人教版初中数学同步讲义八年级上册第03讲 乘法公式（解析版）

第03讲乘法公式课程标准学习目标①平方差公式②完全平方公式能推导平方差公式，了解平方差公式的几何意义，掌握平方差公式的特点，熟练的对平方差公式进行应用。能推导完全平方公式，了解完全平方公式的几何意义，掌握完全平方公式的特点，熟练的对完全平方公式进行应用。知识点01平方差公式平方差公式的内容：两个数的和乘以两个数的差等于这两个数平方的差。即。注意：可以是两个相等的数，也可以是两个相同的式子。用符号相同项的平方减去符号相反项的平方。式子特点分析：：两个二项式相乘，若其中一项相同，另一项互为相反数，则等于他们相同项的平方减去互为相反数项的平方。平方差公式的几何背景：如图：将图①的蓝色部分移到图②的位置。图①的面积为：；图②的面积为：；图①与图②的面积相等。所以题型考点：①平方差公式的计算。②利用平方差公式求值。③平方差公式的几何背景应用。④利用平方差公式简便计算。【即学即练1】1．下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A． B．（﹣2x+3y）（﹣3y﹣2x） C．（﹣2x+y）（﹣2x﹣y） D．（x﹣1）（﹣x+1）【解答】解：A、（+2b）（a﹣2b）＝（a）2﹣（2b）2＝﹣4b2，故能用平方差公式计算，故选项不符合题意；B、（﹣2x+3y）（﹣3y﹣2x）＝（﹣2x）2﹣（3y）2＝4x2﹣9y2，故能用平方差公式计算，故选项不符合题意；C、（﹣2x+y）（﹣2x﹣y）＝（﹣2x）2﹣y2＝4x2﹣y2，故能用平方差公式计算，故选项不符合题意；D、（x﹣1）（﹣x+1），不能用平方差公式计算，故选项符合题意．故选：D．【即学即练2】2．计算：（1）（a+b）（a﹣2）；（2）；（3）（m+n）（m﹣n）；（4）（0.1﹣x）（0.1+x）；（5）（x+y）（﹣y+x）．【解答】解：（1）（a+b）（a﹣2）＝a2+ba﹣2a﹣2b，（2）（x﹣）（x+）＝，（3）（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2，（4）（0.1﹣x）（0.1+x）＝0.01﹣x2，（5）（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2．【即学即练3】3．若x﹣y＝2，x2﹣y2＝6，则x+y＝3．【解答】解：∵（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，∴x+y＝（x2﹣y2）÷（x+y）＝6÷2＝3．故答案为：3．【即学即练4】4．已知m﹣n＝1，则m2﹣n2﹣2n的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2【解答】解：∵m﹣n＝1，∴原式＝（m+n）（m﹣n）﹣2n＝m+n﹣2n＝m﹣n＝1，故选：A．【即学即练5】5．如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab【解答】解：图（1）中阴影部分的面积为：a2﹣b2，图（2）中阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：C．【即学即练6】6．20142﹣2013×2015的计算结果是1．【解答】解：20142﹣2013×2015＝20142﹣（2014﹣1）×（2014+1）＝20142﹣（20142﹣1）＝1．故答案为：1．知识点02完全平方公式完全平方公式的内容：①完全平方和公式：两个数的和的平方，等于这两个数的平方的和加上这两个数乘积的两倍。即：。可以是两个数，也可以是两个式子。②完全平方差公式：两个数的差的平方，等于这两个数的平方的和减去这两个数的乘积的两倍。即：。可以是两个数，也可以是两个式子。式子特点分析：：一个二项式的平方，等于这个二项式的两项的平方的和加上这两项的两倍。注意每一项都包含前面的符号。巧记：首平方加尾平方，首位两倍放中央。完全平方公式的几何背景：图1中面积的整体表示为：用各部分面积之和表示为：所以用同样的方法表示图2的面积即可得到：。完全平方和公式与完全平方差公式的转化：，∵∴题型考点：①完全平方公式的计算。②利用完全平方公式求值。③完全平方公式的几何背景。【即学即练1】7．运用完全平方公式计算：（1）（4m+n）2；（2）；（3）（﹣a﹣b）2；（4）（﹣a+b）2．【解答】解：（1）（4m+n）2＝16m2+8mn+n2；（2）＝y2﹣y+；（3）（﹣a﹣b）2；＝a2+2ab+b2；（4）（﹣a+b）2＝a2﹣2ab+b2．【即学即练2】8．计算：（1）（x﹣6）2．（2）（﹣2x﹣y）2．（3）（﹣p+3q）2．（4）[（2m+n）（2m﹣n）]2．【解答】解：（1）原式＝x2﹣2•x•6+62＝x2﹣12x+36；（2）原式＝（﹣2x）2+2•（﹣2x）•（﹣y）+（﹣y）2＝4x2+4xy+y2；（3）原式＝（﹣p）2+2•（﹣p）•3q+（3q）2＝p2﹣6pq+9q2；（4）原式＝[4m2﹣n2]2＝16m4﹣8m2n2+n4．