初中几何定理的证明

七年级下册几何定理的证明

怎样证实“两直线平行，同位角相等”

本节中，我们用叠合的方法发现了“两直线平行，同位角相等”.事实

上，这个结论可以运用已有的基本事实，通过说理加以证实.

如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB//CD,N1与N2是

同位角.

假设/2,那么可以过直线AB与EF的交点O作直线0G,使

ZEOG=N2,直线0G与直线AB是两条直线.

根据基本事实“同位角相等，两直线平行”，由NE0G=N2,可以得

到0G//CD.

这样，过点。就有两条直线AB、OG都与C。平行.这与基本事实''过

直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾.

这说明的假设不正确，于是N1=N2.

2.定理：三角形的内角和是180。

己知：如图，在AABC中，NA、/B、/C是它的三个内角。

求证：ZA+ZB+ZC=180°

方法一：证明：过点A作AC〃BC

因为4C/8C.

5,所以NC/C=NC

‘7BAC'+7B=180°.

因为

ZBAC+ZCAC+ZB,

所以N84C+N8+NC=180。.

方法二：延长BC,过点C作CD〃AB,同样利用平行线的性质来证明。

3.定理:n边形的内角和等于(n-2)-180°

证明思路：如下图，将多边形分割成若干个三角形，利用三角形的内角和定理来求。

⑴如图7-34(D,点P在〃边形AiA2A3…4内；

(2)如图7-34(2),点P在“边形2A3…A.的边A2A3上.

利用图7-34,你能计算〃边形的内角和吗？

(1)(2)

4.定理：三角形的外角和等于360°

己知：如图，在AABC中，Na、/B、/丫是它的三个外角。

求证：Za+ZP+ZY=360°

Na+Nl=180°,

Z/5+Z2=180°,

Z/+Z3=180°,

Z1+Z2+Z3=180°,

则Za+Z^+Z/=

5.定理：多边形的外角和等于360°

证明思路和三角形外角和思路一样。

八年级上册几何定理的证明

6.定理：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等。

已知：如图，线段AB的垂直平分线1交AB于点0,点P在1上.

求证：PA=PB

证明：

V1-LAB,

...ZA0P=ZB0P=90°

VI平分AB

r.A0=B0

又0P=0P,ZA0P=ZB0P=90°

.,.△AOP全等于ABOP

；.PA=PB

7.定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。

已知:如图，PA=PB.

求证：点P在AB的垂直平分线上.

方法一：

证明：过点P作PQLAB于。

VPO-LAB,

...ZA0P=ZB0P=90°

...△AOP、ABOP都是直角三角形.

VPA=PB,OP=OP

ARtAAOP全等于RtABOP

.".AO=BO

又,.•POSB

，P0垂直平分AB

即点P在AB的垂直平分线上.

方法二：

证明：取AB的中点0,连接P0

VPA=PB,0P=0P,A0=B0

...△A0P全等于ABOP

.•.ZAOP=ZBOP

又/A0P+/B0P=180°

ZA0P=ZB0P=90°

APO-LAB,

又AO=BO

...PO垂直平分AB

即点P在AB的垂直平分线上.

8.定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

已知：如图，点Q是NAOB角平分线0Q上的点，QC-LOATC

QD-1-OB于D,

求证：QC=QD.

证明：

VQC-LQA,QD->-OB,

AZ0QD=Z0QC=90°,

：0Q平分/AOB,

.\ZQOD=ZQOC

又OQ=OQ

.,.△OQD全等于AOQC

；.QC=QD

9.定理：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

己知：如图，点Q是NAOB内的点，QCLDA于C

QldOB于D,且QC=QD

求证：Q在NAOB角平分线上.

证明：

VQC-LQA,QD->-OB,

.•.Z0QD=Z0QC=90°,

.".△OQD,AOQC都是直角三角形.

VQC=QD,OQ=OQ

.,.RtAOQD全等于RtAOQC

,ZQOD=ZQOC

.♦.OQ平分NAOB

即Q在/AOB角平分线上.

10.定理：等腰三角形的两个底角相等.

例7已知：如图1-18,在△ABC中.AB=AC.

求证：/B=NC

分析：要证NB=NC,只要设法使NB、NC分别在两个三角形

中,然后证明这两个三角形全等.

证明：作—直：的中线AD.入

在△ABD和△ACD中，/1\

「AB=AC（已知），/I\

BD=CD（辅助线作法），g---------------

AD=AD（公共边），图]_]8

/.AABD^AACD（SSS）.

/.NB=NC（全等三角形的对应角相等）.

还有不同的方法证明NB=NC吗？

11.定理：等腰三角形地边上的高线、中线'顶角的平分线重合。

证明思路如下：

作顶角的平作底边上的

:岳分线，用“SAS”中线，用-SSS-

1C**证明.证明.

