人教版初中数学同步讲义八年级上册第04讲 因式分解-提公因式法（解析版）

第04讲提公因式法分解因式课程标准学习目标①分解因式的概念②公因式的概念与求法③提公因式分解因式掌握因式分解的概念，并能够判断运算属于因式分解。能求出一个式子的公因式与剩余部分。能够熟练的运用提公因式的方法分解因式。知识点01分解因式的概念分解因式的概念：把一个多项式写成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。与整式的乘法互为逆运算。左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，即右边的加减号必须在括号内。且左右两边必须相等。题型考点：①判断式子的运算属于因式分解。【即学即练1】1．下列等式从左到右的变形不是因式分解的是（）A．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） B．a2+4ab+4b2＝（a+2b）2 C．a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1 D．ma+mb﹣mc＝m（a+b﹣c）【解答】解：A、x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），是因式分解，故此选项不符合题意；B、aa2+4ab+4b2＝（a+2b）2，是因式分解，故此选项不符合题意；C、a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；D、ma+mb﹣mc＝m（a+b﹣c），是因式分解，故此选项不符合题意；故选：C．【即学即练2】2．下列各式从左到右，是因式分解的是（）A．（y﹣1）（y+1）＝y2﹣1 B．x2y+xy2﹣1＝xy（x+y）﹣1 C．（x﹣2）（x﹣3）＝（3﹣x）（2﹣x） D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2【解答】解：A、是多项式乘法，不是因式分解，故本选项错误；B、结果不是积的形式，故本选项错误；C、不是对多项式变形，故本选项错误；D、运用完全平方公式分解x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，正确．故选：D．知识点02公因式公因式的概念：多项式中各项都有的因式叫做这个多项式的公因式。如多项式，各项都有一个公因式，则它就是这个多项式的公因式。公因式的求法：公因式＝系数的最大公约数×相同字母（式子）的最低次幂。若多项式首项为负号，则公因式为负。多项式提取公因式后的另一个因式的求法：多项式提取公因式后，另一个因式＝多项式的每一项÷公因式。题型考点：①判断多项式的公因式。②求多项式提取公因式的另一个因式。【即学即练1】3．多项式3a2b2﹣15a3b3﹣12a2b2c的公因式是（）A．3a2b2 B．﹣15a3b3 C．3a2b2c D．﹣12a2b2c【解答】解：由题意可得，多项式3a2b2﹣15a3b3﹣12a2b2c的公因式是：3a2b2，故选：A．【即学即练2】4．多项式﹣8x2y3z+12xy2z3﹣24x3yz2的公因式是（）A．﹣xyz B．﹣4x3y3z3 C．﹣4xyz D．﹣x3y3z3【解答】解：多项式﹣8x2y3z+12xy2z3﹣24x3yz2的公因式是﹣4xyz，故选：C．【即学即练3】5．把2（x﹣3）+x（3﹣x）提取公因式（x﹣3）后，另一个因式是（）A．x﹣2 B．x+2 C．2﹣x D．﹣2﹣x【解答】解：2（x﹣3）+x（3﹣x）＝2（x﹣3）﹣x（x﹣3）＝（x﹣3）（2﹣x），故选：C．【即学即练3】6．若（x+y）3﹣xy（x+y）＝（x+y）•A，则A为（）A．x2+y2 B．x2﹣xy+y2 C．x2﹣3xy+y2 D．x2+xy+y2【解答】解：∵（x+y）3﹣xy（x+y），＝（x+y）[（x+y）2﹣xy]，＝（x+y）（x2+xy+y2），又∵（x+y）3﹣xy（x+y）＝（x+y）•A，∴A＝x2+xy+y2．故选：D．知识点03提公因式分解因式提公因式分解因式：一般地，如果多项式的各项都有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。题型考点：①提公因式分解因式。【即学即练1】7．分解因式b2（x﹣2）+b（2﹣x）正确的结果是（）A．（x﹣2）（b2+b） B．b（x﹣2）（b+1） C．（x﹣2）（b2﹣b） D．