2025年高考数学一轮复习-圆锥曲线的综合问题（定值 最值 范围 ）-专项训练【含解析】　　　

答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年高考数学一轮复习-圆锥曲线的综合问题（定值最值范围）-专项训练（原卷版）【练基础】单选题1．（2024·广东广州·统考一模）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点任铀上，过点的且线交于两点，且，线段的中点为，则直线的斜率的取大值为（

）A． B． C． D．12．（2024·河南郑州·统考一模）过抛物线的焦点F作直线交抛物线于、两点，若，则的值为（

）A．4 B．6 C．8 D．103．（2024·全国·高三专题练习）已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一动点，关于直线的对称点为M，关于直线的对称点为N，当最大时，则的面积为（

）A． B． C． D．4．（2024·江西上饶·统考一模）双曲线C：的左，右焦点分别为，，过作垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，则的内切圆半径等于（

）A． B． C． D．25．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C：的离心率为，，分别是C的左、右焦点，经过点且垂直于C的一条渐近线的直线l与C交于A，B两点，若的面积为64，则C的实轴长为（

）A．6 B．8 C．12 D．166．（2024·陕西安康·统考二模）设抛物线C：的焦点是F，直线l与抛物线C相交于A，B两点，且，过弦AB的中点P作的垂线，垂足为Q，则的最小值为（

）A． B．3 C． D．7．（2024·辽宁阜新·校考模拟预测）若椭圆的左右焦点为、，过和点的直线交椭圆于M、N两点，若P（0，m）满足，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．8．（2024·内蒙古·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的直线，且直线分别与抛物线交于和，则的最小值是（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2024·安徽·统考一模）已知为坐标原点，点，线段的中点在抛物线上，连接并延长，与交于点，则（

）A．的准线方程为 B．点为线段的中点C．直线与相切 D．在点处的切线与直线平行10．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆：，，点为椭圆外一点，过点作椭圆的两条不同的切线，，切点分别为，.已知当点在圆上运动时，恒有.则（

）A．B．若矩形的四条边均与椭圆相切，则矩形的面积的最小值为14C．若点的运动轨迹为，则原点到直线的距离恒为1D．若直线，的斜率存在且其斜率之积为，则点在椭圆上运动11．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆（）的离心率为，椭圆上一点P与焦点所形成的三角形面积最大值为，下列说法正确的是（

）A．椭圆方程为B．直线与椭圆C无公共点C．若A，B为椭圆C上的动点，且，过作，为垂足，则点H所在轨迹为圆，且圆的半径满足D．若过点作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则12．（2024·安徽淮北·统考一模）已知曲线，直线l过点交于A，B两点，下列命题正确的有（

）A．若A点横坐标为8，则B．若，则的最小值为6C．原点O在AB上的投影的轨迹与直线有且只有一个公共点D．若，则以线段AB为直径的圆的面积是三、填空题13．（2024·福建福州·统考二模）已知椭圆C：，直线l与C在第二象限交于A，B两点（A在B的左下方），与x轴，y轴分别交于点M，N，且|MA|：|AB|：|BN|=1：2：3，则l的方程为__________．14．（2024·贵州贵阳·统考一模）抛物线，圆，直线l过圆心M且与抛物线E交于A，B与圆M交于C，D.若，则___________.15．（2024·内蒙古赤峰·统考模拟预测）抛物线的焦点为F，过C上一点P作C的准线l的垂线，垂足为A，若直线的斜率为，则的面积为______．16．（2024·陕西·西安市西光中学校联考一模）点A，B是抛物线C：上的两点，F是抛物线C的焦点，若，AB中点D到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为________.四、解答题17．（2024·广东广州·统考一模）已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切.(1)求C的方程；(2)直线：与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为（O为坐标原点），△APQ的面积为.的面积为，若，判断是否为定值？并说明理由.18．（2024·山东泰安·统考一模）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，离心率为，是椭圆上不同的两点，且点在轴上方，，直线，交于点.已知当轴时，.(1)求椭圆的方程；(2)求证：点在以，为焦点的定椭圆上.【提能力】一、单选题19．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，过且斜率大于零的直线与相交于，两点，若直线与抛物线相切，则（

