七年级数学下册讲义（北师大版）第四章第06讲 用尺规作三角形与利用三角形全等测距离(6类热点题型讲练)（解析版）

第06讲用尺规作三角形与利用三角形全等测距离(6类热点题型讲练)1.理解角的有关概念：会用尺规按要求作三角形：已知两边及夹角作三角形,已知两角及夹边作三角形，已知三边作三角形.2.通过尺规作图的学习，培养观察分析、类比归纳的探究能力，加深对类比与转化、分类讨论等数学思想的认识.3.能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学于实际生活的联系.4.能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达，提高分析解决问题的能力.知识点01利用尺规作三角形在学习之前先要对尺规作线段和尺规作角熟练掌握并应用，根据给出的不同条件采用不同方法作出图形；有三种基本类型:(1)已知三角形的两边及其夹角,求作符合要求的三角形,其作图依据是SAS;(2)已知三角形的两角及其夹边,求作符合要求的三角形,其作图依据是ASA;(3)已知三角形的三边,求作符合要求的三角形,其作图依据是SSS.知识点02利用三角形全等测距离1.当两点之间可以直接到达时，可以直接测量出两点之间的距离；当两点之间不能直接到达时，可以构造全等三角形，将不能到达的两点转化到能够到达的两点来进行测量．2.通过构造全等三角形来进行测量有以下几种方法：构造两边和它们的夹角对应相等的两个全等三角形；构造两角和它们的夹边对应相等的两个全等三角形；构造三边对应相等的两个全等三角形.总结：利用三角形全等来设计测量方案：首先根据已有的条件和欲测量的问题进行分析，明确要运用哪种方法来构建全等三角形，即将要用到哪种全等的判定方法；然后，在测量方案中把说明两个三角形全等所需要的条件毫无遗漏地“测量到位”．题型01结合尺规作图的全等问题【例题】（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）已知，按图示痕迹做，得到，则在作图时，这两个三角形满足的条件是()A．，B．，C．，，D．，，【答案】D【分析】根据证明三角形全等即可．本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．【详解】解：由作图可知，，，，在和中，，故选：D．【变式训练】1．（23-24八年级上·福建福州·期中）用直尺和圆规作两个全等三角形，如图，能得到的依据是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查复杂作图，根据作图的痕迹进行判断即可求解．掌握全等三角形的判定定理及基本作图是解题的关键．【详解】解：由作图得：，，在和中，，∴，∴能得到的依据是．故选：C．2．（23-24八年级上·河北邢台·期中）如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（

