人教版初中数学同步讲义七年级下册第04讲 三元一次方程组的解法（2个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）（解析版）

*第04讲三元一次方程组的解法课程标准学习目标①三元一次方程（组）②三元一次的解法掌握三元一次方程（组）的概念并能够准确的进行判断。掌握三元一次方程组的解法并能够熟练的解三元一次方程组。知识点01三元一次方程（组）的定义三元一次方程的定义：含有3个未知数且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做三元一次方程。三元一次方程组的定义：方程组中含有3个未知数，含未知数的项的次数都是1且一共有三个方程的方程组叫做三元一次方程组。【即学即练1】1．下列是三元一次方程组的是（）A． B． C． D．【分析】如果方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是一次，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组；利用三元一次方程组的定义逐项判断即可得到答案．【解答】解：对于A选项，第二个方程中未知数x的次数是2，故A选项中方程组不是三元一次方程组；对于B选项，第一个方程中分母含有未知数，故B选项中方程组不是三元一次方程组；对于C选项，第二个方程中每个未知数的次数都是1，但对于整个方程而言，次数是3，故C选项中的方程组不是三元一次方程组；对于D选项，方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，故D选项中的方程组是三元一次方程组．故选D．知识点02解三元一次方程组基本思想：三元一次方程组消元转化成二元一次方程组，再进行消元转化成一元一次方程。基本步骤：变形：通过加减消元或带入消元把三元一次方程组变为二元一次方程。求解：求解二元一次方程组。回代：将求得的二元一次方程组的两个解带入原方程中任意一个方程，得到一个一元一次方程。求解：解一元一次方程得到第三个未知数的值。写解：用写出方程组的解。【即学即练1】2．解方程组：．【分析】由①+②和①+③可消去z，再组成二元一次方程，求解即可．【解答】解：在方程组中，①+②可得3x﹣y＝1④，①+③可得4x＝4，解得x＝1，把x＝1代入④可得y＝2，把x＝1、y＝2代入①可得z＝3，∴原方程组的解为．题型01解三元一次方程组【典例1】解方程组：．【分析】利用加减消元法，进行计算即可解答．【解答】解：，②+③得：3x+y＝﹣1④，④×3得：9x+3y＝﹣3⑤，⑤﹣①得：7x＝﹣7，解得：x＝﹣1，把x＝﹣1代入①得：﹣2+3y＝4，解得：y＝2，把x＝﹣1，y＝2代入②得：﹣2﹣2+2z＝﹣4，解得：z＝0，∴原方程组的解为：．【变式1】解方程组：．【分析】先让①+②可得x+z＝2④，再让②+③得5x﹣8z＝36⑤，④和⑤组成方程组，解可求x、z，再把x、z的值代入②可求y．【解答】解：，①+②，得x+z＝2④，②+③，得5x﹣8z＝36⑤，④×5﹣⑤，得13z＝﹣26，解得z＝﹣2，把z＝﹣2代入④，得x＝4，把x＝4，z＝﹣2代入②，得y＝0．所以原方程组的解是．【变式2】解方程组：【分析】①+②得出5x+2y＝16④，③+②得出3x+4y＝18⑤，由④和⑤组成一个二元一次方程组，求出x、y的值，再求出z即可．【解答】解：，①+②，得5x+2y＝16④，③+②，得3x+4y＝18⑤，由④和⑤组成一个二元一次方程组，解得：，把代入①，得6﹣3+z＝4，解得：z＝1，所以原方程组的解是．【变式3】解三元一次方程组．【分析】①+②求出x﹣y＝5，②﹣③求出x+2y＝11，组成一个二元一次方程组，求出方程组的解，把求出的x、y的值代入③求z即可．【解答】解：①+②，得3x﹣3y＝15，即x﹣y＝5，④②﹣③，得x+2y＝11，⑤由④和⑤组成一个二元一次方程组解得：x＝7，y＝2，再把x＝7，y＝2代入③，得z＝﹣2．所以方程组的解为．题型02构造三元一次方程组求值【典例1】已知y＝ax2+bx+c，当x＝﹣2时，y＝9；当x＝0时，y＝3；当x＝2时，y＝5，求a、b、c的值．【分析】将三组数值代入y＝ax2+bx+c列出三元一次方程组即可求出答案．【解答】解：当x＝﹣2时，y＝9；∴9＝4a﹣2b+c，当x＝0时，y＝3，∴3＝c，当x＝2时，y＝5，∴5＝4a+2b+c，∴，解得：【变式1】在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝3；当x＝0时，y＝1，当x＝1时，y＝1，求这个等式中a、b、c的值．【分析】根据题意列出三元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：由题意得，，解得，a＝1，b＝﹣1，c＝1．