）A．4 B．6 C．8 D．1020．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线C：，O为坐标原点，A，B是抛物线C上两点，记直线OA，OB的斜率分别为，，且，直线AB与x轴的交点为P，直线OA、OB与抛物线C的准线分别交于点M，N，则△PMN的面积的最小值为（

）A． B． C． D．21．（2024·广西梧州·统考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列结论正确的有（

）个．①；②为定值；③双曲线的离心率；④当点异于顶点时，△的内切圆的圆心总在直线上．A．1 B．2 C．3 D．422．（2024·江西景德镇·统考模拟预测）已知双曲线：的左、右顶点为P、Q，点D在双曲线上且位于第一象限，若且，则（

）A． B． C． D．23．（2022·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，焦点在x轴上的曲线C：的离心率满足，A，B是x轴与曲线C的交点，P是曲线C上异于A，B的一点，延长PO交曲线C于另一点Q，则的取值范围是（

）A． B． C． D．24．（2022·广东广州·统考一模）双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是（

）A． B． C． D．25．（2024春·甘肃张掖·高三高台县第一中学统考期末）椭圆的左､右顶点分别为，点在上，且直线斜率取值范围是，那么直线斜率取值范围是（

）A． B．C． D．26．（2022·青海西宁·湟川中学校考一模）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于点A，B，与圆相切，则的值等于（

）A． B． C． D．二、多选题27．（2024·山东临沂·统考一模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（）A．B．延长交直线于点，则，，三点共线C．D．若平分，则28．（2024·浙江·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为M，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点（点A在第一象限），过A，B点作准线的垂线，垂足分别为．设直线l的倾斜角为，当时，．则下列说法正确的是（

）A．有可能为直角B．C．Q为抛物线C上一个动点，为定点，的最小值为D．过F点作倾斜角的角平分线FP交抛物线C于P点（点P在第一象限），则存在，使29．（2024·全国·开滦第二中学校考模拟预测）设，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上第一象限内任意一点，，表示直线，的斜率，则下列说法正确的是（

）A．存在点P，使得成立 B．存在点P，使得成立C．存在点P，使得成立 D．存在点P，使得成立30．（2024·山东济宁·统考一模）已知，是椭圆：()与双曲线：()的公共焦点，，分别是与的离心率，且是与的一个公共点，满足，则下列结论中正确的是（

）A． B．C．的最大值为 D．的最大值为三、填空题31．（2024·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知拋物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，在抛物线的准线上，且满足，则直线的方程为___________.32．（2024秋·湖南湘潭·高三校联考期末）已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线相交于两点，点，以为直径的圆与相交于两点，若为线段的中点，则__________.33．（2024·湖北武汉·统考模拟预测）设F为双曲线的右焦点，A，B分别为双曲线E的左右顶点，点P为双曲线E上异于A，B的动点，直线l：x＝t使得过F作直线AP的垂线交直线l于点Q时总有B，P，Q三点共线，则的最大值为____________.34．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆，斜率为的直线分别交轴负半轴、轴负半轴于、两点，交于、两点，点在轴上方，过点作轴的平行线交于、两点，则面积的最大值为________．四、解答题35．（2024·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交直线于点，若，求证:为定值.36．（2024春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点，M为线段AB的中点．(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．37．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知，直线l：，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F的直线与轨迹C交于A，B两点，与直线l交于点M，设，，证明定值，并求的取值范围．38．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆经过点，且椭圆的长轴长为．(1)求椭圆的方程；(2)设经过点的直线与椭圆相交于、两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求的面积的取值范围．2025年高考数学一轮复习-圆锥曲线的综合问题（定值最值范围）-专项训练（原卷版）【练基础】一、单选题1．（2024·广东广州·统考一模）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点任铀上，过点的且线交于两点，且，线段的中点为，则直线的斜率的取大值为（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根据给定条件，设出抛物线C及直线PQ的方程，借助垂直关系求出抛物线方程及点M的坐标，再用斜率坐标公式建立函数，利用均值不等式求解作答.【详解】依题意，抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设的方程为：，显然直线不垂直于y轴，设直线PQ的方程为：，点，由消去x得：，则有，由得：，解得，于是抛物线：的焦点，弦的中点的纵坐标为，则点，显然直线的斜率最大，必有，则直线的斜率，当且仅当，即时取等号，所以直线的斜率的取大值为.故选：A2．（2024·河南郑州·统考一模）过抛物线的焦点F作直线交抛物线于、两点，若，则的值为（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】利用抛物线的定义结合已知计算即可．【详解】抛物线的焦点为，准线方程为由抛物线的定义可得，故选：B3．（2024·全国·高三专题练习）已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一动点，关于直线的对称点为M，关于直线的对称点为N，当最大时，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】确定，，，当M，N，P三点共线时的值最大，计算，根据余弦定理得到，计算面积即可.【详解】由椭圆的方程可得，，连接PM，PN，则，所以当M，N，P三点共线时的值最大，此时，，所以，在中，由余弦定理可得，即，可得，所以，故选：D4．（2024·江西上饶·统考一模）双曲线C：的左，右焦点分别为，，过作垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，则的内切圆半径等于（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】由已知求出的值，找出的坐标，即可求出，，由等面积法即可求出内切圆的半径.【详解】由双曲线，知，所以，所以，所以过作垂直于轴的直线为，代入中，解出，，所以，，设的内切圆半径为，在中，由等面积法得：所以，解得：.故选：C.5．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C：的离心率为，，分别是C的左、右焦点，经过点且垂直于C的一条渐近线的直线l与C交于A，B两点，若的面积为64，则C的实轴长为（

