人教版初中数学同步讲义七年级下册第05讲 专题1 解一元一次不等式（组）及其实际应用（原卷版）

第05讲专题1解一元一次不等式（组）与实际应用类型一：解普通的不等式（组）类型二：解“连续型”不等式组类型三：解含有绝对值的不等式类型四：解“分式型”不等式类型五：一元一次不等式（组）的实际应用类型一：解普通的不等式（组）1．解不等式或者不等式组：（1）3x﹣2≥1；（2）．2．解下列不等式（组）．（1）x﹣4≤3（x﹣2）；（2）．3．（1）解不等式；．（2）解不等式组并用数轴表示不等式组的解集．4．解下列不等式或不等式组：（1）3x﹣4≤2x．（2）解不等式组．5．求下列不等式（组）的解集，并在数轴上表示解集：（1）﹣＞1；（2）．6．解下列不等式（组）：（1）6x﹣1＞9x﹣4．（2）．7．计算：（1）解不等式：3（1﹣2x）＜7﹣2（x﹣4），并将解集表示在数轴上．（2）解不等式组：．类型二：解“连续型”不等式组8．不等式组2＜x﹣3≤7的解集是．9．已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足2022＜x﹣y＜2024，则整数k值为（）A．2022 B．2023 C．2024 D．202510．满足不等式﹣1＜≤2的非负整数解的个数是（）个．A．5 B．4 C．3 D．无数11．若满足不等式﹣4＜2x﹣1＜8的最大整数解为a，最小整数解为b．则a+b之值为（）A．2 B．3 C．4 D．5类型三：解含有绝对值的不等式12．【阅读材料】我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离．例如|x|＝|x﹣0|表示数轴上表示x这个数的点到原点的距离，那么式子|x﹣1|可理解为：数轴上表示x这个数的点到表示1这个数的点的距离．于是解不等式|x﹣1|≤2则是要在数轴上找出到1的距离小于等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1距离小于等于2的点对应的数都在﹣1和3之间（包含﹣1和3两个点），这样我们就可以得到不等式|x﹣1|≤2的解集为：﹣1≤x≤3；【解决问题】参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题：（1）不等式|x|≤5的解集为；（2）不等式|x﹣2|≥2的解集为；（3）不等式2|x+1|﹣3＜5的解集为；（4）不等式|x﹣3|+|x+4|＜8的解集为；（5）对于任意数x，若不等式|x+3|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范围．13．请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集的过程．对于绝对值不等式|x|＜3，从图1的数轴上看：大于﹣3而小于3的数的绝对值小于3，所以|x|＜3的解集为﹣3＜x＜3；对于绝对值不等式|x|＞3，从图2的数轴上看：小于﹣3或大于3的数的绝对值大于3，所以|x|＞3的解集为x＜﹣3或x＞3．（1）绝对值不等式|x|＞2的解集为．（2）求绝对值不等式|x﹣3|＞2的解集．（3）已知绝对值不等式|2x﹣1|＜a的解集为b＜x＜3，求a﹣2b的值．14．先阅读绝对值不等式|x|＜6和|x|＞6的解法，再解答问题．①因为|x|＜6，从数轴上（如图1）可以看出只有大于﹣6而小于6的数的绝对值小于6，所以|x|＜6的解集为﹣6＜x＜6．②因为|x|＞6，从数轴上（如图2）可以看出只有小于﹣6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以|x|＞6的解集为x＜﹣6或x＞6．（1）|x|＜2的解集为，|x|＞5的解集为；（2）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足|x+y|≤3，其中m是负整数，求m的值．类型四：解“分式型”不等式15．阅读下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．李阳在解分式不等式时，是这样思考的：根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组：①或②．解不等式组①得，解不等式组②：不等式组无解，所以原不等式的解集为．请你参考李阳思考问题的方法，解分式不等式．16．阅读下面材料后，解答问题．分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：；等，那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为：（a）若a＞0，b＞0，则，若a＜0，b＜0，则；（b）若a＞0，b＜0，则，若a＜0，b＞0，则．请解答下列问题：（1）①若，则或；②若，则或；（2）根据上述规律，求不等式的解集．17．感知：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．小亮在解分式不等式＞0时，是这样思考的：根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组：①或②解不等式组①，得x＞3，解不等式组②，得x＜﹣．所以原分式不等式的解集为x＞3或x＜﹣．探究：请你参考小亮思考问题的方法，解不等式＜0．应用：不等式（x﹣3）（x+5）≤0的解集是．18．自学下面材料后，解答问题．分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：＞0；＜0等．那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：若a＞0，b＞0，则＞0；若a＜0，b＜0，则＞0；若a＞0，b＜0，则＜0；若a＜0，b＞0，则＜0．（1）反之：若＞0，则或；若＜0，则或．（2）根据上述规律，求不等式＞0的解集．（3）直接写出分式不等式的解集．类型五：一元一次不等式（组）的实际应用19．中央大街工艺品店销售冰墩墩徽章和冰墩墩摆件，若购买4个冰墩墩徽章和2个冰墩墩摆件需要130元，购买3个冰墩墩徽章和5个冰墩墩摆件需要220元，（1）求每个冰墩墩徽章和每个冰墩墩摆件各需要多少钱？