《数学教学案 教学设计》高考数学复习讲稿 09 立体几何 （文）

《数学教学案教学设计》高考数学专题复习精品讲

稿（教师版）

专题09立体几何文（教师版）

【考点定位】2011考纲解读和近几年考点分布

2012考纲解读

考纲原文：

（1）空间几何体①认识柱、锥、台、球及其简单组合侬的结构特征，并能运用这些特征

描述现实生活中简单物体的结构造画出二单空间口形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱

等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表广的立体模型，会用斜二测法画出它们

的直观图.③会用平行投影与中心二影两种方法民空面单空间图形的三视图与直观图，了

解空间图形的不同表示形式.④会画某些二北湖的视图与可观图（在不影响图形特征的基础

上，尺寸、线条等不作严格要求）.⑤：解球、棱柱、波锥、台的表面积和体积的计算公式

（不要求记忆公式）.

（2）点、直线、平面之间的位置关系①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下

可以作为推理依据的公理和定理.♦公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这

条直线上所有的点在此平面内.♦公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.

♦公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

♦公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.♦定理：空间中如果一个角的两边与另

一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.

②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有

关性质与判定定理.理解以下判定定理.♦如果平面外一条直线与此平面内的一条直线

平行，那么该直线与此平面平行.♦如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，

那么这两个平面平行.♦如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与

此平面垂直.♦如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解以下性

质定理，并能够证明.♦如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面

相交，那么这条直线就和交线平行.♦如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们

的交线相互平行.♦垂直于同一个平面的两条直线平行.♦如果两个平面垂直，那么一个平面

内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些

空间图形的位置关系的简单命题.

考纲解读：

空间几何体的三视图是考查的重成，以小题％王；由给出的三视图（或其一部分），然后想

像其直观图并求其体积与表面积，是常见题型；’主意由给巴的三视图（或其一部分），然后

想像或作出其直观图，从而与点、&、面的仁直关系问题相结合；注意由空间几何体可以画

出它的三视图，反之由三视图也可还原R何体,两者今晨得互转化;注意与球有关的问题（表

面积、体积、蛆合体及其三视图）.任意三视图;，•等式（求棱长的范围、体积的最值等）

的结合；点、线、面的位置关系是考查小工广，尤其是文尹，注意符号语言、文字语言、图

形语言的转换（尤其在选择填空题中）.注意总结常见的一些几何体，以及它们非常规放置

的情况；文科主要是传统的逻辑推它址明或计卷间题

近几年考点分布

立体几何在高考中占据重要的地巫，通过这几年的高考情况分析，考察的重点及难点稳定，

高考始终把直线与直线、直线与力5、平面与平面平行的性质和判定作为考察重点.在难度

上也始终以中等偏难为主，在新课标公材中将立付二心要求进行了降低，重点在对图形及几

何体的认识上，实现平面到空间的转廿.二一次深化和拓吧的重点，因而在这部分知识点上

命题，将是重中之重.高考对立体几何的考查侧重以下几个方面：1.从命题形式来看，涉

及立体几何内容的命题形式最为多变.除保留传统的“四选一”的选择题型外，还尝试开

发了“多选填空”、“完型填空”、“构造填空”等题型，并且这种命题形式正在不断完善

和翻新；解答题则设计成几个小问题，此类考题往往以多面体为依托，第一小问考查线线、

线面、面面的位置关系，后面几间考查空间角、空间距离、面积、体积等度量关系，其解题

思路也都是“作——证—求”，强调作图、证明和计算相结合。2.从内容上来看，主要

是：①考查直线和平面的各种位置关系的判定和性质，这类试题一般难度不大，多为选择题

和填空题；②计算角的问题，试题中常见的是异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平

面与平面所成的二面角，这类试题有一定的难度和需要一定的解题技巧，通常要把它们转化

为相交直线所成的角；③求距离，试题中常见的是点与点之间的距离，点到直线的距离，点

到平面的距离，直线与直线的距离，直线到平面的距离，要特别注意解决此类问题的转化方

法；④简单的几何体的侧面积和表面积问题，解此类问题除特殊几何体的现成的公式外，还

可将侧面展开，转化为求平面图形的面积问题：⑤体积问题，要注意解题技巧，如等积变换、

割补思想的应用。⑥三视图，辨认空间几何体的三视图，三视图与表面积、体积内容相结合。

3.从能力上来看，着重考查空间急家能力、如空间方亦的现察分析和抽象的能力，要求是

“四会”：①会画图一一根据题设夕:牛画出过后题意的2形或画出自己想作的辅助线（面），

作出的图形要直现、虚实分明；②会识图一一根据财：，洽出的图形，想冢出立体的形状和有

关线面的位置关系；③会析图一一对图形过；\妄的分解、组合；④会用图一一对图形或其

某部分进行平移、翻折、旋转、展开;.••安行割补术；考查逻辑思维能力、运算能力和探索能

力.

