专题7.2 八年级（下）期中测试卷（考查范围：第1~3章）（北师大版）（解析版）

2023-2024学年八年级（下）期中测试卷【北师大版】参考答案与试题解析选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2024八年级下·福建漳州·期中）已知x>y，则下列不等式不成立的是（

）A．x+a>y+a B．x−y>0 C．2x>2y D．−x>−y【答案】D【分析】根据不等式的性质解答即可．【详解】解：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式符号不变，故选项A、B正确，不符合题意；不等式两边同时乘或除以正数，不等式符号不变，故选项C正确，不符合题意；不等式两边同时乘或除以负数，不等式符号改变，故选项D错误，符合题意．故选D．【点睛】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．2．（3分）（2024八年级下·广东潮州·期中）如图，在△ABC中，点I为∠A的平分线和∠B的平分线的交点，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与A．3 B．4 C．4.5 D．5【答案】B【分析】本题考查了平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握角平分线的定义是关键．连接AI、BI，因为点I是∠A和∠B平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长．【详解】解：如图，连接AI、BI，∵点I为∠A的平分线和∠B的平分线的交点，∴∠CAI=∠BAI，由平移的性质可知：DI∥AC，∴∠CAI=∠AID，∴∠BAI=∠AID，∴DA=DI，∴阴影部分的周长=DI+EI+DE=DA+DE+BE=AB=4，故选：B．3．（3分）（2024八年级下·湖北武汉·期中）平面直角坐标系中，已知A−1,0，B1,1，若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】此题主要考查了点的坐标，等腰三角形的性质．先根据点A，B的坐标求出AB与y轴的交点M为线段AB的中点，然后分两种情况进行讨论：（1）当点C在x轴上时，又有以下三种情况：①以点A为圆心，以AB为半径画弧交x轴于点C，C′，②以点B为圆心，以BA的长为半径画弧交x轴于点C，③过点M作MC⊥AB交x轴于C，（2）当点C在y轴上时，又有以下两种情况：①以点A为圆心，以AB为半径画弧交y轴于点C，C′，②以点B为圆心，以BZ为半径画弧交y轴于点C，【详解】解：∵A(−1,0)，B(1,1)，∵12×(−1+1)=0，∴AB的中点M坐标为(0,0.5)，∴AB与y轴的交点即为AB的中点M，∵在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，∴有以下两种情况：（1）当点C在x轴上时，又有以下三种情况：①以点A为圆心，以AB为半径画弧交x轴于点C，C′此时AB=AC，AB=AC∴△ABC和△ABC′均为等腰三角形，则点C和点②以点B为圆心，以BA的长为半径画弧交x轴于点C，如图2所示：此时BA=BC，∴△ABC为等腰三角形，则点C为所求的点；③过点M作MC⊥AB交x轴于C，连接BC，如图3所示：∵点M为AB的中点，∴MC为线段AB的垂直平分线，∴AC=BC，∴△ABC为等腰三角形，则点C为所求的点．综上所述：当点C在x轴上时，满足条件点C有4个．（2）当点C在y轴上时，又有以下两种情况：①以点A为圆心，以AB为半径画弧交y轴于点C，C′此时AB=AC，AB=AC∴△ABC和△ABC′均为等腰三角形，则点C和点②以点B为圆心，以BZ为半径画弧交y轴于点C，C′此时BC=BA，BC∴△ABC和△ABC′均为等腰三角形，则点C和点综上所述：当点C在y轴上时，满足条件点C有4个．∴在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是8个．故选：D．4．（3分）（2024八年级下·广东深圳·期中）以△ABC的边AB两顶点画圆弧，使得圆弧可以相交于两点，这两点的连线交边BC于点D，再对边AC重复上述做法，连线交边BC于点E，已知AB=5，AC=12，BC=15，求△ADE的周长为（