）

A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等【答案】C【分析】根据全等三角形的判定进行判断即可．【详解】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定，所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解题的关键．题型02尺规作图——作三角形【例题】（23-24八年级上·浙江·期末）已知和线段（如图）．(1)用直尺和圆规作（点在的上方），使，（做出图形，保留痕迹，不写作法）．(2)这样的三角形能作几个？【答案】(1)见解析(2)2【分析】本题考查了作图—复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．（1）先作，再在上截取，然后以为圆心，为半径画弧交于和，则和即为所作；（2）由作图即可得出答案．【详解】（1）解：如图，和即为所作，；（2）解：由图可得：这样的三角形能作个．1．（23-24八年级上·广东广州·期中）作三角形：已知：线段a、c和（如图），利用直尺和圆规作，使，，．（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】见解析【分析】本题考查了尺规作图，先作已知角，再作已知边，即可求得结果，掌握尺规作图的方法是解题的关键．【详解】解：如图：①作，②在上截取，在上截取，连接，，则即为所求．2．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知和线段a，b，用直尺和圆规作，，（保留作图痕迹）【答案】见详解【分析】本题考查了作图，作一个角等于已知角和用已知线段画三角形，先作，再在上截取，然后以C为圆心，b为半径画弧交于A和，则和满足条件．【详解】解：这样的三角形能作2个．如图，和为所作．题型03全等三角形的性质【例题】（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，，则的长是．【答案】5【分析】本题考查三角形全等的性质，根据得到，结合，，，在同一直线上即可得到答案；【详解】解：∵，∴，∵，，，在同一直线上，，，∴，故答案为：5．【变式训练】1．（23-24八年级上·广西百色·期末）如图，，点E在AB上，DE与AC交于点F，，，则．【答案】/24度【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可．【详解】解：，，，，，，，，故答案为：．2．（22-23八年级下·福建福州·开学考试）如图，，点E在上，，若，则的长为．【答案】1【分析】本题考查了全等三角形的性质，能求出，的长是解此题的关键．根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：，，，，故答案为：1题型04利用全等三角形求动点问题的多解题【例题】（23-24八年级上·湖北荆州·期中）如图，，于，于，且，点从向运动，每分钟走，点从向运动，每分钟走，、两点同时出发，运动分钟后，与全等．【答案】4【分析】本题考查了直角三角形全等的判定方法、解方程等知识．设运动分钟后与全等；则，，则，分两种情况：①若，则，此时，；②若，则，得出，，即可得出结果．【详解】解：于，于，，设运动分钟后与全等；则，，则，分两种情况：①若，则，，，，；②若，则，解得：，，此时与不全等；综上所述：运动4分钟后与全等；故答案为：4．【变式训练】1．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，，，，点P在线段上以每秒1个单位长度的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段上以每秒x个单位长度的速度由点B向点D运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．当与全等时，x的值为．【答案】1或【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用．解题的关键在于分情况求解．由题意知当与全等，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可．【详解】解：由题意知，，，，与全等，，∴分两种情况求解：①当时，，即，解得；②当时，，即，解得，，即，解得；综上所述，的值是1或，故答案为：1或．2．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，，，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以单位秒和单位秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点，于点，则点的运动时间等于秒时，与全等．【答案】2或或12【分析】本题考查了全等三角形的性质，分情况讨论是解题的关键：分四种情况，点在上，点在上；点、都在上；点到上，点在上；点到点，点在上．【详解】解：与全等，斜边斜边，分四种情况：当点在上，点在上，如图：，，，当点、都在上时，此时、重合，如图：，，，当点到上，点在上时，如图：，，，不符合题意，当点到点，点在上时，如图：，，，综上所述：点的运动时间等于2或或12秒时，与全等，故答案为：2或或12．题型05利用三角形全等测距离【例题】（23-24八年级上·河南信阳·期末）如图，数学实践小组想要测量某公园的人工湖两端，之间的距离，由于条件限制无法直接测得．请你用学过的数学知识帮他们按以下要求设计一种测量方案．(1)画出测量示意图；(2)写出测量的步骤；（测量数据用字母表示）(3)计算，之间的距离．（写出求解或推理过程，结果用字母表示）【答案】(1)见详解(2)见详解(3)设，，之间的距离为【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，解题的关键是构造两个全等的三角形．（1）由于无法直接测得，故间接构造两个涉及边的全等三角形，如解析所示；（2）在湖岸上找可以直接到达，的一点，构造，，即可；（3）利用证明，由全等三角形的性质可得，则的长度就是的长度．【详解】（1）解：测量示意图如下图所示；（2）在湖岸上找可以直接到达，的一点，连接并延长到使得，连接并延长到点使得，连接，则，测量的长度，即的长度为；（3）设，由测量方案可知，，在和中，，∴，∴．【变式训练】1．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且，，测得．