）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】由离心率得到双曲线的渐近线方程，联立方程由韦达定理得、，代入中计算可得结果.【详解】∵，∴，即：，，∴渐近线方程为．由题意知，不妨设直线l的方程为，，消去x得，则，设，，则，，所以，解得，即：，故双曲线C的实轴长为8.故选：B.6．（2024·陕西安康·统考二模）设抛物线C：的焦点是F，直线l与抛物线C相交于A，B两点，且，过弦AB的中点P作的垂线，垂足为Q，则的最小值为（

）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】设，，过点A，B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为.由抛物线定义及梯形中位线定理可得，又由余弦定理可得，则可得，后利用基本不等式可得答案.【详解】设，，过点A，B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为则，．因为点P为弦AB的中点，根据梯形中位线定理可得，P到抛物线C的准线的距离为，因为，所以在AFB中，由余弦定理得，所以，当且仅当时取等号.所以，最小值为．故选：A．7．（2024·辽宁阜新·校考模拟预测）若椭圆的左右焦点为、，过和点的直线交椭圆于M、N两点，若P（0，m）满足，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】写出直线MN的方程，与椭圆方程联立，写出，解不等式.【详解】设，，过和的直线为，联立，消去y，得，所以，，则，，，所以，解得.故选：D.【点睛】方法点睛：将坐标的数量积，用坐标表示，即将直线方程与椭圆方程联立得到韦达定理式，再将其整体代入即可得到关于m的不等式.8．（2024·内蒙古·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的直线，且直线分别与抛物线交于和，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，结合抛物线焦点弦长公式可求得，同理可得，从而得到，由，利用基本不等式可取得最小值.【详解】由抛物线方程得：；由题意知：直线的斜率存在且不为，设，，，由得：，，此时，，，同理可得：，，（当且仅当，即时取等号），的最小值为.故选：B.二、多选题9．（2024·安徽·统考一模）已知为坐标原点，点，线段的中点在抛物线上，连接并延长，与交于点，则（

）A．的准线方程为 B．点为线段的中点C．直线与相切 D．在点处的切线与直线平行【答案】BCD【分析】将代入抛物线得，则得到其准线方程，则可判断A，联立直线的方程与抛物线方程即可得到，即可判断B，利用导数求出抛物线在点处的切线方程，令，则可判断C，再次利用导数求出抛物线在处的切线斜率，则可判断D.【详解】对A，根据中点公式得，将其代入得，则，所以抛物线的准线方程为，故A错误，对B，，则直线的斜率为，则直线的方程为，将其代入得，解得或0（舍去），此时，则，所以为中点，故B正确；对C，，即，则，故抛物线在点处的切线的斜率为，故切线方程为，令得，所以直线为的切线，故C正确；对D，抛物线在处的切线方程的斜率为，而直线的斜率为，则两直线的斜率相等，且两直线显然不可能重合，所以在点处的切线与直线平行.故选：BCD.10．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆：，，点为椭圆外一点，过点作椭圆的两条不同的切线，，切点分别为，.已知当点在圆上运动时，恒有.则（