）A．13 B．20 C．15 D．25【答案】C【分析】本题考查尺规作图-中垂线，涉及中垂线的性质等，根据题意，得到DF是线段AB的中垂线；EG是线段AC的中垂线，利用中垂线性质即可得到答案，熟练掌握尺规作图-中垂线及中垂线的性质是解决问题的关键．【详解】解：如图所示：由题意可知，DF是线段AB的中垂线；EG是线段AC的中垂线；∴DB=DA,EA=EC，∴△ADE的周长为AD+DE+EA=DB+DE+EC=BC=15，故选：C．5．（3分）（2024八年级下·福建泉州·期中）已知一次函数y1=kx−2和y2=2x+3，当自变量x>−1时，A．k≥2 B．k≤−3C．−3≤k<0 D．−3≤k≤2且k≠0【答案】D【分析】解不等式kx−2<2x+3，根据题意得出k−2<0且5k−2≤−1且【详解】解：∵一次函数y1=kx−2和y2=2x+3，当自变量∴kx−2<2x+3，∴k−2x<5∴k−2<0且5k−2≤−1且解得−3≤k<2且k≠0；当k=2时，也成立，故k的取值范围是：−3≤k≤2且k≠0．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式组，一次函数的性质，正确得出关于k的不等式组是关键．6．（3分）（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，BO是等腰三角形ABC的底边中线，AC=2,AB=4,△PQC与△BOC关于点C中心对称，连接AP，则AP的长是（）

A．4 B．42 C．25 【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质可得OB⊥AQ,AO=CO=12AC=1，根据△PQC与△BOC关于点C中心对称，可得CQ=CO=1,∠Q=90°,PQ=BO=【详解】解：∵BO是等腰三角形ABC的底边中线，∴AO=CO=1∴BO=A∵△PQC与△BOC关于点C中心对称，∴CQ=CO=1,∠Q=∠BOC=90°,PQ=BO=A∴AQ=AO+CO+CQ=3，∴AP=A故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键．7．（3分）（2024八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在△ABC中，AC=5，AB=12，BC=13，点P为直线BC上一点，连接AP，则线段AP的最小值是（

）

A．4 B．6512 C．6013 【答案】C【分析】如图，过A作AP′⊥BC于P′，由题意知，AP′最小，根据AC2+A【详解】解：如图，过A作AP′⊥BC

由题意知，AP∵AC=5，AB=12，BC=13，∴52+12∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∵S△ABC∴12×13×AP故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，垂线段最短．解题的关键在于确定最小的线段AP．8．（3分）（2024八年级下·浙江绍兴·阶段练习）若关于x的不等式组x−m<05−2x≤0的整数解共有4个，则m的取值范围是（

A．6<m<7 B．6≤m<7 C．6≤m≤7 D．6<m≤7【答案】D【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围．【详解】解：由（1）得，x<m，由（2）得，x≥5故原不等式组的解集为：52∵不等式组的正整数解有4个，∴其整数解应为：3、4、5、6，∴m的取值范围是6<故选：D．【点睛】本题考查了不等式组的整数解，利用数轴就能直观的理解题意，列出关于m的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍．9．（3分）（2024八年级下·江苏苏州·期中）如图，等边△ABC的边长为6，D是BC的中点，E是AC边上的一点，连接DE，以DE为边作等边△DEF，若CE=2，则线段AF的长为（

）A．7 B．72 C．73 【答案】A【分析】过点F作HG∥AB，交BC于点G，AC于点H，过点A作AN⊥GH于点N，易证△CGH为等边三角形，进而证明△CDE≌△HEF，进而求出HE的长，利用AC−HE−CE求出AH的长，利用含30度角的直角三角形的性质，求出AN,HN的长，进而求出FN的长，再利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：过点F作HG∥AB，交BC于点G，AC于点H，过点A作AN⊥GH于点N，∵等边△ABC的边长为6，D是BC的中点，∴∠B=∠C=∠BAC=60°,BC=AC=6,CD=1∵HG∥AB，∴∠CGH=∠B=60°,∠GHC=∠BAC=60°，∴△CGH为等边三角形，∵等边△DEF，∴∠DEF=60°=∠C,DE=FE，∵∠AED=∠DEF+∠AEF=∠C+∠EDC，∴∠AEF=∠EDC，又∠FHE=∠C=60°，∴△CDE≌△HEF，∴HE=CD=3,HF=CE=2，∴AH=AC−HE−CE=1，∵∠AHN=∠FHE=60°，∴∠HAN=30°，∴HN=12AH=∴FN=FH+HN=5∴AF=F故选A．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形，难度大，综合性强，属于选择题中的压轴题．10．（3分）（2024八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在等边△ABC中，点D为AB边上一动点，连CD，将CD绕着D逆时针旋转120°得到DE，连BE，取BE中点F，连DF,CF，则下列结论不正确的是（

