人教版初中数学同步讲义七年级下册第05讲 专题1 解一元一次不等式（组）及其实际应用（解析版）

第05讲专题1解一元一次不等式（组）与实际应用类型一：解普通的不等式（组）类型二：解“连续型”不等式组类型三：解含有绝对值的不等式类型四：解“分式型”不等式类型五：一元一次不等式（组）的实际应用类型一：解普通的不等式（组）1．解不等式或者不等式组：（1）3x﹣2≥1；（2）．【分析】（1）先移项，再合并同类项，系数化1，即可作答．（2）分别算出每个不等式，再取它们的公共解集，即可作答．【解答】解：（1）3x﹣2≥1，3x≥1+2，3x≥3，x≥1；（2），去括号，去分母，得，解得，即6＜x≤9．2．解下列不等式（组）．（1）x﹣4≤3（x﹣2）；（2）．【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答；（2）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．【解答】解：（1）x﹣4≤3（x﹣2），x﹣4≤3x﹣6，x﹣3x≤﹣6+4，﹣2x≤﹣2，x≥1；（2），解不等式①得：x＜2，解不等式②得：x≥﹣6，∴原不等式组的解集为：﹣6≤x＜2．3．（1）解不等式；．（2）解不等式组并用数轴表示不等式组的解集．【分析】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可；（2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．【解答】解：（1），去分母得：2（2x﹣3）≤x+2，去括号得：4x﹣6≤x+2，移项得；4x﹣x≤2+6，合并同类项得：3x≤8，系数化为1得：；（2），解不等式①得：x≥﹣2，解不等式②得：，∴不等式组的解集为，数轴表示如下所示：4．解下列不等式或不等式组：（1）3x﹣4≤2x．（2）解不等式组．【分析】（1）移项，合并同类项，系数化成1即可；（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：（1）3x﹣2x≤4，x≤4．（2），由①得：；由②得：x≤0；则不等式组的解集为．5．求下列不等式（组）的解集，并在数轴上表示解集：（1）﹣＞1；（2）．【分析】（1）先根据解一元一次不等式的方法解答，然后在数轴上表示出不等式的解集即可；（2）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出不等式组的解集即可．【解答】解：（1）﹣＞1，去分母，得：2（2x﹣1）﹣3（5x+1）＞6，去括号，得：4x﹣2﹣15x﹣3＞6，移项及合并同类项，得：﹣11x＞11，系数化为1，得：x＜﹣1，其解集在数轴上表示如下：；（2），解不等式①，得：x＞﹣6，解不等式②，得：x＜6，∴该不等式组的解集是﹣6＜x＜6，其解集在数轴上表示如下：．6．解下列不等式（组）：（1）6x﹣1＞9x﹣4．（2）．【分析】（1）先移项，合并同类项，然后再将系数化为1即可；（2）分别求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集即可．【解答】解：（1）6x﹣1＞9x﹣4，移项得：6x﹣9x＞1﹣4，合并同类项得：﹣3x＞﹣3，系数化为1得：x＜1；（2），解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x≤5，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤5．7．计算：（1）解不等式：3（1﹣2x）＜7﹣2（x﹣4），并将解集表示在数轴上．（2）解不等式组：．【分析】（1）根据解一元一次不等式的一般步骤求解即可；（2）求出每个不等式的解集，再求公共解集即可．【解答】解：（1）去括号得：3﹣6x＜7﹣2x+8，移项得：﹣6x+2x＜7+8﹣3，合并同类项得：﹣4x＜12，两边同时除以﹣4得：x＞﹣3；把解集表示在数轴上如下：（2），解不等式①得：x≥﹣2，解不等式②得：x＜1，∴不等式组的解集为﹣2≤x＜1．类型二：解“连续型”不等式组8．不等式组2＜x﹣3≤7的解集是5＜x≤10．【分析】分别解出两个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集．【解答】解：由x﹣3＞2，得：x＞5；由x﹣3≤7，得：x≤10，∴不等式组的解集为：5＜x≤10．故答案为：5＜x≤10．9．已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足2022＜x﹣y＜2024，则整数k值为（）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【分析】先利用加减消元法推出x﹣y＝k﹣1，再由2022＜x﹣y＜2024推出2023＜k＜2025，据此可得答案．【解答】解：，①+②得：3x﹣3y＝3k﹣3，∴x﹣y＝k﹣1，∵2022＜x﹣y＜2024，∴2022＜k﹣1＜2024，∴2023＜k＜2025，∴整数k值为2024，故选：C．10．满足不等式﹣1＜≤2的非负整数解的个数是（）个．A．5 B．4 C．3 D．无数【分析】求出不等式组的解集，确定出整数解即可．