b（x﹣2）（b﹣1）【解答】解：b2（x﹣2）+b（2﹣x）＝b2（x﹣2）﹣b（x﹣2）＝b（x﹣2）（b﹣1）．故选：D．【即学即练2】8．分解因式：（1）6m2n﹣15n2m+30m2n2（2）x（x﹣y）2﹣y（x﹣y）【解答】解：（1）6m2n﹣15n2m+30m2n2＝3mn（2m﹣5n+10mn）；（2）x（x﹣y）2﹣y（x﹣y）＝（x﹣y）（x2﹣xy﹣y）．【即学即练3】9．因式分解：（1）3x2﹣6xy+x；（2）﹣4m3+16m2﹣28m；（3）18（a﹣b）2﹣12（b﹣a）3．【解答】解：（1）3x2﹣6xy+x＝x（3x﹣6y+1）；（2）﹣4m3+16m2﹣28m＝﹣4m（m2﹣4m+7）；（3）18（a﹣b）2﹣12（b﹣a）3＝6（a﹣b）2（3+2a﹣2b）．题型01判断因式分解【典例1】下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（）A．a（m+n）＝am+an B．x2﹣1＝（x﹣1）2 C．﹣a2+3a＝﹣a（a+3） D．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）【解答】解：a（m+n）＝am+an是整式乘法运算，它不是因式分解，则A不符合题意；x2﹣1＝（x﹣1）2左右两边不相等，它不是因式分解，则B不符合题意；﹣a2+3a＝﹣a（a+3）左右两边不相等，它不是因式分解，则C不符合题意；x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）符合因式分解的定义，它是因式分解，则D符合题意；故选：D．【典例2】下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．（x+2）＝x2+4x+1 B．3a（b+c）＝3ab+3ac C．x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y） D．（x﹣1）（y﹣1）＝xy﹣x﹣y+1【解答】解：A．（x+2）＝x2+4x+1，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B．3a（b+c）＝3ab+3ac，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C．x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；D．（x﹣1）（y﹣1）＝xy﹣x﹣y+1，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：C．【典例3】下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．x2+2x+3＝（x+1）2+2 B．15x2y＝3x•5xy C．2（x+y）＝2x+2y D．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2【解答】解：x2+2x+3＝（x+1）2+2变形后是多项式与单项式的和的形式，故A不符合题意；15x2y＝3x•5y变形后是单项式乘单项式的形式，故B不符合题意；2（x+y）＝2x+2y是单项式乘多项式的运算，故C不符合题意；x2+6x+9＝（x+3）2是利用完全平方公式进行的因式分解，故D符合题意；故选：D．【典例4】下列各式从左到右不属于因式分解的是（）A．x2﹣x＝x（x﹣1） B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2 D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）【解答】解：A、符合因式分解的定义，属于因式分解，故此选项不符合题意；B、右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项符合题意；C、符合因式分解的定义，属于因式分解，故此选项不符合题意；D、符合因式分解的定义，属于因式分解，故此选项不符合题意．故选：B．题型02利用因式分解的概念求值【典例1】已知在x2+mx﹣16＝（x+a）（x+b）中，a，b为整数，能使这个因式分解过程成立的m值的个数有（）A．4个 B．5个 C．8个 D．10个【解答】解：∵﹣16＝﹣1×16＝﹣2×8＝﹣4×4＝4×（﹣4）＝2×（﹣8）＝1×（﹣16）＝a×b，∴m＝a+b＝﹣1+16或﹣2+8或﹣4+4或4+（﹣4）或2+（﹣8）或1+（﹣16），即m＝±15或±6或0．