2023年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟测试卷(七)(附答案及解析)

年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟测试卷(七）(时间90分钟，总分150分)一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A＝{x|x＋1<0}，B＝{x|x－3<0}，那么集合A∪B等于()A．{x|－1≤x<3} B．{x|x<3}C．{x|x<－1} D．{x|x>3}2.函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的最小正周期为()A．eq\f(π,2)B．πC．2πD．4π3.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是()A．y＝－x3B．y＝eq\f(1,x)C．y＝|x|D．y＝eq\f(1,x2)4.已知a，b是实数，设i是虚数单位，若a＋i＝eq\f(bi,1＋i)，则复数a＋bi为()A．2－iB．2＋iC．1＋2iD．1－2i5.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≤0，,xeq\s\up12(\f(3,2))，x>0，))则f(－1)＋f(1)＝()A．0B．1C．eq\f(3,2)D．26.某工厂抽取100件产品测其重量(单位：kg)．其中每件产品的重量范围是[40,42]．数据的分组依次为[40,40.5)，[40.5,41)，[41,41.5)，[41.5,42]，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在[40,41)内的产品件数为()A．30B．40C．60D．807.sin110°cos40°－cos70°sin40°＝()A．－eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2)D．eq\f(\r(3),2)8.在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝()A．eq\o(DC,\s\up6(→))B．eq\o(BA,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→))D．eq\o(BD,\s\up6(→))9.下列结论正确的是()A．若a<b，则a3<b3 B．若a>b，则2a<2bC．若a<b，则a2<b2 D．若a>b，则lna>lnb10.已知实数m，n满足2m＋n＝2，其中mn>0，则eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值为()A．4B．6C．8D．1211.已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是()A.事件“都是红色卡片”是随机事件B.事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C.事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D.事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件12.甲乙两人进行射击比赛，每人射击5次，射击成绩如下表：甲命中的环数88987乙命中的环数791086根据上述数据，下列判断正确的是()A.甲、乙的平均成绩相同，甲的成绩更稳定B.甲、乙的平均成绩相同，乙的成绩更稳定C.甲、乙的平均成绩不同，甲的成绩更稳定D.甲、乙的平均成绩不同，乙的成绩更稳定13.3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A．eq\f(3,4)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,4)14.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列判断正确的是()A．A1D⊥C1C B．BD1⊥ADC．A1D⊥AC D．AC⊥BD115.已知向量a，b不共线，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－3a＋7b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝4a－5b，则()A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)16.某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人，若采用分层随机抽样的方法在该校田径队中抽取18人进行体能测试，则应抽取的女运动员的人数为________17．若一个圆锥的底面半径为1，高为eq\r(3)，则该圆锥的侧面积为________18.已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)内有零点，则实数a的取值范围为________19.已知A，B，C为圆O上的三点，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))夹角的大小为________三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20．(8分)如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是AB，PC的中点．证明：EF//平面PAD．21.(14分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a＝6，cosB＝eq\f(1,3)．(1)若sinA＝eq\f(3,5)，求b的值；(2)若c＝2，求b的值及△ABC的面积S．22.(14分)已知函数f(x)＝ax＋log3(9x＋1)(a∈R)为偶函数．(1)求a的值；(2)当x∈[0，＋∞)时，不等式f(x)－b≥0恒成立，求实数b的取值范围．参考答案及解析：选择题1.B解析：A＝{x|x＋1<0}＝{x|x<－1}，B＝{x|x－3<0}＝{x|x<3}．∴A∪B＝{x|x<3}，故选B．2.D解析：∵ω＝eq\f(1,2)，∴最小正周期T＝eq\f(2π,ω)＝4π．3.D解析：y＝|x|，y＝eq\f(1,x2)都是偶函数，y＝|x|在(0，＋∞)上递增，y＝eq\f(1,x2)在(0，＋∞)递减，故选D．4.C解析：∵a＋i＝eq\f(bi,1＋i)，整理得(a＋i)(1＋i)＝bi，∴(a－1)＋(a＋1)i＝bi．由复数相等的条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝0，,a＋1＝b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2，))∴a＋bi＝1＋2i．