经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷1（共139题）

经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷1（共4套）（共139题）经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷第1套一、单项选择题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)1、设n阶方阵A，B，C满足ABC=I，I表示相应的单位矩阵，则下列各式中必成立的是()。A、ACB=IB、CBA=IC、BAC=ID、BCA=I标准答案：D知识点解析：由ABC=I，则(A)(BC)=I，即BCA=I，即应选择D。2、设A为N阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=O，则()。A、E—A不可逆，E+A可逆B、E—A不可逆，E+A也不可逆C、E—A可逆，E+A可逆D、E—A可逆，E+A不可逆标准答案：C知识点解析：暂无解析3、设A，B，A+B，A-1+B-1均为n阶可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1=()。A、A+BB、A-1+B-1C、A(A+B)-1BD、(A+B)-1标准答案：C知识点解析：暂无解析4、A、AP1P2B、AP1P3C、AP3P1D、AP2P3标准答案：B知识点解析：暂无解析5、设A，B为n阶矩阵，A*，B*分别为A，B对应的伴随矩阵，分块矩阵，则C的伴随矩阵C*=()。A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由于所以当A可逆时，A*=|A|A-1。答案应选择D。6、设矩阵B=已知矩阵A相似与矩阵B，则r(A一2E)+r(A—E)=()。A、2B、3C、4D、5标准答案：C知识点解析：因为矩阵A相似与矩阵B，所以存在可逆矩阵P，使得B=P-1AP，从而B一2E=P-1(A一2E)P，B—E=P-1(A—E)P即B一2E与A一2E相似，B—E与A—E相似，由于相似矩阵具有相同的秩，即r(A一2E)+r(A—E)=4故本题应选择C。7、设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*=()。A、kA*B、kn-1A*C、knA*D、k-1A*标准答案：B知识点解析：暂无解析8、设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且pTAP=若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，则QTAQ为()。A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：暂无解析9、设A是三阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为()。A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：暂无解析10、设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，则B—C为()。A、EB、一EC、AD、一A标准答案：A知识点解析：暂无解析11、设A和B均为n阶矩阵(n＞1)，m是大于1的整数，则必有()。A、(AB)T=ATBTB、(AB)m=AmBmC、|ABT|=|AT||BT|D、|A+B|=|A|+|B|标准答案：C知识点解析：暂无解析12、设矩阵A=，E为单位矩阵，BA=B+2E，则B=()。A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)13、已知α=(1，2，3)，设A=αTβ，其中αT是α的转置，则An=_______标准答案：知识点解析：暂无解析14、AB—B=A，其中B=,则A=_______。标准答案：知识点解析：暂无解析15、设矩阵B=A2一3A+2E，则B-1=________标准答案：知识点解析：暂无解析16、设n为向量α=(a，0，…，0，a)T，a＜0；E为n阶单位矩阵，矩阵A=E一ααT，B=E+，其中A的逆矩阵为B，则a=_______。标准答案：a=一1知识点解析：暂无解析17、若则A-1=_____标准答案：知识点解析：暂无解析18、设A，B均为n阶矩阵，且满足A2一2AB=E，则r(AB—BA+A)=__________。标准答案：n知识点解析：暂无解析19、设矩阵A=，矩阵B满足ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则|B|=_______标准答案：知识点解析：暂无解析20、设A=不可逆，则x=________。标准答案：x=4或x-5．知识点解析：暂无解析21、设A2一BA=E，其中A=，则B=________标准答案：知识点解析：暂无解析22、设XA=AT+X，其中A=则X=________。标准答案：知识点解析：暂无解析三、计算题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)23、设A=求An。标准答案：其中α=(1—12)T，β=(1—11)T因为βTαT=4=l则An=(αTβT)(αTβT)…(αTβT)(αTβT)=αT(βTαT)…(βTαT)βT=ln-1(αTβT)知识点解析：暂无解析24、已知A=则An是?。标准答案：由于A=λE+J，其中J=。而进而知J4=J5=…0于是An=(λE+J)n=λnE+Cn1λn-1J+Cn2λn-2J2，知识点解析：暂无解析25、已知矩阵A=P-1BP，B=则An。