）A．B．若矩形的四条边均与椭圆相切，则矩形的面积的最小值为14C．若点的运动轨迹为，则原点到直线的距离恒为1D．若直线，的斜率存在且其斜率之积为，则点在椭圆上运动【答案】BC【分析】根据点在圆上运动时，恒有，设过的直线为，代入椭圆方程后利用，得到关于的一元二次方程，确定方程的两根为，由，即可得的值，从而判断A；讨论直线的斜率求得各情况下，，即可得矩形，结合不等式求得最值来判断B；根据椭圆上一点的切线方程结论，确定切线，的方程，结合点的运动轨迹为，可得切点弦所在直线方程，即可求得原点到直线的距离来判断C；设,，过的直线为，代入椭圆方程后利用，得到关于的一元二次方程，确定方程的两根为，由，可得所满足的方程，即可判断D.【详解】当平行于轴时，恰好平行于轴，，，，满足，将代入圆有，得；当不平行于轴时，设,，则，过的直线为，联立得，令得，整理得，且此方程的两根为，则，又，所以，得，所以；综上，，故A不正确；椭圆的方程为，若矩形的四条边均与椭圆相切，①当的斜率为0时，，，此时，②当的斜率不存在时，，，此时，③当的斜率存在且不为0时，设直线，直线，，联立，消去得，，化简得，同理可得，所以两平行线和的距离，以代替，可得两平行线和的距离，所以矩形的对角线，根据基本不等式，当且仅当，即时等号成立，因为，所以矩形面积的最大值为14，故B正确；下证：任一椭圆在其上面的点,处的切线方程均可写为设椭圆在点,处的切线方程为，则，令得，所以，所以，则切线方程为整理得.对于椭圆：，设切点坐标为,，,，则切线，的方程分别为，，若点的运动轨迹为，设点，则，又两切线均过点，可得，，点，的坐标都适合方程，故直线的方程是，即，所以原点到直线的距离为，故C正确；设,，过得直线为，联立得，令得，整理得，且此方程的两根为，则，又直线，的斜率存在且其斜率之积为，所以，得，故点在双曲线上运动，故D不正确.故选：BC.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是确定直线与椭圆相切时，切线斜率之间的关系需要联立切线与椭圆方程得判别式为零，则得到关于斜率的一元二次方程，由韦达定理即可得切线斜率之积的关系，即可结合轨迹方程可得相关结论；对于直线与椭圆相切的切线方程问题，利用直线与椭圆相切，得切点坐标与直线斜率与截距的关系，可得椭圆上一点,处的切线方程均可写为；对于切点弦问题，根据上述切线方程及两切线的交点，由直线方程特点，即可得切点弦方程.11．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆（）的离心率为，椭圆上一点P与焦点所形成的三角形面积最大值为，下列说法正确的是（

）A．椭圆方程为B．直线与椭圆C无公共点C．若A，B为椭圆C上的动点，且，过作，为垂足，则点H所在轨迹为圆，且圆的半径满足D．若过点作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则【答案】AC【分析】根据离心率可得，根据求出，可得，可得椭圆方程为，故A正确；联立直线与椭圆方程，根据判别式大于0可知B不正确；根据题意求出可知C正确；根据导数的几何意义求出切线方程，再求出切点弦的方程，可知D不正确.【详解】设椭圆的焦距为，由得，设，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，依题意可得，所以，，，，所以椭圆的方程为：，故A正确；联立，消去并整理得，，所以直线与椭圆C有公共点，故B不正确；因为，且，所以，，设，，若的斜率存在且不为0，设为，则的斜率为，则，，联立，得，，则，同理可得，所以，若的斜率不存在或者为0，则为椭圆的顶点（一个为长轴的顶点，一个为短轴的顶点），则，终上所述：，即.设，则，则点H所在轨迹为圆，且圆的半径满足，故C正确.设，，由，得，得，得，所以切线的斜率为，切线的方程为，即，即，因为在切线上，，同理可得，由可知，在直线上，由可知，在直线上，所以直线的方程为，则.故D不正确.故选：AC【点睛】关键点点睛：C选项中，求出为定值是解题关键，D选项中，利用导数的几何意义求出切线方程是解题关键.12．（2024·安徽淮北·统考一模）已知曲线，直线l过点交于A，B两点，下列命题正确的有（