【变式2】已知多项式x3+ax2+bx+c中，a，b，c为常数，当x＝1时，多项式的值是1；当x＝2时，多项式的值是2；若当x是8和﹣5时，多项式的值分别为M与N，求M﹣N的值．【分析】根据题意列出方程1+a+b+c＝1，8+4a+2b+c＝2，解得，再由题意求出M和N的值，然后把a、b的值代入即可求出答案．【解答】解：当x＝1时，1+a+b+c＝1，∴a+b+c＝0．①当x＝2时，8+4a+2b+c＝2，∴4a+2b+c＝﹣6②联立①，②解得，当x＝8时，M＝512+64a+8b+c，当x＝5时，N＝﹣125+25a﹣5b+c．∴M﹣N＝512+64a+8b+c﹣（﹣125+25a﹣5b+c）＝39a+13b+637＝39×+13×+637＝﹣117+39+637＝559．【变式3】若有理数a，b，c满足（a+2c﹣2）2+|4b﹣3c﹣4|+|﹣4b﹣1|＝0，试求a3n+1b3n+2﹣c4n+2．【分析】根据非负数的性质得到，再解方程组得到，所以a3n+1b3n+2﹣c4n+2＝43n+1•（）3n+2﹣（﹣1）4n+2＝（4×）3n+1•﹣1，然后根据积的乘方进行计算．【解答】解：根据题意得，②+③得a﹣3c﹣5＝0，所以a＝6c+10，把a＝6c+10代入①得6c+10+2c﹣2＝0，、解得c＝﹣1，所以a＝﹣6+10＝4，把c＝﹣1代入②得4b+3﹣4＝0，解得b＝，所以方程组的解为，所以a3n+1b3n+2﹣c4n+2＝43n+1•（）3n+2﹣（﹣1）4n+2＝（4×）3n+1•﹣1＝﹣1＝﹣．题型03求式子的值【典例1】已知：，且3a+2b﹣4c＝9，则a+b+c的值等于﹣15．【分析】先设比例系数为k，代入3a+2b﹣4c＝9，转化为关于k的一元一次方程解答．【解答】解：设＝＝＝k，则a＝3k，b＝5k，c＝7k，代入3a+2b﹣4c＝9，得9k+10k﹣28k＝9，解得：k＝﹣1，∴a＝﹣3，b＝﹣5，c＝﹣7，于是a+b+c＝﹣3﹣5﹣7＝﹣15．故本题答案为：﹣15．【变式1】设＝＝，则的值为（）A． B． C． D．【分析】设已知等式等于k，表示出x，y，z，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：设＝＝＝k，得到x＝2k，y＝3k，z＝4k，则原式＝＝．故选：C．【变式2】已知x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0（xyz≠0），则＝﹣4．【分析】在x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0中，未知数系数相同，xy的系数互为相反数，通过两个式子相减或相加，即可用z的代数式表示出x、y，进而得出答案．【解答】解：x+y+7z＝0①，x﹣y﹣3z＝0②，①﹣②，得2y+10z＝0，即y＝﹣5z，①+②，得2x+4z＝0，即x＝﹣2z，∴＝＝＝﹣4．故答案为：﹣4．【变式3】已知方程组，则＝．【分析】方程组两方程相减求出m+2n的值，第一个方程乘以2减去第二个方程求出m+n+k的值，代入原式计算即可求出值．【解答】解：，②﹣①得：m+2n＝5，①×2﹣②得：m+n+k＝6，则原式＝．故答案为：．题型04三元一次方程组的简单应用【典例1】为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c对应的密文a+2，2b+1，3c+4．例如明文1，2，3对应的密文3，5，13．如果接收方收到密文4，13，16，则解密得到的明文为（）A．4，5，6 B．2，6，8 C．3，6，9 D．2，6，4【分析】根据接收方收到密文4，13，16，可列出关于a，b，c的三元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：根据题意得：，解得：，∴解密得到的明文为2，6，4．故选：D．【变式1】小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲，2件乙，1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲，3件乙，4件丙时显示的价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款（）A．200元 B．400元 C．500元 D．600元【分析】设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元，根据题意列出方程组，计算即可求出x，y，z的值，即可得到结果．【解答】解：设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元，根据题意得：，①+②得：5x+5y+5z＝1000，即x+y+z＝200，∴2x+2y+2z＝400，则购买甲、乙、丙各两件应该付款400元．故选：B．