标准答案：An=(P-1BP)(P-1BP)…(P-1BP)(P-1BP)=P-1BnP知识点解析：暂无解析26、设矩阵A满足(2E—C-1B)AT=C-1，其中E是单位矩阵，且求矩阵A。标准答案：由所给方程知2E—C1B可逆，用(2E—C1B)-1左乘所给等式，即可得：AT=(2E—C-1B)-1C-1=[C(2E—C-1B)]-1=(2C—B)-1下面用初等行变换法来求(2C—B)-1：知识点解析：暂无解析27、确定k为何值时，矩阵可逆，并求逆矩阵A-1。标准答案：由可逆知，|A|==1×k×(一1)=一k故当k≠0时，知识点解析：暂无解析28、求矩阵的伴随矩阵A*。标准答案：第一步，锁定目标。AA*=|A|E,A*=|A|A-1第二步，求行列式。第三步，求逆矩阵。第四步，求伴随矩阵。知识点解析：暂无解析29、已知n阶矩阵A满足关系式A2+2A一3E=0，求(A+4E)-1。标准答案：本题的方法在于分解出因子A+4E，由A2+2A一3E=0，当要提取出A+4E时，另外一项必为A一2E(因为(4+4E)(A一2E)乘出来后刚好含有A2+2A)(A+4E)(A一2E)+8E一3E=0知识点解析：暂无解析30、设α，β为3维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置，证明：(1)r(A)≤2(2)若α，β线性相关，则r(A)＜2。标准答案：(1)因为α，β为3维列向量，那么ααT，ββT都是3阶矩阵，且r(ααT)≤1r(ββT)≤1，故r(A)=r(ααT+ββT)≤r(ααT)+r(ββT)≤2(2)若α，β线性相关，在存在不全为0的实数k1，k2，使得k1α+k2β=0。不妨设k2≠0，则有β=kα，那么r(A)=r[ααT+(kα)(kα)T]=r[(1+k2)ααT]=r(ααT)≤1＜2。知识点解析：暂无解析31、设矩阵A的伴随矩阵且ABA-1=BA-1+3E，其中E是四阶单位矩阵，求矩阵B。标准答案：由|A*|=|A|n-1可得|A|3=8，得|A|=2。用A右乘矩阵方程的两边可得：AB=B+3A，从而(A—E)B=3A因为A*A=|A|E，用A*左乘上式的两端，并把|A|=2代入，有A*(A—E)B=3A*A,(2E—A*)B=6E于是B=6(2E—A*)-1知识点解析：暂无解析32、设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是A的伴随矩阵。(1)计算并化简PQ；(2)证明Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b。标准答案：(2)因为|PQ|是一个特殊的2×2分块矩阵形式的行列式，故=|A|.—αTA*α+b|A||=|A|.(一αTA*α+b|A|)所以|PQ|=|P||Q|=|A||Q|即有|A|.(一αTA*α+b|A|)=|A||Q|又因为|A|≠0，故有|Q|=(一αTA*α+b|A|)=|A|(一αTA-1α+b)因为Q可逆，故|Q|≠0即一αTA-1α+b≠0,αTA-1α≠b知识点解析：暂无解析33、设A是n阶反对称矩阵，证明(E—A)(E+A)-1是正交矩阵。标准答案：[(E—A)(E+A)-1][(E—A)(E+A)-1]T=(E—A)(E+A)一1[(E+A)-1]T(E—A)T=(E—A)(E+A)-1[(E+A)T]-1(E—A)T=(E—A)(E+A)一1(E+AT)一1(E—AT)=(E—A)(E+A)一1(E一A)一1(E+A)=(E—A)[(E—A)(E+A)]-1(E+A)由于(E—A)(E+A)=E—A2=(E+A)(E—A)所以上式可变化为：(E—A)[(E—A)(E+A)]-11(E+A)=(E—A)[(E+A)(E—A)]-1(E+A)=(E—A)(E一A)一1(E+A)一1(E+A)=E同理可证[(E—A)(E+A)-1]T[(E—A)(E+A)-1]=E所以(E—A)(E+A)-1是正交矩阵。知识点解析：暂无解析34、已知A，B均是n阶矩阵，A2=A，B2=B，(A+B)2=A+B，证明AB=0。标准答案：由(A+B)2=A2+B2+AB+BA=A+B=A2+B2可得AB+BA=0对得到的等式两边分别用A左乘和右乘，并把A2=A代入，得AB+ABA=0．ABA+BA=0。两式相减，有AB—BA=0即知识点解析：暂无解析35、某企业对其职工进行分批脱产技术培训，每年从在岗人员中抽调30％的人参加培训，而参加培训的职工中有60％的人结业回岗，假设现有在岗职工800人，参加培训人员是200人，试问两年后在岗与脱产培训职工各有多少人(假设职工人数不变)?标准答案：用xi，yi分别表示i年后在岗和脱产职工的人数，x0，y0为目前在岗与脱产的人数，则xi=0．7xi-1+0．6yi-1，yi=0．3xi-1+0．4yi-1知识点解析：暂无解析经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷第2套一、单项选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表出，但不能由向量组(1)：α1，α2，…，αm-1线性表出，记向量组(2)为：α1，α2，…，αm-1，β，则下列说法正确的是()。A、αm不能由(1)线性表出，也不能由(2)线性表出B、αm不能由(1)线性表出，但可由(2)线性表出C、αm可由(1)线性表出，也可由(2)线性表出D、αm不能由(1)线性表出，也不能由(2)线性表出标准答案：B知识点解析：暂无解析2、已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则下列结论中正确的是()。A、α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1线性无关B、α1一α2，α2一α3．