）A．若A点横坐标为8，则B．若，则的最小值为6C．原点O在AB上的投影的轨迹与直线有且只有一个公共点D．若，则以线段AB为直径的圆的面积是【答案】BCD【分析】对A选项将点的横坐标代入，求出点A的坐标，进而求出直线方程，联立直线及抛物线方程，由弦长即可求出弦长；对B选项作图可知，过点A作准线的垂线，垂足为，当三点共线时取最小值，即可求得最小值；对C选项根据题意，得出原点O在AB上的投影的轨迹，联立方程由判别式即可判断公共点的个数；对D选项设出AB直线方程，联立直线与抛物线方程，由结合得出直线方程，再由弦长公式计算出线段AB的长度即可判断【详解】对于A,易得是抛物线的焦点，若A点横坐标为8，则，即或，根据抛物线的对称性可得两种情况计算出的相同，再此取计算.所以l的直线方程是即，直线与相交，联立方程得,,得，，故A错误；对于B,过点A作准线的垂线，垂足为，则，当三点共线时取最小值，此时最小值为，故B正确；对于C,设原点在直线上的投影为，的中点为，因为，所以，所以为直角三角形，所以，根据几何性质及圆的定义可知点的轨迹方程为，联立得，解得，所以直线与只有一个交点，故C正确；对于D,设直线的方程为，联立得所以，因为，而，所以，所以，所以所以，解得，则，所以，，所以以线段AB为直径的圆的面积是，故D正确.故选：BCD.三、填空题13．（2024·福建福州·统考二模）已知椭圆C：，直线l与C在第二象限交于A，B两点（A在B的左下方），与x轴，y轴分别交于点M，N，且|MA|：|AB|：|BN|=1：2：3，则l的方程为__________．【答案】【分析】由题意可得点为线段中点，设点坐标为，求出A点坐标，代入椭圆方程解出点的坐标即可得解.【详解】如图，由条件得点为线段中点，设点坐标为，得，由得坐标为，将坐标分别代入中，得解得