【解答】解：由题意得，解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得x≤3.5，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤3.5，非负整数解为0，1，2，3共4个，故选：B．11．若满足不等式﹣4＜2x﹣1＜8的最大整数解为a，最小整数解为b．则a+b之值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】不等式整理后求出x的范围，确定出最小、最大整数解进而求出a与b的值，即可求出所求．【解答】解：不等式整理得：﹣＜x＜，最小整数解为x＝﹣1，最大整数解为x＝4，即a＝4，b＝﹣1，则a+b＝4﹣1＝3，故选：B．类型三：解含有绝对值的不等式12．【阅读材料】我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离．例如|x|＝|x﹣0|表示数轴上表示x这个数的点到原点的距离，那么式子|x﹣1|可理解为：数轴上表示x这个数的点到表示1这个数的点的距离．于是解不等式|x﹣1|≤2则是要在数轴上找出到1的距离小于等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1距离小于等于2的点对应的数都在﹣1和3之间（包含﹣1和3两个点），这样我们就可以得到不等式|x﹣1|≤2的解集为：﹣1≤x≤3；【解决问题】参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题：（1）不等式|x|≤5的解集为﹣5≤x≤5；（2）不等式|x﹣2|≥2的解集为x≤0或x≥4；（3）不等式2|x+1|﹣3＜5的解集为﹣5≤x≤3；（4）不等式|x﹣3|+|x+4|＜8的解集为﹣4.5＜x＜3.5；（5）对于任意数x，若不等式|x+3|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）根据绝对值的意义及数轴求解；（2）根据绝对值的意义及数轴求解；（3）先把不等式变形，再根据绝对值的意义及数轴求解；（4）结合数轴，再根据绝对值的意义及数轴求解；（5）根据绝对值的意义及数轴求解．【解答】解：（1）不等式|x|≤5的解集为：﹣5≤x≤5；故答案为：﹣5≤x≤5；（2）不等式|x﹣2|≥2的解集为：x≤0或x≥4；故答案为：x≤0或x≥4；（3）不等式2|x+1|﹣3＜5的解集为：﹣5＜x＜3；故答案为：﹣5＜x＜3；（4）不等式|x﹣3|+|x+4|＜8的解集为：﹣4.5＜x＜3.5；故答案为：﹣4.5＜x＜3.5；（5）当x≤﹣3时，|x+3|+|x﹣2|＝﹣x﹣3﹣x+2＝﹣2x﹣1≥5，当﹣3＜x≤2时，|x+3|+|x﹣2|＝x+3+2﹣x＝5，当x＞2时，|x+3|+|x﹣2|＝x+3+x﹣2＝2x+1＞5，∴|x+3|+|x﹣2|≥5，∴a≤5．13．请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集的过程．对于绝对值不等式|x|＜3，从图1的数轴上看：大于﹣3而小于3的数的绝对值小于3，所以|x|＜3的解集为﹣3＜x＜3；对于绝对值不等式|x|＞3，从图2的数轴上看：小于﹣3或大于3的数的绝对值大于3，所以|x|＞3的解集为x＜﹣3或x＞3．（1）绝对值不等式|x|＞2的解集为x＞2或x＜﹣2．（2）求绝对值不等式|x﹣3|＞2的解集．（3）已知绝对值不等式|2x﹣1|＜a的解集为b＜x＜3，求a﹣2b的值．【分析】（1）由绝对值的几何意义即可得出答案；（2）由绝对值的几何意义即可得出答案；（3）由|2x﹣1|＜a知﹣a＜2x﹣1＜a，据此得出，再结合b＜x＜3可得出关于a、b的方程组，解之即可求出a、b的值，从而得出答案．【解答】解：（1）根据绝对值的定义得：x＞2或x＜﹣2，故答案为：x＞2或x＜﹣2；（2）根据绝对值的定义得：x﹣3＞2或x﹣3＜﹣2，解得x＞5或x＜1；（3）∵|2x﹣1|＜a，∴﹣a＜2x﹣1＜a，解得，∵解集为b＜x＜3，∴，解得，则a﹣2b＝5+4＝9．14．先阅读绝对值不等式|x|＜6和|x|＞6的解法，再解答问题．①因为|x|＜6，从数轴上（如图1）可以看出只有大于﹣6而小于6的数的绝对值小于6，所以|x|＜6的解集为﹣6＜x＜6．②因为|x|＞6，从数轴上（如图2）可以看出只有小于﹣6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以|x|＞6的解集为x＜﹣6或x＞6．（1）|x|＜2的解集为﹣2＜x＜2，|x|＞5的解集为x＞5或x＜﹣5；（2）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足|x+y|≤3，其中m是负整数，求m的值．【分析】（1）根据阅读材料的结论即可解答；（2）先将二元一次的方程组的两方程求和可得x+y＝﹣m﹣1，再代入|x+y|≤3得到关于m的绝对值方程，然后求解，最后确定满足题意的m的值即可．【解答】解：（1）由阅读材料提供方法可得：|x|＜2的解集为﹣2＜x＜2；|x|＞5的解集为x＞5或x＜﹣5．故答案为﹣2＜x＜2；x＞5或x＜﹣5．