）A．当点D是AB中点时，ED⊥BC B．∠DEF=∠FCDC．AD=2DF D．当∠ABE=30°时，CF=2BF【答案】B【分析】过点D作DG∥BC，交AC于点G，根据等边三角形的性质和平行线的性质可得∠ADG=∠AGD=60°，再根据等腰三角形的性质可得∠CDA=90°，从而可得∠GDC=30°，再根据旋转的性质可得∠CDE=120°，求得∠GDE=90°，即可判断A选项；连接AF并延长到点K，使AF=FK，连接EK，DK，证明△AFB≌△KFESAS可得EK=BA，∠EKF=∠BAF，根据等边三角形的性质可得AB=AC=EK，设∠ACD=α，∠ABE=β，则∠ADC=120°−α，再根据旋转的性质可得∠CDE=120°，DE=DC，从而可得∠KED=α=∠ACD，可证△EKD≌△CADSAS得AD=DK，∠CAD=∠EKD=60°，从而可得∠EKF=∠DKF=∠DAF=30°，由等腰三角形的性质可得DF⊥AK，再根据直角三角形的性质即可判断C；根据等腰三角形的判定可得BF=AF，从而证△FBC≌△FAC，可得∠FBC=∠FAC=90°，∠BFC=∠AFC，再根据三角形的内角和定理可得∠BFC=60°，再根据直角三角形的性质即可判断D；由全等三角形的性质可得∠DEK=∠DCA，再由【详解】解：过点D作DG∥BC，交AC于点∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵DG∥∴∠ADG=∠AGD=∠ABC=∠ACB=60°，∵点D是AB中点，∴CD⊥AB，即∠CDA=90°，∴∠GDC=30°，由旋转的性质可得，∠CDE=120°，∴∠GDE=∠CDE−∠GDC=120°−30°=90°，∴DE⊥DG，∵DG∥∴DE⊥BC，故A选项不符合题意；连接AF并延长到点K，使AF=FK，连接EK，DK，∵点F是BE的中点，∴EF=BF，∵AF=FK，∠AFB=∠KFE，∴△AFB≌△KFESAS∴EK=BA，∠EKF=∠BAF，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=EK，设∠ACD=α，∠ABE=β，∴∠BCD=60°−α，∴∠ADC=60°+60°−α=120°−α，由旋转的性质可得，∠CDE=120°，DE=DC，∴∠ADE=120°−120°−α又∵∠ADE=∠ABE+∠BED=β+∠BED=α，∴∠BED=α−β，∴∠KED=β+α−β=α=∠ACD，∴△EKD≌△CADSAS∴AD=DK，∠CAD=∠EKD=60°，∴∠EKF+∠DKF=60°，又∵∠DKF=∠DAF，∠EKF=∠BAF，∴∠EKF=∠DKF=∠DAF=∠FEK=30°，∵点F是BE的中点，∴DF⊥AK，∴AD=2DF，故选项C不符合题意；∵∠ABE=30°，∠DAF=30°，∴BF=AF，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，BC=AC，在△FBC和△FAC中，BF=AFFC=FC∴△FBC≌△FACSSS∴∠FBC=∠FAC=30°+60°=90°，∠BFC=∠AFC，∵∠AFB=180°−30°−30°=120°，∴∠BFC=60°，∴∠BCF=30°，∴FC=2BF，故D选项不符合题意，∵△EKD≌△CAD，∴∠DEK=∠DCA，∵∠BCF=∠ACF=30°，∴∠DCA=∠DCF+30°，又∵∠EKF=∠DKF=∠DAF=∠FEK=30°，∴∠DEK=30°+∠DEB，∴30°+∠DEB=30°+∠DCF，即∠DEB=∠DCF，故选：B．【点睛】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、三角形内角和定理、平行线的判定与性质，正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2024八年级下·浙江杭州·期中）如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于点E．，若∠ABC+4∠C=180°，AB=5，BC=12，则AE=．【答案】3.5【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长AE交BC于点F，证明△ABE≌△FBE，得出AE=EF，AB=BF=5，从而可得CF=7，然后根据垂直定义可得∠EBF+∠AFB=90°，从而可得12∠ABC+∠AFB=90°，再根据已知可得12∠ABC+2∠C=90°，从而可得∠AFB=2∠C，最后利用三角形的外角性质可得【详解】解：如图，延长AE交BC于点F．∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE．在△ABE和△FBE中，∠AEB=∠FEB=90°BE=BE∴△ABE≌△FBEASA∴AE=EF，∵BC=12，∴CF=BC−BF=7，∵∠BEF=90°，∴∠EBF+∠AFB=90°，∴12∵∠ABC+4∠C=180°，∴12∴∠AFB=2∠C，∵∠AFB是△AFC的一个外角，∴∠AFB=∠C+∠CAF，∴∠C=∠CAF，∴AF=CF=7，∴AE=EF=1故答案为：3.5．