α3一α4，α4一α1线性无关C、α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4—α1线性无关D、α1+α2，α2+α3，α3一α4，α4一α1线性无关标准答案：C知识点解析：暂无解析3、设向量组I：α1，α2，…，αr可由向量组β1，β2，…，βs线性表出，则()。A、当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关B、当r＞s时，向量组Ⅱ必线性相关C、当r＜s时，向量组I必线性相关D、当r＞s时，向量组I必线性相关标准答案：D知识点解析：暂无解析4、已知r(A*)=1，则()。A、a=b≠0B、a≠b，且a+2b=0C、a+2b≠0D、a≠b，且a+2b≠0标准答案：B知识点解析：暂无解析5、设向量α=α1+α2+…+αs(s＞1)，而β1=α一α1，β2=α-α2，…，βs=α—αs，则()。A、r(α1，α2，…，αs)=r(β1，β2，…，βs)B、r(α1，α2，…，αs)＞r(β1，β2，…，βs)C、r(α1，α2，…，αs)＜r(β1，β2，…，βs)D、不能确定r(α1，α2，…，αs)，r(β1，β2，…，βs)的大小关系标准答案：A知识点解析：暂无解析6、设α1，α2，…，αs均为n维向量，下列结论不正确的是()。A、若对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…ksαs≠0，则α1，α2，…，αs线性无关B、若α1，α2，…，αs，线性相关，则对于任意一组不全为0的实数k1，k2，…，ks，有k1α1+k2α2+…ksαs=0C、α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为sD、α1，α2，…，αa线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关标准答案：B知识点解析：暂无解析7、设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中线性无关的是()。A、α1+α2，α2+α3，α3—α1B、α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3C、α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1D、α1+α2+α3，2α1一3α2+22α3，3α1+5α2-5α3标准答案：C知识点解析：暂无解析8、设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示．则对于任意常数k，必有()。A、α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关B、α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关C、α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关D、α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关标准答案：A知识点解析：暂无解析9、设n维列向量组(1)α1，α2，…，αm(m＞n)线性无关，则n维列向量组(2)：β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件为()。A、向量组(1)可由向量组(2)线性表示B、向量组(2)可由向量组(1)线性表示C、向量组(1)与向量组(2)等价D、矩阵A=[α1…αm]与矩阵B=[β1…βm]等价标准答案：D知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)10、试完成下列向量的运算(1)(1，2，3，)+(2，3，一2)=______，(2)(10，2，6，)一(5，12，一2)=_______。(3)3.(2，3，一5，)=_______。标准答案：(1)(1，2，3，)+(2，3，一2)=(1+2，2+3，3—2)=(3，5，1)(2)(10，2，6，)一(5，12，一2)=(10一5，2一12，6一(一2))=(5，一10，8)(3)3.(2，3，一5，)=(3×2，3×3，3×(一5))=(6，9，一15)知识点解析：暂无解析11、设3阶矩阵A=，3维列向量α=(a，1，1)T。已知Aα与α线性相关，则a=_______。标准答案：a一1知识点解析：暂无解析12、已知α1=(2，3，4，5)T，α2=(3，4，5，6)T，α3=(4，5，6，7)T，α4=(5，6，7，8)T，则r(α1，α2，α3，α4)=____________。标准答案：2知识点解析：暂无解析13、若β=(1，2，t)T可由α1=(2，1，1)T，α2=(一1，2，7)T，α3=(1，一1，一4)T线性表出，则t=______。标准答案：t=5知识点解析：暂无解析14、已知α=(3，5，7，9)，β=(一1，5，2，0)，x满足2α+3x=β，则x=_____。标准答案：知识点解析：暂无解析15、设行向量组(2，1，1，1)，(2，1，a，a)，(3，2，1，a)，(4，3，2，1)线性相关，且a≠1，则a=_________。标准答案：知识点解析：暂无解析三、计算题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)16、设向量组(I)：α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，-1，a+2)T和向量组(Ⅱ)：β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T．试问：当a为何值时，向量组(I)与向量组(Ⅱ)等价?当a为何值时，向量组(I)与向量组(Ⅱ)不等价?