【变式2】某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买三等奖奖品3件，二等奖奖品5件，一等奖奖品1件，共需62元，若购三等奖奖品4件，二等奖奖品7件，一等奖奖品1件共需77元．现在购买三等奖、二等奖、一等奖奖品各一件，共需（）元A．31 B．32 C．33 D．34【分析】设三等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，一等奖奖品的单价是z元，根据“购买三等奖奖品3件，二等奖奖品5件，一等奖奖品1件，共需62元；购三等奖奖品4件，二等奖奖品7件，一等奖奖品1件共需77元”，可得出关于x，y，z的三元一次方程组，利用①×3﹣②×2，即可求出购买三等奖、二等奖、一等奖奖品各一件所需的费用．【解答】解：设三等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，一等奖奖品的单价是z元，根据题意得：，①×3﹣②×2得：x+y+z＝32，∴购买三等奖、二等奖、一等奖奖品各一件，共需32元．故选：B．【变式3】春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为a元、b元和c元．已知销售每束“眷恋”的利润率为10%，每束“永恒”的利润率为20%，每束“守候”的利润率为30%，当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%；当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%，则a：b：c为（）A．1：2：3 B．1：3：4 C．2：3：5 D．3：4：5【分析】根据“当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%；当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%”，可列出关于a，b，c的三元一次方程组，解之可用含a的代数式表示出b，c的值，代入后可求出a：b：c的值．【解答】解：根据题意得：，解得：，∴a：b：c＝a：2a：3a＝1：2：3．故选：A．1．解方程组，如果要使运算简便，那么消元时最好应（）A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消常数项【分析】观察发现，未知数y的系数具有相同，或互为相反数，从而可确定先消去y．【解答】解：观察未知数x，y，z的系数特点发现：未知数y的系数要么相等，要么互为相反数，所以要使运算简便，那么消元时最好应先消去y，故选：B．2．解三元一次方程组，若先消去z，组成关于x、y的方程组，则应对方程组进行的变形是（）A．①﹣②，②+③ B．①×2+③，②×2+③ C．①+②，②×2+③ D．①+③，②+③【分析】利用加减消元法进行计算，即可解答．【解答】解：，①+②得：5x﹣2y＝16，②×2得：4x﹣2y﹣2z＝24④，③+④得：5x﹣y＝30，即，故选：C．3．下列四组数值中，是方程组的解的是（）A． B． C． D．【分析】利用加减消元法，进行计算即可解答．【解答】解：，①+②得：3x+y＝1④，①+③得：4x+y＝2⑤，⑤﹣④得：x＝1，把x＝1代入④中，3+y＝1，解得：y＝﹣2，把x＝1，y＝﹣2代入①中，1﹣4+z＝0，解得：z＝3，∴原方程组的解为：，故选：D．4．若方程组，其中xyz不等于0，那么x：y：z＝（）A．2：3：1 B．1：2：3 C．1：4：1 D．3：2：1【分析】把z看成此时，求出x，y即可．【解答】解：由，可得，∴x：y：z＝2z：3z：z＝2：3：1．故选：A．5．某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售，且每盒甲种礼盒的价钱相同，每盒乙种礼盒的价钱相同，晓雨原先想购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元，如果改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元，若晓雨最后购买7盒甲种礼盒，则他身上剩下的钱数是（）A．1元 B．3元 C．5元 D．7元【分析】设每盒甲种礼盒的价钱为x元，每盒乙种礼盒的价钱为y元，晓雨身上有z元钱，根据购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元，如果改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元，列出三元一次方程组，解之得出z﹣7x的值即可．【解答】解：设每盒甲种礼盒的价钱为x元，每盒乙种礼盒的价钱为y元，晓雨身上有z元钱，由题意得：，（①+②）÷2得：z＝（x+y）③，（①﹣②）÷3得：y﹣x＝2，∴y＝x+2④，将④代入③中得：z＝（x+x+2），∴z﹣7x＝7，即晓雨最后购买7盒甲种礼盒，则他身上剩下的钱数是7元，故选：D．