第24讲 复数（解析版）

第24讲复数1、复数的有关概念（1）形如()的数叫做复数，其中分别是复数的实部和虚部．若，则为实数；若，则为虚数；若且，则为纯虚数．(2)复数相等：()．(3)的共轭复数为()．(4)复数()与复平面的点一一对应．(5)复数()的模注意：任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小．2、复平面及复数的几何意义（1）.复平面（2）复数的几何意义①复数()复平面内的点.②复数()平面向量.（3）复数的模：①定义：向量的模叫做复数()的模或绝对值.②记法：复数i的模记为或③公式：（3）共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.2.表示：的共轭复数用表示，即若()，则3、复数加法与减法的运算法则（1）设，()是任意两个复数，则①；②（2）对任意，有①；②.4、复数加减法的几何意义如图，设复数，对应向量分别为，，四边形为平行四边形，向量与复数对应，向量eq\o(Z2Z1,\s\up6(→))与复数对应.5、复数乘法的运算法则和运算律（1）复数的乘法法则设，()是任意两个复数，则.2.复数乘法的运算律对任意复数，有交换律结合律乘法对加法的分配律6、复数除法的法则设，(，且)是任意两个复数，则7、方程的虚数根对所有的实系数一元二次方程，若，则此方程没有实根，但有两个虚根，且两根，故实系数方程的虚根成对出现．8、常用结论①②③题型一：复数的相关概念1．（江苏鼓楼·南京市第二十九中学高二月考）已知复数是纯虚数，则实数的值为（）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】A 【详解】是纯虚数，，解得：.故选：A.2．（上海市亭林中学）复数，则实数（）A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3【答案】B【详解】因为为实数，且，所以，解得，故选：B．3．（江苏沭阳·）已知复数（是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】依题意可得，解得.故选：A.4．（江门市第二中学高一月考）若复数，其中i是虚数单位，则复数的虚部为（）A．-2i B．2i C．-2 D．2【答案】C【详解】解：由复数，则复数的虚部为-2.故选：C.5．（广东荔湾·广雅中学高三月考）若复数z满足，则z的虚部是（）A．i B．4 C．-4i D．【答案】B【详解】由题：，，所以z的虚部是4.故选：B题型二：复数相等1．（福建永泰县三中高一月考）.若实数满足，则的值是（）A．-2 B．2 C．1 D．-3【答案】C【详解】依题意，所以.故选：C2．（元氏县第四中学高二月考）已知，（，为虚数单位），则实数的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【详解】，，，，.故选：C.3．（安徽省亳州市第一中学）已知，复数，（为虚数单位），若，则（）A．1 B．2 C．-2 D．-4【答案】B【详解】解：，解得：，所以，故选：B4．（临沂市兰山区教学研究室高一期中）若，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【详解】若，则，所以则是的充要条件.故选：C5．（永安市第三中学）已知复数，、，则（）A． B． C． D．【答案】D【详解】，所以，，则，因此，.故选：D.题型三：复数的几何意义1．（安徽省涡阳第一中学高二月考）复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【详解】由题意，在复平面中对应的点坐标为，在第一象限故选：A2．（全国高一课时练习）复数对应的点关于原点的对称点为，则对应的向量为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵复数z＝3+4i对应的点Z（3，4）∴Z关于原点的对称点为Z1（﹣3，﹣4）对应的向量＝﹣3﹣4i故选：A．3．（全国高二课时练习）复数与对应的向量分别为，，则所对应的复数是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可知，向量对应的复数是.故选：D4．（湖南湘潭·高三一模）已知为虚数单位，复数，，则复数对应的复平面上的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】因为，所以对应的复平面上的点为，它位于第四象限．故选：D．5．（怀仁市大地学校高中部高一月考）复数（位虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】由复数（为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为位于第四象限．故选：D．题型四：复数的模1．（大庆市东风中学（文））设复数（是虚数单位），则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由复数，可得，所以，所以.故选：D.2．（永州市第一中学高三月考）若复数满足，其中是虚数单位，则复数的模为（）A． B． C． D．3【答案】A【详解】因为复数z满足，所以复数z的模为，故选：A3．（重庆市开州中学高三月考）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（）A． B．2 C． D．8【答案】C【详解】由已知得，所以，故选：C4．（全国高三月考（文））已知复数满足，其中为虚数单位，则（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由已知可得，则，所以得模为.故选：.5．（五华·云南师大附中高三月考（理））已知复数则为（）A．2 B．4 C． D．10【答案】C【详解】，，故选：C．6．（河北辛集中学高一月考）若复数，则是（）A．2 B．4 C．5 D．3【答案】C【详解】解：因为，所以.故选：C.题型五：复数的四则运算1．（安徽省滁州中学高三月考（文））已知复数的共轭复数满足（为虚数单位），则复数（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由，得，则复数.故选：C.2．（南京市中华中学高三月考）设，则的共轭复数的虚部为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，所以的虚部为，故选：C3．（全国高三月考（文））复数满足为虚数单位)，则的虚部为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，得，所以复数的虚部为，故选：A4．（广东高三月考）已知为实数，且（是虚数单位），则（）A．2 B．0 C． D．【答案】B【详解】，，故选：B5．（广东深圳·）若复数为纯虚数，则实数的值为（）A． B． C．0 D．1【答案】A【详解】化简原式可得：z为纯虚数时，≠0即，选项A正确，选