【考点pk】名师考点透析

考点一、空间几何体的结构、三视图、直观图

例1：已知四棱锥尸-力88的三视图如下图所示，其中主视

图、侧视图是直角三角形,俯视图是有一条对角线的正方形.E是

侧棱PC上的动点.（I）求证：BDLAE（II）若E为尸C的

中点，求直线3E与平面尸3。所成角的正弦值；

(Ill)若五点C,。,尸在同一球面上，求该球的体积.

⑴证明：由已知1。。3仁/。_1。(：匚>尸。_面且38-2分

BDc面,18CZ>=BDLPC,

又因为BD±AC,：.BD1面X4C,又：ALu面H4C.二BD±AE.……4分

⑵连AC交BD于点0,连P0,由⑴知”一面EiC,n汽dEOJL面PJC,

过点E作团一尸阡H,则EH±面尸5。,

NEBH为3E与平面PBD所成的角.3分

1

1厂~

■：EH=-,BE=^2^^nZEBH=^.--10^A

3、，幺6

(3)解：以正方形，超C。为底面，厂J为高补£区方体，

此时对角线的长为球的直径，二2RM4=JI+1+4=JLV=-KR3=46.

’3

【名师点睛】了解柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现

实生活中的简单物体的结构。能画出简单空间几何体的三视图，能识别上述三视图所表示的

立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图。能用平行投影与中心投影两种方法画出简单

空间几何体的三视图与直观图。了解空间几何体的不同表示形式。会画某建筑物的视图与直

观图。

空间几何体的结构与视图主要培养观察能力、归纳能力和空间想象能力，能通过观察几

何体的模型和实物，总结出柱、锥、台、球等几何体的结构特征；能识别三视图所表示的空

间几何体，会用材料制作模型，培养动手能力。

考点.、空间几何体的表面积和体积

例2：已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主

视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视

图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.(1)求该几何体的体积V；

(2)求该儿何体的侧面积S

解：山已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4,顶点在底面的射影是矩形中

心的四棱锥V-ABCD。(1)V=；x(8x6)x4=64

(2)该四棱锥有两个侧面VAD.VBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为

另两个侧面VAB.VCD也是全等的等腰三角形,

AB边上的高为%=｛甲=5因此5=2(^x6x472+|x8x5)=40+2472

【名师点睛】理解柱、锥、台的侧面积、表面积、体积的计算方法，了解它们的侧面展开图，

及其对计算侧面积的作用，会根据条件计算表面积和体积。理解球的表面积和体积的计算方

法。

把握平面图形与立体图形间的相互转化方法，并能综合运用立体几何中所学知识解决有关问

题。

考点三、点、线、面的位置关系

例3：如图1,在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分

别是边BC、CD上的点，且空=空=2,贝IJ()

CBCD3

(A)EF与GH互相平行

(B)EF与GH异面

(C)EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC

上

(D)EF与GH的交点M一定在直线AC上

解：依题意，可得EH〃BD,FG〃BD,故EH〃FG,由公理2可知，

FG2

E、F、G、H共面，因为EH=-BD,——=-,故EHWFG,所以，

2BD3

EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M,因为点M在EF上，故

点M在平面ACB上，同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB

与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，由公理3可知，点M-定在平面ACB

与平面ACD的交线AC上。选(D)。

【名师点睛】理解空间中点、线、面的位置关系，了解四个公理及其推论；空间两直线的三

种位置关系及其判定；异面直线的定义及其所成角的求法。

通过大量图形的观察、实验，实现平面图形到立体图形的飞跃，培养空间想象能力。会

用平面的基本性质证明共点、共线、共面的问题。

考点四、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

例4：在棱长为a的正方体-月圈G4中，

E是续段4G的中点，乂。03。=尸.(I)求证:应)；(II)求

证:CE〃平面.\BD；(III)求三棱锥D-A.BC的体积.