标准答案：对(α1，α2，α3:β1，β2，β3)作初等行变换，有(1)当a≠一1时，行列式|α1，α2，α3|=a+1≠0，由克莱姆法则，知三个线性方程组x1α1+α2x2+x3α3=βi(i=1，2，3)均有唯一解，所以β1，β2，β3可由向量组(I)线性表出。由于行列式由克莱姆法则，知三个线性方程组x1β1+x2β2+x3β3=αi(j=1，2，3)均有唯一解，即a≠一1时，向量组(I)与向量组(Ⅱ)等价。(2)当a=一1时，有由于r(α1，α2，α3)≠r(β1，β2，β3)，线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=βi(i=1，3)无解，故向量β1，β3不能由向量组(I)线性表出．因此，向量组(I)与向量组(Ⅱ)不等价。知识点解析：暂无解析17、设αi=(ai1,ai2,…，ain)T(i=1，2，…r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组的非零解向量，试判断向量组的线性相关性。标准答案：设存在一组数k1，k2，…，kr，l使得向量组α1，α2，…，αr，β满足k1α1+k2α2+…+krαr+lβ=0①因为β为方程组的非零解，所以有则β≠0，βTα1=0，…，βTαr=0。用βT左乘①，并把βTαi=0代入，得lβTβ=0因为β≠0，所以有βTβ＞0，所以l=0。从而①式为k1α1+k2α2+…krαr=0，由于α1，α2，…，αr线性无关，则k1=k2=…=kr=0。因此向量组α1，α2，…，αr，β线性无关。知识点解析：暂无解析18、求向量组α1=(1，1，4，2)T，α2=(1，一1，一2，4)T，α3=(一3，2，3，一11)T，α4=(1，3，10，0)T，的—个极大线性无关组。标准答案：把行向量组成矩阵，用初等行变换化成阶梯形，有所以．α1，α2是一个极大线性无关组。知识点解析：暂无解析19、设A，B都是m×n矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B)。标准答案：设A的列向量中αi1,αi2…，αir是其一个极大线性无关组，βj1，βj2…，βjt是B的列向量的一个极大线性无关组．那么，A的每一个列向量均可以由αi1,αi2…，αir，线性表出，B的每一个列向量均能用βj1，βj2，…，βjt线性表出．于是A+B的每一个列向量αk+βk都能用αi1,αi2…，αir，βj1，βj2,…，βjt线性表出．因此，A+B列向量组中极大线性无关组的向量个数不大于向量组αi1,αi2…，αijβj1，βj2，…，βjt．中向量个数，即r(A+B)≤r+t=r(A)+r(B)。知识点解析：暂无解析20、已知向量组α1=(一2，1，0)T，α2=(2，0，1)T线性无关，试求该向量组的规范正交向量组。标准答案：首先将其正交化，有β1=α1=(一2，1，0)T再单位化，有：知识点解析：暂无解析21、确定常数a，使向量组α1=(1，1，a)，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(一2，a，4)T，β3=(一2，a，a)T线性表出，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3，线性表示。标准答案：因为α1，α2，α3可由β1，β2，β3线性表出，而向量组β1，β2，β3不能由向量组＝1，α2，α3线性表出，故必有r(α1，α2，α3)＜r(β1，β2，β3)．于是r(α1，α2，α3)＜3，故|α1，α2，α3|==-(a一1)2(a+2)=0解出a=1或a=一2。而(β1，β2，β3)=当a=一2时，r(α1，α2，α3)=2，r(β1，β2，β3)=2，不满足r(α1，α2，α3)＜r(β1，β2，β3)，故应舍去。当a=1时，α1=α2=α3=β1，可见α1，α2，α3可由β1，β2，β3线性表出，但β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示。综上所述，a=1。知识点解析：暂无解析22、设α1=(1，1，1)，α2=(1，2，3)，α3=(1，3，t)，(1)问t为何值时，向量组α1，α2，α3线性相关。(2)问t为何值时，向量组α1,α2线性无关。(3)当线性相关时，将α3表示为α2，α3的线性组合。标准答案：设有一组数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0，则可以得到方程组此其次方程组的系数行列式(1)当t=5时，方程组有非零解，此时α1，α2，α3线性相关。(2)当t≠5时，方程组仅有零解，此时α1，α2，α3线性无关。(3)当t=5时，则α3=(1，3，5)．设α3=x1α1+x2α2。则解方程可得：x1=一1，x2=2，于是α3=-α1+2α2知识点解析：暂无解析23、设αi=(ai1,ai2,…，ain)T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关。已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组的非零解向量，试判断向量组的线性相关性。标准答案：设k1α1+k2α2+…+krαr+lβ=0(*)因为β为方程组的非0解，有即β≠0，βTα1=0，…，βTαr=0。用βT左乘(*)，并把βTαi=0代入，得lβTβ=0。因为β≠0，有βTβ＞0，故必有l=0从而(*)式为k1α1+k2α2+…+krαr=0，由于α1，α2，…，αr线性无关，所以有k1=k2=…=kr=0。因此向量组α1，α2，…，αr，β线性无关。知识点解析：暂无解析24、设4维向量组α1=(1+a，1，1，1)T,α2=(2，2+a，2，2)T，α3=(3，3，3+a，3)T，α4=(4，4，4，4+α)T，问α为何值时，α1，α2，α3，α4线性相关?