（2）∵二元一次方程组，∴①+②可得：3x+3y＝﹣3m+6，即x+y＝﹣m+2，∵|x+y|≤3，∴|﹣m+2|≤3，即|m﹣2|≤3，∴﹣3≤m﹣2≤3，∴﹣1≤m≤5，∵m是负整数，∴m＝﹣1．类型四：解“分式型”不等式15．阅读下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．李阳在解分式不等式时，是这样思考的：根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组：①或②．解不等式组①得，解不等式组②：不等式组无解，所以原不等式的解集为．请你参考李阳思考问题的方法，解分式不等式．【分析】先根据有理数的除法法则得出①或②．再分别求解即可得出答案．【解答】解：根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组：①或②．解不等式组①得x＞2，解不等式组②：x≤，所以原不等式的解集为x＞2或x≤．16．阅读下面材料后，解答问题．分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：；等，那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为：（a）若a＞0，b＞0，则，若a＜0，b＜0，则；（b）若a＞0，b＜0，则，若a＜0，b＞0，则．请解答下列问题：（1）①若，则或；②若，则或；（2）根据上述规律，求不等式的解集．【分析】（1）根据两数相除，同号得正，异号得负解答；（2）先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可．【解答】解：（1）①若＞0，则或；②若＜0，则或；故答案为：；，；（2）若＞0．则①或②，解不等式组①得：x＞2；解不等式组②得：x＜﹣1，所以不等式＞0的解集是x＞2或x＜﹣1．17．感知：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．小亮在解分式不等式＞0时，是这样思考的：根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组：①或②解不等式组①，得x＞3，解不等式组②，得x＜﹣．所以原分式不等式的解集为x＞3或x＜﹣．探究：请你参考小亮思考问题的方法，解不等式＜0．应用：不等式（x﹣3）（x+5）≤0的解集是﹣5≤x≤3．【分析】先转化成不等式组，再求出不等式组的解集，最后求出答案即可．【解答】解：探究：＜0．根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组：①，或②，解不等式组①，得＜x＜2，解不等式组②得此不等式组无解．所以原分式不等式的解集为＜x＜2；应用：（x﹣3）（x+5）≤0，原不等式可化为不等式组：①或②，解不等式组①得：不等式组无解，解不等式组②得：﹣5≤x≤3，所以不等式（x﹣3）（x+5）≤0的解集是﹣5≤x≤3，故答案为：﹣5≤x≤3．18．自学下面材料后，解答问题．分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：＞0；＜0等．那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：若a＞0，b＞0，则＞0；若a＜0，b＜0，则＞0；若a＞0，b＜0，则＜0；若a＜0，b＞0，则＜0．（1）反之：若＞0，则或若＜0，则或．（2）根据上述规律，求不等式＞0的解集．（3）直接写出分式不等式的解集x＞3或．【分析】（1）根据两数相除，异号得负解答；（2）先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可；（3）根据分式的意义把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可．【解答】解：（1）若＜0，则或；故答案为：或；（2）不等式转化为或，所以，x＞2或x＜﹣1．（3）不等式转化为0＜x﹣3＜3x﹣2或x﹣3＜3x﹣2＜0，所以x＞3或，故答案为x＞3或．类型五：一元一次不等式（组）的实际应用19．中央大街工艺品店销售冰墩墩徽章和冰墩墩摆件，若购买4个冰墩墩徽章和2个冰墩墩摆件需要130元，购买3个冰墩墩徽章和5个冰墩墩摆件需要220元，（1）求每个冰墩墩徽章和每个冰墩墩摆件各需要多少钱？（2）若某旅游团计划买冰墩墩徽章和冰墩墩摆件共50个，所用钱数不超过1150元，则该旅游团至少买多少个冰墩墩徽章？【分析】（1）设每个冰墩墩徽章x元，每个冰墩墩摆件y元，根据“购买4个冰墩墩徽章和2个冰墩墩摆件需要130元，购买3个冰墩墩徽章和5个冰墩墩摆件需要220元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设该旅游团购买m个冰墩墩徽章，则购买（50﹣m）个冰墩墩摆件，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过1150元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．【解答】解：（1）设每个冰墩墩徽章x元，每个冰墩墩摆件y元，根据题意得：，解得：．