【即学即练3】9．已知xy＝9，x﹣y＝﹣3，则x2+3xy+y2的值为（）A．27 B．9 C．54 D．18【解答】解：∵x﹣y＝﹣3，∴（x﹣y）2＝9，即x2﹣2xy+y2＝9，∴x2+3xy+y2＝x2﹣2xy+y2+5xy＝9+45＝54．故选：C．【即学即练4】10．已知：a+b＝5，ab＝3，求：（1）a2+b2；（2）（a﹣b）2．【解答】解：（1）∵a+b＝5，ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19；（2）∵a+b＝5，ab＝3，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝52﹣4×3＝13．【即学即练5】11．如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系，验证了一个等式，这个等式是（）A．（y+x）2＝y2+xy+x2 B．（y+x）2＝y2+2xy+x2 C．（y+x）（y﹣x）＝y2﹣x2 D．（y+x）2﹣（y﹣x）2＝4xy【解答】解：如图，大正方形的面积＝（y+x）2，小正方形的面积＝（y﹣x）2，四个长方形的面积＝4xy，则由图形知，大正方形的面积﹣小正方形的面积＝四个矩形的面积，即（y+x）2﹣（y﹣x）2＝4xy．故选：D．【即学即练6】12．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示）（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积．（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系．【解答】解：（1）图2的空白部分的边长是2a﹣b（2）由图21﹣2可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，∵大正方形的边长＝2a+b＝7，∴大正方形的面积＝（2a+b）2＝49，又∵4个小长方形的面积之和＝大长方形的面积＝4a×2b＝8ab＝8×3＝24，∴小正方形的面积＝（2a﹣b）2＝49﹣24＝25（3）由图2可以看出，大正方形面积＝空白部分的正方形的面积+四个小长方形的面积即：（2a+b）2﹣（2a﹣b）2＝8ab．知识点03完全平方式完全平方式的定义：若一个整式A，可以写成另一个整式B的平方的形式，即，则我们称整式A是一个完全平方式。式子特点分析：：一个三项式，其中两项可以写成平方的形式，第三项是平方两项底数乘积的两倍，则可以写成底数和或底数差的平方。若第三项与平方两项的符号相同，则是底数和的平方，若第三项与平方两项的符号相反，则是底数差的平方。题型考点：①平方式写成平方的运算。②根据完全平方式的特点求值。【即学即练1】13．下列各式中，运算结果为1﹣2xy2+x2y4的是（）A．（﹣1+xy2）2 B．（﹣1﹣xy2）2 C．（﹣1+x2y2）2 D．（﹣1﹣x2y2）2【解答】解：1﹣2xy2+x2y4＝1﹣2xy2+（xy2）2＝（1﹣xy2）2＝（﹣1+xy2）2．故选：A．【即学即练2】14．已知x2+kxy+64y2是一个完全平方式，则k的值是（）A．8 B．±8 C．16 D．±16【解答】解：根据题意，原式是一个完全平方式，∵64y2＝（±8y）2，∴原式可化成＝（x±8y）2，展开可得x2±16xy+64y2，∴kxy＝±16xy，∴k＝±16．故选：D．【即学即练3】15．已知多项式x2+6x+m是一个关于x的完全平方式，则m的值是（）A．9 B．﹣9 C．36 D．﹣36【解答】解：由题意可得，当m＝9时，x2+6x+9＝（x+3）2．故选：A．知识点04乘法公式的拓展应用平方差公式的拓展：两个三项式相乘，若他们的项中只存在相等的项和互为相反数的项，则可以用平方差公式计算。它等于相等项的平方减去相反数项的平方。把相等项或相反数项存在两项的看成一个整体。即：。完全平方公式的拓展：一个三项式的平方，可以把前两项看成首项或后两项看成尾项，然后利用完全平方公式的计算方法计算。把其中两项看成一个整体。即：题型考点：①拓展应用。【即学即练1】16．在下列等式中，A和B应表示什么式子？（1）（a+b+c）（a﹣b+c）＝（A+B）（A﹣B）；（2）（x+y﹣z）（x﹣y+z）＝（A+B）（A﹣B）．【解答】解：（1）（a+b+c）（a﹣b+c），＝[（a+b）+c]×[（a+c）﹣b]，＝（a+c）2﹣b2，故A代表a+c，B代表b．（2）（x+y﹣z）（x﹣y+z），＝[x+（y﹣z）]×[x﹣（y﹣z）]，＝x2﹣（y﹣z）2，A代表x，B代表y﹣z．【即学即练2】17．（a+b﹣c）（a﹣b+c）＝a2﹣b2+2bc﹣c2．【解答】解：原式＝[a+（b+c）][a﹣（b﹣c）]＝a2﹣（b﹣c）2＝a2﹣b2+2bc﹣c2，故答案为：a2﹣b2+2bc﹣c2．