则m的可能值的个数为5，故选：B．【典例2】若多项式ax2+bx+c可以被分解为（x﹣3）（x﹣2），则a＝1，b＝﹣5，c＝6．【解答】解：∵多项式ax2+bx+c可以被分解为（x﹣3）（x﹣2），∴（x﹣3）（x﹣2）＝x2﹣5x+6，∴a＝1，b＝﹣5，c＝6，故答案为：1，﹣5，6．【典例3】当k＝7时，二次三项式x2﹣kx+12分解因式的结果是（x﹣4）（x﹣3）．【解答】解：∵（x﹣4）（x﹣3）＝x2﹣7x+12，∴﹣k＝﹣7，k＝7．故应填7．【典例4】如果二次三项式3a2+7a﹣k中有一个因式是3a﹣2，那么k的值为6．【解答】解：设3a2+7a﹣k＝B（3a﹣2），B＝（3a2+7a﹣k）÷（3a﹣2）＝a+3，∴（3a﹣2）（a+3）＝3a2+7a﹣k，解得k＝6．故答案为：6．【典例5】若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a+b的值为﹣3．【解答】解：（x+1）（x﹣2）＝x2﹣2x+x﹣2＝x2﹣x﹣2所以a＝﹣1，b＝﹣2，则a+b＝﹣3．故答案为：﹣3．题型03确定公因式【典例1】多项式12ab3c﹣8a2b各项的公因式是（）A．4ab2 B．4abc C．2ab2 D．4ab【解答】解：∵12ab3c﹣8a2b＝4ab•3b2c﹣4ab•2a，∴12ab3c﹣8a2b各项的公因式是4ab，故选：D．【典例2】多项式﹣4a2b2+12a2b2﹣8a3b2c的公因式是（）A．﹣4a2b2c B．﹣a2b2 C．﹣4a2b2 D．﹣4a3b2c【解答】解：多项式﹣4a2b2+12a2b2﹣8a3b2c的公因式是﹣4a2b2．故选：C．【典例3】多项式4x（m﹣n）+2y（m﹣n）2的公因式是2（m﹣n）．【解答】解：4x（m﹣n）+2y（n﹣m）2的公因式是2（m﹣n）．故答案为：2（m﹣n）．【典例4】多项式﹣6ab2c+18a2b2c3﹣12a3b3c2的公因式是（）A．﹣ab2 B．﹣6a3b2c C．﹣6ab2 D．﹣6ab2c【解答】解：﹣6ab2+18a2b2﹣12a3b2c的公因式是﹣6ab2，故选：C．题型04提公因式法分解因式【典例1】把多项式m（a﹣2）+（a﹣2）分解因式等于（）A．m（a﹣2） B．（a﹣2）（m+1） C．m（a+2） D．（m﹣1）（a﹣2）【解答】解：原式＝（a﹣2）（m+1）．故选：B．【典例2】因式分解：（1）12x2y3﹣3x2y5；（2）（x﹣2）2﹣x+2．【解答】解：（1）12x2y3﹣3x2y5＝3x2y3×4﹣3x2y3×y2＝3x2y3×（4﹣y2）＝3x2y3（2+y）（2﹣y）；（2）（x﹣2）2﹣x+2＝（x﹣2）2﹣（x﹣2）＝（x﹣2）[（x﹣2）﹣1]＝（x﹣2）（x﹣3）．【典例3】因式分解：（1）3x2﹣6x+12xy；（2）（x﹣y）3+4x（x﹣y）2．【解答】解：（1）3x2﹣6x+12xy＝3x（x﹣2+4y）；（2）（x﹣y）3+4x（x﹣y）2＝（x﹣y）2（x﹣y+4x）＝（x﹣y）2（5x﹣y）．【典例4】分解因式：（1）9x3y3﹣21x3y2+12x2y2；（2）y（2a﹣b）+x（b﹣2a）．【解答】解：（1）9x3y3﹣21x3y2+12x2y2＝3x2y2（3xy﹣7x+4）；（2）y（2a﹣b）+x（b﹣2a）＝y（2a﹣b）﹣x（2a﹣b）＝（2a﹣b）（y﹣x）．【典例5】因式分解：（1）﹣24x3+12x2﹣28x（2）6（m﹣n）3﹣12（m﹣n）2【解答】解：（1）原式＝﹣4x（6x2﹣3x+7）；（2）原式＝6（m﹣n）2（m﹣n﹣2）．【典例6】把下列各式进行因式分解：（1）x2+xy；（2）﹣4b2+2ab；（3）3ax﹣12bx+3x；（4）6ab3﹣2a2b2+4a3b．【解答】解：（1）x2+xy＝x（x+y）；（2）﹣4b2+2ab＝﹣2b（2b﹣a）；（3）3ax﹣12bx+3x＝3x（a﹣4b+1）；（4）6ab3﹣2a2b2+4a3b＝2ab（3b2﹣ab+2a2）．1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A．6a2b2＝3ab•2ab B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．x2﹣x﹣4＝x（x﹣1）﹣2【解答】解：A．6a2b2＝3ab•2ab，等式的左边不是一个多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，由左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；D．