12.定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形

已知：如图在AABC中，ZB=ZC

求证：4ABC是等腰三角形

证明思路:

作的角平分线AD.

由ZBAD=NCAD,NB=/C,

AD=AD,可证AABD^AACD.可知

AB=AC.

13.定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

己知：CD是RtAABC斜边AB上的中线。

求证：CD=-AB

2

方法一:

证明思路：延长CD到E,使DE=CD,得AB、CE互相平分，又/ACB=90°,所以得矩形

ACBE,所以CE=AB.因为CD=^CE,所以CE=』AB

22

方法二：

如图2-34,在RtAABC中，ZACB是直角.

ZB是锐角,在ZACB内作ZBCD=ZB.CD

与AB相交于点D,可知DB=DC.由等角的余角

相等,可得ZACD=ZA.于是DA=DC\从而

DA=DB=DC,B|JCD是斜边AB上的中线,且

CD=yAB.

图2-34

14.定理：斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等

证明思路：

4(彳)在△X8C和△WC7

把两个直角三

中，由/8=3,^ACB=

角形拼在一起.像

/A'C'B',AB=A'B',可

本节例7那样，可

以证明

以证得4828'.BB'

C(C)(AAS).

15.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

方法一：

证明思路：

3.小明用这4张直角三角形纸片拼成图

3-5.你能仿照上面的方法，利用图3-5验

证勾股定理吗？

图3—5

用两种方法计算：图3-5(a+»=4X加b+c)

..卬丸&的面积—(“+/>)：,图3-5的面a,+2ab-\-b'=2ah+c

J,积=4X加b+c)a"'=c'.

方法二：思路如下:

1.制作4张全等的直角三角形纸片（如图3-3）.

图3-3图3-4

2.把这4张纸片拼成一个以弦Kc为边长的正方形（如图3-

它的面积为试用另一种方法计算图3-4的面积.你有什么发现?

冬3-4可以看成是由4个

直角三角形与1个边长为@一。）

..吸的小上方形组成的.它的面积为可以发现，=/+必，

勾股定理得到了验证.

:4X，ab+（6—a），-1+从

方法三：思路如下

图3-7

把一个直立的火柴盒放倒（如图3-7）.你能用不同的方法计算梯

形ABCD的面积，再次验证勾股定理吗？

方法四：思路如下

4.图中涂色部分是直角边长为a、b,斜边长为c的4个直角三角形.

试利用这个图形证明勾股定理.

16.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c,且

a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

已知：如图，SAABC41,a2+b2=c2

求证：AABC是直角三角形

证明思路：

图3-8

为了证明△ABC是直角三角形.我们先画RtAA'B'C'.使=

90°,B'C‘na'A'C=6(如图3-8(2)),再设法证明△A'6'C"与AABC

全等.

根据勾股定理，可得八'3'2=/+廿

因为AB?=。2+〃，

所以A'8'2=AB2,A'Bf=AB.

根据“SSS”，可证△ABC/ZSA'B'C'.

于是，NC=N("=90°,△ABC是直角三角形.

八年级下册几何定理的证明

17.定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。

证明思路：1.连接AC,证明AABC与ACDA全等，得出平行四边形对边相等

2.连接AC,证明AABC与ACDA全等，得出NB=ND,再利用AD〃BC,同旁内

角互补及等角的补角相等，得出平行四边形对角相等

3.连接AC、BD,证明AAOB与ACOD全等，得出平行四边形对角线互相平分。

18.定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

已知：如图9-14,在四边形ABCD中，AD〃BC,仞=BC.

求证：四边形ABCD是平行四边形.

证明：连接AC.

■:AD//BC',

：.ZDAC=/BCA.

在△BC八fllADAC中,

CB=AD,

<ZBCA=Z.DAC,

CA=AC,

ABC'A9A£MC'.

ZBAC=NDCA.

AB//CD.

：.四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平

行四边形）.

19.定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC.

四边形ABCD是平行四边形吗？证明你的结论.

连接4C,曲48=

CD,AD=CB,可证

A/1BC^ACD^(SSS),

得N]=N2,AB//CD.

20.定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形

已知：如图9-16,直线AC、BD相交于点（）.OA=a',OB=OD.

求证：四边形ABCD是平行四边形.

证明：在△AOB和△COD中，

OA=OC,

«NAOB=ZCOD,

OB=OD.

，AAOB色ACOD.

AB=CD.

同理AD=CB.

/.四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平

行四边形）.