(1)求证：；(2)若，，求池塘的长度．【答案】(1)证明详见解析；(2)44m．【分析】本题考查全等三角形判定及性质，平行线的性质等．（1）根据题意利用平行线的性质，全等三角形判定即可得到本题答案；（2）根据题意利用第（1）问结论由全等三角形性质即可得到本题答案．【详解】（1）解：∵，∴，∵在和中，，∴；（2）解：由（1）可知：，∴，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴池塘的长为．2．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）如图，学生甲学习了全等三角形后，想测草坪旁池塘两岸相对两点，的距离．请你给学生甲设计一个测量方案，并证明按你的方案进行测量，其结果是正确的．(1)简单说明你设计的方案，并画出图形；(2)证明你的方案的可行性，即证明按你的方案进行测量，其结果是正确的．【答案】(1)方案见解析；(2)证明见解析．【分析】本题考查全等三角形的应用---方案设计，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键，（1）根据全等三角形的性质设计图形即可；（2）利用“”即可证明方案的可行性．【详解】（1）解：如图所示：过B作，过D作，取的中点C，连接并延长交于点E测量线段的长即可．（2）证明：∵，，∴，∵C为的中点，∴，∴在和中：∴，∴．题型06全等三角形的综合问题【例题】（22-23八年级上·河北石家庄·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F．(1)当绕B点旋转到时（如图1），试猜想线段之间存在的数量关系为__________．（不需要证明）；(2)当绕B点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．【答案】(1)(2)以上结论不成立，应为，证明见详解【分析】本题几何变换综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助性、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．（1）延长至点使，连接，分别证明根据全等三角形的性质、结合图形证明结论；（2）延长至G，使仿照（1）的证明方法解答．【详解】（1）解：，理由如下：延长至点使，连接，在与中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在与中，，∴，∴，∴；（2）解：以上结论不成立，应为，理由如下：延长至G，使由（1）可知，，∴，∴，∵∴∴∴【变式训练】1．（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）在点，过点分别作，，垂足分别为，．且，点，分别在边和上．(1)如图1，若，请说明(2)如图2，若，，猜想，，具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．【答案】(1)证明见解析(2)，理由见解析【分析】（1）由，，可得，结合，，可证，即可求解，（2）在上取点，使，通过证明，，即可求解，本题考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键是：通过辅助线构造全等三角形．【详解】（1）解：，，，，，，，（2）解：在上取点，使，，，，，，，，，，，，，即，，，即：，．2．（23-24八年级上·重庆巴南·阶段练习）如图1，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．

(1)如图1，当时，；(2)如图2，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点的运动速度．【答案】(1)或(2)两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，点的运动速度为或或cm/s或【分析】本题考查全等三角形与动点的综合，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行解答．（1）点运动的速度为，则，；根据，分类讨论：点在上时；点在上时，进行解答，即可；（2）根据全等三角形的性质，分类讨论：当点在上，，，；当点在上，点在上，，，；当点在上，，，；当点在上，点在上，，，，求出对应的点的运动速度，即可．【详解】（1）∵点运动的速度为，点在上时，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，解得：；

点在上时，过点作于点，∴点的运动路程为，∴，，∵，∴，∵是直角三角形，∴当点在的中点时，，，∴，解得：；故答案为：或；（2）∵在中，，，，，∴当点在上，，，；∴点的速度为：；

当点在上，点在上，，，，∴点的速度为：；

当点在上，，，，∴点运动的距离为：，点运动的距离为：，∴点的速度为：；

当点在上，点在上，，，∴点的速度为：；

综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，点的运动速度为或或cm/s或．一、单选题1．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（

）A．，， B．，，C．， D．，，【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系理逐个判断即可．【详解】解：A、，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意；B、，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；C、，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；D、，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意；故选：D．2．（23-24八年级上·云南·阶段练习）如图，在方格纸中，以为一边作，使之与全等，从四个点中找出符合条件的点，则点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查的是全等三角形的性质，由网格中点的对称性，结合全等三角形的对应边相等判断即可，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．【详解】解：如图所示：，即；；；符合条件的点有，共有3个，故选：C．3．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，点B在线段上，，，，则的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的性质，利用全等三角形的对应边相等解决问题，掌握全等三角形的性质的对应边相等是解题的关键．【详解】解：∵，，∴，又∵，∴，故选：B．4．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，，的延长线交于点，交于点．若，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形外角的性质，由，则与是一组对应角，与是一组对应角，对于，外角等于除外的两个内角之和，求得，再在中，由三角形内角和即可求得结果．【详解】解：，，，，．由三角形外角的性质可得，．．，，．故选：B．5．（23-24八年级上·河南开封·期末）如图，已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是：①连接；②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；③在的两边上截取；④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点．以上画法正确的顺序是（）A．③④①② B．④③②① C．③④②① D．④③①②【答案】C【分析】本题考查了尺规作图和等腰三角形的作图，解决本题的关键是理解等腰三角形的作图过程，根据尺规作等腰三角形的过程逐项判断即可解答．【详解】解：已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是：③在的两边上截取；④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点；②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；①连接．即为所求作的三角形．画法正确的顺序是③④②①，故选C．二、填空题6．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，，若，，则；【答案】7【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．【详解】解：∵，∴，，∴，故答案为：7．7．（22-23七年级下·山东济南·阶段练习）如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，则与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点都在格点上的三角形）共有个．

