阳光下的投影长为9，〃,

•_6_DE

解得：DE=13.5m,

答：DE的长为13.5叽

【点睛】

此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题法的关键是熟知平行线的性质.

24、(1)y=-x+180；(2)w=-x2+280%-18000,售价定为140元/件，每天获得最大利润为1600元

【分析】(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k#0),根据所给函数图象列出关于kb的关系式，求出k、b

的值即可;

(2)把每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式化为二次函数顶点式的形式，由此关系式即可得出结论.

【详解】解：解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(kWO),由所给函数图象可知:

130Z+b=50

150%+h=30’

k=-1

解得：《

8=180'

故y与x的函数关系式为y=r+180

(2),:y=-x+180,

W=(x-100)y=(x-100)(-x+180)

=-x2+280%-18000

=-(x-14()『+1600,

:.当x=140时，W最大=1600,

售价定为140元/件时，每天最大利润W=1600元.

【点睛】

本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出关于k、b的关系式是解答此题的关键.

25、（1）y=x+2；⑵—半，g或卜百,3）；（3）（-1,2）,（-2,2）,（-1-73,2）,（1-^,2）

【分析】（1）根据题意易得点M、P的坐标，利用待定系数法来求直线AB的解析式；

（2）分AP:PB=2:3和AP:P3=3：2两种情况根据点A、点B在直线y=x+2上列式求解即可；

（3）分NQBP=45。和N8QP=45。两种情况，利用相似三角形的性质列式求解即可.

【详解】（1）如图①，设直线AB与x轴的交点为M.

图①

VZ0PA=45°,

.,.0M=0P=2,即M(-2,0).

设直线AB的解析式为y=kx+b(kWO),将M(-2,0),P(0,2)两点坐标代入，得

'2=kx0+b

0=kx(-2)+b，

k=\

解得，,

故直线AB的解析式为y=x+2；

(2)①AP:P3=2:3

设A(-2a,4a2)B(3a,9a2)(a>o)

•一点A、点B在直线y=x+2上和抛物线y=x?的图象上，

4a2=—2a+2,9a2=3a+2

.4a2-2,9a2—2,

••-----------=1,-----------=1

-2a3a

.4a2-29a2-2

»・----------=-----------

-2a3a

解得，a,=—立（舍去）

'3-3

•/2&4]

I33）

②”:PB=3:2

2

设A（-3«,9a）8（2。,4/）（a>0）

•••点A、点B在直线y=x+2上和抛物线y=x2的图象上,

9a1=-3a+294a2=2。+2

.9/一2,4a2-2,

••--------=1,---------=1

-3a2a

.9a2-2_4a2-2

-3a2a

解得：a.->a、=—（舍去）

13-3

・•.A（-石,3）

综上卜或卜6,3）

（3）ZMPA=45°,NQPBH45。