【即学即练3】18．计算：（m+2n﹣p）2．【解答】解：原式＝[（m+2n）﹣p]2，＝（m+2n）2﹣2p（m+2n）+p2，＝m2+4mn+4n2﹣2pm﹣4pn+p2．【即学即练4】19．计算题：（1）（a﹣2b﹣3c）2；（2）（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）﹣（x+y﹣z）2．【解答】解：（1）原式＝（a﹣2b）2﹣2×（a﹣2b）×3c+9c2＝a2+4b2﹣4ab﹣6ac+12bc+9c2＝a2+4b2+9c2﹣4ab﹣6ac+12bc；（2）原式＝[（x﹣z）+2y][（x﹣z）﹣2y]﹣[（x﹣z）+y]2＝（x﹣z）2﹣4y2﹣（x﹣z）2﹣2（x﹣z）y﹣y2＝﹣5y2﹣2xy+2yz．题型01平方差公式与完全平方公式的计算【典例1】利用乘法公式计算：（1）（2x﹣3y）2﹣（y+3x）（3x﹣y）（2）（a﹣2b+3）（a+2b﹣3）．【解答】解：（1）原式＝4x2﹣12xy+9y2﹣（9x2﹣y2）＝4x2﹣12xy+9y2﹣9x2+y2＝﹣5x2﹣12xy+10y2；（2）原式＝[a﹣（2b﹣3）][a+（2b﹣3）]＝a2﹣（2b﹣3）2＝a2﹣4b2+12b﹣9．【典例2】计算下列各题：（1）（a﹣2b）2﹣（2a+b）（b﹣2a）﹣4a（a﹣b）（2）（2x+3y）2﹣（4x﹣9y）（4x+9y）+（3x﹣2y）2．【解答】解：（1）原式＝a2﹣4ab+4b2﹣b2+4a2﹣4a2+4ab＝a2+3b2；（2）原式＝4x2+9y2+12xy﹣16x2+81y2+9x2+4y2﹣12xy＝﹣3x2+94y2．【典例3】计算：（1）（x+2y）2+（x﹣2y）2；（2）（a﹣b+c）2．【解答】解：（1）原式＝x2+2xy+4y2+x2﹣2xy+4y2＝x2+8y2；（2）原式＝（a﹣b）2+2c（a﹣b）+c2＝a2+b2+c2﹣2ab+2ac﹣2bc．【典例4】求（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数字．【解答】解：原式＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝264﹣1+1＝264；∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，个位数按照2，4，8，6依次循环，而64＝16×4，∴原式的个位数为6．题型02利用乘法公式简便运算【典例1】利用乘法公式简便计算．（1）2020×2022﹣20212．（2）3.6722+6.3282+6.328×7.344．【解答】解：（1）原式＝（2021﹣1）×（2021+1）﹣20212．＝20212﹣1﹣20212＝﹣1；（2）原式＝3.6722+6.3282+2×3.672×6.328＝（2.672+6.328）2＝102＝100．【典例2】计算：（1）20232﹣2022×2024；（2）112+13×66+392．【解答】解：（1）原式＝20232﹣（2023﹣1）×（2023+1）＝20232﹣（20232﹣1）＝20232﹣20232+1＝1；（2）原式＝112+2×11×39+392＝（11+39）2＝502＝2500．【典例3】利用乘法公式计算：（1）3252﹣2752；（2）295×305﹣2982．【解答】解：（1）原式＝（325+275）×（325﹣275）＝600×50＝30000；（2）原式＝（300﹣5）×（300+5）﹣2982＝3002﹣25﹣2982＝（300+298）×（300﹣298）﹣25＝598×2﹣25＝（600﹣2）×2﹣25＝1200﹣4﹣29＝1200﹣29＝1271．【典例4】用因式分解的相关方法，进行简便计算：（1）20232﹣20222．（2）9992+2×999+12．【解答】解：（1）20232﹣20222＝（2023+2022）（2023﹣2022）＝4045×1＝4045；（2）9992+2×999+12．＝（999+1）2＝10002＝1000000．题型03利用乘法公式求值【典例1】已知x2﹣y2＝﹣1，x+y＝，则x﹣y＝﹣2．【解答】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝﹣1，x+y＝，∴x﹣y＝＝﹣2．故答案为：﹣2．【典例2】若a2﹣b2＝，a+b＝，则a﹣b的值为（）A． B． C． D．2【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，∴×（a﹣b）＝，∴a﹣b＝．故选：B．【典例3】已知x+y＝8，xy＝12，则x2﹣xy+y2的值为（）A．42 B．28 C．54 D．66【解答】解：∵x+y＝8，xy＝12，∴原式＝（x+y）2﹣3xy＝82﹣3×12＝64﹣36＝28．故选：B．