故选C．5.C解析：∵f(－1)＝2－1＝eq\f(1,2)，f(1)＝1eq\s\up12(eq\f(3,2))＝1，∴f(－1)＋f(1)＝eq\f(3,2)．6.B解析：重量在[40,41)内的产品的频率为(0.1＋0.7)×0.5＝0.40．∴重量在[40,41)内的产品的件数为0.40×100＝40．7.C解析：sin110°cos40°－cos70°sin40°＝sin70°·cos40°－cos70°sin40°＝sin(70°－40°)＝sin30°＝eq\f(1,2)．8.B解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))．9.A解析：A，由a<b可得a3<b3，因此A正确；B，由a>b可得2a>2b，因此B不正确；C，a<b，a2与b2大小关系不确定，因此C不正确；D，由a>b无法得出lna>lnb，因此D不正确．10.A解析：实数m，n满足2m＋n＝2，其中mn>0．所以eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝eq\f(1,2)(2m＋n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(2,n)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(n,m)＋\f(4m,n)))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋2\r(\f(n,m)·\f(4m,n))))＝4，当且仅当eq\f(n,m)＝eq\f(4m,n)，2m＋n＝2，即m＝eq\f(1,2)且n＝1时，eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)取最小值为4．11.C解析：A，D都是随机事件；因为只有2张蓝色卡片，任取3张，“都是蓝色卡片”是不可能事件；任取3张卡片，有可能“都是红色卡片”，故“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误．12.A解析：甲的平均成绩和乙的平均成绩相同都为8，从数据看甲的成绩更稳定．13.A解析：3位同学各自在周六、周日任选一天，共有23＝8种方法，3位同学周六，周日都有同学参加有8－2＝6种方法，故所求概率为eq\f(6,8)＝eq\f(3,4)．14.D解析：如图，连接BD交AC于O，则AC⊥BD，又∵DD1⊥平面ABCD，且AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC，又∵BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1，又∵BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1．15.B解析：∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋2b－3a＋7b＋4a－5b＝2a＋4b，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝2(a＋2b)＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，又∵A是公共点，∴A，B，D三点共线．填空题16.答案：8解析：应抽取女运动员的人数为eq\f(36,45＋36)×18＝8人．17.答案：2π解析：∵圆锥的底面半径r＝1，高h＝eq\r(3)，∴母线长l＝eq\r(r2＋h2)＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2．∴圆锥的侧面积S侧＝πrl＝π×1×2＝2π．18.答案：(－2,0)解析：∵f(x)＝x2＋x＋a的对称轴x＝－eq\f(1,2)，且开口向上，∴f(x)在区间(0,1)内单调递增，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，则f(0)f(1)<0，∴a(2＋a)<0，∴－2<a<0，∴实数a的取值范围为(－2,0)．19.答案：120°解析：∵eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，∴四边形ABOC是平行四边形，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝R(R为圆的半径)，设〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝θ，对eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，两边平方得eq\o(AO,\s\up6(→))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))．∴R2＝R2＋R2＋2R2cosθ，∴cosθ＝－eq\f(1,2)，∴θ＝120°．解答题20．证明：取PD的中点G，连接FG，AG，因为F是PC的中点，所以FG∥CD且FG＝eq\f(1,2)CD．又AE∥CD且AE＝eq\f(1,2)CD，所以AE∥FG且AE＝FG，所以四边形AEFG为平行四边形，所以EF∥AG，又EF⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD．21.解：(1)因为cosB＝eq\f(1,3)，0<B<π，所以sinB＝eq\f(2\r(2),3)，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得b＝eq\f(asinB,sinA)＝6×eq\f(2\r(2),3)×eq\f(5,3)＝eq\f(20\r(2),3)．(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝36＋4－2×6×2×eq\f(1,3)＝32，所以b＝4eq\r(2)，因为S＝eq\f(1,2)acsinB，所以S＝eq\f(1,2)×6×2×eq\f(2\r(2),3)＝4eq\r(2)．22.解：(1)由题意知函数f(x)的定义域为R，因为函数f(x)为偶函数，所以f(1)＝f(－1)，即a＋log310＝－a＋log3eq\f(10,9)，可得a＝－1，经检验此时有f(－x)＝f(x)，所以a＝－1．(2)由已知b≤f(x)在[0，＋∞)上恒成立，所以b小于或等于f(x)在[0，＋∞)上的最小值．由(1)知f(x)＝log3(9x＋1)－x＝log3(9x＋1)－log33x＝log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(1,3x)))，令g(x)＝3x＋eq\f(1,3x)，x∈[0，＋∞)，任取x1，x2∈[0，＋∞)且x2>x1，则g(x2)－g(x1)＝3eq\s\up10(x2)＋eq\f(1,3eq\s\up10(x2))－3eq\s\up10(x1)－eq\f(1