高考数学一轮复习高考大题专项六高考中的概率与统计理北师大版

高考大题专项六高考中的概率与统计

1.（2019河北衡水中学一模，18）某高校为了对2018年录取的大一理工科新生有针对性地进行教学,

从大一理工科新生中随机抽取40名,对他们2018年高考的数学分数进行分析,研究发现这40名新

生的数学分数x在［100,150］内，且其频率y满足月0a⑤（其中,〃6N*）.

（1）求a的值；

（2）请画出这20名新生高考数学分数的频率分布直方图,并估计这40名新生的高考数学分数的平

均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（3）将此样本的频率估计为总体的概率,随机调查4名该校的大一理工科新生，记调查的4名大一理

工科新生中“高考数学分数不低于130分”的人数为随机变量八求f的均值.

2.（2018山东青岛调研，18）近期,某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了

一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交

车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数,y表示每天使

用扫码支付的人次（单位:十人次），统计数据如表1所示：

表1

A[234567

213466101196

根据以上数据,绘制了如下图所示的散点图.

（1）根据散点图判断,在推广期内,与4（c,d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码

支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可,不必说明理由）；

（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据,求y关于x的回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码

支付的人次；

(3)推广期结束后,车队对乘客的支付方式进行统计,结果如表2.

表2

支付现乘车扫

方式金卡码

比例10%60%30%

已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠,

扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客,享受7折优惠的概率为《享受

8折优惠的概率为享受9折优惠的概率为g.根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的

概率，估计一名乘客一次乘车的平均费用.

参考数据：

77

711

yV吐匕10"

凶W'

62.141.54253550.123.47

]I

Vi

其中K?-lgyi,—=-

7

3.(2019广东化州一模，18)2018年9月16日下午5时左右，今年第22号台风“山竹”在广东江门

川岛镇附近正面登陆，给当地人民造成了巨大的财产损失,某记者调查了当地某小区的100户居民

由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0,2000],(2000,4000],(4000,6000],(6000,8

000],(8000,10000]五组，并作出如下频率分布直方图.

(1)台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，记者调查的100户居民捐款情况如下表格,在下

面表格空白处填写正确数字,并说明是否有95%的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济

损失是否到4000元有关？

经济损

经济损失

失超合

不超

过4000计

过4000元

元

捐款超

过60

500元

捐款不

10

过500

合计

(2)将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中,采用随机抽样方法每次抽取

1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为f,若每次抽取的

结果是相互独立的，求f的分布列，均值和方差〃L

参考公式：-------£二---)--------,其中n=a+b+c+d

(+)(+)(+)(+)

p(炉温0.0500.010

Ab3.8416.635

4.（2018长春质量监测一，18）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同,进货成本每瓶4元，

售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每

天需求量与当天最高气温（单位:。C）有关.如果最高气温不低于25℃,需求量为500瓶;如果最高气

温位于区间［20,25）,需求量为300瓶;如果最高气温低于20℃,需求量为200瓶.为了确定六月份

的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表：

[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天

数216362574

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量才（单位:瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为H单位:元），当六月份这种酸奶一天的进货量〃（单位:瓶）

为多少时，Y的均值达到最大值？

5.（2019广东省六校第一次联考，19）某市大力推广纯电动汽车,对购买用户依照车辆出厂续驶里程

衣的行业标准，予以地方财政补贴.其补贴标准如下表：

出厂续驶里程补贴（万

★千米）元郁）

150WH<2503

250^/?<3504

庐3504.5

2017年底随机调查该市1000辆纯电动汽车,统计其出厂续驶里程R,得到频率分布直方图如下图

所示.用样本估计总体,频率估计概率,解决如下问题：

A

0.006

0.005

0.004

0.002

0.003

0.001

0150200250300350400450持续里搦(千米)

(1)求该市每辆纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值；

(2)某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数,得到如下的频数分布表:

[5[6[7[8

500,500,500,500,

数6789

500)500)500)500)

八

20304010

数

(同一组数据用该区间的中点值作代表)

2018年2月，国家出台政策,将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来.该企业拟将

转移补贴资金用于添置新型充电设备.现有直流、交流两种充电桩可供购置.直流充电桩5万元/台,

每台每天最多可以充电30辆车,每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台,每台每天最多可

以充电4辆车,每天维护费用80元/台.

该企业现有两种购置方案：

方案一:购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；

方案二:购买200台直流充电桩和400台交流充电桩.

