新高考数学二轮复习巩固练习14 导数解答题之函数型数列不等式问题（解析版）

微专题14导数解答题之函数型数列不等式问题【秒杀总结】1、分析通项法：由于左边是一个求和(积)形式的表达式，右边是一个简单的式子，为了使得两者能够明显地显现出大小特征，有必要将两者统一成同一种形式，此处有两条路可走，一种是将左边的和式收拢，一种是将右边的式子分解.很明显，左边是无法收找的，因此需要将右边进行拆分，而拆分的原则就是和左边配对.假设右边SKIPIF1<0，这样一来，相当于已知一个数列的前SKIPIF1<0项之和，求SKIPIF1<0，利用数列的知识可知SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以，接下来只需要证明SKIPIF1<0即可.2、几种常见的数列放缩方法：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0；（6）SKIPIF1<0；（7）SKIPIF1<0；（8）SKIPIF1<0；（9）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（10）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（11）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（12）SKIPIF1<0；（13）SKIPIF1<0.3、根据不等式的信息，利用题目的结论，得出不等式，然后对变量取合适的数据，再用数列求和法而得解.【典型例题】例1．（2023·山东济南·高三统考期中）已知函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围；(2)证明：对任意SKIPIF1<0；(3)讨论函数SKIPIF1<0零点的个数.【解析】（1）求导可得：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为减函数，所以SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，考查函数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，有SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为增函数，所以SKIPIF1<0，不符题意，综上可得：SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0；（2）由（1）知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0时，恒有SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0成立，取SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将上述几个不等式相加可得：SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0成立；（3）由SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为减函数，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一个零点，当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），此时SKIPIF1<0有一个零点，当SKIPIF1<0时，考查函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为减函数，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0有一个零点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有两解，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，在SKIPIF1<0上为增函数，由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以极小值SKIPIF1<0极大值SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为减函数，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为减函数，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0有三个零点，综上可得：SKIPIF1<0时SKIPIF1<0有一个零点，SKIPIF1<0时SKIPIF1<0有三个零点.例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0．(1)证明：对SKIPIF1<0恒成立；(2)是否存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立？请说明理由．【解析】（1）证明：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且当且仅当SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0，且当且仅当SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上也单调递增，故SKIPIF1<0，且当且仅当SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上仍单调递增，故SKIPIF1<0；（2）对于右侧：由（1）可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以该侧不等号始终成立；对于左侧：由（1）可知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0上有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．此时SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，注意到SKIPIF1<0，所以可得到一个充分条件，即SKIPIF1<0，所以任取SKIPIF1<0，则该侧不等式成立，（SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0整数部分），因此，对于任意SKIPIF1<0，原不等式都成立．即所求的n是存在的．例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求证：SKIPIF1<0；(2)求证：SKIPIF1<0．【解析】（1）证明：要证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）证明：由（1）知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0……．SKIPIF1<0，以上各式相加，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.例4．（2023·广东广州·高三广州市第七中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围；(2)是否存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？说明理由．【解析】（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．（ⅰ）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0也单调递增，故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0仍单调递增，故SKIPIF1<0；（ⅱ）当SKIPIF1<0时，注意到SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以存在唯一SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0有SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，故在SKIPIF1<0有SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0也单调递减，故在SKIPIF1<0有SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0仍单调递减，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不恒成立；（ⅲ）当SKIPIF1<0时，由（ⅰ）可知当SKIPIF1<0就有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不恒成立；（ⅳ）当SKIPIF1<0时，由（ⅰ）可知SKIPIF1<0．综合上述讨论，SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0；（2）对于右侧：由（1）可知SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0所以右侧不等号始终成立；对于左侧：由（1）可知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．此时SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0．所以当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，注意到SKIPIF1<0，所以可得到一个充分条件SKIPIF1<0．所以任取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该侧不等式成立．因此，对于任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，原不等式都成立．即所求的SKIPIF1<0是存在的.例5．（2023·上海·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值；(2)设SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.【解析】（1）SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，对于任意的SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则对于任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0符合题意；②当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0，这与当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0矛盾，所以SKIPIF1<0舍去；综上，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为1.（2）由（1）可知，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，将以上不等式左右两边分别相加，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.例6．用导数证明不等式，本题方法是利用已有结论构造出形式相关的不等式SKIPIF1<0，即可利用累加法结合适当变形可得结论例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，求a的取值范围；(2)证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【解析】（1）SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，不合题意，∴若SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，则实数a的取值范围为SKIPIF1<0．（2）欲证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，由（1）可知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，∴SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，将上述不等式累加得：SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴不等式SKIPIF1<0得证，∴不等式SKIPIF1<0得证．例8．（2023·江苏苏州·高三统考期末）已知函数SKIPIF1<0.（1）证明：SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；（2）证明：SKIPIF1<0.【解析】（1）SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为增函数，SKIPIF1<0；（2）由（1）知：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0式相加得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.【过关测试】1．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知SKIPIF1<0为正实数，函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围；(2)求证：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.【解析】（1）SKIPIF1<0，①若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0单调递增，故SKIPIF1<0，满足条件；②若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递减，则SKIPIF1<0，矛盾，不符合题意.综上所述：SKIPIF1<0.（2）先证右侧不等式，如下：由（1）可得：当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，右侧不等式得证.下证左侧不等式，如下：构建SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，左侧得证.综上所述：不等式SKIPIF1<0成立.2．（2023·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为正数，SKIPIF1<0.证明：SKIPIF1<0.【解析】（1）（1）SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）由（1），知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，累加可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.3．