当α1，α2，α3，α4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。标准答案：对(α1，α2，α3，α4)作初等行变换，有若a=0，则秩r(α1，α2，α3，α4)=1，α1，α2，α3，α4线性相关,极大线性无关组为α1，且α2=2α1，α3=3α1，α4=4α1。若a≠0，则有当a=-10时，α1，α2，α3，α4线性相关，极大无关组为α2，α3，α4，且α1=一α2—α3—α4。知识点解析：暂无解析25、已知向量组(I)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)α1，α2，α3，α5，如果各向量组的秩分别为r(I)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4．证明：向量组α1，α2，α3，α5一α4的秩为4。标准答案：要证α1，α2，α3,α5一α4的秩为4，只要证明α1，α2，α3，α5一α4线性无关即可。因为r(I)=r(Ⅱ)=3，所以α1，α2，α3线性无关，而α1，α2，α3，α4线性相关，故存在数λ1，λ2，λ3，使α4=λ1α1+λ2α2+λ3α3设存在一组数k1，k2，k3，k4，使得k1α1+k2α2+k3α3+k4(α5一α4)=0将α4=λ1α1+λ2α2+λ3α3代入上式有：(k1—λ1k4)α1+(k2-λ2k4)α2+(k3-λ3k4)α3+k4α5=0由r(Ⅲ)=4，可知解得：k1=k2=k3=k4=0，故α1，α2，α3，α5—α4线性无关即向量组α1，α2，α3，α5一α4的秩为4。知识点解析：暂无解析26、设A是n阶矩阵，A2=E，证明：r(A+E)+r(A—E)=n。标准答案：由A2=E，得到A2一E=0，即(A—E)(A+E)=0。故r(A+E)+r(A—E)≤n又因为r(A+E)+r(A—E)=r(A+E)+r(E-A)≥r[(A+E)+(E-A)]=r(2E)=r(E)=n综上，r(A+E)+r(A-E)=n。知识点解析：暂无解析27、设α1=(1，1，1)T，求α2，α3，使α1，α2，α3相互正交。标准答案：设所求向量为x=(x1，x2，x3)T，因为正交，所以xTα1=0。即x1+x2+x3=0，即x1=一x2一x3。取b1=(1，一1，0)T，b2=(1，0，一1)T。由于题中要求α1，α2，α3相互正交，而所得出的b1，b2不相互正交。故应采用施密特正交法处理即：α2=b1=(1，一1，0)T，此时的α1，α2，α3相互正交。知识点解析：暂无解析28、已知α1=(1，1，0，2)T，α2=(一1，1，2，4)T，α3=(2，3，a，7)T，α4=(一1，5，一3，a+6)T，β=(1，0，2，b)T，问a，b取何值时，(1)β不能由α1，α2，α3，α4线性表标准答案：设x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β，对增广矩阵(α1，α2，α3，α4:β)作初等行变换，有所以(1)当a=1，b≠2或a=10，b≠一1时，方程组均无解．所以β不能由α1，α2，α3，α4线性表示。(2)当a≠1且a≠10时，方程组有唯一解，所以β能由α1，α2，α3，α4线性表示，且表示法唯一。(3)方程组在两种情况下有无穷多解，即i当a=10，b=一1时：ii当a=1，b=2时：知识点解析：暂无解析29、已知有两个向量组：(I)：β1=(0，1，一1)T，β2=(a，2，1)T，β3=(b，1，0)T；(Ⅱ)：α1=(1，2，一3)T，α2=(3，0，1)T，α3=(9，6，一7)T已知(I)与(Ⅱ)有相同的秩，标准答案：由于α1，α2线性无关，且α3=3α1+2α2；故α1，α2为(Ⅱ)的一个极大无关组，所以r(Ⅱ)=2，故由题设条件知r(I)=2．则可知|β1β2β3|=0即|β1β2β3|==3b一a=0，即a=3b。再由题设的β3可由(Ⅱ)线性表出，知β3可由(Ⅱ)的极大无关组α1，α2线性表示，因此向量组α1，α2，β3线性相关，故有所以a=15．b=5知识点解析：暂无解析30、设3阶行列式A与3维向量x，使得向量组x，Ax，A2x线性无关，且满足：A3x=3Ax一2A2x(1)记P=(x，Ax，A2x)，求3阶矩阵B，使A=PBP-1；(2)计算行列式|A+E|。标准答案：(1)因为AP=(Ax，A2x，A3x)，而Ax=0x+Ax+0A2x=[xAxA2x]A2x=0x+0Ax+A2x=[xAxA2x]A3x=3Ax一2A2x=[xAxA2x]故(2)由(1)知A与B相似，故A+E与B+E相似，从而知识点解析：暂无解析31、设A是n阶矩阵，α1，α2，α3是n维列向量，如果Aα1=α1≠0，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3，证明向量组α1，α2，α3线性无关。标准答案：设存在一组实数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0(1)(1)式的两端同时左乘A并由已知条件，得k1α1+k2(α1+α2)+k3(α2+α3)=0(2)(2)一(1)得：k2α1+k3α2=0(3)(3)式的两边同时左乘A并由已知条件，得k2α1+k3(α1+α2)=0(4)(4)一(3)得：k3α1=0，由于α1≠0，则k3=0，由(3)得k2α1→k2=0由(1)可得k1=0故向量组α1，α2，α3线性无关。知识点解析：暂无解析32、已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解。(1)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；(2)求a，b的值及方程组的通解。标准答案：(1)设α1，α2，α3是非齐次线性方程组AX=b的3个线性无关的解，那么α1一α2，α1一α3，是Ax=0线性无关的解，所以n—r(A)≥2，即r(A)≤2(n=4)。