思考：对角相等的四边形是平行四边形吗？（是的，通过四边形内角和及同旁内角互补两直

线平行来证明）

思考：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形吗？（是的，利用两直线平行同

旁内角互补及同旁内角互补两直线平行来证明。）

思考：一组对边行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？（不一定，反例：等腰梯形）

思考：一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形吗？（不一定，反例如下图：四

边形ABCD是平行四边形，过点A、B、C作圆，则/B=/D,以C为圆心，BC长为半径作

圆，则CD'=BC.因此，在四边形AD'CD中，满足/D=ND',AD=CD',但它明显不是平行四

边形）

21.定理：矩形的四个内角都是指教，对角线相等

证明思路：根据矩形的定义，有一个角是90。的平行四边形是矩形，假设NB=90。

由N8=90。，

D^AB=DC,

Z.A+Zfl=180°,

乙ABC=ZDCB=90°,

可得N4=90。.

BC=CB,

由N4=NC,可知

所曲C=£>8.

*可得NC=NQ=90。.

22.定理：三个角是直角的四边形是矩形

证明思路:

由Z/=Z8=Z.C=90°,可得

44+28=180°,ZB+ZC=180°,

于是/£>〃BC,AB//DC,所以四虾；岁

边形45C。是矩形.

23.定理：对角线相等的平行四边形是矩形

如图9-21,在口ABCD中，AC=

DB.由AB=DC,BC=CB,AC=DB,

可证△ABC里ADC'B,于是ZABC=

ZDCB,又由NABC+NDCB=180°,

可知ZABC=90°.

DABCD是矩形.

24.定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直

证明思路：根据菱形的定义，有以一组邻边相等的四边形是菱形，假设：AB=BC

当8c=/8时，当8c=4B时,

.明企由平行四边形的性由平行四边形对

,(«质，可知4B=DC,角线的性质，可

AD=BC.于是48=^\AO=CO.于是

BC=CD=DA.BDLAC.

25.定理：四条边都相等的四边形是菱形

证明思路：

曲48=QC,AD=BCf可知四

边形45co是平行四边形.

根据有一组邻边相等的平行四，/X*

边形是菱形，可知O48CD是菱形.'

26.定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

证明思路:

如图9-27,在U/ABCD中，AC±BD,

垂足为。由BD=DO,AC8D,可知

AB=AD.

匚JABCD是菱形.

图9-27

27.定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

已知：如图，在DE是AABC的中位线。

求证：DE〃BC,DE=-BC

2

证明思路：

在图9-31中，延长DE到点F,使EF=DE,连接CF（如

图9-32）.

在aADE和ACFE中，由ED=FE,/

ZAED=/CEF,AE=CE,可证△ADE9/\

△CFE.于是，AD=CF，ZADE=NF,可%-----y…-yp

知BD//CF./\/

B乙------------

又因为BD=AD=CF,所以四边形c

图9-32

DBCF是平行四边形，从而DF〃BC,

DE=1l）F=~BC.

九年级上册几何定理的证明

28.

垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.

已知:是。。的直径,CD是。O的弦，AB_LCD,垂足为P.

求证：PC=PD,改'=BD.AC=AD

证明：

•一••・•，・・a•••1♦•・/・•-、**•••-*••-MA--，••

如图2-15,AB是。()的直径.CD是

的弦.AB_C'D.垂足为P.

连接OC、OD.

作△()('/)中.

()c=()1),OPCD.

：.PC=PD,ZBOC=/BOQ.

/八OC=/八OQ.

二位'=BI）.AC'=.G（同圆中.相等的圆心角所对的弧相等）.

29.

圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等

弧所对的圆周角相等.

已知：：NBA。、//KX,分别是6（）的加,所对的圆周角、圆心角。

求证：.B八（'f

证明：根据圆心O与NBAC的位置关系分以下三种情况：

⑴如图2-24,圆心（）在NBAC的边AB上.

•；Z.BOC是△八（X、的外角.

JZBOC=ZBAC+.

V（M=（K\

：./（X1A=ABAC.

：./次）（'—2ZB/K,.

ZB4C=jZBOC.

（2）如图2-25,圆心。在NBAC内,作直径AD.

由（1）.得

/BAD=>NBC)D，NDAC=得/DOC.

///）（、）=]/故）（、.

（3）如图2-26.圆心。在NBAC外，作直

径4）.

由（1）.得

Z.DA13=L>OC.

.\ZB4C=ZDA('=十(/DOC-/DOB)=^ZBOC.

综上所述：NBAC="BOC.

30.

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

如图2-40,因为一心O到直线I的距离OD

等于。。的半径广.所以直线/与。。相切.

圆的切线垂直于经过切点的半径.

我们可以用反证法证明11.00.

假设立线I与()1)不垂宜.过圆心。作

ODf±l,垂足为D'(如图2-42).因为直线/

与。O相切,所以圆心。到直线/的距离

()4等于。()的半径•点D'在。()上.这一

样.直线/与。。有两个公共点D、D'.这

图2-42

与“直线/与。。相切”矛盾,所以LLOD.