解：(I)证明：根据正方体明性质ADJ"伸C,……2分

因为,刎上平面13。，BDu邛面一181二,所以尸2/，,也，又

=A所以BD，平面,CF一平面,

所以......5分

(II)证明：连接4尸，

因为AAJ!BBJCG，也4=BBl=

所以月CG4为平行四边形，

因此4G〃HC，4G=xc

由于E是线段4G的中点，所以CEUFAV8分因为马u

面,\BD,CE(Z平面4BD,

所以CE〃平面.....10分

“ID=々-BCD=SgcD,412分

【名师点睛】掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质定理，能用判定定理

证明线面平行、面面平行，会用性质定理解决线面平行、面面平行的问题。

通过线面平行、面面平行的证明，培养学生空间观念及及观察、操作、实验、探索、合

情推理的能力。

考点五、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

例5：如图，已知A8_L平面MCD,DE"AB,AD=AC=DE=2AB=2,且尸是CD

的中点.AF=43

(I)求证：4F〃平面BCE；(II)求证：平面充瓦1_平面CD©(m)求此多面

体的体积.

解：(I)取原中点尸，连结"、牛,

,:F为侬的中点，；.杼〃以，且rP=DE.

又AB//班，且份gDE.：.Aff//FIa.GFR

...小F为平行四边形，...如〃「,.…3公

又：四仁平面比石赤U平面灰苫.

」.心〃平面反方...5分

(II)-：,4F=^3:.CD=2,所以△力少为正三角形,

AFA.CD'：ABA,平面ACD,DE//AB：.DEL平面ACD又AFu平面ACD：.DEA.AF又AFX.CD,CD

CDE=D

平面CDE8分又BP//AF二"L平面侬又平面兆瓦•.平面比五1平面

碗'…10分

(III)此多面体是一个以C为定点，以四边形ABED为底边的四棱锥，5B"介=」+2)/2=3,

/AIDEU

面48QE，面NQC等边三角形AD边上的高就是四棱锥的高

Vc-ABDE=；x3Xy[i=6

【名师点睛】掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定与性质定理，能用判定定理

证明线线垂直、线面垂直、面面垂直，会用性质定理解决线面垂直、面面垂直的

通过线面垂直、面面垂直的证明，培养学生空间观念及及观察、操作、实验、探索、合

情推理的能力。

考点六、空间中的夹角与距离

B

例6：如图，四面体/8CO中，。、E分别肛8c的中点，

CA=CB=CD=BD=2(I)求证：NO_L平面BCD：

(II)求异面直线AB与CD所成角的余弦值；

(III)求点E到平面的距离.

本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所

成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。

方法一：(I)证明：连结

0CBO=DO,AB=AD,AO1BD.•：BO=DO,BC=CD,CO1BD.

在A40c中，由已知可得NO=1,CO=JI而ZC=2,

.•./O2+CO2=4。2,../oc=9o。，即力..8。。。。=。，.•.力。，平

面BCD

(II)解：取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知MS〃AB,OE〃DC

直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在AOME中，

1i1

EM=—AB=j0E=—DC=l,;0M是直角MOC

222

1万

斜边AC上的中线，.,.0M=—ZC=1,AcosZOEM=—,

24

：.异面直线AB与CD所成角的余弦值为注

4

(IH)解：设点E到平面ACD的距离为〃.

••V=V

•'E-ACD，A-CDE，

''§5A^8=§OS^cDE,

在AJCZJ中,

1百

1XV21

_1XV32_V3J0.5ACD£_T

而NO=1,SSCDE

242^MCD近不

3

而

二点E到平面ACD的距离为二一.

7

方法二：(D同方法、

(II)解：以0为原点，如图建立空间直角坐标系,

则8(1,0,0),。(-1,0,0),

C(0,百,0),Z(0,0,1)尾,等,0)，而=(T，0,1)，丽=(T-百，0>

,cos〈阪丽”与巴二夜,异面直线AB与CD所成角的余弦值为—

画卬|44

n.AD=(x,y,z).(-l,0,-l)=0,

(III)解：设平面ACD的法向量为3=(x,y,z),则

n.AC=(x,y,z).(0,百,-1)=0,

X4-Z=0,一LL

・•.《L令歹=1,得〃=(一6,1,百)是平面ACD的一个法向量。又

y/3y-z=0.