12．（3分）（2024八年级下·浙江杭州·期中）若不等式组x−a>2b−2x>0的解集是−1<x<1，则2a+3b=【答案】0【分析】本题考查根据一元一次不等式组解集求参数，以及代数式求值，根据不等式组的解集是−1<x<1，建立等式求出a，b的值，再将a，b的值代入2a+3b中求解，即可解题．【详解】解：x−a>2①由①得：x>2+a，由②得：x<b∵不等式组的解集是−1<x<1，∴2+a=−1，b2解得a=−3，b=2，∴2a+3b=2×−3故答案为：0．13．（3分）（2024八年级下·山东日照·期中）已知点Aa+4,−5−b与点B2b,2a+8关于原点成中心对称，则a【答案】3【分析】此题考查了关于原点对称点的性质：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点Px,y关于原点O的对称点是P′−x,−y，解二元一次方程组．直接利用关于原点对称点的性质建立关于a，b的二元一次方程组，解方程组求出a，b【详解】解：∵点Aa+4,−5−b与点B∴a+4+2b=0−5−b+解得：a=−2b=−1∴a214．（3分）（2024八年级下·福建漳州·期中）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为(x)．即当n为非负整数时，若n−12≤x<n+12，则(x)=n．如0.46=0，3.67=4．给出下列关于(x)的结论：①(1.493)=1；②2x=2x；③若(12【答案】①③/③①【分析】①1.493四舍五入到个位为1，故①正确；②由n−12≤x<n+12，变形得2n−1≤2x<2n+1，得(2x)=2n或2n+1或2n−1，说法②错误；③若(12【详解】解：①(1.493)=1；1.493四舍五入到个位为1，故①正确；②若n−12≤x<n+1∴2n−1≤2x<2n+1，∴(2x)=2n或2n+1或2n−1，说法②错误；③若(12x−1)=4∴实数x的取值范围是9≤x<11；说法③正确；④反例：x=43时，(x)=(4故答案为：①③【点睛】本题考查对新定义和理解，不等式变形；能够理解新定义并熟练变形是解题的关键．15．（3分）（2024八年级下·四川成都·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB－∠PCD＝．【答案】45°【分析】如图，取CD边上的格点E，连接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD,证明△APE为等腰直角三角形，从而可得答案．【详解】如图，取CD边上的格点E，连接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD．由题意可得AP2＝PE2＝12+22＝5，AE2＝12+32＝10．∴AE2＝AP2+PE2．∴△APE是等腰直角三角形．∴∠PAE＝45∴∠PAB－∠PCD＝∠PAB－∠BAE＝∠PAE＝45°．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．16．（3分）（2024八年级下·黑龙江鹤岗·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰三角形AOB，∠OAB=120°，边OA在x轴上，且AO=1．将△AOB绕原点O逆时针旋转60°得到等腰三角形A1OB1，且OB1=2OB，再将△A1OB1绕原点【答案】(0,【分析】根据题意得出B点坐标变化规律，进而得出点B2023【详解】解：对于等腰三角形AOB，过点A作AH⊥OB于点H，如下图，∵△AOB为等腰三角形，∠OAB=120°，AO=1，∴∠OAH=12∠OAB=60°∴∠AOH=90°−∠OAH=30°，∴在Rt△OAH中，AH=12∴OB=2OH=3根据题意，OBOO……，依次规律，可得OB由题意可知，等腰三角形每次旋转60°，∴每旋转360°60°由2023÷6=337⋅⋅⋅1，可知，点B2023将落在y其纵坐标y=OB∴点B2023的坐标为(0,故答案为：(0,2【点睛】此题主要考查了坐标与图形、含30度角的直角三角形、勾股定理以及点的坐标变化规律等知识，得出B点坐标变化规律是解题关键．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2024八年级下·浙江绍兴·期中）解不等式（组）(1)7−2x≥6(2)6x+2>3x−42x+1【答案】(1)x≤(2)−2<x<1【分析】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．利用不等式的性质和求不等式组解集的口诀解题即可．【详解】（1）化简可得−2x≥6−7，即x≤1在数轴上表示不等式的解集如图所示：．（2）6x+2>3x−4解不等式①可得：x>−2解不等式②可得：x<1不等式解集为−2<x<1，在数轴上表示不等式组的解集如图所示：

