第0章 自动控制原理数学基础

第0章自动控制原理数学基础0.1拉普拉斯变换0.2辐角原理0.3Z变换理论

拉普拉斯变换简称拉氏变换，是工程实践中用来求解线性常微分方程的简便工具，同时也是建立系统在复数域数学模型——传递函数的数学基础。经过拉氏变换后，一个微分方程式将变为一个代数方程式，这样会使求解微分方程的过程简化许多。

0.1拉普拉斯变换

0.1.1拉普拉斯变换的定义

如果f(t)是一个以时间为变量的函数，其定义域为t>0，且

式中，a

是正数，那么对所有实部大于a的复数来说，积分

是绝对收敛的，即满足

s=σ+jω为复变量，则式(0-2)定义为f(t)的拉氏变换F(s)，即

式(0-4)中，F(s)是f(t)的象函数，记为F(s)=L[f(t)]；f(t)是F(s)的原函数，记为f(t)=L-1[F(s)]。

在本书中常用函数的拉普拉斯变换如表0-1所示。

0.1.2拉普拉斯变换的基本性质

1.线性性质

若F1(s)=L[f1(t)]，F2(s)=L[f2(t)]，a

和b为常数，那么有

L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+bL[f2(t)]=aF1(s)+bF2(s)(0-5)

2.微分定理

若F(s)=L[f(t)]，那么有

式中，f(0)是函数f(t)在t=0时的值。

函数f(t)的高阶导数的拉氏变换相应为

当原函数f(t)及其各阶导数的初始值都等于零时，式(0-9)将变为

3.积分定理

若F(s)=L[f(t)]，那么有

式中，f

(-1)(0)是函数∫f(t)dt在t=0时的值。

4.位移定理

若F(s)=L[f(t)]，那么有

式(0-12)值和定式理(0-13)分别表示实域中的位移定理和复数域中的位移定理。

5.终值定理

若函数f(t)及其各阶导数都是可拉氏变换的，那么函数f(t)的终值为

即函数f(t)在自变量t趋于无穷大时的极限值等于函数sF(s)在自变量s趋于零时的极限值。

6.初值定理

若函数f(t)及其各阶导数都是可拉氏变换的，那么函数f(t)的初值为

即函数f(t)在自变量t趋于零(从正趋于零)时的极限值等于函数sF(s)在自变量s趋于无穷大时的极限值。

0.1.3拉普拉斯反变换

一般地，F(s)是复变量s的有理代数分式，可以表示为如下形式:

式中，系数a1，a2，…，an，b0，b1，b2，…，bm

都是实常数，且m<n。下面将F(s)写为部分分式形式，则有

式中，s1，s2，…，sn

是A(s)=0的根，称为F(s)的极点。根据A(s)=0有无重根，下面分两种情况讨论。

1)A(s)=0无重根

2)A(s)=0有重根

然后，根据拉氏变换的性质，可求出F(s)的原函数f(t)，即求出其拉氏反变换为

0.2辐角原理

0.2.1函数F(s)的映射设复变函数F(s)为复变量s的有理分式函数，表示为式中，z1，z2，…，zm

为F(s)的零点；p1，p2，…，pn为F(s)的极点。

若F(s)是复变量s=σ+jω的一个函数，则F(s)为复数，可以写成

式中，U(σ，ω)和V(σ，ω)是实函数。

定义在s平面某一个域内的函数F(s)在该域内解析的充分必要条件是它的导数在该域内连续。可以证明，s的所有有理函数在s平面内除了奇点外处处解析。

因此，在s平面内画一条封闭曲线，并使其不通过F(s)的任一奇点，则在F平面内存在一条映射曲线与之对应，如图0-2所示。图0-2s平面和F平面映射关系

0.2.2辐角原理

设复变量s沿封闭曲线Γs

在s平面内顺时针运动一周，那么，根据函数F(s)的性质，在F平面内那条对应的映射曲线ΓF

的运动方向可能为顺时针，也可能为逆时针。Γs曲线和ΓF

曲线的映射关系如图0-3所示。图0-3Γs曲线和ΓF曲线的映射关系

根据式(0-26)，复变函数F(s)相角可以表示为

辐角原理设s平面闭合曲线Γs围F(s)的Z个零点和P个极点，则s沿闭合曲线Γs顺时针运动一周时，在F平面上，F(s)闭合曲线ΓF包围原点的圈数

R<0表示ΓF顺时针包围F平面的原点，R>0表示F逆时针包围F平面的原点，R

=0表示不包围F平面的原点(或顺时针包围F平面原点和逆时针包围F平面原点的圈数相当，这种情况视为不被包围)。

0.3Z变换理论

0.3.1Z变换的定义

求Z变换的方法有很多，这里主要介绍两种常用的方法。

1.级数求和法

级数求和法是直接根据Z变换的定义，将式(0-35)写成展开形式:

2.部分分式法

若连续时间函数f(t)的拉氏变换式为有理函数形式，可以先展开成部分分式之和的形式，即

式中，si

是F(s)的极点，ci

为常系数，其计算方法同式(0-19)。这样，ci

/(s-si)对应的时间函数为ci

esit

，从而可知其Z变换为ci

z/(z-esiT)。所以可以得到

0.3.2Z变换的性质

1.线性定理

2.实数位移定理(平移定理)

实数位移是指整个采样序列在时间轴上左右平移若干个采样周期，其中向左移为超前，向右移为滞后。实数位移定理为

3.复数位移定理(平移定理)

如果函数f(t)是可拉氏变换的，其Z变换为F(z)，则有

4.初值定理

5.终值定理

6.卷积定理

设x(nT)和y(nT)为两个采样函数，其离散卷积定义为

则卷积定理为

若g(nT)=x(nT)*y(nT)，则

卷积定理指出，两个采样函数卷积的Z变换等于这两个采样函数相应Z变换的乘积。卷积定理是沟通时域与Z域的桥梁。

0.3.3Z反变换

和拉氏变换相似，Z反变换可表示为

1.幂级数法(综合长除法)