\EC-n\_V3_V2?

EC=—,0),.♦.点E到平面ACD的距离力

22|n|不7

【名师点睛】空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要

理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为(0°,90°］、［0°,90°］和［0°,180

0］.

(1)两条异面直线所成的角

求法：①先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然

后通过解三角形去求得；©通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直

7T

线所成角得范围是(0,1］,向量所成的角范围是［0,4］,如果求出的是钝角，要注意转化成

相应的锐角

(2)直线和平面所成的角

求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平面的

斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”

(3)二面角的度量是通过其平面角来实现的

解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解

题的关键。通常的作法有：(I)定义法；(II)利用三垂线定理或逆定理；(III)自空间•

点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法.此外，当作二面角的平面

S'

角有困难时，可用射影面积法解之，cos=—,其中S为斜面面积，S'为射影面积，

S

为斜面与射影面所成的二面角

空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线

线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离.因

此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段

的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的求距离的重点在点到平面

的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的

距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。求法：①“一找二证三求”，三步都必须

要清楚地写出来。②等体枳法。

【三年高考】10、11、12高考试题及其解析

12高考试题及其解析

一、选择题

1.（2012年高考（重庆文））设四面体的六条棱的长分别为

1,1,1,1,0和。且长为。的棱与长为正的棱异面,则a

的取值范围是

A.（0,V2）B.[0,5C.（1,V2）

【答案】：A

【解析】:BE==避,8F<BE_1BF〈垃,

【考点定位】本题考查棱锥的结构特彳巧瓷空间想冢能力,极限思想的应用,是中档题..

2.（2012年高考（浙江文））设/是直线,a,B是两个不同的平面（）

A.若/〃a,/〃B,则a〃BB.若/〃a,/_LB,贝ija,B

C.若aj_6,/J_a，则/_LBD.若a_LB,/〃a,则/_LB

【答案】B

【命题意图】本题考查的是平面几何的基本知识，具体为线面平行、线面垂直、面面平行、

血面垂直的判定和性质.

【解析】利用排除法可得选项B是正确的，a,/_LB,则a_LB.如选项A:/〃a,/〃B

时，a_L6或a〃B;选项C:若a_LB,/_La,/〃B或/u;选项D:若若a_L6,/±

a,/〃B或/LB.

3.（2012年高考（浙江文））已知某三棱锥的三视图（单位:cm）如图所示,则该三棱锥的

体积是（）

A.1cm'1B2cm"C.3cm'

【答案】C

【命题意图】本题考查的是三棱锥的三视图问题，体现了对学

生空间想象能力的综合考查.

【解析】由题意判断出,底面是一个直角三角形,两个直角边分

别为1和2,整个棱锥的高由侧视图可得为3,所以三棱锥的体

积为‘x'xlx2x3=l.

32

4.（2012年高考（四川文））如图，半径为7?的半球。的底面

圆。在平面a内，过点。作平面a的垂线交半球面于点A,过

圆0的直径CD作平面a成45。有

面g的距离最大的点为8,该交线上的一点P满足N8。尸=60,则Z、P两点间的球面距

离为（）

,V2r兀R八c下）、兀R

A.Rarccos---B.---C.Rarccos—D.---

4433

［答案］A

【解析】以0为原点，分别以OB、0C、0A所在直线为x、y、z轴，则

/GPAO*PO逝“3VIp、,1R小口z

R。41222

V272

ZAOP=arccos----,/.AP=■■arccos-----

44

［点评］本题综合性较强,考查知识点较为全面，题设很自然的把向量、立体几何、三角函数

等基础知识结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数

学基本功.

5.（2012年高考（四川文））下列命题正确的是（）

A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行

B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行

C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

［答案］C

【解析】若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行，也可能为异面直线,也可

能相交,所以A错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面

平行,故B错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D错;故选项C正

确.

［点评］本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质,需要熟练掌握课本基

础知识的定义、定理及公式.

6.（2012年高考（陕西文））将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥,得到图2所示的几何

体,则该几何体的左视图为

舸阳2

区N凶N

（A）.（B）（C）（D）

【解析】画出三视图,‘故选B

7.（2012年高考（课标文））平面c截球0的球面所得圆的半径为1,球心0到平面a的距离

为啦,则此球的体积为

A.乖贝B.4m贝

C.4^/6nD.6^/3Jt

【解析】B

8.（2012年高考（课标文））如图，网格上小正方形的边长为

1,粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为

A.6B.9C.12D.18

【命题意图】本题主要考查简单几何体的三视图及体积计算,

是简单题.