显然矩阵A中有2阶子式不为0，则有r(A)≥2，从而秩r(A)=2。(2)对增广矩阵作初等行变换，有由知a=2，b=一3．又a=(2，一3，0，0)T是Ax=b的解，且η1=(一2，1，1，0)T，η2=(4，一5，0，1)T是Ax=0的基础解系。所以方程组的通解为α+k1η1+k2η2(k1，k2为任意常数)知识点解析：暂无解析33、当k为何值时，线性方程组有唯一解，无解，有无穷多解?若有解时，试求出其全部解。标准答案：根据线性方程可以得出系数矩阵A的行列式为当k≠4，且k≠一1时，方程组有唯一解，用克莱姆法则求之得当k=一1时，方程组的增广矩阵为因为r(A)=2，所以方程组无解。当k=4时，方程组的增广矩阵为=r(A)=2，可知方程组有无穷多解，于是知识点解析：暂无解析经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷第3套一、单项选择题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)1、下列各项中，为某五阶行列式中带有正号的项是()。A、a13a44a32a41a55B、a21a15a32a41a54C、a31a25a43a14a52D、a15a31a22a44a53标准答案：D知识点解析：暂无解析2、设A是3阶方阵，且|A|=2，则|—|AA|等于()。A、4B、一4C、16D、一16标准答案：D知识点解析：暂无解析3、齐次方程组的系数矩阵为A，若存在三阶矩阵B≠0，使得AB=0，则()。A、λ=一2，且|B|=0B、λ=一2且|B|≠0C、λ=1，且|B|=0D、λ=1且|B|≠0标准答案：C知识点解析：暂无解析4、设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则()。A、当m＞n时，必有行列式|AB|≠0。B、当m＞n时，必有行列式|AB|=0。C、当n＞m时，必有行列式|AB|≠0。D、当n＞m时，必有行列式|AB|=0。标准答案：B知识点解析：暂无解析5、设矩阵A是n阶的，经过若干次初等变换得到矩阵B，则必有()。A、|A|=|B|B、|A|≠|B|C、若|A|＞0，则|B|＞0D、若|A|=0，则|B|=0标准答案：D知识点解析：暂无解析6、若α1，α2，α3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式|α1，α2，α3，β1|=m，|α1，α2，β2，α3|=n，则4阶行列式|α3，α2，α1，β1+β2|=()。A、m+nB、一(m+n)C、n—mD、m—n标准答案：C知识点解析：暂无解析7、设f(x)=则方程f(x)=0的根的个数为()。A、1B、2C、3D、4标准答案：B知识点解析：暂无解析8、是A=(aij)3×3，满足A*=AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，如果a11,a12，a13为三个相等的正数，则a11为()。A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：暂无解析9、行列式等于()。A、1000B、-1000C、2000D、一2000标准答案：C知识点解析：暂无解析10、设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，且|A|=a，|B|=b，若M=则|M|=()。A、一3abB、3mabC、(一1)mn3mabD、(一1)(m+1)n3mab标准答案：D知识点解析：暂无解析11、关于命题“方阵A满足A2=A，且A≠E，则A不可逆”有如下四种证明，正确的是()。A、由于A2=A，所以|A|2=|A|，故|A|(|A|一1)=0．因为A≠E，故|A|≠1．因此|A|=0，A不可逆B、由于A2=A，故A(A—E)=0，因为A≠E，所以因为A=0，所以A不可逆C、反证法：若A可逆，在A2=A两边左乘A-1，得A=E，与假设条件A≠E矛盾，所以A不可逆D、由于A2=A，故A(A—E)=0．从而|A||A—E|=0，因为A≠E，所以因为|A—E|≠0，因此因为|A|=0，A不可逆标准答案：C知识点解析：选项(A)中错误的认为A≠E，则|A|≠1．因为在实际中，矩阵可以不等，但是行列式是可以相等的。故(A)错误。选项(B)中由A≠E，推出A=0，这是一种严重的错误，矩阵的运算并没有像数量运算那些特征。选项(C)是正确的。选项(D)中A≠E，推出|A—E|≠0，这也是一种常见的错误。12、已知3阶矩阵A可逆，将A的第2列与第3列交换得B，再把B的第1列的一2倍加到第3列得到C，则满足PA-1=C-1的矩阵P为()。A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：根据题中要求我们可以得出则可以推出：即应选(B)13、设A，P都是三阶方阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP=若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，则QTAQ为()。A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：Q=(α1+α2，α2，α3)=(α1，α2，α3)记作Q=PB，因此QT=BTPT，故QTAQ=BTPTAPB=BT(PTAP)B=二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)14、设矩阵矩阵B满足ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，E是三阶单位矩阵，则|B|=_______。