【答案】6/六【分析】根据全等三角形的判定分别求出以为公共边的三角形，以为公共边的三角形，以为公共边的三角形的个数，相加即可．【详解】解：如图所示，以为公共边可画出、、三个三角形和原三角形全等；以为公共边可画出、、三个三角形和原三角形全等；以为公共边不可以画出三角形和原三角形全等；所以共有6个三角形和原三角形全等，故答案为：6．

【点睛】本题考查全等三角形的判定，三条边分别相等的两个三角形全等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．8．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，，如果点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点从点出发沿射线运动．若经过秒后，与全等，则的值是．【答案】1或【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，利用全等三角形对应边相等，列出方程是解题的关键．利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当和②当时，设运动时间为秒，点的运动速度为秒，利用全等三角形对应边相等，列出方程即可求解．【详解】解：设．两点的运动时间为秒，点的运动速度为秒，则，，．，①当时，，．，；②当时，，，，．综上，当的值是1或时，能够使与全等．故答案为：1或．9．（21-22七年级下·山东烟台·期中）如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为．【答案】35°/35度【分析】连接CD，EF．由题目中尺规作图可知：，．可证，所以，可得．所以．由于AH平分，所以．即：．【详解】解：连接CD，EF由题目中尺规作图可知：，在和中AH平分故答案为：．【点睛】本题主要考查知识点为，全等三角形的性质及判定、定点为圆心定长为半径的性质、平行线的判定及性质，角平分线的性质．能看懂尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质及判定、平行线的性质及判定，角平分线的性质，是解决本题的关键．10．（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，在长方形中，，延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为秒时，与全等．【答案】1或7【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定方法有：．根据题意，分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得．【详解】解：由题意得：，若，根据证得，，即，若，根据证得，，即．当t的值为1或7秒时．与全等．故答案为：1或7．三、解答题11．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，已知，点D是上一点，交于点E，且．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)3【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．选择合适的判定方法是解题的关键．（1）利用角角边定理判定即可；（2）利用全等三角形对应边相等可得的长，用即可得出结论．【详解】（1）证明：，，在和中，，；′（2）解：由（1）知，，，，．12．（20-21八年级上·四川南充·期末）某中学八年级学生进行课外实践活动，要测池塘两端A，B的距离，因无法直接测量，经小组讨论决定，先在地上取一个可以直接到达A，B两点的点O，连接AO并延长到点C，使AO＝CO；连接BO并延长到点D，使BO＝DO，连接CD并测出它的长度．（1）根据题中描述，画出图形；（2）CD的长度就是A，B两点之间的距离，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】解：（1）图形如图所示：（2）连接AB．在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（SAS），∴AB＝CD，∴CD的长度就是A，B两点之间的距离．【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用全等三角形的性质解决问题．13．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）小明利用一根长为的竿子来测量路灯杆的高度（），方法如下：如图，在地面上选一点P，使，然后把在的延长线上左右移动，使，且，此时测得．(1)求证：．(2)求路灯杆的高度．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和全等三角形的应用：（1）根据题意求出，根据即可证明；（2）根据全等三角形的性质可得路灯杆的高度．【详解】（1）证明：∵，∴∵∴∴，在和中，，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴．14．（22-23八年级上·江西赣州·期中）小光的爷爷为我们讲述了一个他亲身经历的故事：在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的日军碉堡，需要测出我军阵地到日军碉堡的距离，由于没有任何测量工具，我军战士为此尽脑汁．这时，一位聪明的战士想出了办法，成功炸毁了碉堡．（1）你认为他是怎样做到的？方法是：战士面向碉堡的方向站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时，视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离．（2）你能根据战士所用的方法，画出相应的图形吗？①画出相应的图形．②战士用的方法中，已知条件是什么？战士要测的是什么？（结合图形写出）③请用所学的数学知识说明战士这样测的理由．【答案】①见解析；②，；③．理由见解析．【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据战士所用的方法，画出相应的图形是解决问题的关键．根据垂直的定义得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：①如图，②已知条件是，．③战士要测的是．理由：，，在与中，，，．15．（