【解析】由三视图知,其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长

为6,这边上高为3,棱锥的高为3,故其体积为』x1x6x3x3=9,故选B.

32

9.（2012年高考（江西文））若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为

()

A.—B.5

2

9

C.4D.-

2

【答案】c

【解析】本题的主视图是一个六棱柱，由三视图可得地面为变长为1的正六边形，高为1,则

直接带公式可求该直六棱柱的体积是：2X；（3+1）X1X1=4,故选C.

【考点定位】本题是基础题,考查三视图与地观图的关系,注意几何体的位置与放法是解题的

关键，考查空间想象能力，转化思想、计算能力.

10.（2012年高考（湖南文））某儿何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该儿何体的俯视

图不可能是

【答案】D

【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下

面图为圆柱或直四棱柱,上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,A,B,C,都可能是该

儿何体的俯视图,1）不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.

【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年来热点题型.

11.（2012年高考（广东文））（立体几何）某几何体的三视图如图1所示，它的—6t

体积为

A.72万B.48万

图1

俯视图

C.304D.241

【解析】该几何体下部分是半径为3,高为4的圆锥，体积为/=,x7x32x4=12;r,上部分

3

14

是半球,体积为/=—X—X万X3?=18］，所以体积为30万.

23

12.（2012年高考（福建文））一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不

可以是

A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱

【解析】分别比较A、B、c的三视图不符合条件-a-

【考点定位】考查空间几何体优二视图与真十二”.考查空间想象能力、逻辑推理能力.

13.（2012年高考（大纲文））已知正四棱柱ABCD_4B£Di

中，Z3=2,C0=2夜，E为的中点，则直线Ng与平面BED的距离为（）

A.2B.>/3C.V2D.1

【命题意图】本试题主要考查了正四棱柱的性质的运用，以及点到面的距离的求解.体现

了转换与化归的思想的运用，以及线面平行的距离,转化为点到面的距离即可.

【解析】连结力。,8。交于点。，连结。£,因为0下是中点，所以。后〃力6，且

。£=；4。1，所以44〃8。后，即直线4。］与平面BED的距离等于点C到平面BED

的距离,过C做CF，OE于E,则CF即为所求距离.因为底面边长为2,高为2J5,所

以AC=2丘,。。==,OE=2,所以利用等积法得CE=1,选D.

正（主）视困A（左）视图

14.（2012年高考（北京文））某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是（）

A.28+6yf5B.30+6y［5C.56+12^5D.60+12^5

【答案】B

【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,本题所求表面积为

三棱锥四个面的面积之和.利用垂直关系和三角形面积公式,可得：

S底=10,4=10,S右=105r=6后，因此该几何体表面积5=30+66，

故选B.

【考点定位】本小题主要考查的是三棱锥的三视图问题,原来考查的是棱锥或棱柱的体积而

今年者的是表面积,因此考查了学生的计算基本功和空间想象能力.

二、填空题

15.（2012年高考（天津文））一个儿何体的三视图如图所示（单位：加），则该几何体的体积

【解析】由三视图可知这是一个卜.面是个长方体,上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体.

长方体的体积为3x4x2=24,五棱柱的体积是史2xlx4=6,所以几何体的总体

2

积为30.

16.（2012年高考（四川文））如图，在正方体44G2中，M、N分别是CD、CC,

的中点,则异面直线A.M与所成的角的大小是.

【解析】方法一：连接DM易得DN」血,DN匕M

所以,DN_L平面A：MD：,又A：MU平面A：MD：,所以,DN_1_A：D：,故夹角为90°

方■法二:以D为原点,分别以DA,DCJD：为：%z轴,建立空间直角坐标系D—xyz.设正

方体边长为2,贝IJD（O,•O）,Ng,2,l）,M（O,l,O）AK2,O,2）

故，而=（02。，丽=（2,-p

所以,cos＜〈而，画〉=&=0,故D/1DM所以交角为90。

|DN||MM|

［点评］异面直线夹角问题通常可以采用两种途径：第•，把两条异面直线平移到同一平面

中借助三角形处理；第二,建立空间直角坐标系,利用向量夹角公式解决.

17.（2012年高考（上海文））一个高为2的圆柱，底面周长为2兀，该圆柱的表面积为.