．18．（6分）（2024八年级下·浙江杭州·期中）如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE=CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G．(1)求证：△AEG是等腰三角形．(2)若BE=10，CD=3，G为CE中点，求AG的长．【答案】(1)见解析(2)8【分析】（1）根据垂直定义可得∠ADB=∠ADC=90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B+∠BAD=90°，∠DCG+∠DGC=90°，再利用等腰三角形的性质可得∠B=∠DCG，然后利用等角的余角相等可得∠BAD=∠DGC，再根据对顶角相等可得∠AGE=∠DGC，从而可得∠BAD=∠AGE，最后利用等角对等边即可解答；（2）过点E作EF⊥AG，垂足为F，利用等腰三角形的三线合一性质可得AG=2FG，再根据线段中点的定义可得EG=GC=12EC=5，然后利用AAS证明△EFG≌△CDG，从而利用全等三角形的性质可得FG=DG，最后在Rt△CDG中，利用勾股定理求出【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∠DCG+∠DGC=90°，∵EB=EC，∴∠B=∠DCG，∴∠BAD=∠DGC，∵∠AGE=∠DGC，∴∠BAD=∠AGE，∴EA=EG，∴△AEG是等腰三角形；（2）解：过点E作EF⊥AG，垂足为F，∴∠EFG=90°，∵EA=EG，EF⊥AG，∴AG=2FG，∵G为CE中点，∴EG=GC=1∵EB=EC=10，∴GC=1∵∠EFG=∠CDG=90°，∠EGF=∠CGD，∴△EFG≌△CDGAAS∴FG=DG，在Rt△CDG中，CD=3∴DG=C∴FG=DG=4，∴AG=2FG=8，∴AG的长为8．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．19．（8分）（2024八年级下·辽宁大连·期中）在长度均为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知点A、B、C的坐标分别为1,0、4,2、2,4．(1)将△ABC沿着x轴向左平移5个单位后得到△A1B(2)将△ABC绕着O顺时针旋转90°后得到△A2B2C(3)将线段AB绕着某个定点旋转180°后得到B1A1（其中点A的对应点为点B1，点【答案】(1)见解析(2)图见解析，C(3)0,1【分析】此题主要考查了平移，旋转的性质，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义和性质．（1）根据平移变换的定义作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可；（2）根据旋转变换的定义作出旋转后的对应点，再首尾顺次连接即可；（3）连接A1B，B1A相交于点D，即可判断出点【详解】（1）解：如图1，△A（2）解：如图2，△A由图可知C2（3）解：∵线段A1B1可以看成是线段BA∴点A1与点B是对应点，点B1与点∴连接A1B，B1由图形知，D0,1即旋转中心为点D0,1故答案为0,1．20．（8分）（2024八年级下·北京西城·期中）如图，已知等腰△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，∠PAB=α，点B关于直线AP的对称点为点D，连接AD，连接BD交AP于点G，连接CD交AP于点E，交AB于点F．(1)如图1，当α=15①补全图形；②探究DE与BF的数量关系，并说明理由；(2)在直线AP绕点A顺时针旋转的过程中0∘<α<75∘，当【答案】(1)①图形见详解，②DE=2BF，理由见详解(2)30°或52.5°【分析】（1）①根据题意直接进行作图即可，②连接EB，由题意可得ED=EB，AD=AB，∠1=∠2=15°进而可得∠ADB=75°，∠DAC=∠1+∠2+∠BAC=60°，∠5=30°，证明AB⊥DC，最后利用30°直角三角形的性质得出EB=2BF，即可得出DE与（2）如图2，求得△DAC是等腰三角形，求出∠ADC=75°−α，∠AEF=75°，然后进行分类求解即可．【详解】（1）解：①如图1：