6．一个宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团25人准备同时租用这三种客房共9间，如果每个房间都住满，则租房方案共有（）A．4种 B．3种 C．2种 D．1种【分析】首先设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意可得方程组：，解此方程组可得y+2z＝7，又由x，y，z是非负整数，即可求得答案．【解答】解：设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意得：，解得：y+2z＝7，y＝7﹣2z，∵x，y，z都是小于9的正整数，当z＝1时，y＝5，x＝3；当z＝2时，y＝3，x＝4；当z＝3时，y＝1，x＝5当z＝4时，y＝﹣1（不符合题意，舍去）∴租房方案有3种．故选：B．7．若方程组的解也是方程3x+ky＝10的解，则k的值是（）A．6 B．10 C．9 D．【分析】由题意知方程组，可将方程3x+5y＝6乘以2减去方程6x+15y＝15，得到一个关于y的方程从而解出y值，再代入方程3x+5y＝6求出x的值，又方程组的解也是方程3x+ky＝10的解，把方程组的解代入即可求出k值．【解答】解：由题意知，，将方程①×2﹣②得，﹣5y＝﹣3，∴y＝，把y代入①得，3x+3＝6，∴x＝1，把代入方程3x+ky＝10，得3+k×＝10，∴k＝；故选：D．8．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝2；当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝12，则a+b+c＝（）A．4 B．5 C．6 D．8【分析】先把x＝0时，y＝2；x＝﹣1时，y＝0；x＝2时，y＝12分别代入y＝ax2+bx+c，得到一个三元一次方程组解这个方程组即可求出a，b，c的值，进而求得结果．【解答】解：把x＝0时，y＝2；x＝﹣1时，y＝0；x＝2时，y＝12分别代入y＝ax2+bx+c，得，解得，，∴a+b+c＝1+3+2＝6，故选：C．9．对于实数x，y定义新运算：x⊗y＝ax+by+c，其中a，b，c均为常数，且已知3⊗5＝15，4⊗7＝28，则2⊗3的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据所给的条件，可得到3a+5b+c＝15，4a+7b+c＝28，从而可求得a+2b＝13，7a+12b+2c＝43，整理可求得b﹣c＝24，从而可求解．【解答】解：∵3⊗5＝15，4⊗7＝28，∴3a+5b+c＝15①，4a+7b+c＝28②，②﹣①得：a+2b＝13，①+②得：7a+12b+2c＝43，则7（a+2b）﹣2（b﹣c）＝43，整理得：b﹣c＝24，∴2⊗3＝2a+3b+c＝2（a+2b）﹣（b﹣c）＝2×13﹣24＝26﹣24＝2．故选：A．10．三个二元一次方程3x﹣y＝7，2x+3y＝1，y＝kx﹣9有公共解，则k的值是（）A．3 B． C．﹣2 D．4【分析】利用方程3x﹣y＝7和2x+3y＝1组成方程组，求出x、y，再代入y＝kx﹣9求出k值．【解答】解：，把①式两边乘3，得9x﹣3y＝21③，②+①得11x＝22，得x＝2，把x＝2代入①得6﹣y＝7，解得y＝﹣1，将代入y＝kx﹣9得2k﹣9＝﹣1，解得k＝4．故选：D．11．如果方程组的解与方程组的解相同，则a+b＝1．【分析】两个方程组的解相同，意思是这两个方程组中的x都等于4，y都等于3，即是方程组的解，根据方程组的解的定义，即可求出a+b的值．【解答】解：依题意，知是方程组的解，∴①+②，得7a+7b＝7，方程两边都除以7，得a+b＝1．12．已知x、y、z满足，则x：y：z＝1：3：2．【分析】把两个方程相加，可得14x＝7z，据此可得x：z＝1：2；①×3﹣②×4，可得21x＝7y，据此可得x：y＝1：3，进而得出答案．【解答】解：，①+②，得14x﹣7z＝0，即14x＝7z，∴x：z＝1：2；①×3﹣②×4，得﹣21x+7y＝0，即21x＝7y，∴x：y＝1：3，∴x：y：z＝1：3：2．故答案为：1：3：2．13．购买铅笔7支，作业本6个，中性笔4支共需33元；购买铅笔5支，作业本5个，中性笔3支共需26元；则购买铅笔2支，作业本1个，中性笔1支共需7元．【分析】首先假设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，中性笔的单价是z元．购买铅笔2支，作业本1本，中性笔1支共需a元．根据题目说明列出方程组，解方程组求出a的值，即为所求结果．【解答】解：设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，中性笔的单价是z元．