标准答案：知识点解析：因为AA*=A*A=|A|E，而|A|=3，将原矩阵方程两端右乘A，有3AB=6B+A，3(A一2E)B=A，33|A一2E||B|=|A|15、设n阶矩阵A=则|A|=_____。标准答案：知识点解析：由于矩阵A具有多行(列)加起来是同一个常数这个特征，故我们可以将各列都加到第n列，再利用行列式的性质进行计算。16、已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关的列向量，如果Aα1=α1+α2，Aα2=α2+α3，Aα3=α1+α3，则行列式|A|=________。标准答案：2知识点解析：暂无解析17、设A，B均为n阶矩阵，|A|=2，|B|=一3，则|2A-1B*|=__________；|A-1B*一A*B-1|=_________。标准答案：(一1)n-16n-1，知识点解析：暂无解析18、设B是非零矩阵，且AB=0，则a=_______。标准答案：a=5知识点解析：暂无解析19、若的代数余子式A12=一1，则代数余子式A21=________。标准答案：2知识点解析：暂无解析20、若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为则行列式|B-1一E|=________标准答案：24知识点解析：暂无解析21、设矩阵且秩r(A)=3，则k=______。标准答案：3知识点解析：由于=(k+3)(k一1)3由于r(A)=3＜4，则k=1或k=3。而k=1时，显然r(A)=1．故k=3。22、设α，β均为3维列向量，βT是β的转置矩阵，如果则αTβ=_______。标准答案：5知识点解析：设α=(α1，α2，α3)T，β=(b1，b2，b3)T，则而αTβ=(a1，a2，a3)a1b1+a2b2+a3b3，注意到αTβ正是矩阵αβT的主对角线元素之和，所以αTβ=1+6+(一2)=5。23、试完成下列各小题(1)已知三角矩阵A的逆矩阵为A-1=则A的伴随矩阵A*的逆矩阵为_________。(2)设A=其中ai≠0，i=1，2，…，n，求A-1。标准答案：知识点解析：(1)由AA*=|A|E，知A*=|A|A-1,(A*)-1=三、计算题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)24、已知a23a31aija64a56a15是6阶行列式中的一项，试确定i，j的值，然后确定该项所带的符号为正还是为负．标准答案：由于在行列式的计算中，是不同行不同列相乘再加总而得到行列式的值的，由此可知该题中i=4，j=2。关于所带的符号，我们可以根据得出的逆系数的奇偶性来判断。由于逆系数是把该项中的行指标或逆指标固定，而计算另外一组下表的奇偶数来分析的。本题中我们将行标按顺序排列固定得到：a15a23a31a42a56a64则其列下表的数字依次为5，3，1，2，6，4，逆系数τ=4+2+0+0+1=7即为奇数，从而该项前的符号应为负的。知识点解析：暂无解析25、已知A=若|λE—A|=0，求λ的值。标准答案：|λE—A|=0所以λ=0(二重根)。λ=一2知识点解析：暂无解析26、设A为n阶非零矩阵，A*是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，当A*=AT时，证明|A|≠0。标准答案：由于A*=AT，根据A*的定义有Aij=aij(，j=1，2，…，n)，其中Aij是行列式|A|中aij的代数余子式。因为A为n阶非零矩阵，不妨设aij≠0，那么|A|=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin=ai12+ai22+…ain2＞0故|A|≠0。知识点解析：暂无解析27、试计算下列行列式标准答案：(1)一9(2)从第1行开始，依次把每行加至下一行，得知识点解析：暂无解析28、已知ξ是n维列向量，且ξTξ=1，如果A=E一ξξT，证明：|A|=0。标准答案：因为Aξ=Eξ一ξξTξ=ξ一ξ=0，所以ξ是齐次方程组Ax=0的非零解，故|A|=0．知识点解析：暂无解析29、设n元线性方程组Ax=b，其中证明行列式|A|=(n+1)an。标准答案：记n阶行列式|A|的值为Dn。当n=1时，D1=2a，命题正确；当n=2时，=3a2,命题正确当n=k时，按第一列展开，则有=2aDk-1—a2Dk-2=2a(kak-1)一a2[(k一1)ak-2]=(k+1)ak即|A|=(n+1)an。知识点解析：暂无解析30、设F(x)=求(1)x4的系数；(2)x3的系数；(3)常数项。标准答案：(1)1(2)一(a11+a22+a33+a44)知识点解析：暂无解析31、设A=求(A*)-1。标准答案：知识点解析：暂无解析32、已知A是α1,α2阶对称矩阵，B是)阶发对称矩阵，证明α1，α2是对称矩阵。标准答案：因为A=．r(A*)=1，则有a=b≠0所以a≠b是对称矩阵。知识点解析：暂无解析33、已知试求AB。标准答案：知识点解析：暂无解析34、求A=的逆矩阵。标准答案：用伴随矩阵得知识点解析：暂无解析35、已知A是n阶对称矩阵，且A可逆，如(A—B)2=E，化简(E+A-1BT)T(E一BA-1)-1。标准答案：原式=[ET+(A-1BT)T][AA-1一BA-1]-1=[E+B(A-1)T][(A一B)A-1]-1=[E+B(AT)-1]A(A—B)-1=(E+BA-1)A(A-B)=(A+B)(A一B)。知识点解析：暂无解析36、设B=矩阵满足关系式：X(E—C-1B)TCT=E，求X。标准答案：X(E—C-1B)TCT=X[C(E—C-1B)]T=X(C一B)T=E即X=X(C一B)T[(C—B)T]-1=E[(C一B)T]-1=[(C—B)T]-1知识点解析：暂无解析经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷第4套一、单项选择题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)1、要使部是线性方程组Ax=0的解，只要系数矩阵A为()。