第2章 控制系统的数学模型

第2章控制系统的数学模型2.1微分方程式的建立2.2非线性数学模型的线性化2.3传递函数2.4系统结构图及其等效变换2.5信号流图

2.1微分方程式的建立

微分方程式是系统的一种时域数学模型,建立微分方程的一般步骤如下:

(1)根据各元件的工作原理和作用,确定输入量和输出量。

(2)分析各元件所遵循的基本物理或化学定律,列写相应的微分方程。

(3)消去中间变量,得到输出量和输入量之间的微分方程。

(4)将微分方程写成标准形式,输出量及其各阶导数按降阶排列写在等号的左边,输入量及其各阶导数按降阶排列写在等号的右边,即“左出右入”降阶。

2.1.1机械系统

例2-1设弹簧阻尼机械系统如图2-1所示,试列写当外力F(t)作用于系统时,外力F(t)与位移x(t)之间的微分方程。图2-1弹簧阻尼机械系统

解根据牛顿第二定律可得

式中,F1(t)为弹簧的弹力,F2(t)为阻尼器的阻尼力,这两个力的方向都与运动方向相反,则

其中,K为弹簧的弹性系数,f为阻尼器的阻尼系数。

把式(2-2)代入式(2-1),得

整理得

从式(2-4)可以看出,该机械系统的数学模型是一个二阶常微分方程,其所描述的系统为一个二阶系统。

例2-2-扭摆系统如图2-2所示,其中摆锤的转动惯量用J表示,摆锤与空气之间的摩擦阻尼系数用B表示,吊杆弹性作用的扭簧系数用K表示。试列写输入为作用在摆锤上的力矩M(t),输出为摆锤转动角度θ(t)的微分方程。

解根据题意得

2.1.2-电气系统

例2-3运算电路如图2-3所示,试列写输入量为ui(t)、输出量为uo(t)的微分方程。

解根据运算放大器的“虚短”和“虚断”概念以及

基尔霍夫电流定律,可得

把式(2-6)和式(2-7)代入式(2-8),得

写成标准形式为

例2-4RC电路网络如图2-4所示,试列写输入量为ui(t)、输出量为uo(t)的微分方程。图2-4RC电路网络

2.2-非线性数学模型的线性化

严格地说,物理系统都是非线性的,往往存在着间隙、饱和、死区等非线性现象,因此严格意义上的线性系统是不存在的。一般地,对于任何一个实际的系统,只要其中至少有一部分是非线性环节,这个系统就是非线性系统,描述它的数学模型也是非线性的方程。

一种线性化方法是当非线性因素对系统的影响较小时,一般直接将这些非线性元件看作线性元件。例如,通常认为常数的弹簧的弹性系数实际上是其位移量的函数;通常认为

常数的电阻、电感和电容等参数实际上也是变化的,它们与周围的环境(温度、湿度、压力等)以及流经它们的电流有关。而平时在分析问题时,这些参数都被当作常数来处理,这是通常采用的一种线性化方法。

另外一种线性化方法叫作切线法或小偏差法。这种方法特别适合具有连续变化的非线性函数特性,其实质就是在一个很小的范围内,将非线性特性用一段直线来代替,如图2-5所示。图2-5切线法示意图

在对非线性特性数学模型进行线性化时,应满足下面几个基本假定:

(1)非线性环节y=f(x)具有静态非线性特性,非线性函数y=f(x)连续且各阶导数存在。

(2)控制系统有一个额定的工作状态,即系统有一个静态工作点(平衡状态)。

(3)系统工作过程中,自变量偏离工作点的偏差量Δx很小,即满足微偏条件。

例2-5铁芯线圈电路如图2-6(a)所示,铁芯线圈的磁通Φ与线圈中的电流i之间的关系如图2-6(b)所示,试列写输入量为ui(t)、输出量为i(t)的电路微分方程。图2-6铁芯线圈电路及其特性

利用切线法或小偏差法进行线性化时,要注意以下问题:

(1)在线性化之前,必须确定非线性元件的工作点。

(2)线性化是相对于某一个工作点的,当工作点变化时,所得到的线性化方程的系数往往不同。

(3)增量方程可认为其初始条件为零。

(4)变量的偏差越小,线性化的程度越高。

(5)线性化只适用于没有间断点、折断点的单值函数。

(6)对于严重非线性元件,一般不能用切线法或小偏差法。

2.3传递函数

2.3.1传递函数的定义一般情况下,线性定常连续系统的时域数学模型可表示为

传递函数输入与输出的关系可以用方框图表示,如图2-7所示。图2-7传递函数方框图

例2-6已知控制系统的微分方程为

试求控制系统的传递函数。

解根据传递函数的定义,在零初始条件下,对微分方程式(2-27)两边求拉普拉斯变换,可得

控制系统的传递函数为

已知系统的传递函数为

试求控制系统的微分方程。

解交叉相乘得到

在零初始条件下,对式(2-31)两边求拉普拉斯反变换,可得

2.3.2-传递函数的性质

传递函数的性质主要有如下几点。

(1)传递函数是复变量s的有理分式,具有复变函数的性质,且所有系数都是实数;n≥m,这是由于实际系统或环节的惯性所造成的。

(2)传递函数适用于线性定常连续系统,这是由于传递函数是经拉普拉斯变换导出的,而拉氏变换是一种线性积分运算。

(3)传递函数表示线性定常系统输出量与输入量之间的关系,它只取决于系统的结构、参数,而与输入量或输入函数的形式无关。

(4)传递函数与微分方程之间可以互相转换。

(5)传递函数只表示单输入和单输出(SISO)系统之间的关系,对多输入多输出(MI－MO)系统,可用多个传递函数或传递函数阵表示。

(6)传递函数分母多项式N(s)称为特征多项式,记为

而

称为特征方程。解特征方程得到的根称为特征根或传递函数的极点。

(7)传递函数的拉普拉斯反变换是系统的单位脉冲响应g(t)。单位脉冲响应是在零初始条件下,线性系统对理想单位脉冲输入信号的输出响应。这是传递函数的物理意义。

因为单位脉冲输入信号为r(t)=δ(t),其拉普拉斯变换R(s)=L[δ(t)]=1,则系统脉冲响应为

例2-8已知系统的阶跃输入r(t)=1(t),零初始条件下的输出响应c(t)=1-e-2t+e-t,试求系统的传递函数和脉冲响应。

2.3.3传递函数的常用形式

1.有理真分式形式

有理真分式形式如下:

2.零极点表示形式(在根轨迹法中使用最多)

零极点表示形式如下:

如果把传递函数的零极点表示中的一对共轭复数的一阶因子合并,用一个系数为实数的二阶因子表示,同时在传递函数中有ν个等于0的极点,那么式(2-41)可写为

3.时间常数表示形式(在频域法中使用较多)

传递函数的分子多项式和分母多项式因式分解后,还可以写成如下因子连乘积的形式:

2.3.4典型环节及其传递函数

1.比例环节

比例环节的输出量与输入量成一定比例,其时域数学模型——微分方程为

式中,K称为比例增益。

比例环节的复数域数学模型———传递函数为

在单位阶跃输入信号r(t)=1(t)作用下,如图2-8(a)所示,比例环节的输出响应为

比例环节的单位阶跃响应如图2-8(b)所示。比例环节的输出量与输入量成比例,且无失真,无时间延迟。图2-8比例环节的输出响应

2.积分环节

积分环节的输出量是输入量的积分,其时域数学模型——微分方程为

式中,Ti称为积分时间常数。

积分环节的复数域数学模型———传递函数为

在单位阶跃输入信号r(t)=1(t)作用下,积分环节的输出响应为

积分环节的单位阶跃响应曲线如图2-9所示,输出量随时间变化直线上升,积分作用的强弱由Ti决定,Ti

越小,积分环节就越强。当t=t'时,阶跃输入信号消失,积分作用停止,输出维持不变,所以称积分作用具有记忆功能。图2-9积分环节的输出响应

由运算放大器构成的积分电路如图2-10所示,其微分方程和传递函数分别为图2-10运算放大器构成的积分电路

3.微分环节

微分环节的输出量与输入量的导数成比例关系,其

时域数学模型——微分方程为

式中,Td称为微分时间常数。

微分环节的复数域数学模型———传递函数为

在单位阶跃输入信号r(t)=1(t)作用下,微分环节的输出响应为

微分环节的输出响应如图2-11所示。图2-11微分环节的输出响应

实际中理想的微分难以实现,所以在分析时常采用带有惯性的微分环节,称其为实际微分,实际微分环节的传递函数为

其阶跃响应为

实际微分环节的单位阶跃响应曲线如图2-12-所示。图2-12-实际微分环节的输出响应

如图2-13所示的RC电路网络就是一个实际微分环节,其微分方程和传递函数分别为图2-13RC电路网络

在分析微分环节时,也常遇到一阶微分环节(也叫比例微分环节)和二阶微分环节。一阶微分环节的微分方程为

相应的传递函数为

二阶微分环节的微分方程为

相应的传递函数为

4.一阶惯性环节

一阶惯性环节的时域数学模型——微分方程为

式中,T为惯性环节的时间常数。

一阶惯性环节的传递函数为

在单位阶跃输入信号r(t)=1(t)作用下,惯性环节的输出响应为

惯性环节的单位阶跃响应曲线如图2-14所示。图2-14惯性环节的输出响应

5.二阶振荡环节

6.延迟环节图2-15延迟环节的输出响应

2.4系统结构图及其等效变换

2.4.1结构图的组成结构图包括四种基本的组成部分,分别为信号线、方框(或环节)、比较点(或综合点)、引出点(测量点)。有些教材上也把引出点叫作分支点,把比较点叫作相加点。(1)信号线是带有箭头的直线,箭头的方向表示信号传递的方向,信号线代表的变量直接标记在直线上,如图2-16(a)所示。

(2)方框(或环节)表示对信号进行的数学变换,方框中为环节的传递函数,如图2-16(b)所示。指向方框的变量为方框的输入变量,离开方框的变量为方框的输出变量,它们之间的关系为

(3)比较点(或综合点)表示两个及其以上的信号相加减。“+”表示相加,一般可省略不写;“-”表示相减,如图2-16(c)所示。

(4)引出点(测量点)表示信号的引出或测量的位置,信号引出并不代表取出能量,所以,从同一引出点引出的信号在数值和性质方面完全相同,如图2-16(d)所示。图2-16结构图的基本组成

系统的结构图是系统数学模型的一种,可根据系统各环节的动态微分方程式及其拉普拉斯变换来绘制。可按下面的步骤绘制:

(1)列写系统中各元件的微分方程或传递函数,将它们用方框表示。

(2)将输入信号放在图的左边,输出信号放在图的右边。

(3)根据各元件信号的流向,用信号线把各方框连接起来。

例2-9如图2-17所示RC电路网络,试列写其结构图。图2-17RC电路网络

解采用电路中的“运算阻抗”的概念和方法,可直接列写出各元件的传递函数为

将上述传递函数用方框表示,如图2-18所示。将输入信号放在图的左边,输出信号放在图的右边。然后根据各元件信号的流向,用信号线把各方框连接起来,就得到了RC电路的结构图,如图2-19所示。图2-18各环节方框图图2-19RC电路的结构图

2.4.2-典型连接的等效传递函数

1.串联连接

结构图中几个方框按照信号流向首尾连接,前一方框的输出作为后一方框的输入,这种连接方式称为串联连接。两个方框的串联连接如图2-20(a)所示,根据结构图可得

消去中间变量,可得

所以图2-20(a)可等效变换为图2-20(b),等效变换后的传递函数为图2-20串联连接的结构图及简化

可见,串联连接的两个环节可以简化或等效变换为一个环节,等效的传递函数为两个环节传递函数的乘积。此结论可以推广到n个环节串联的情况,等效环节的传递函数为各

串联环节传递函数的乘积,即

2.并联连接

当两个或多个环节具有相同的输入量,而总输出量为各环节输出量的代数和时,称各环节为并联连接。一个有两个方框的并联连接如图2-21(a)所示,根据结构图可得

消去中间变量,可得

所以图2-21(a)可等效变换为图2-21(b),等效变换后的传递函数为

可见,并联连接的两个环节可以简化或等效变换为一个环节,等效的传递函数为两个环节传递函数的代数和。此结论可以推广到n个环节并联的情况,等效环节的传递函数为

各并联环节传递函数的代数和,即图2-21并联连接的结构图及简化

3.反馈连接

如图2-22(a)所示,将环节的输出量反送到输入端与输入信号进行比较后作为环节的输入量,这样就构成了反馈连接。图中B(s)为反馈信号,E(s)为偏差信号。如果反馈信号在相加点处取“+”号,称为正反馈;取“-”号,称为负反馈。

由图2-22(a)可得图2-22-反馈连接的结构图及简化

在反馈连接中经常遇到一些术语,下面简要介绍一下:

(1)前向通道。信号输入点R(s)到信号输出点C(s)的通道称为前向通道,前向通道上所有环节的传递函数之积定义为前向通道传递函数G(s)。

(2)反馈通道。输出信号C(s)到反馈信号B(s)的通道称为反馈通道,反馈通道上所有环节的传递函数之积定义为反馈通道传递函数H(s)。

(3)回路。偏差信号E(s)到输出信号C(s)再经反馈信号B(s)到偏差信号E(s)的封闭通道称为回路,回路上所有环节的传递函数之积定义为回路传递函数。

(4)开环传递函数。通常将反馈信号B(s)与偏差信号E(s)之比定义为开环传递函数GK

(s),即

显然,开环传递函数GK(s)是前向通道传递函数G(s)与反馈通道传递函数H(s)的乘积。由此可见,反馈控制系统的闭环传递函数、开环传递函数和前向通道传递函数符合下面的关系:

2.4.3比较点及引出点的变位运算

1.比较点后移

图2-23所示为比较点后移前后的结构图,它们之间是等效的图2-23比较点后移的等效变换

2.比较点前移

2-24所示为比较点前移前后的结构图,它们之间是等效的。图2-24比较点前移的等效变换

3.引出点后移

2-25所示为引出点后移前后的结构图,它们之间是等效的。图2-25引出点后移的等效变换

4.引出点前移

图2-26所示为引出点前移前后的结构图,它们之间是等效的。图2-26引出点前移的等效变换

由图2-26(a)可得

由图2-26(b)可得

比较式(2-100)和式(2-101)可知,要使引出点后移前后的传递函数等效,则

5.相邻的比较点位置交换

相邻的比较点之间只要保证交换前后传递函数等效,就可以交换位置或合并。例如,由图2-27(a)可得图2-27交换比较点位置的等效变换1

可见,图2-28(a)的结构图可以通过交换比较点位置等效变换为图2-28(b)的结构图。图2-28交换比较点位置的等效变换2

6.相邻的引出点位置交换

一条信号线上无论有多少引出点,它们都代表同一个信号,所以一条信号上的各引出点之间可以任意交换位置。如图2-29所示,无需任何变动,只要交换引出点位置即可。图2-29交换引出点位置

利用结构图的等效变换可对复杂的结构图进行简化,具体思路是:

(1)利用串联、并联和反馈三种基本连接的等效方法合并串联、并联和内回路。

(2)利用比较点和引出点的移动,使得相同类型的点通过交换位置把交叉的环路分开,形成大环套小环的形式,解除交叉环路。当某个回环和其他环路没有交叉时,可先利用反馈连接等效变换将该回环消掉。

(3)利用串联、并联和反馈三种基本连接的等效方法,把各环逐个消掉,得到最简结构图,同时得到系统的传递函数。

例2-10请对例2-9中得到的RC电路结构图进行等效变换,求系统的传递函数

解首先将例2-9的电路结构图中的I2(s)引出点后移,然后与Uo(s)引出点交换位置,得到图2-30。图2-30例2-10引出点后移等效变换后的系统结构图

利用串联和反馈等效变换,消掉与其他环路无交叉的回环,得到图2-31。图2-31例2-10反馈等效变换后的系统结构图

图2-31中的第二个比较点前移后和第一个比较点交换位置,得到图2-32。图2-32-例2-10比较点前移等效变换后的系统结构图

利用串联和反馈等效变换,消掉内回环,得到图2-33。图2-33例2-10消掉内环等效变换后的系统结构图

利用串联和反馈等效变换,得到图2-34。图2-34例2-10串联和和反馈等效变换结构图

所以可以得到系统的传递函数为

例2-11已知系统的结构图如图2-35所示,试简化该结构图,求系统的传递函数图2-35例2-11的系统结构图

解将第一个比较点和第二个比较点交换位置,同时,将第一个引出点后移后与第二个引出点交换位置,得到图2-36。图2-36例2-11比较点交换、后移等效变换后的系统结构图