购买铅笔2支，作业本1本，中性笔1支共需a元．则由题意得：，由①﹣②得2x+y+z＝7，于是：a＝7，故答案为：7．14．磁器口古镇，被赞誉为“小重庆”，磁器口的陈麻花更是重庆标志性名片之一．磁器口某门店从陈麻花生产商处采购了原味、麻辣、巧克力三种口味的麻花进行销售，其每袋进价分别是10元，12元，15元，其中原味与麻辣味麻花每袋的销售利润率相同，原味与巧克力味麻花每袋的销售利润相同．经统计，在今年元旦节当天，该门店这三种口味的麻花销量是2：3：2，其销售原味与巧克力味麻花的总利润率是40%，且巧克力味麻花销售额比原味麻花销售额多1000元，则今年元旦节当天该门店销售这三种口味的麻花的利润共3800元．【分析】设原味麻花的销售单价为x元，用x表示其它两种麻花的销售单价，再设今年元旦节当天，该门店这三种口味的麻花销量分别是：原味2y袋，麻辣味3y袋，巧克力味2y袋，根据题意列出方程组，求得x与y的值，进而再用x、y的代数式表示今年元旦节当天该门店销售这三种口味的麻花的利润，最后代值计算．【解答】解：设原味麻花的销售单价为x元，根据题意得，麻辣味麻花销售单价为12（1+）＝1.2x（元），巧克力麻花的销售单价为15+（x﹣10）＝x+5（元），设今年元旦节当天，该门店这三种口味的麻花销量分别是：原味2y袋，麻辣味3y袋，巧克力味2y袋，根据题意得，，解得，，∴今年元旦节当天该门店销售这三种口味的麻花的利润为：（x﹣10）•2y+（1.2x﹣12）•3y+（x﹣10）•2y＝7.6xy﹣76y＝7.6×15×100﹣76×100＝3800．故答案为：3800．15．某校举行一次数学竞赛，赛后5名同学A，B，C，D，E知道了自己的成绩，但这5名学生想尽快得知比赛的名次，得到如下信息：信息序号文字信息1D的得分是E得分的四分之一2E的得分是B得分的3倍3A和D的得分之和等于B和C的总分4A与E的得分之差是B得分的四分之三则这5位同学中获得第三名的是E．【分析】由文字信息得到数学表达式，组成方程组，化简比较大小即可．【解答】解：由题意得，，解得，，∴A＞C＞E＞B＞D，∴获得第三名的同学是E，故答案为：E．16．解方程组：（1）；（2）．【分析】（1）方程组化简后，利用加减消元法求解即可；（2）分别用②﹣①，②+③得到两个关于x、y的二元一次方程，联立为二元一次方程组求出x、y的值，再代入①求出z的值即可．【解答】解：（1）方程组整理，得，①+②，得6x＝12，解得x＝2，把x＝2代入②，得6+2y＝14，解得y＝4，故原方程组的解为；（2），②﹣①，得x+2y＝7④，②+③，得5x+5y＝25，即x+y＝5⑤，④﹣⑤，得y＝2，把y＝2代入⑤，得x＝3，把x＝3，y＝2代入①，得z＝5，故原方程组的解为．17．已知关于x，y的方程组（1）若方程组的解互为相反数，求k的值．（2）若方程组的解满足方程3x﹣4y＝1，求k的值．【分析】（1）根据相反数得出，求出方程组的解即可；（2）解三元一次方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：（1）依题意有：，解得．故k的值为；（2）依题意有：，解得．故k的值为﹣3．18．运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲、乙、丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如表所示．车型甲乙丙运载量（吨/辆）5810运费（元/辆）450600700解答下列问题：（假设每辆车均满载）（1）若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车分别需要多少辆？（2）若用甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，其中甲型车有2辆，则乙、丙型车分别需要多少辆？此时的总运费是多少？【分析】（1）设甲、乙型车各需a辆，b辆，根据物资共120吨，运费共9600元列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；（2）设乙、丙型车分别需要x辆、y辆，根据总辆数14和总吨数列出方程组，进而求出总运费即可．【解答】解：（1）设甲、乙型车分别需要a辆、b辆．根据题意，得，解得，答：甲、乙型车分别需要8辆、10辆；（2）设乙、丙型车分别需要x辆、y辆，根据题意得，解得，此时总运费为450×2+600×5+700×7＝900+3000+4900＝8800（元）．答：乙、丙型车分别需要5辆、7辆，此时的总运费为8800元．19．【数学问题】解方程组．【思路分析】小明观察后发现方程①的左边是x+y，而方程②的括号里也是x+y，他想到可以把x+y视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的．（