【典例4】若有理数a、b满足a2+b2＝5，（a+b）2＝9，则﹣4ab的值为（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8【解答】解：∵a2+b2＝5，（a+b）2＝9，∴a2+b2+2ab＝9，∴5+2ab＝9，解得：2ab＝4，则ab＝2，故﹣4ab＝﹣8．故选：D．【典例5】已知a+b＝3，ab＝﹣10．求：（1）a2+b2的值；（2）（a﹣b）2的值．【解答】解：（1）将a+b＝3两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝9，把ab＝﹣10代入得：a2+b2＝29；（2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝29+20＝49．【典例6】已知：x+y＝5，xy＝3．求：①x2+5xy+y2；②x4+y4．【解答】解：①∵x+y＝5，xy＝3，∴x2+5xy+y2＝（x+y）2+3xy＝52+3×3＝34；②∵x+y＝5，xy＝3，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝52﹣2×3＝19，∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝192﹣2×32＝343．题型04乘法公式与几何【典例1】图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．方法1：（m+n）2﹣4mn；方法2：（m﹣n）2；（2）观察图②请你写出下列三个代数式；（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系；​（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a﹣b＝3，ab＝﹣2，求：（a+b）2的值；②已知：a＝1，求：（a）2的值．【解答】解：（1）方法1：（m+n）2﹣4mn，方法2：（m﹣n）2；故答案为：（m+n）2﹣4mn，（m﹣n）2；（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）①∵a﹣b＝3，ab＝﹣2，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝32+4×（﹣2）＝1；②（a+）2＝（a﹣）2+4×a×＝12+8＝9．【典例2】如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．①图2中的阴影部分的边长为（b﹣a）2；②观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；③根据（2）中的结论，若x+y＝5，x•y＝4，则（x﹣y）2＝9；④实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你发现的等式是（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2．【解答】解：①（b﹣a）2；故答案为：（b﹣a）2；②（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；③当x+y＝5，x•y＝4时，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝52﹣4×4＝9；故答案为：9；④（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2．故答案为：（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2．【典例3】如图，大小两个正方形边长分别为a、b．（1）用含a、b的代数式表示阴影部分的面积S；（2）如果a+b＝8，ab＝14，求阴影部分的面积．【解答】解：（1）∵大小两个正方形边长分别为a、b，∴阴影部分的面积S＝a2+b2﹣a2﹣（a+b）b＝a2+b2﹣ab；（2）∵a+b＝8，ab＝14，∴S＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣ab＝×82﹣×14＝11；1．下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是（）A．（a﹣2b）（2a﹣b） B．（﹣a+2b）（﹣a﹣2b） C．（a+2b）（﹣2a+b） D．（2a﹣b）（﹣2a+b）【解答】解：A、不是两个相同数的和与差的积，不能使用平方差公式，不符合题意；B、是两个相同数的和与差的积，能使用平方差公式，符合题意；C、不是两个相同数的和与差的积，不能使用平方差公式，不符合题意；D、不是两个相同数的和与差的积，不能使用平方差公式，不符合题意．故选：B．2．已知m+n＝3，m﹣n＝4，则m2﹣n2的值为（）A．12 B．﹣12 C．25 D．