假设车辆充电时优先使用新设备,且充电一辆车产生25元的收入,用2017年的统计数据,分别估计

该企业在两种方案下使用新设备产生的日利润.(日利润=日收入-日维护费用)

6.2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年,有关部门为宣传垃圾分类知识,面向该市

市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查,每位市民仅有一次参与机会，通过抽样,得到参

与问卷调查中的I000人的得分数据，其频率分布直方图如图所示：

(1)由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布Mp.210),H近似为这1

000人得分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表)，利用该正态分布求尸(50.5<Z<94);

(2)在(1)的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：

①得分不低于〃可获赠2次随机话费;得分低于“，则只有1次；

②每次赠送的随机话费和对应概率如下：

赠送话费(单

1020

位:元)

21

概率

3

现有一位市民要参加此次问卷调查,记M单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求才的分布

列.

附:V5TUX14.5.若Z-V(n,82),则P(N-6<z<n+8)-68.3%,产(〃-25<Z<n+26)=95.4%.

参考答案

高考大题专项六高考中的

概率与统计

1.解(1)由题意知：10W〃<14,所以〃的取值为10,11,12,13,14,

代入尸10a4,可得(10a-0.5)+(10a-0.55)+(10a-0.6)+(10a-0.65)+(10a~0.7)=1,解得a=0.08.

(2)由(1),得片0.3,0.25,0.2,0.15,0.1,频率分布直方图如图：

这40名新生的高考数学分数的平均数为

105X0.30+115X0.25+125X0.20+135X0.15+145X0.10=120.

(3)由题意可知,/-0,1,2,3,4,且“高考数学分数不低于130分”的概率为0.154).1-0.25,所

以f坊(4,5,所以£4NX卜1.

2.解(1)根据散点图判断,y=c•"适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型.

(2)丁产c两边同时取常用对数得：1g尸lg(c,")=lgc+lgd•x\

设1gy=Vyc+lgd•x.

7

:4—=L54,x?-140,

5012_7x4xl54_o_

,'/7XF"H-25,

把样本中心点(4,1.54)代入片1gc/lg"・乂得：运c-0.54,

・：pR.54X).25x,

Zig片0.544).25%,

.：了关于X的回归方程式为尸10—*=10"“X(10°巧飞.47X10°..

把x-8代入上式,得产a47X102=347；

活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470.

(3)记一名乘客乘车支付的费用为4

则Z的取值可能为:2,1.8,1.6,1.4;

P(ZN)R.l;P(FL8)R.3xgR.15;

PkZ=\.6)R.6m.3刈力.7,P(Z=L4)R.3X：-0.05.

36

分布列为：

Z21.81.61.4

P0.10.150.70.05

所以,一名乘客一次乘车的平均费用为：

2X0.1*1.8X0.15+1.6X0.7+1.4X0.05=1.66(%).

3.解(1)由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,经济损失不超过4000元的有0.7X100=70

人,经济损失超过4000元的有100-70=30人，

则表格数据如下

经济损失经济损

不超失超合

过4000过4000计

元元

捐款超

过602080

500元

捐款不

超

101020

过500

元

合计7030100

2

%2_100X160X1010X20£^41762,

80x20x70x30

由于4.76233.841,

所以有95%的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关.

（2）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元的居民的频率为0.3,将频率视为概

由题意知f的可能取值有0,1,2,3,f%（3,卷）,

MR）心得）。4公费;

。（"1）武伐）”（公喘；

尸（I）电信）X力喘;

小⑥守信）》（力瑞

从而f的分布列为

f0123

p34344118927

1000100010001000

二W-3片力.9,

Q7

Df=np（l戈丁唱%?63.

4.解（1）由题意知,才所有的可能取值为200,300,500,由表格数据知,

产（％=200）三合旬.2,2（％=300）得4）.4,尸（六500）金答《）.4.

因此X的分布列为

X200300500

P0.20.40.4

(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200W〃W500.

当300W〃W500时，

若最高气温不低于25,则

若最高气温位于区间［20,25),则，=6X300+2(〃-300)200-2/7；

若最高气温低于20,则上6X200+2(/?-200)-4z?=800-2/?;

因此"之〃X0.4+(1200-2/7)X0.4*(800-2/7)X0.2=640-0.4/7.

当200W〃<300时，

若最高气温不低于20,则Y=&n~^n=2n.

若最高气温低于20,则『6X200+2(/7-200)"炉800-2〃；

因此Ek2nX(0.44.4)+(800-2/7)X0.2=160+1.2n.

所以〃=300时，了的均值达到最大值,最大值为520元.

5.解(1)依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：

补贴需元/344.5

辆)

概率0.20.50.3

纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为3X0.2MXO.5M.5X0.3考.95(万元).

(2)由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：

6789

辆数

000000000000

概率0.20.30.40.1

若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为

30X100*4X900-6600(辆).

可得实际充电车辆数的分布列如下表：

头营俨60006600

辆数