【解析】2nr=2兀,r=l,S&=2兀r力+2兀d=4兀+2兀=6兀.

18.（2012年高考（山东文））如图，正方体Z5C。-48cA的棱长为1,E为线段8c上的一

点,则三棱锥A-DEDt的体积为一一.

【解析】:七DED=VEADD=-X1X-LX1X1=1

Z1_UCiL-f^15Ziiz£7|32$

19.（2012年高考（辽宁文））已知点P,A,B,C,D是球0表面上的点,PA_L平面ABCD,四边形

ABCD是边长为2也正方形.若PA=2逐，则△OAB的面积为.

【答案】3G

【解析】点P、4B、C、。为球。内接长方体的顶点,

球心。为该长方体对角线的中点，

的面积是该长方体对角面面积的L

•••AB=26,PA=2瓜：.PB=6,ACUB。面积=^x26x6=3百

4

【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以

及转化思想，该题灵活性较强,难度较大.该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手,注意到条

件中的垂直关系,把三棱锥转化为长方体来考虑就容易多了.

20.（2012年高考（辽宁文））一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

【答案】12+n

【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体，其中长方体的长、

宽、高分别为4、3、1,圆柱的底面直径为2,高位1,所以该几何体的体积为

3x4xl+%xlxl=12+;r

【点评】本题主要考查几何体的三视图、柱体的体积公式,考查空间想象能力、运算求解能

力，属于容易题.本题解决的关键是根据三视图还原出几何体,确定几何体的形状,然后再根

据几何体的形状计算出体积.

21.（2012年高考（湖北文））已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

心；明伯视图

【解析】由三视图可知，该几何即是由左右两个相同的扇柱（底面圆半径为2,高为1）与中间

一个圆柱（底面圆半径为1高为，组合而成，故该几何体的体积是

V=^-x22xlx2+^xl2x4=12^.

【点评】本题考查圆柱的三视图的识别,圆柱的•:学生们平常在生活中要多多观察身边的实

物都是由什么几何形体构成的,以及它h「三视图的画法,来年需注意以三视图为背景，考查

常见组合体的表面积.

22.（2012年高考（大纲文））已知正方形44GB中，瓦E分别为84，C£的中

点,那么异面直线AE与D、F所成角的余弦值为一.

答案一

5

【命题意图】本试题考查了正方体中的异面直线所成角的求解问题.

［解析】首先根据已知条件,连接。b,则由3尸//4E可知NDFD］或其补角为异面直线

AE与RF所成的角，设正方体的校长为2,则可以求解得到DF=RF=底口久=2,

再由余弦定理可得cosNDFD】=DF+DF-DR=5+5-4=3

12D\F•DF2x55

23.（2012年高考（安徽文））若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即

AB=CD,AC=BD,=则.（写出所有正确结论编号）①四面体4BCZ）

每组对棱相互垂直②四面体Z8C。每个面的面积相等③从四面体488每个顶点出发的

三条棱两两夹角之和大于90"而小于180°④连接四面体4BCQ每组对棱中点的线段互垂

直平分⑤从四面体Z8CD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长

【解析】正确的是②④⑤②四面体488每个面是全等三角形，面积相等③从四面体

Z8CD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于180"④连接四血体

/BCD每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分⑤从四面体48CD

每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长

24.（2012年高考（安徽文））某几何体的三视图如图所示，该几何体的体

积是__

【解析】表面积是56该儿何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱几何体的的体积是

展;x(2+5)x4x4=56

三、解答题

25.(2012年高考(重庆文))(本小题满分12分，(I)小问4分，(II)小问8分)已知直三棱

柱N8C—45cl中，/8=4,AC=BC=3,D为AB的中点.(I)

求异面直线cq和AB的距离；(II)若AB,1AtC,求二面角

4-CD-S,的平面角的余弦值.

【解析】：(1)如答(20)图1,因AC=BC,D为AB的中点，故CD1AB.

又直三棱柱中，面力8。，故CG^CD，所以异面直线

CC］和AB的距离为CD7BC?-BD：=亚

(11):由。口，/8＜口_1_84，故©口，面4/84，从而CD，。％,CD1DB,

故为所求的二面角4—co—4的平面角.