A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：暂无解析2、设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯型矩阵是则自由变量不能取成()。A、x4，x5B、x2，x3C、x2，x4D、x1，x3标准答案：A知识点解析：暂无解析3、设ξ1，ξ2，ξ3是Ax=0的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示成()。A、ξ1，ξ2，ξ3的一个等价向量组B、ξ1，ξ2，ξ3的一个等秩向量组C、ξ1，ξ1+ξ2，ξ1+ξ2+ξ3D、ξ1一ξ2，ξ2一ξ3，ξ3一ξ1标准答案：C知识点解析：暂无解析4、设A为n阶方阵，且秩(A)=n一1，α1，α2是Ax=0的两个不同的解向量，则Ax=0的通解为()。A、kα1B、kα2C、k(α1一α2)D、k(α1+α2)标准答案：C知识点解析：暂无解析5、对于n元方程组，下列命题正确的是()。A、如果Ax=0只有零解，则Ax=b有唯一解B、如果Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多解C、如果Ax=b有两个不同的解，则Ax=0有无穷多解D、Ax=b有唯一解的充要条件是r(A)=n标准答案：C知识点解析：暂无解析6、已知β1，β2是Ax=b的两个不同的解，α1，α2是相应齐次方程组Ax=0的基础解系，k1，k2是任意常数，则Ax=b的通解是()。A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：暂无解析7、设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*≠0，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的其次方程组Ax=0的基础解系()。A、不存在B、仅含一个非零解向量C、含有两个线性无关的解向量D、含有三个线性无关的解向标准答案：B知识点解析：暂无解析8、n阶矩阵A可逆的充分必要条件是()。A、任一行向量都是非零向量B、任一列向量都是非零向量C、Ax=b有解D、当x≠0时，Ax≠0，其中x=(x1，x2,…，xn)T标准答案：D知识点解析：暂无解析9、设A是m×n矩阵，则下列命题正确的是()。A、如m＜n，则Ax=b有无穷多解B、如Ax=0只有零解．则Ax=b有唯一解C、如A有n阶子式不为零，则Ax=0只有零解D、AX=b有唯一解的充分必要条件是r(A)=n标准答案：C知识点解析：暂无解析10、非齐次线性方程组Ax=b中未知量的个数为n，方程组个数为m，系数矩阵A的秩为r，则明天正确的是()。A、r=m时，方程组Ax=b有解B、r=n时，方程组Ax=b有唯一解C、m=n时，方程组Ax=b有唯一解D、r＜n时，方程组Ax=b有无穷多解标准答案：A知识点解析：暂无解析11、若线性方程组无解，则k=()。A、6B、3C、3D、2标准答案：A知识点解析：暂无解析12、设线性无关的向量组z1，z2，z3，z4可由向量组β1，β2，…，βs线性表示，则必有()。A、β1，β2，…，βs线性相关B、β1，β2，…，βs线性无关C、s≥4D、s＜4标准答案：C知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)13、设η1，η2，…ηs。是方程组Ax=b的解，若k1η1+k2η2+…+ksηs也是Ax=b得解，则k1，k2，…，ks应满足条件______。标准答案：k1+k2+，…，+ks=1知识点解析：暂无解析14、设η1，η2，η3位Ax=0的基础解系，则λη1一η2,η2-η3，η3一η1也是Ax=0的基础解系的充要条件是________。标准答案：λ≠1知识点解析：暂无解析15、齐次线性方程组只有零解，则k应满足的条件是________。标准答案：知识点解析：暂无解析16、设A是4阶方阵，且秩(A)=2，则齐次线性方程组A*x=0(A*是A得伴随矩阵)的基础解系所包含的线性无关解向量的个数为________。标准答案：4知识点解析：暂无解析17、设A、B为三阶方阵，其中且已知方阵X，使得AX=B，则k=______标准答案：k=-2知识点解析：暂无解析18、已知方程组总有解，则λ应满足________。标准答案：知识点解析：暂无解析19、设A为三阶非零矩阵，B=且AB=0，则Ax=0的通解是_________。标准答案：k1(1，4，3)T+k2(一2，3，1)T知识点解析：暂无解析20、设A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是________。标准答案：k1(1，4，7)T+k2(2，5，8)T知识点解析：暂无解析21、已知方程组的通解是(1，2—1，0)T+k(一1，2，一1，1)T，则a=________。标准答案：3知识点解析：暂无解析22、已知如果矩阵方程Ax=B有解但不唯一，则a=_________。标准答案：a=-2知识点解析：暂无解析三、计算题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)23、已知下列线性非齐次方程组(I)，(Ⅱ)(1)求解方程组(I)，用其求出的基础解析表示通解(2)当方程组中的参数m，n，t为何值时，(I)和(Ⅱ)是同解方程组?标准答案：(1)对(I)的增广矩阵进行初等行变换化为阶梯型有求得(I)的通解为(一2，一4，一5，0)T+k(1，1，2，1)T(2)将η0=(一2，一4，一5，0)T代入(Ⅱ)，得m=2，n=4，t=6，则(Ⅱ)为将η1=(1，1，2，1)T代入(Ⅱ)的导出齐次方程Bx=0也满足，易证η1=(1，1，