﹣25【解答】解：∵m+n＝3，m﹣n＝4，∴m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝3×4＝12，故选：A．3．若多项式x2+（k﹣3）xy+4y2是完全平方式，则k的值为（）A．±7 B．7或﹣1 C．7 D．﹣1【解答】解：∵x2+（k﹣3）xy+4y2＝x2+（k﹣3）xy+（2y）2，∴（k﹣3）xy＝±2x×2y，解得k＝7或﹣1．故选：B．4．王大爷家有一块边长为m米的正方形菜地，现需将其进行改造，具体措施为：南北向增加2米，东西向减少2米．则改造后的菜地与原来的菜地相比（）A．面积相等 B．面积增加了4平方米 C．面积减少了4平方米 D．无法确定【解答】解：由于改造前，这块地的面积为m2平方米，改造后是长为（m+2）米，宽为（m﹣2）米，面积为（m+2）（m﹣2）＝（m2﹣4）平方米，所以改造后的菜地与原来的菜地相比减少了4平方米，故选：C．5．如图，两个正方形边长分别为a，b，已知a+b＝7，ab＝9，则阴影部分的面积为（）A．10 B．11 C．12 D．13【解答】解：根据题意可得，S阴＝a2﹣﹣＝（a2﹣ab+b2）＝[（a+b）2﹣3ab]，把a+b＝7，ab＝9代入上式，则S阴＝×（72﹣3×9）＝11．故选：B．6．有两个正方形A、B，将A，B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为14与36，则正方形B的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由题意得，a（a+b）﹣a2﹣b2＝14，（a+b）2﹣a2﹣b2＝36，即ab﹣b2＝14，ab＝18，∴b2＝18﹣14＝4，即正方形B的面积为4，故选：B．7．当x＝1时，ax+b+1的值为﹣2，则（a+b﹣1）（1﹣a﹣b）的值为（）A．16 B．8 C．﹣8 D．﹣16【解答】解：∵当x＝1时，ax+b+1的值为﹣2，∴a+b+1＝﹣2，∴a+b＝﹣3，∴（a+b﹣1）（1﹣a﹣b）＝（﹣3﹣1）×（1+3）＝﹣16．故选：D．8．计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）...（264+1），结果是（）A．264﹣1 B．264 C．232﹣1 D．2128﹣1【解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）•••（264+1）＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）•••（264+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）•••（264+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）•••（264+1）＝（28﹣1）（28+1）•••（264+1）＝（264﹣1）（264+1）＝2128﹣1，故选：D．9．已知（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝7，ab＝3，则（a+b）2＝10．【解答】解：∵（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝7，ab＝3，即（a2+b2）2﹣32＝7，∴（a2+b2）2＝7+9＝16，∴a2+b2＝4，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝4+2×3＝4+6＝10．故答案为：10．10．如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边在AB的两侧作正方形，设AB＝8，两个正方形的面积和为40，即S1+S2＝40，则图中阴影部分的面积为6．【解答】解：设AC＝a，BC＝b，由题意可知，a+b＝AC+BC＝AB＝8，a2+b2＝S1+S2＝40，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴ab＝＝＝12，∴S阴影部分＝ab＝6，故答案为：6．11．若，，，则a，b，c的大小关系为c＜b＜a．【解答】解：a＝20180＝1，b＝2017×2019﹣20182＝（2018﹣1）×（2018+1）﹣20182＝20182﹣1﹣20182＝﹣1，c＝（﹣）2017×（）2018＝＝＝，∵，∴c＜b＜a．故答案为：c＜b＜a12．若（x﹣2022）2+（x﹣2024）2＝100，则（x﹣2023）2＝49．【解答】解：∵（x﹣2022）2+（x﹣2024）2＝100，∴[（x﹣2023）+1]2+[（x﹣2023）﹣1]2＝100，∴（x﹣2023）2+2（x﹣2023）+1+（x﹣2023）2﹣2（x﹣2023）+1＝100，∴2（x﹣2023）2+2＝100，即（x﹣2023）2＝49，故答案为：49．13．如图，某