因4。是4。在面/第84上的射影，又已知Ng_L%C,由三垂线定理的逆定理得

AB.14D,从而乙4mBi,ZA.DA都与NB①B互余，因此4/用=AA.DA,所以

AAAR

RtAAD丝RtB.A.A,因此•一L得AA；=AD-A,B.=8从而

11'ADAA,1

AQ=JAA：+AD2=25B、D=A.D=2百

4f)2r)n2_AD21

!

所以在A}DB］中，由余弦定理得cos=刍-------——=-

1'2AQDB13

26.(2012年高考(浙江文))如图,在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-AiBiCiDi4*.AD//BC,AD

±AB,AB=V2.AD=2,BC=4,AA,=2,E是DD1的中点,F是平面BCE与直线AAi的交点.

(1)证明：(i)EF〃AD;(ii)BAi_L平面BCEF;(2)求BG与平面BCEF所成的角的正弦值.

［命题意图】本题主要以四棱锥为载体考查线线平行,线面垂直和线面角的计算,注重与平面

几何的综合，同时考查空间想象能力和推理论证能力.

⑴⑴因为G4〃44,Ce(Z平面ADDiAL所以。e//平面ADDiA(.

又因为平面gGE^n平面ADD,A「EF,所以C.BJ/EF.所以A.DJIEF.

(ii)因为BB}1,所以BB[±4G,

又因为BB}1B,4,所以5,C,1ABB[4,

在矩形488/中,F是AA的中点，

B|JtanZ4BF=tanZAA.8=①.即■I

1112

ZAtBtF=AAA.B，故BA,1B.F.所以84J_平面BgEF.

(2)设84与8尸交点为H,连结G”.山⑴知司£防，所以N8G4是与平

4

面BXC,EF所成的角.在矩形中，N8=8，=2,得BH=，在直角

V6

BHQ中,5C,=2^3,BH=\,得sinNBG"=皿=画，所以BC与平面

/6B[15

4GEF所成角的正弦值是—.

1115

27.(2012年高考(天津文))如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩

形，ADLPD,BC=1,PC=26,=CO=2.(I)求异面直线尸Z与3C所成角的正切

值；(II)证明平面PDC±平面ABCDAHI)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.

【解析】：(1)如图，在四棱锥。一48。。中，因为底面48。。是矩形，所以4。=8。，且

ZO//8C,又因为J.尸。，故或其补角是异面直线PZ与8c所成的角.

在RMDA中，tan/PAD=也=2,所以异面直线PA与BC所成角的正切值为2.

AD

(2)证明：由于底面ABCD是矩形，故NOJ.CQ,又由于力，CQcPD=。，因此

工力上平面2/^^而力^匚平面力台^\所以平面「力^,平面尸卜

ABCD.

(3)在平面PDC内，过点P作PE1CD交直线C。于点E,

连接E8.由于平面PDCJ•平面ABCD,

由此得NPBE为直线PB与平面ABCD所成的角.

在APQC中，尸。=8=2,尸C=2百，可得NPCD=30°£-；.一＞

r\____…,二：：

在RMEC中，PE=PCsin30°=

由ADIIBC,AD_L平面PDC,得BC_L平面PDC,因此BC1PC

在Rt\PCB中，PB=y]PC2+BC2=旧，在RMEB中，sinNPBE=在=巫

PB13

所以直线P8与平面48CD所成角的正弦值为^—.

13

28.（2012年高考（四川文））如图，在三棱锥P-ABC

中，NAPB=90°,ZPAB=60,NB=8C=G4,点P在平面Z8C内的射影。在相

上.（I）求直线PC与平面Z8C所成的角的大小；（II）求二面角3-4尸一。的大小.

【解析】⑴连接OC.由已知…UCP为直线PC与平面且BC所成的角

设AB的中点为D,连接PD、CD.%KAB=BC”M,所以■D_AB.

因为乙4尸3=90。，NPAB=600,7以*力为等近工角形，

不妨设PA=2,则OD=1,OP=73,AB=".所以CD=213=^OD1+CD：=71+12=屈.

QP_739

在RtAOC尸中，tanNOPC=---二

OC了一下"

⑵过D作DEJ_K产于E,连接CE.由已知可得,CD_L平面PAB.据三垂线定理可知,CE_I_

PA,

所以，NCEO为二面角8—/P—C的平面角.由⑴知,DE=g

o?F\

在RtACDE中，tanZCED=—=竿=2故二面角8—AP—。的大小为arctan2

DE6

［点评］本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础