过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.

在图2-48中,连接OA、OB、OP(如图2-49).

•••RA、PB是。。的切线,a

：.PA_()A.PBJ)B.

即△P(M、△POB是直角三角形.((^-―

又•/(),\=()B.()P=OP，\

ARZA/AR9B.

图2-49

，PA=PB.

我们也可以通过图形的运动证实PA=PB.

在图2-49中.由（加.PA.

（）BPB.OA=（比.可知点。在

NAPB的平分线上.于是，把图

2-495的PB沿宜线翻折.射线

PB与射线PA重合（如图2-50）.

因为过点。有且只有一条直线与

图2-50

PA（P3）垂直.所以（出与OA重合.

即点B与点八重合，PA=PB.

已知:点八、&C、D、E将。。五等分.

求证：五边形ABCDE是正五边形。

如图2-54,点八、B、如D、E将。。五等分.

'.'AB=H'=CD=DE=EA.

AB=BC=CD=DE=EA.BCE=CDA.

：.ZA=ZB.

同理NB=ZC=/D=/E.

，五边形ABCDE是正五边形.图2-54

求作正方形:

求作正六边形:

作法图形

1.在。。中任意作一条宜径AQ.

2.分别以点A、D为圆心.。。的半径为半

径作弧，与。。相交于点8、厂和点

C、E.

3.依次连接A、B、（'、D、E、F各点.

六边形A/寅就是所求作的正六边形.

S扇形=成'\lR.

v"V"J

半径为R.圆心角为〃。的扇形的弧长I=呼.扇形的面积

1oU

s扇形=备储，'可以写.成s场形=品嚼・R・于是

,S扇形=.

（2）探究用哪种边长相同的正多边形材料能够密铺

地面.

正〃边形的每个内角等于（〃-2）•180：如果在一

n

个顶点周围有k个正n边形的角，那么这些角的和应为

360。，因此有*（〃-2）"80°=360。.

n

又由于左、〃均为正整数，因此用一种正多边形材

料密铺地面只有3种情况：

k=3,n=6；或左=4,〃=4;或左=6,n=3.

统计：

在一组数据力•.…•春中.各数据与它们的平均数亍的差的

平方分别是5汁）2,5亍）2.….y了）2.我们用它们的平均

数,即

X2=­E（—T）2+（X2~T）2+•••+（x~J7）2]

nn

来描述这组数据的离散程度.并把它叫做这组数据的方差（\"iance）.

从方差计算公式可以看出:一组数据的方差越大,这组数据的离

散程度就越大；一组数据的方差越小.这组数据的离散程度就越小.

概率：

一只不透明的袋子中装有1个白球和2

个红球.这些球除颜色外都相同.搅匀后从中任意

慎出1个球.记录颜色后放回、搅匀.再从中任意

慎出1个球.求两次都摸到红球的概率.

解：如图4-6.把2个红球编号为红球1、

图4-6

红球2,用表格列出所有可能出现的结果:

结7

白红1红2

A（白,白）（白，红1）（白,红2）

:「1（红1.白）（红1.红1）（红1.红2）

红2（红2,白）（红2,红1）（红2,红2）

由表格可知,共有9种可能出现的结果,并且它们都是等可能

的.••两次都摸到红球”记为事件B.它的发生有4种可能.所以事件

B发生的概率

P3T

即两次都摸到红球的概率是小

Z/

一般地，设试验结果落在某个区域S中每一点的机会均等，用A表示

事件,＜：＜-'tS中的一个小区域M中”.那么事件A发生的概率

M的面积

/'(A)=

S的面积.

在如图所示的正方形ABCD内任取一点O.将点

。与A、B两点相连接.得△QAB.如果正方形

ABCD内每一点被取到的可能性都相同，分别求

△OAB是钝角三角形和直角三角形的概率.

设正方形ABCD对角线的交点为E.则

“△OAB是钝角三角形”这个事件发生就相当于点O

恰好落在以A8为直径的半圆内.所以

P^OAIi以AB为百径的平圆的而积1

正方形ABCD的面积

同理，“△OAB是直角三角形”这个事件发生就相当于点O恰好落在

半圆弧份上.所以

AEB的面积

P(AQAB是直角三角形)-

正方形ABCD的面积

注意，这个例子中，“△OAB是直角三角形”这个事件发生的概率是

()!但这并不意味着这个事件不会发生.我们只能说该事件发生的概率为

。.所以，概率为0的事件不一定是不可能事件.

九年级下册几何定理的证明

33.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

如图:直线l|〃12〃b，它们与直线a、b相交于点A、B、C、D、E、F.

ABDE

求证:

~CD~~EF

证明思路：设/也之间的距离是m