答：每个冰墩墩徽章15元，每个冰墩墩摆件35元；（2）设该旅游团购买m个冰墩墩徽章，则购买（50﹣m）个冰墩墩摆件，根据题意得：15m+35（50﹣m）≤1150，解得：m≥30，∴m的最小值为30．答：该旅游团至少买30个冰墩墩徽章．20．文具店计划购进若干数量某品牌的圆规和笔袋．如果购进5个圆规和10个笔袋，那么需花费130元；如果购进20个圆规和30个笔袋，那么需花费440元．（1）求每个圆规和每个笔袋的进价．（2）该文具店决定购进圆规和笔袋共100个，且总费用不超过920元，那么该文具店最多可以购进多少个圆规？【分析】（1）设每个圆规的进价是x元，每个笔袋的进价是y元，根据“购进5个圆规和10个笔袋，需花费130元；购进20个圆规和30个笔袋，需花费440元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设该文具店购进m个圆规，则购进（100﹣m）个笔袋，利用进货总价＝进货单价×进货数量，结合进货总价不超过920元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．【解答】解：（1）设每个圆规的进价是x元，每个笔袋的进价是y元，根据题意得：，解得：．答：每个圆规的进价是10元，每个笔袋的进价是8元；（2）设该文具店购进m个圆规，则购进（100﹣m）个笔袋，根据题意得：10m+8（100﹣m）≤920，解得：m≤60，∴m的最大值为60．答：该文具店最多可以购进60个圆规．21．为了响应国家发展科技的号召，某公司计划对A、B两类科研项目投资研发．已知研发1个A类科研项目比研发1个B类科研项目少投资75万元，且投资1200万元研发A类科研项目的个数与投资1500万元研发B类科研项目的个数相同．（1）研发一个A类科研项目所需的资金是多少万元？（2）该公司今年计划投资研发A、B两类科研项目共40个，且该公司投入研发A、B两类科研项目的总资金不超过1亿3200万元，则该公司投资研发A类科研项目至少是多少个？【分析】（1）设研发一个A类科研项目所需的资金是x万元，则研发一个B类科研项目所需的资金是（x+75）万元，根据投资1200万元研发A类科研项目的个数与投资1500万元研发B类科研项目的个数相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；（2）设该公司投资研发y个A类科研项目，则资研发（40﹣y）个B类科研项目，根据该公司投入研发A、B两类科研项目的总资金不超过1亿3200万元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．【解答】解：（1）设研发一个A类科研项目所需的资金是x万元，则研发一个B类科研项目所需的资金是（x+75）万元，根据题意得：＝，解得：x＝300，经检验，x＝300是所列方程的解，且符合题意．答：研发一个A类科研项目所需的资金是300万元；（2）设该公司投资研发y个A类科研项目，则资研发（40﹣y）个B类科研项目，根据题意得：300y+（300+75）（40﹣y）≤13200，解得：y≥24，∴y的最小值为24．答：该公司投资研发A类科研项目至少是24个．22．体育的兴衰与国家强盛息息相关，“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．党的十八大以来，全民健身事业在新时代经历了飞速发展，运动成为满足人民美好生活需要的重要组成，全民健身蔚然成风，正展开一幅盎然生机的时代画卷．党的十八大以来，以习近平同志为核心的党中央高度重视关心体育工作，亲自谋划推动体育事业改革发展，将全民健身上升为国家战略，广泛开展全民健身运动，推动全民健身和全民健康深度融合．某街道为了响应国家号召决定对小区的健身器材进行升级，购买甲和乙两种健身器材，其中甲种器材每套500元，乙种器材每套460元．（1）若购买甲和乙的健身器材共40套，且恰好支出18880元，求甲和乙的健身器材各购买多少套？（2）若购买甲和乙的健身器材共40套，且支出不超过19500元，求乙种健身器材至少要购买多少套？【分析】（1）根据购买甲和乙的健身器材共40套，且恰好支出18880元，可以列出相应的方程，然后求解即可；（2）根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可，注意购买的套数为整数．【解答】解：（1）设甲健身器材购买了a套，则乙健身器材购买了（40﹣a）套，由题意可得：500a+460（40﹣a）＝18880，解得a＝12，∴40﹣a＝28，答：甲健身器材购买了12套，乙健身器材购买了28套；（2）设乙健身器材购买了x套，则甲健身器材购买了（40﹣x）套，由题意可得：500（40﹣x）+460x≤19500，解得x≥12.5，∵x为整数，∴x的最小值为13，答：乙种健身器材至少要购买13套．23．为了更好治理河流水质，保护环境，某市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格及月处理污水量如表：A型B型价格（万元/台）ab处理污水量（吨/月）220180经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多4万元，购买3台A型设备比购买5台B型设备少4万元．