则坐标分别为､，故直线方程为，即，所以直线的方程为．故答案为：14．（2024·贵州贵阳·统考一模）抛物线，圆，直线l过圆心M且与抛物线E交于A，B与圆M交于C，D.若，则___________.【答案】##【分析】设直线的方程为，由题意可知圆的圆心为弦的中点，据此联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系即可求出，再由弦长公式即可得解.【详解】由可得，故圆心，半径，因为直线l过圆心M且，所以，，即为的中点，显然，直线斜率为0时，不符合题意，设直线的方程为，联立，消元得，设，由，所以，由为的中点可知，，即，所以,所以.故答案为：15．（2024·内蒙古赤峰·统考模拟预测）抛物线的焦点为F，过C上一点P作C的准线l的垂线，垂足为A，若直线的斜率为，则的面积为______．【答案】##7.5【分析】设，则，由的斜率解得，再将代入抛物线方程可得，进而可得的面积.【详解】由抛物线的方程可得，准线方程为，设，由题意可得，则，解得n＝3，将代入抛物线方程可得，解得，即，则，所以的面积.故答案为：．16．（2024·陕西·西安市西光中学校联考一模）点A，B是抛物线C：上的两点，F是抛物线C的焦点，若，AB中点D到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为________.【答案】【分析】由抛物线几何性质可得，再由余弦定理和基本不等式可得.【详解】在中，，易得，当且仅当时等号成立.故答案为：.四、解答题17．（2024·广东广州·统考一模）已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切.(1)求C的方程；(2)直线：与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为（O为坐标原点），△APQ的面积为.的面积为，若，判断是否为定值？并说明理由.【答案】(1)；(2)是定值，.【分析】（1）利用椭圆离心率及圆的切线性质，建立关于的方程组，解方程组作答.（2）由给定的面积关系可得直线PQ平分，进而可得直线的斜率互为相反数，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合斜率坐标公式计算判断作答.【详解】（1）由椭圆的离心率为得：，即有，由以C的短轴为直径的圆与直线相切得：，联立解得，所以C的方程是.（2）为定值，且，因为，则，因此，而，有，于是平分，直线的斜率互为相反数，即，设，由得，，即有，而，则，即于是，化简得：，且又因为在椭圆上，即，即，，从而，，又因为不在直线上，则有，即，所以为定值，且.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．18．（2024·山东泰安·统考一模）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，离心率为，是椭圆上不同的两点，且点在轴上方，，直线，交于点.已知当轴时，.(1)求椭圆的方程；(2)求证：点在以，为焦点的定椭圆上.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆的离心率及当轴时，，代入椭圆方程，列方程即可求得的值，从而得椭圆的方程；（2）由，则设直线的方程为，所以直线的方程为，设，，，，代入椭圆方程可得坐标关系，可得的表达式，由平行线分线段成比例可得，，结合椭圆的定义即可证得为定值，从而得结论.【详解】（1）由题知，，点在椭圆C上，则，解得，所以椭圆C的方程为；（2）证明：∵，且点A在x轴上方∴设，，，，设直线的方程为，则直线的方程为，由，得，∴或（舍），∴同理，所以，由，得∴∴又点B在椭圆C上，∴，则∴同理：，所以∴又，∴∴点P在以，为焦点的定椭圆上.【提能力】一、单选题19．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，过且斜率大于零的直线与相交于，两点，若直线与抛物线相切，则（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】由已知设直线的方程为，，由直线与抛物线相切，列方程求，联立直线与抛物线的方程，利用设而不求法结合弦长公式求.【详解】抛物线的焦点的坐标为，由已知可设直线的方程为，，因为直线与抛物线相切，所以只有一组解，所以方程有且只有一个根，故，又，所以，联立，消，得，方程的判别式，设，则，所以，故选：C.20．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线C：，O为坐标原点，A，B是抛物线C上两点，记直线OA，OB的斜率分别为，，且，直线AB与x轴的交点为P，直线OA、OB与抛物线C的准线分别交于点M，N，则△PMN的面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设出A、B的坐标，由解得的值，再分别求出点M、点N的坐标，求得的式子，研究恒过x轴上的定点可得点P的坐标，进而用方法1基本不等式或方法2函数思想求得三角形面积的最小值.【详解】设，，则，，∴∴，∴设：，令得：，∴，同理：∴，设：，，，，又∵，∴，解得：，∴：恒过点，∴与x轴交点P的坐标为，即：，∴点P到准线的距离为8+1=9.方法1：，当且仅当时取等号.∴，∴△PMN的面积的最小值为.方法2：∵∴，当且仅当m=0时取得最小值.∴，∴△PMN的面积的最小值为.故选：D.21．（2024·广西梧州·统考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列结论正确的有（