②DE=2BF，连接EB，∵点B关于直线AP的对称点为点D，α=15°∴AP垂直平分BD，

∴ED=EB，AD=AB∴∠3=∠4，∠ADB=75°，∵∠BAC=30°，∴∠DAC=∠1+∠2+∠BAC=60°，∵AC=AB，∴AC=AD，∴△ACD为等边三角形，∴∠ADC=60°，∴∠3=∠4=∠ADB−∠ADC=15°，∴∠5=30°，又AD=AC，AB平分∠DAC，∴AB⊥DC，∴∠BFE=90°，∴EB=2BF，∴DE=2BF．（2）如图2，

∵AD=AC，∴△DAC是等腰三角形，∴∠ADC=180°−2α−30°∴∠AEF=∠ADC+∠DAE=75°−α+α=75°，当AE=AF时，∠EAF=α=180°−75°×2=180°−150°=30°；当AE=EF时，∠EAF=α=180°−75°当EF=AF时，∠AEF=∠EAF=α=75°（舍去）．故答案为：30°或52.5°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、三角形内角和定理、轴对称的性质，30°直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定是解题的关键．21．（8分）（2024八年级下·湖南株洲·期中）【阅读材料】：材料一：对于实数x，y定义一种新运算K，规定：K(x,y)=ax+by（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．比如：K(1,2)=a+2b；K(−2,3)=−2a+3b．已知：K(1,2)=7；K(−2,3)=0材料二：“已知x，y均为非负数，且满足x+y=8，求2x+3y的范围”，有如下解法：∵x+y=8，∴x=8−y，∵x，y是非负数，∴x≥0即8−y≥0，∴0≤y≤8，∵2x+3y=2(8−y)+3y=16+y，∴16≤16+y≤24，∴16≤2x+3y≤24．【回答问题】：(1)求出a，b的值；(2)已知x，y均为非负数，x+2y=10，求4x−y的取值范围；(3)已知x，y，z都为非负数，K(y,z)=3+x，Kx,12【答案】(1)a=3(2)−5≤4x−y≤40(3)最小值−3，最大值8【分析】（1）由新定义运算的含义结合已知条件建立方程组a+2b=7①（2）先表示x=10−2y，再根据x，y是非负数，可得10−2y≥0且y≥0可得0≤y≤5，而4x−y=40−9y，再结合不等式的性质可得答案；（3）由新定义运算的含义可得3y+2z=3+x3x+y=4−3x，可得y=4−6xz=19x−92，仿照（2）的方法建立不等式组可得919≤x≤2【详解】（1）解：∵K(1,2)=7；K(−2,3)=0，K(x,y)=ax+by，∴a+2b=7①∴解方程组得：a=3b=2（2）∵x+2y=10，∴x=10−2y，∵x，y是非负数，∴x≥0即10−2y≥0，∴0≤y≤5，∵4x−y=410−2y∴−45≤−9y≤0∴−5≤40−9y≤40，∴−5≤4x−y≤40．（3）∵K(y,z)=3+x，Kx,12∴3y+2z=3+x3x+y=4−3x，解得：y=4−6x∵x，y，z都为非负数，∴x≥04−6x≥019x−92∴W=x−3y+4z=x−3=x−12+18x+38x−18=57x−30；当x=919时，当x=23时，【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，三元一次方程组的应用，代数式的最大值与最小值的计算，新定义运算的含义，理解题意，建立合适的方程组与不等式组是解本题的关键．22．（8分）（2024·四川广安·中考真题）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）【答案】见解析.【分析】根据轴对称图形和旋转对称图形的概念作图即可得．【详解】解：根据剪掉其中两个方格，使之成为轴