利用反馈等效变换,消掉内回环,得到图2-37。图2-37例2-11反馈等效变换、消掉内环后的系统结构图

交换两个引出点位置后,利用串联、反馈等效变换,消掉内回环,得到图2-38。图2-38例2-11串联、反馈等效变换后的系统结构图

利用反馈等效变换得到图2-39。图2-39例2-11反馈等效变换后的系统结构图

所以可以得到系统的传递函数为

例2-12-已知系统的结构图如图2-40所示,简化该结构图,求系统的传递函数图2-40例2-12的系统结构图

解将第三个比较点前移后与第二个比较点交换位置,第一个引出点后移后与第二个引出点交换位置,得到图2-41。图2-39例2-11反馈等效变换后的系统结构图

利用串联、并联、反馈等效变换,得到图2-42。图2-42-例2-12串联、并联、反馈等效变换后的系统结构图

利用串联、反馈等效变换,消掉内回环,得到图2-43。图2-43例2-12再次串联、并联、反馈等效变换后的系统结构

利用反馈等效变换,得到图2-44。图2-44例2-12反馈等效变换后的系统结构图

所以可以得到系统的传递函数为

2.4.4系统对给定作用和扰动作用的传递函数

系统同时存在给定输入和扰动作用时的结构图如图2-45所示。图2-45给定输入和扰动作用下的闭环系统结构图

根据线性系统满足叠加原理,当给定输入R(s)和扰动输入N(s)同时作用于系统时,系统总的输出为

例2-13已知系统的结构图如图2-46所示,求系统输出C(s)的表达式。图2-46例2-13的系统结构图

解由题意可知有三个输入同时作用于系统,根据线性系统满足叠加原理,令N1(s)=0,N2(s)=0,可得R(s)单独作用下的系统结构图,如图2-47所示。图2-47R(s)单独作用下的系统结构图

通过结构图简化方法,可得传递函数为

令R(s)=0,N2(s)=0,可得N1(s)单独作用下的系统结构图,如图2-48所示。通过结构图简化方法,可得传递函数为图2-48N1(s)单独作用下的系统结构图

令R(s)=0,N1(s)=0,可得N2(s)单独作用下的系统结构图,如图2-49所示。图2-49N2(s)单独作用下的系统结构图

通过结构图简化方法,可得传递函数为

系统输出C(s)的表达式为

2.5信号流图

2.5.1信号流图的组成信号流图起源于梅逊利用图示法描述一个或一组线性方程组。信号流图是一种表示线性代数方程组的图示方法。下面的一组线性方程:

可用如图2-50所示的信号流图来表示。图2-50信号流图

2.5.2-信号流图的常用术语

信号流图的常用术语如下。

(1)输入支路:进入节点的支路。

(2)输出支路:离开节点的支路。

(3)输入节点:只有信号输出支路,没有信号输入支路的节点。一般代表自变量或外部输入变量,也称源节点,如图2-50中的节点X1。

(4)输出节点:只有信号输入支路,而没有信号输出支路的节点。一般代表系统的输出变量,也称汇节点,如图2-50中的节点X6。

(5)混合节点:既有输入支路又有输出支路的节点,一般代表系统的中间变量,如图2-50中的节点X2~X5。混合节点兼有结构图中信号相加点和信号分支点的功能。混合节点处的信号是所有输入支路信号的和,而由混合节点引出的所有信号是同一个信号。任何一个混合节点都可以通过增加一条单位传输的输出支路而变成输出节点,如图2-50中的节点X3。

(6)通道:是指从一个节点出发,沿着支路箭头方向通过一些支路和中间节点,并且每个中间节点最多只通过一次,到达另一个节点的路径。通道上各支路增益的乘积称为通道增益(或称为通道传输)。

(7)前向通道:是指从输入节点(源节点)到输出节点(汇节点)且每个节点最多只经过一次的通道。前向通道上各支路增益(或支路传输)的乘积称为前向通道增益(或前向通道传输)。

(8)回路:是指起点和终点为同一个节点且每个节点最多只经过一次的闭合通道,也称回环或反馈环。回路上各支路增益(或支路传输)的乘积称为回路增益(或回路传输)。

(9)不接触回路:没有任何公共节点的回路。

2.5.3信号流图的性质

信号流图的性质如下:

(1)信号流图只适用于线性定常系统。

(2)信号流图是表达线性方程组的一种数学模型,该线性方程组形式应为因果函数形式。

(3)信号只能按支路的箭头方向传递,支路相当于乘法器。

(4)节点标志系统的变量,节点把所有输入支路的信号叠加,并把总和信号传送到所有输出支路。

(5)对于某一给定的系统,信号流图不是唯一的。

2.5.4信号流图的绘制

1.由系统的微分方程绘制

由系统的微分方程式绘制信号流图时,首先经拉氏变换将微分方程化成s域中的代数方程,再给每个变量指定一个节点,并按照系统中变量的因果关系从左向右按顺序排列,最后根据数学表达式用标明了方向和增益的支路将各个节点连接起来,系统的信