）个．①；②为定值；③双曲线的离心率；④当点异于顶点时，△的内切圆的圆心总在直线上．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由双曲线渐近线方程，圆圆心，半径是1，应用点线距离公式列方程求，设有，由点线距离公式写出，直接用离心率定义求双曲线离心率，根据圆切线性质及双曲线定义可得，进而确定内切圆的圆心的位置.【详解】由题意，双曲线渐近线方程是，圆的圆心，半径是1，则，可得（舍去），①错误．设，则，即，渐近线方程是，则，，为常数，②正确；由，所以，离心率为，③正确；设△的内切圆与三边切点分别为，，，如图，由圆的切线性质知，所以，因此内心在直线，即直线上，④正确；故选：C22．（2024·江西景德镇·统考模拟预测）已知双曲线：的左、右顶点为P、Q，点D在双曲线上且位于第一象限，若且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，则，由得出，再由正弦定理得出.【详解】如图所示，设，则，设，则，即，由双曲线方程可得，所以，又，，则，解得，则，在三角形中，由正弦定理，可得故选：D23．（2022·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，焦点在x轴上的曲线C：的离心率满足，A，B是x轴与曲线C的交点，P是曲线C上异于A，B的一点，延长PO交曲线C于另一点Q，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由离心率的范围可知曲线为椭圆，根据离心率与的关系得到的范围，然后利用斜率公式表示出，进而求出其范围．【详解】由解得，所以曲线C是椭圆．因椭圆C的焦点在x轴上，则．因为，所以，不妨设，，，，由题意知，则，即，．故选：A．24．（2022·广东广州·统考一模）双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意画出图，由已知求出的值，找出的坐标，由的内切圆圆心分别为，进行分析，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出的底和高，利用三角形的面积公式计算即可.【详解】由题意如图所示：由双曲线，知，所以，所以，所以过作垂直于轴的直线为，代入中，解出，由题知的内切圆的半径相等，且，的内切圆圆心的连线垂直于轴于点，设为，在中，由等面积法得：由双曲线的定义可知：由，所以，所以，解得：，因为为的的角平分线，所以一定在上，即轴上，令圆半径为，在中，由等面积法得：，又所以，所以，所以，，所以，故选：A.25．（2024春·甘肃张掖·高三高台县第一中学统考期末）椭圆的左､右顶点分别为，点在上，且直线斜率取值范围是，那么直线斜率取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设，再根据表达推导可得，进而根据直线斜率取值范围求解即可.【详解】设，则，，，于是，故.∵∴.故选：B.26．（2022·青海西宁·湟川中学校考一模）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于点A，B，与圆相切，则的值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直线l方程为，根据相切得到，联立方程，解得，，得到答案.【详解】直线l的斜率存在，设为k，直线l过点，得直线l的方程为，即．由直线l与圆相切，得，解得．不妨取，设，，易知，联立，消去y，整理得，则，，则，故选：D二、多选题27．（2024·山东临沂·统考一模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（）A．B．延长交直线于点，则，，三点共线C．D．若平分，则【答案】AB【分析】根据题设和抛物线和性质得到点，，将点代入抛物线的方程得到，从而求出直线的方程，联立直线和抛物线得到点的坐标，即可判断选项A和C，又结合直线和直线得到点，即可判断B选项，若平分，得到，转化为直线斜率和直线的斜率的关系式即可求出.【详解】由题意知，点，，如图：将代入，得，所以，则直线的斜率，则直线的方程为，即，联立，得，解得，，又时，，则所以，所以A选项正确；又，所以C选项错误；又知直线轴，且，则直线的方程为，又，所以直线的方程为，令，解得，即，在直线上，所以，，三点共线，所以B选项正确；设直线的倾斜角为（），斜率为，直线的倾斜角为，若平分，即，即，所以，则，且，解得，又，解得：，所以D选项错误；故选：AB.28．（2024·浙江·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为M，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点（点A在第一象限），过A，B点作准线的垂线，垂足分别为．设直线l的倾斜角为，当时，．则下列说法正确的是（

）A．有可能为直角B．C．Q为抛物线C上一个动点，为定点，的最小值为D．过F点作倾斜角的角平分线FP交抛物线C于P点（点P在第一象限），则存在，使【答案】ABD【分析】根据给定条件，求出抛物线方程，再逐项分析、计算判断作答.【详解】依题意，点，准线方程为，设，直线，由消去x得：，，当时，，，，解得，抛物线，，对于A，当时，，有，为直角，A正确；对于B，，，，，因此，即，而，则，B正确；对于C，显然点E在抛物线C内，，当且仅当点Q是直线EF与抛物线C的交点时取等号，C错误；对于D，由，，得，，同理，，令，而，解得，则，D正确.故选：ABD29．（2024·全国·开滦第二中学校考模拟预测）设，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上第一象限内任意一点，，表示直线，的斜率，则下列说法正确的是（

）A．存在点P，使得成立 B．存在点P，使得成立C．存在点P，使得成立 D．存在点P，使得成立【答案】ABD【分析】根据椭圆的性质逐项进行分析即可判断.【详解】由椭圆方程可得：，，对于A，由椭圆的性质可得：，又因为点P在第一象限内，所以，所以存在点P，使得成立，故选项A正确；对于B，设点，因为，所以，，则，因为，所以，所以，所以存在点P，使得，则成立，故选项B正确；对于C，因为，，若，则，因为点在第一象限内，所以，则可化为：，解得：不成立，所以不存在点P，使得成立，故选项C错误；对于D，由选项的分析可知：，所以存在点P，使得成立，故选项D正确，故选：ABD.30．（2024·山东济宁·统考一模）已知，是椭圆：()与双曲线：()的公共焦点，，分别是与的离心率，且是与的一个公共点，满足，则下列结论中正确的是（