（1）求a，b的值；（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过90万元，你认为该公司有哪几种购买方案；（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于1840吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．【分析】（1）根据“购买一台A型设备比购买一台B型设备多4万元，购买3台A型设备比购买5台B型设备少4万元”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可求出a，b的值；（2）设该公司购买x台A型设备，则购买（10﹣x）台B型设备，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过90万元，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再结合x，10﹣x均为自然数，即可得出各购买方案；（3）根据每月要求处理的污水量不低于1840吨，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，结合（2）的结论，可得出各购买方案，再求出各方案所需资金，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得：，解得：．答：a的值是12，b的值是8；（2）设该公司购买x台A型设备，则购买（10﹣x）台B型设备，根据题意得：12x+8（10﹣x）≤90，解得：x≤，又∵x，10﹣x均为自然数，∴x可以为0，1，2，∴该公司共有3种购买方案，方案1：购买10台B型设备；方案2：购买1台A型设备，9台B型设备；方案3：购买2台A型设备，8台B型设备；（3）根据题意得：220x+180（10﹣x）≥1840，解得：x≥1，∴该公司共有2种购买方案，方案1：购买1台A型设备，9台B型设备，此时该公司购买污水处理设备的资金为12×1+8×9＝84（万元）；方案2：购买2台A型设备，8台B型设备，此时该公司购买污水处理设备的资金为12×2+8×8＝88（万元）．∵84＜88，∴最省钱的购买方案为：购买1台A型设备，9台B型设备．24．每年的4月23日为“世界读书日”．为了迎接第30个世界读书日，某校计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个、乙种书柜3个，共需资金1440元．（1）甲、乙两种书柜每个的进价分别是多少元？（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，一共有哪几种购买方案？【分析】（1）设每个甲种书柜的进价是x元，每个乙种书柜的进价是y元，根据“购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；购买甲种书柜4个、乙种书柜3个，共需资金1440元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m个甲种书柜，则购买（20﹣m）个乙种书柜，根据“购买乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，且学校至多能够提供资金4320元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案．【解答】解：（1）设每个甲种书柜的进价是x元，每个乙种书柜的进价是y元，根据题意得：，解得：．答：每个甲种书柜的进价是180元，每个乙种书柜的进价是240元；（2）设购买m个甲种书柜，则购买（20﹣m）个乙种书柜，根据题意得：，解得：8≤m≤10，又∵m为正整数，∴m可以为8，9，10，∴该校共有3种购买方案，方案1：购买8个甲种书柜，12个乙种书柜；方案2：购买9个甲种书柜，11个乙种书柜；方案3：购买10个甲种书柜，10个乙种书柜．25．为了实现县域教育均衡发展，某县计划对A，B两类学校分批进行改进，根据预算，改造一所A类学校和两所B类学校共需资金242万元，改造两所A类学校和一所B类学校共需资金220万元．（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？（2）该县计划今年对A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过380万元，地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元，请你通过计算求出改造方案？【分析】（1）根据等量关系列出方程组，再解即可；（2）列出不等式组，再解即可；【解答】解：（1）设改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是x，y万元，由题意得：，解得，答：改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是66，88万元；（2）设改造A类学校m所，则改造B类学校（6﹣m）所，由题意得：，解得，∵m为正整数，∴m＝4，∴6﹣m＝6﹣4＝2，故改造A类学校4所，改造B类学校2所．26．中医药是中华民族的宝贵财富．