x2﹣x﹣4＝x（x﹣1）﹣2，不是把一个多项式化成几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．故选：C．2．下列四个等式从左到右的变形是因式分解的是（）A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 B．a（a﹣b）＝a2﹣ab C．x2﹣x＝x（x﹣1） D．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1【解答】解：A．它是整式乘法运算，不是因式分解，则A不符合题意；B．它是整式乘法运算，不是因式分解，则B不符合题意；C．它符合因式分解的定义，则C符合题意；D．等号右边不是积的形式，它不是因式分解，则D不符合题意；故选：C．3．已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），则b、c的值为（）A．b＝3，c＝﹣1 B．b＝﹣6，c＝2 C．b＝﹣6，c＝﹣4 D．b＝﹣4，c＝﹣6【解答】解：由多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），得2x2+bx+c＝2（x﹣3）（x+1）＝2x2﹣4x﹣6．b＝﹣4，c＝﹣6，故选：D．4．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1【解答】解：∵（x﹣2）（x+b）＝x2+bx﹣2x﹣2b＝x2+（b﹣2）x﹣2b＝x2﹣ax﹣1，∴b﹣2＝﹣a，﹣2b＝﹣1，∴b＝0.5，a＝1.5，∴a+b＝2．故选：A．5．下列各组多项式中，没有公因式的是（）A．ax﹣by和by﹣ax B．3x﹣9xy和6y2﹣2y C．x2﹣y2和x﹣y D．a+b和a2﹣2ab+b2【解答】解：A、by﹣ax＝﹣（ax﹣by），故两多项式的公因式为：ax﹣by，故此选项不合题意；B、3x﹣9xy＝3x（1﹣3y）和6y2﹣2y＝﹣2y（1﹣3y），故两多项式的公因式为：1﹣3y，故此选项不合题意；C、x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）和x﹣y，故两多项式的公因式为：x﹣y，故此选项不合题意；D、a+b和a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，故两多项式没有公因式，故此选项符合题意；故选：D．6．多项式﹣6ab2+24a2b2﹣12a3b2c的公因式是（）A．﹣6ab2c B．﹣ab2 C．﹣6ab2 D．﹣6a3b2c【解答】解：系数的最大公约数是﹣6，相同字母的最低指数次幂是ab2，∴公因式为﹣6ab2．故选：C．7．把多项式m2（a﹣2）+m（2﹣a）分解因式等于（）A．（a﹣2）（m2+m） B．（a﹣2）（m2﹣m） C．m（a﹣2）（m﹣1） D．m（a﹣2）（m+1）【解答】解：m2（a﹣2）+m（2﹣a），＝m2（a﹣2）﹣m（a﹣2），＝m（a﹣2）（m﹣1）．故选：C．8．已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（）A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣1【解答】解：因为ab＝﹣3，a+b＝2，所以a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣3×2＝﹣6，故选：B．9．如图，边长分别为a，b的长方形，它的周长为15，面积为10，则3a2b+3ab2＝225．【解答】解：∵长方形的周长为15，面积为10，∴，ab＝10，∴．故答案为：225．10．若多项式x2+mx﹣12分解因式后含有因式x﹣2，则m的值为4．【解答】解：∵多项式x2+mx﹣12分解因式后含有因式x﹣2，∴x2+mx﹣12＝（x﹣2）（x+6）＝x2+4x﹣12，则m＝4，故答案为：4．11．多项式﹣3x2y3z+9x3y3z﹣6x4yz2的公因式是﹣3x2yz．【解答】解：∵多项式﹣3x2y3z+9x3y3z﹣6x4yz2有三项，∴﹣3x2y3z，9x3y3z，﹣6x4yz2中系数的公因数是﹣3，字母部分公因式为x2yz，故答案为﹣3x2yz．12．若20232023﹣20232021＝2024×2023n×2022，则n的值是2021．【解答】解：∵20232023﹣20232021＝