（2）若某旅游团计划买冰墩墩徽章和冰墩墩摆件共50个，所用钱数不超过1150元，则该旅游团至少买多少个冰墩墩徽章？20．文具店计划购进若干数量某品牌的圆规和笔袋．如果购进5个圆规和10个笔袋，那么需花费130元；如果购进20个圆规和30个笔袋，那么需花费440元．（1）求每个圆规和每个笔袋的进价．（2）该文具店决定购进圆规和笔袋共100个，且总费用不超过920元，那么该文具店最多可以购进多少个圆规？21．为了响应国家发展科技的号召，某公司计划对A、B两类科研项目投资研发．已知研发1个A类科研项目比研发1个B类科研项目少投资75万元，且投资1200万元研发A类科研项目的个数与投资1500万元研发B类科研项目的个数相同．（1）研发一个A类科研项目所需的资金是多少万元？（2）该公司今年计划投资研发A、B两类科研项目共40个，且该公司投入研发A、B两类科研项目的总资金不超过1亿3200万元，则该公司投资研发A类科研项目至少是多少个？22．体育的兴衰与国家强盛息息相关，“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．党的十八大以来，全民健身事业在新时代经历了飞速发展，运动成为满足人民美好生活需要的重要组成，全民健身蔚然成风，正展开一幅盎然生机的时代画卷．党的十八大以来，以习近平同志为核心的党中央高度重视关心体育工作，亲自谋划推动体育事业改革发展，将全民健身上升为国家战略，广泛开展全民健身运动，推动全民健身和全民健康深度融合．某街道为了响应国家号召决定对小区的健身器材进行升级，购买甲和乙两种健身器材，其中甲种器材每套500元，乙种器材每套460元．（1）若购买甲和乙的健身器材共40套，且恰好支出18880元，求甲和乙的健身器材各购买多少套？（2）若购买甲和乙的健身器材共40套，且支出不超过19500元，求乙种健身器材至少要购买多少套？23．为了更好治理河流水质，保护环境，某市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格及月处理污水量如表：A型B型价格（万元/台）ab处理污水量（吨/月）220180经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多4万元，购买3台A型设备比购买5台B型设备少4万元．（1）求a，b的值；（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过90万元，你认为该公司有哪几种购买方案；（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于1840吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．24．每年的4月23日为“世界读书日”．为了迎接第30个世界读书日，某校计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个、乙种书柜3个，共需资金1440元．（1）甲、乙两种书柜每个的进价分别是多少元？（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，一共有哪几种购买方案？25．为了实现县域教育均衡发展，某县计划对A，B两类学校分批进行改进，根据预算，改造一所A类学校和两所B类学校共需资金242万元，改造两所A类学校和一所B类学校共需资金220万元．（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？（2）该县计划今年对A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过380万元，地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元，请你通过计算求出改造方案？26．中医药是中华民族的宝贵财富．为更好地弘扬中医药传统文化，传播中医药知识，增进青少年对中华优秀传统文化的了解与认知．明德麓谷学校开展“中草药种植进校园传承中医药文化”活动，特开设中草药种植课程，计划购买甲、乙两种中草药种子，经过调查得知：每斤甲种种子的价格比每斤乙种种子的价格贵40元，买5斤甲种种子和10斤乙种种子共用1100元．（1）求每斤甲、乙种子的价格分别是多少元？（2）若学校需购进乙种中草药种子m斤（其中m为整数），且甲、乙两种中草药种子共120斤，总费用低于8500元，并且要求购进乙种的数量必须不超过甲种数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？27．为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，我州北部某市向南部某贫困县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套．（1）求书籍和实验器材各有多少套？（2）现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县．已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套．运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来．（3）在（2）的条件下，如果甲种型号的货车每辆需付运费1000元，乙种型号的货车每辆需付运费900元．假设你是决策者，应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？28．某校决定组织学生开展校外拓展活动，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示．学校计划此次拓展活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．客车甲种乙种载客量/（人/辆）3042租金（元/辆）300400（1）参加此次拓展活动的老师有多少人？参加此次拓展活动的学生有多少人？（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为多少辆．（3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明