为更好地弘扬中医药传统文化，传播中医药知识，增进青少年对中华优秀传统文化的了解与认知．明德麓谷学校开展“中草药种植进校园传承中医药文化”活动，特开设中草药种植课程，计划购买甲、乙两种中草药种子，经过调查得知：每斤甲种种子的价格比每斤乙种种子的价格贵40元，买5斤甲种种子和10斤乙种种子共用1100元．（1）求每斤甲、乙种子的价格分别是多少元？（2）若学校需购进乙种中草药种子m斤（其中m为整数），且甲、乙两种中草药种子共120斤，总费用低于8500元，并且要求购进乙种的数量必须不超过甲种数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？【分析】（1）设每斤甲种中草药种子的价格是x元，每斤乙种中草药种子的价格是y元，根据“每斤甲种种子的价格比每斤乙种种子的价格贵40元，买5斤甲种种子和10斤乙种种子共用1100元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）由购进甲、乙两种中草药种子数量间的关系，可得出需购进甲种中草药种子（120﹣m）斤，根据“总费用低于8500元，且购进乙种的数量必须不超过甲种数量的3倍”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出该学校共有3种购买方案，再求出各购买方案所需费用，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设每斤甲种中草药种子的价格是x元，每斤乙种中草药种子的价格是y元，根据题意得：，解得：．答：每斤甲种中草药种子的价格是100元，每斤乙种中草药种子的价格是60元；（2）∵学校需购进乙种中草药种子m斤（其中m为整数），且甲、乙两种中草药种子共120斤，∴需购进甲种中草药种子（120﹣m）斤．根据题意得：，解得：＜m≤90，又∵m为正整数，∴m可以为88，89，90，∴该学校共有3种购买方案，方案1：购买32斤甲种中草药种子，88斤乙种中草药种子，所需费用为100×32+60×88＝8480（元）；方案2：购买31斤甲种中草药种子，89斤乙种中草药种子，所需费用为100×31+60×89＝8440（元）；方案3：购买30斤甲种中草药种子，90斤乙种中草药种子，所需费用为100×30+60×90＝8400（元）．∵8480＞8440＞8400，∴最低费用是8400元．答：该学校共有3种购买方案，最低费用是8400元．27．为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，我州北部某市向南部某贫困县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套．（1）求书籍和实验器材各有多少套？（2）现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县．已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套．运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来．（3）在（2）的条件下，如果甲种型号的货车每辆需付运费1000元，乙种型号的货车每辆需付运费900元．假设你是决策者，应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？【分析】（1）设书籍和实验器材分别为x、y套，根据题意书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套，列方程解答即可；（2）设安排甲型号的货车a辆，则安排乙型号的货车（8﹣a）辆，根据题意列不等式求a的取值范围，根据a取整数，可得a的取值为0，1，2，3，4，故有4种方案；（3）根据（2）中的5种方案和甲种型号的货车每辆需付运费1000元，乙种型号的货车每辆需付运费900元，分别求得运费，求出最少运费即可；【解答】解：（1）设书籍和实验器材分别为x、y套．根据题意得：解得：故书籍和实验器材分别为240套，120套．（2）设安排甲型号的货车a辆，则安排乙型号的货车（8﹣a）辆．根据题意得：解得：0≤a≤4又∵a取整数，∴a＝0，1，2，3，48﹣a＝8，7，6，5，4，∴共有5种方案，如下：方案一：甲0辆，乙8辆方案二：甲1辆，乙7辆方案三：甲2辆，乙6辆方案四：甲3辆，乙5辆方案五：甲4辆，乙4辆（3）方案一所需运费：1000×0+8×900＝7200（元）方案二所需运费：1000+7×900＝7300（元）方案三所需运费：2×1000+6×900＝7400（元）方案四所需运费：3×1000+5×900＝7500（元）方案五所需运费：4×1000+4×900＝7600（元）故运输部门应选择方案一，他的运费最少，最少运费是7200元．28．某校决定组织学生开展校外拓展活动，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示．学校计划此次拓展活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．客车甲种乙种载客量/（人/辆）3042租金（元/辆）300400（1）参加此次拓展活动的老师有多少人？参加此次拓展活动的学生有多少人？（2）