）A． B．C．的最大值为 D．的最大值为【答案】BD【分析】根据共焦点得到，A错误，计算，，得到，B正确，设，，代入计算得到C错误，D正确，得到答案.【详解】对选项A：椭圆和双曲线共焦点，故，错误；对选项B：，即，，，故，，故，即，即，正确；对选项C：设，，，若最大值为，则，，，即，不成立，错误；对选项D：设，，，，若最大值为，则，，，即，，，成立，正确；故选：BD【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆和双曲线的离心率相关问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用三角换元求最值可以简化运算，是解题的关键.三、填空题31．（2024·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知拋物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，在抛物线的准线上，且满足，则直线的方程为___________.【答案】【分析】根据准线方程求得，也即求得抛物线的方程，设直线，联立直线的方程和抛物线方程，化简写出根与系数关系，结合抛物线的性质求得，进而求得直线的方程.【详解】由题意知，抛物线的准线为，即，得，所以抛物线的方程为，因为，所以在以为直径的圆上.由抛物线性质可知为切点，所以圆心纵坐标为.设直线，点，联立方程组，可得，所以，所以，直线.故答案为：32．（2024秋·湖南湘潭·高三校联考期末）已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线相交于两点，点，以为直径的圆与相交于两点，若为线段的中点，则__________.【答案】2【分析】根据直线与双曲线的位置关系确定交点坐标关系，利用直线和圆的几何性质，即可求得的长.【详解】解：如图，由题可知，的坐标为，设，联立方程组，可得，则，.因为为线段的中点，所以的坐标为.又以为直径的圆与相交于两点，所以，所以，解得，又，所以，所以，故.故答案为：2.33．（2024·湖北武汉·统考模拟预测）设F为双曲线的右焦点，A，B分别为双曲线E的左右顶点，点P为双曲线E上异于A，B的动点，直线l：x＝t使得过F作直线AP的垂线交直线l于点Q时总有B，P，Q三点共线，则的最大值为____________.【答案】##1.25【分析】设出直线方程，与双曲线的方程联立，韦达定理表示出A与P的关系，根据三点B，P，Q共线，求得Q点坐标的横坐标表示出t,然后运用设参数m法化简,最后根据二次函数的性质求出最大值.【详解】设，，联立整理得:;所以，得到，所以；过F作直线PA的垂线与直线交于Q，因为B,Q,P三点共线，所以Q是直线与BP的交点，Q是与的交点所以得，所以设则所以当时，即m=2即时，取得最大值.故答案为：【点睛】方法点睛：（1）联立方程，根据韦达定理表示出坐标关系式；按照题目中给出的关系，构建关系式，表示出所求变量；（2）在计算推理的过程中运用整体转化，化简函数式，从而得到二次函数或者不等式，求得最值；本题的解题的关键是，表示出Q点的交点坐标，找到与t有关的解析式.34．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆，斜率为的直线分别交轴负半轴、轴负半轴于、两点，交于、两点，点在轴上方，过点作轴的平行线交于、两点，则面积的最大值为________．【答案】【分析】设直线的方程为，根据题意求得，求出点的横坐标，以及，求出点到直线的距离，利用三角形的面积可得出，令，利用导数法求出函数在上的最大值，即可得出面积的最大值.【详解】设直线的方程为，由题意可知，直线交轴负半轴于点，设点、，则，联立可得，，由于，解得，因为，可得，解方程可得，所以，，所以，，所以，，可得，故，直线的方程为，联立可得，所以，，，所以，点到直线的距离为，所以，，令，则，令，其中，则，令，可得，当时，；当时，，，因为，故当时，，则，当时，，则.所以，函数在上单调递增，在上单调递减，故当，因为，故，故.故答案为：.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．四、解答题35．（2024·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交直线于点，若，求证:为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】