（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的极值；(2)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围；(3)证明：SKIPIF1<0.【解析】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，该函数的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递减，此时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极大值，且极大值为SKIPIF1<0.（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，因为SKIPIF1<0，不合乎题意；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不合乎题意；当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递减，所以，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0.综上所述，实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.（3）证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.4．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设函数SKIPIF1<0.SKIPIF1<0(1)当SKIPIF1<0时，讨论函数SKIPIF1<0的单调性；(2)曲线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，求证：SKIPIF1<0；(3)证明：SKIPIF1<0.【解析】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增.（2）SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由题意，知SKIPIF1<0有两解SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，要证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，①若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，也有SKIPIF1<0，综合①②知，SKIPIF1<0，所以只需证SKIPIF1<0（*）.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴两式相减，整理得SKIPIF1<0，代入（*）式，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在其定义域上为增函数，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0成立.（3）由（2）知，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，累加，得SKIPIF1<0.5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为自然对数的底数），SKIPIF1<0．(1)讨论函数SKIPIF1<0的单调性；(2)若对任意的SKIPIF1<0都有不等式SKIPIF1<0成立，求实数a的值．(3)设SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【解析】（1）函数SKIPIF1<0定义域为R，SKIPIF1<0．①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增；②当SKIPIF1<0时，解SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0.解SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；解SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减.综上所述，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减.（2）令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0的值域为R，不符合题意；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，也不符合题意；③当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，根据零点存在定理以及函数的单调性可知SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0有唯一解SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，根据零点存在定理以及函数的单调性可知SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0有唯一解SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0.综上所述，对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都有唯一解SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0.又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.所以SKIPIF1<0，故只需SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，上式即转化为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减.所以，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．综上所述，满足条件的实数a的值为1.（3）证明：由（1）知，当SKIPIF1<0时，对任意实数x，都有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立.令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，3，…，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．6．（2023·广东·高三统考期末）已知函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为自然对数的底数，SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0有极小值SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)证明：SKIPIF1<0恒成立；(3)证明：SKIPIF1<0.【解析】（1）SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0有极小值SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）证明：不等式SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0是定义域上的增函数，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一个根SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0此时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，故结论成立.（3）证明：由（2）知，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.由此可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，累加得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.7．（2023·广西梧州·统考一模）已知函数SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0的最小值；(2)证明：SKIPIF1<0.【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0（2）由（1）知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时等成立），令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，累加可得SKIPIF1<0，命题得证.8．（2023·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)证明:当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，故SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，故SKIPIF1<0．∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．（2）由（1）可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则上式化为SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0*得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，得证．9．（2023春·山东济宁·高三校考开学考试）已知函数SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的单调区间；(2)若SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.【解析】（1）因为SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增；②当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，i）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0上递增.ii）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，在SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0上递增.综上，当SKIPIF1<0时，单调减区间为SKIPIF1<0，单调增区间为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，单调减区间为SKIPIF1<0，单调增区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，单调增区间为SKIPIF1<0，无减区间.（2）要证SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，先证SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证毕!10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.(1)SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；(2)证明：SKIPIF1<0.(SKIPIF1<0)【解析】（1）先证SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.再证SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，综合以上可得SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；（2）由（1）可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，要证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，要证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在零点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0上单调递增，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0也成立，所以，SKIPIF1<0得证，则SKIPIF1<0成立.11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)试比较SKIPIF1<0与1的大小；(2)求证：SKIPIF1<0.【解析】（1）SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为增函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，（2）由（1）可得：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入可得：SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，则有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，将以上SKIPIF1<0个式子两边分别相加，可得：SKIPIF1<0，即证：SKIPIF1<0，故不等式得证.12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)试判断函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调性并证明你的结论；(2)若SKIPIF1<0对于SKIPIF1<0恒成立，求正整数SKIPIF1<0的最大值；(3)求证：SKIPIF1<0．【解析】（1）函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，证明如下：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数.（2）由SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为增函数，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即存在唯一的实数SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<